第三章-扭轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第三章第三章-扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)(nizhun)第一頁(yè)，共73頁(yè)。2第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3-1 概概 述述 3-2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)(nizhun) 3-3 傳動(dòng)軸的外力偶矩傳動(dòng)軸的外力偶矩. 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 3-4 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力. 強(qiáng)度強(qiáng)度(qingd)條件條件 3-5 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形. 剛度剛度(n d)條件條件3-6 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能 3-7 等直非圓截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形等直非圓截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形 3-8 開(kāi)口和閉合薄壁截面桿件在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變

2、形開(kāi)口和閉合薄壁截面桿件在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形 第1頁(yè)/共73頁(yè)第二頁(yè)，共73頁(yè)。3汽車中的轉(zhuǎn)向軸汽車中的轉(zhuǎn)向軸機(jī)器機(jī)器(j q)中的傳動(dòng)軸中的傳動(dòng)軸3-1 概概 述述 工程上的軸是承受扭轉(zhuǎn)(nizhun)變形的典型構(gòu)件。 若桿件橫截面上只存在扭矩一個(gè)內(nèi)力分量(fn ling)，則這種受力形式稱為純扭轉(zhuǎn)。 第2頁(yè)/共73頁(yè)第三頁(yè)，共73頁(yè)。4外力作用外力作用(wi l zu yn)特點(diǎn)：特點(diǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，任意兩橫截面間相對(duì)(xingdu)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，稱為兩截面的相對(duì)(xingdu)扭轉(zhuǎn)角，用AB 表示。 變形變形(bin xng)特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.1. 圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；圓桿各

3、橫截面繞桿的軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；2.2. 桿表面上的縱向線變成螺旋線。桿表面上的縱向線變成螺旋線。圓截面直桿受到一對(duì)大圓截面直桿受到一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的用面垂直于桿的軸線的外力偶作用外力偶作用 第3頁(yè)/共73頁(yè)第四頁(yè)，共73頁(yè)。5通常指通常指 的圓筒，可假定其的圓筒，可假定其應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布100r內(nèi)力偶矩內(nèi)力偶矩扭矩扭矩TeMT 薄壁圓筒薄壁圓筒nnMeMe lT Me nnr03-2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)(nizhun) 第4頁(yè)/共73頁(yè)第五頁(yè)，共73頁(yè)。6圓筒兩端截面圓筒兩端截面(jimin)之間之間相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的

4、圓心角相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角相對(duì)相對(duì)(xingdu)扭扭轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角表面表面(biomin)(biomin)正方格子正方格子傾斜的角度傾斜的角度直角的改變量直角的改變量切應(yīng)變切應(yīng)變 tanlr即lr/lABDCMe Me 薄壁圓筒受扭時(shí)變形情況：薄壁圓筒受扭時(shí)變形情況：ABC D B1A1D1 C1 DD1C1C第5頁(yè)/共73頁(yè)第六頁(yè)，共73頁(yè)。7Me Me 圓周圓周(yunzhu)(yunzhu)線只是線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其形狀繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其形狀、大小、間距不變；、大小、間距不變；表面變形特點(diǎn)表面變形特點(diǎn)(tdin)(tdin)及分析：及分析：橫截面在變形前后都保持橫截面在變形前后都保持(boc

5、h)為形狀為形狀、大小未改變的平面，沒(méi)有正應(yīng)力產(chǎn)生、大小未改變的平面，沒(méi)有正應(yīng)力產(chǎn)生所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同。所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同。橫截面上有與圓軸相切的切應(yīng)力且沿圓筒周向橫截面上有與圓軸相切的切應(yīng)力且沿圓筒周向均勻分布均勻分布ABDC第6頁(yè)/共73頁(yè)第七頁(yè)，共73頁(yè)。8Me Me 1 1、橫截面上無(wú)正應(yīng)力、橫截面上無(wú)正應(yīng)力(yngl)(yngl)；2 2、只有與圓周相切的切應(yīng)力、只有與圓周相切的切應(yīng)力(yngl)(yngl)，且沿圓筒周向均勻，且沿圓筒周向均勻分布；分布； 薄壁圓筒橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律薄壁圓筒橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律(gul)(gul)分析：分析：ABDC

6、 nnMe r0 xt 3 3、對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為、對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為(rnwi)(rnwi)切應(yīng)力沿壁厚切應(yīng)力沿壁厚也均勻分布。也均勻分布。第7頁(yè)/共73頁(yè)第八頁(yè)，共73頁(yè)。9薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力(yngl)(yngl)的計(jì)算公式的計(jì)算公式：ATrA0dtArT0t靜力學(xué)條件靜力學(xué)條件(tiojin)因薄壁圓環(huán)橫截面上各點(diǎn)處的切因薄壁圓環(huán)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力應(yīng)力(yngl)(yngl)相等相等02 rA202 rTArArTA00dtt得得t dAnnMe r0 xr0第8頁(yè)/共73頁(yè)第九頁(yè)，共73頁(yè)。10剪切胡克定律剪切胡克定律(h k dn l)t202 r

7、Tlr /0由前述推導(dǎo)由前述推導(dǎo)(tudo)可知可知薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)(shyn)(shyn)曲線曲線Me Me ABDC第9頁(yè)/共73頁(yè)第十頁(yè)，共73頁(yè)。11鋼材鋼材(gngci)(gngci)的切變模的切變模量值約為：量值約為：GPa80G時(shí)時(shí)即即ptttG這就是這就是(jish)剪切剪切胡克定律胡克定律其中其中(qzhng)：G材料的材料的切變模量切變模量t p剪切屈服極限剪切屈服極限對(duì)各向同性材料，彈性常數(shù)GE,三者有關(guān)系 12EG第10頁(yè)/共73頁(yè)第十一頁(yè)，共73頁(yè)。12此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面從此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面從受扭的等直圓

8、桿表面處截取受扭的等直圓桿表面處截取(jiq)(jiq)一微小的正一微小的正六面體六面體單元體單元體切應(yīng)力切應(yīng)力(yngl)(yngl)互等定理互等定理單元體單元體zyddtzxddtMe Me xyzabOcddxdydztttt0yF0zMtt自動(dòng)自動(dòng)(zdng)滿滿足足0 xFyzxxzyddddddtt存在存在t得得第11頁(yè)/共73頁(yè)第十二頁(yè)，共73頁(yè)。13tt單元體的兩個(gè)相互垂直的截面單元體的兩個(gè)相互垂直的截面上，與該兩個(gè)面的交線垂直的上，與該兩個(gè)面的交線垂直的切應(yīng)力數(shù)值切應(yīng)力數(shù)值(shz)(shz)相等，且相等，且均指向均指向( (或背離或背離) ) 兩截面的交線兩截面的交線。切應(yīng)

9、力切應(yīng)力(yngl)(yngl)互互等定理等定理單元體在其兩對(duì)互相垂直的平面單元體在其兩對(duì)互相垂直的平面(pngmin)(pngmin)上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。力的狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。dabcttttxyzabOcddxdydztttt第12頁(yè)/共73頁(yè)第十三頁(yè)，共73頁(yè)。14試根據(jù)切應(yīng)力互等定理，判斷圖中所示的各單元體上的切應(yīng)力是試根據(jù)切應(yīng)力互等定理，判斷圖中所示的各單元體上的切應(yīng)力是否否(sh fu)正確。正確。tttttttttttkN10kN20kN10kN20kN30kN50kN50kN30kN3030kN第13頁(yè)/共73頁(yè)第十四頁(yè)，共

10、73頁(yè)。153-3 傳動(dòng)軸的外力偶矩傳動(dòng)軸的外力偶矩. 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 1外力偶矩m的計(jì)算(j sun) 如軸在m作用下勻速轉(zhuǎn)動(dòng)角，則力偶做功為W=m，由功率(gngl)定義 mdtdmdtdWP角速度與轉(zhuǎn)速n（單位(dnwi)為轉(zhuǎn)/分，即r/min），關(guān)系為 60/2 n單位為弧度/秒，rad/s 如圖所示的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，通常外力偶矩不是直接給出的，而是通過(guò)軸所傳遞的功率和轉(zhuǎn)速n計(jì)算得到的。 第14頁(yè)/共73頁(yè)第十五頁(yè)，共73頁(yè)。16由于1kW=1000Nm/s，N千瓦(qinw)的功率相當(dāng)于每秒鐘作功 NW1000單位(dnwi)為Nm 外力偶(l u)在1秒鐘內(nèi)所作的功為 60/2

11、mnmW單位為Nm 由于二者作的功應(yīng)該相等，則有60/21000mnN式中：N傳遞功率（千瓦，kW）；n轉(zhuǎn)速（r/min）。 當(dāng)軸平穩(wěn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用在軸上的外力偶矩與傳遞的功率和轉(zhuǎn)速間的關(guān)系為)(9549mNnNm第15頁(yè)/共73頁(yè)第十六頁(yè)，共73頁(yè)。17外力偶矩與傳遞的功率和轉(zhuǎn)速外力偶矩與傳遞的功率和轉(zhuǎn)速(zhun s)間間的關(guān)系的關(guān)系nNm9549式中：N傳遞功率（千瓦，kW）；n轉(zhuǎn)速（r/min）。 （Nm）如果傳遞(chund)功率單位是馬力(PS)，由于1PS=735.5 Nm/s，則有nNm7024（Nm） 第16頁(yè)/共73頁(yè)第十七頁(yè)，共73頁(yè)。18例如：富康例如：富康(f kn)A

12、X轎車額定功率轎車額定功率65kW，在，在4500轉(zhuǎn)時(shí)平穩(wěn)轉(zhuǎn)時(shí)平穩(wěn)（N與與n無(wú)關(guān)）輸出扭矩?zé)o關(guān)）輸出扭矩)(9 .137450065954995490mNnNM（對(duì)車軸(chzhu)而言是外力矩）第17頁(yè)/共73頁(yè)第十八頁(yè)，共73頁(yè)。192. 扭矩扭矩(Torque)由平衡由平衡(pnghng)(pnghng)方程方程 0MMTMT是橫截面上的內(nèi)力偶矩，稱為是橫截面上的內(nèi)力偶矩，稱為(chn wi)扭矩。扭矩。 0M0MTM0M取左邊部分假想切面外力偶外力偶(l u) (l u) 外力偶外力偶 內(nèi)力偶內(nèi)力偶 平衡平衡扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法來(lái)確定。來(lái)確定。第18頁(yè)/共73頁(yè)第十

13、九頁(yè)，共73頁(yè)。20TM扭矩的符號(hào)扭矩的符號(hào)(fho)規(guī)定規(guī)定按右手螺旋法則確定按右手螺旋法則確定(qudng)扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向與截面的外法線方向一致者為正，反之為負(fù)。向與截面的外法線方向一致者為正，反之為負(fù)。TMTM扭矩矢量扭矩矢量(shling)指向指向(大大拇指）拇指）與與截面的外法線方向一致截面的外法線方向一致扭矩矢量指向扭矩矢量指向(大拇指）大拇指）與與截面的外法線方向相反截面的外法線方向相反正負(fù)第19頁(yè)/共73頁(yè)第二十頁(yè)，共73頁(yè)。21以平行于桿軸線的坐標(biāo)以平行于桿軸線的坐標(biāo)x x表示截面的位置，以垂直于表示截面的位置，以垂直于x x軸的坐

14、軸的坐標(biāo)表示扭矩值，得到標(biāo)表示扭矩值，得到(d do)(d do)扭矩隨截面位置而變化的扭矩扭矩隨截面位置而變化的扭矩圖。圖。 扭矩圖扭矩圖mkN20mkN10mkN10mkN10TMmkN20TMmkNMT10mkNMT 20mkNMT/10102020第20頁(yè)/共73頁(yè)第二十一頁(yè)，共73頁(yè)。22例例1：某機(jī)器：某機(jī)器(j q)的傳動(dòng)軸如圖的傳動(dòng)軸如圖2.6（a）所示，軸的轉(zhuǎn)速）所示，軸的轉(zhuǎn)速n=700r/min，主動(dòng)輪的輸入功率為，主動(dòng)輪的輸入功率為NA=400KW，從動(dòng)輪，從動(dòng)輪B、C和和D的輸出功率分別為的輸出功率分別為NB=NC=120KW，ND=160KW。試作軸的扭矩。試作軸的扭

15、矩圖。圖。 AmCmBmDm軸的轉(zhuǎn)向軸的轉(zhuǎn)向BCAD第21頁(yè)/共73頁(yè)第二十二頁(yè)，共73頁(yè)。23解解:nNMAA9549nNMMBCB9549計(jì)算(j sun)外力偶矩nNMDD9549mN 54607004009549mN 16407001209549mN 21807001609549112233BmCmAmDm第22頁(yè)/共73頁(yè)第二十三頁(yè)，共73頁(yè)。24分 別 取 截 面分 別 取 截 面(jimin)分析分析BC段段mNMT 16401CA段段mNMT 32802AD段段mNMT 21803根據(jù)根據(jù)(gnj)前面求前面求得的扭矩值作扭矩得的扭矩值作扭矩圖圖最大扭矩發(fā)生在最大扭矩發(fā)生在AC

16、段各橫截面上段各橫截面上mNMT3280mNMmNMMmNMDCBA218016405460112233BmCmAmDm1.64kNm3.28kNm2.18kNm第23頁(yè)/共73頁(yè)第二十四頁(yè)，共73頁(yè)。253-4 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力(yngl)和變形計(jì)算1.平面假設(shè)及變形幾何(j h)關(guān)系受扭后表面(biomin)變形有以下規(guī)律： (1) 各圓周線繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一微小轉(zhuǎn)角，但大小，形狀及相互間距不變；(2) 由于是小變形，各縱線平行地傾斜一個(gè)微小角度 ，認(rèn)為仍為直線；因而各小方格變形后成為菱形。平面假設(shè)平面假設(shè)：變形前橫截面為圓形平面，變形后仍為圓形平面，只是各截面繞軸線相對(duì)“剛性地”轉(zhuǎn)了

17、一個(gè)角度。MeMe 第24頁(yè)/共73頁(yè)第二十五頁(yè)，共73頁(yè)。26變形幾何變形幾何(j h)關(guān)系關(guān)系dxGG dxd扭轉(zhuǎn)圓軸時(shí)橫截面上距離圓心扭轉(zhuǎn)圓軸時(shí)橫截面上距離圓心 處的剪應(yīng)變處的剪應(yīng)變dxd扭轉(zhuǎn)圓軸沿軸線單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)圓軸沿軸線單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角EGGG tanxddd)2/(xdddDGGETTDAdDGGEO1O2DAdxdO1O2ababdx第25頁(yè)/共73頁(yè)第二十六頁(yè)，共73頁(yè)。27對(duì)線性彈性材料，根據(jù)剪切胡克定律(h k dn l)，在彈性范圍內(nèi)有推論三：橫截面上各點(diǎn)剪應(yīng)力與該點(diǎn)到軸心推論三：橫截面上各點(diǎn)剪應(yīng)力與該點(diǎn)到軸心(zhu xn)的距離成正比。的距離成正比。2. 物理

18、(wl)關(guān)系tGdxdGtOG1tan推論一：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上只有垂直于半徑方向的剪應(yīng)力，而推論一：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上只有垂直于半徑方向的剪應(yīng)力，而無(wú)正應(yīng)力。無(wú)正應(yīng)力。推論二：橫截面上各點(diǎn)剪應(yīng)變與該點(diǎn)到軸心的距離成正比。推論二：橫截面上各點(diǎn)剪應(yīng)變與該點(diǎn)到軸心的距離成正比。第26頁(yè)/共73頁(yè)第二十七頁(yè)，共73頁(yè)。283. 靜力學(xué)關(guān)系(gun x)ATMdAt)(靜力等效原理靜力等效原理(yunl)（合力矩定（合力矩定理）理） 分力系：分布分力系：分布(fnb)于橫截面上的剪應(yīng)力于橫截面上的剪應(yīng)力合力系：扭矩合力系：扭矩MTtGdxdG t t t t第27頁(yè)/共73頁(yè)第二十八頁(yè)，共73頁(yè)。29

19、引入記號(hào)引入記號(hào)ApdAI2RIWpTRIMIRMpTpT/maxtAATdAdxdGdAMt)()(AdAdxdG2pTGIMGdxdGtpTGIMdxdpTIMtTTWMmaxttGdxdG第28頁(yè)/共73頁(yè)第二十九頁(yè)，共73頁(yè)。30小小 結(jié)結(jié)靜力方程靜力方程 ATMdAt)(ApdAI2RIWpTpTGIMdxdpTIMtTTWMmaxt物理方程物理方程 tG幾何方程幾何方程 dxd變形計(jì)算公式變形計(jì)算公式 應(yīng)力計(jì)算公式應(yīng)力計(jì)算公式 最大應(yīng)力公式最大應(yīng)力公式 扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度抗扭截面模量抗扭截面模量第29頁(yè)/共73頁(yè)第三十頁(yè)，共73頁(yè)。31結(jié)結(jié) 論論q橫截面外圓周橫截面外圓周(yunzh

20、u)上點(diǎn)的剪應(yīng)力和剪應(yīng)變最大上點(diǎn)的剪應(yīng)力和剪應(yīng)變最大q 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上一點(diǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上一點(diǎn)(y din)剪應(yīng)力和剪應(yīng)變與剪應(yīng)力和剪應(yīng)變與該點(diǎn)的極坐標(biāo)呈比例該點(diǎn)的極坐標(biāo)呈比例 q 橫截面橫截面(jimin)最大剪應(yīng)力與橫截面最大剪應(yīng)力與橫截面(jimin)的抗扭截面的抗扭截面(jimin)模量成反比模量成反比q 橫截面扭轉(zhuǎn)變形（單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角）與橫截面的橫截面扭轉(zhuǎn)變形（單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角）與橫截面的扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度成反比成反比第30頁(yè)/共73頁(yè)第三十一頁(yè)，共73頁(yè)。32例：由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別為G1和G2，且G1=2G2。圓軸尺寸(ch cun)如圖所

21、示。圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。關(guān)于橫截面上的切應(yīng)力分布，有圖中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四種結(jié)論，請(qǐng)判斷哪一種是正確的。d2dT1G2GO(A)(B)(C)(D)第31頁(yè)/共73頁(yè)第三十二頁(yè)，共73頁(yè)。33解：圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，這表明二者形成一個(gè)整體，同時(shí)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。根據(jù)平面假定，二者組成的組合截面(jimin)，在軸受扭后依然保持平面，即其直徑保持為直線，但要相當(dāng)于原來(lái)的位置轉(zhuǎn)過(guò)一角度。因此，在里、外層交界處二者具有相同的切應(yīng)變。由于內(nèi)層（實(shí)心軸）材料的剪切彈性模量大于外層（圓環(huán)截面(jimin)）的剪切彈性模量（G1=2G2），所以內(nèi)層在二者交界處的

22、切應(yīng)力一定大于外層在二者交界處的切應(yīng)力。據(jù)此，答案（A）和（B）都是不正確的。在答案（D）中，外層在二者交界處的切應(yīng)力等于零，這也是不正確的，因?yàn)橥鈱釉诙呓唤缣幍那袘?yīng)變不為零，根據(jù)剪切胡克定律，切應(yīng)力也不可能等于零。根據(jù)以上分析，正確答案是（C）(A)(B)(C)(D)d2dT1G2GO第32頁(yè)/共73頁(yè)第三十三頁(yè)，共73頁(yè)。34極慣性矩和抗扭截面極慣性矩和抗扭截面(jimin)(jimin)模量的計(jì)算模量的計(jì)算 實(shí)心實(shí)心(shxn)圓圓截面截面空心空心(kng xn)圓截面圓截面薄壁圓環(huán)截面薄壁圓環(huán)截面t/R01/102043322dpDdI16232/34DDDWT)1 (3244DIp

23、)1 (16243DDIWpTtRdARIp30202tRRIWpT2002第33頁(yè)/共73頁(yè)第三十四頁(yè)，共73頁(yè)。35扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)力扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)力(yngl)計(jì)算和變形計(jì)算計(jì)算和變形計(jì)算ApdAI2RIWpT)/(1800mGIMdxdpTpTIMtTTWMmaxt畫(huà)軸畫(huà)軸(huzhu)的的扭矩圖扭矩圖極慣性矩和抗扭截面極慣性矩和抗扭截面(jimin)(jimin)模量的計(jì)算模量的計(jì)算 確定可能的危險(xiǎn)截面確定可能的危險(xiǎn)截面計(jì)算危險(xiǎn)（最大）點(diǎn)應(yīng)力計(jì)算危險(xiǎn)（最大）點(diǎn)應(yīng)力求出最大剪應(yīng)力求出最大剪應(yīng)力計(jì)算兩截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角計(jì)算兩截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角計(jì)算最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角計(jì)算最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角lpTGIdxM

24、pTGIlMpiiTiGIlM當(dāng)?shù)戎眻A桿有兩個(gè)以上的外力偶作用時(shí)，需要先畫(huà)出扭矩圖，然后分段計(jì)算各段的變形，各段變形的代數(shù)和即為桿的總變形。第34頁(yè)/共73頁(yè)第三十五頁(yè)，共73頁(yè)。36例例3.2 一空心圓軸如圖（一空心圓軸如圖（a）所示，在所示，在A、B、C處受外力處受外力偶作用。已知偶作用。已知 ， ， ，材料，材料G=80Gpa，試求（試求（1）軸內(nèi)的最）軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力大剪應(yīng)力 ；（；（2）C截面相對(duì)截面相對(duì)A截面的扭轉(zhuǎn)角截面的扭轉(zhuǎn)角 mNMA150mNMB 50mNMC100maxtAC畫(huà)軸畫(huà)軸(huzhu)的扭矩圖的扭矩圖解：解：A、B可能為危險(xiǎn)可能為危險(xiǎn)(wixin)截面截面mkN

25、MmkNMMBA100 ,150max第35頁(yè)/共73頁(yè)第三十六頁(yè)，共73頁(yè)。37MPa7 .86maxtMPa7 .86rad069. 0.計(jì)算危險(xiǎn)計(jì)算危險(xiǎn)(wixin)（最大）點(diǎn)應(yīng)（最大）點(diǎn)應(yīng)力力TATAAWMmaxtTBTBBWMmaxt)24/18(1 (024. 01610150433)22/18(1 (022. 01610100433MPa8 .80所以所以(suy)，計(jì)算計(jì)算(j sun)扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角21ipiiTiACGIlM第36頁(yè)/共73頁(yè)第三十七頁(yè)，共73頁(yè)。38、斜截面、斜截面(jimin)上的應(yīng)上的應(yīng)力力0F0F0cossindsincosddttAAA0sinsin

26、dcoscosddtttAAA假定斜截面假定斜截面(jimin)ef 的面的面積為積為d Aefdabcttttxntttfebx第37頁(yè)/共73頁(yè)第三十八頁(yè)，共73頁(yè)。39討論討論(tol(toln)n)：045tmax901、ttmax452、tmin此時(shí)此時(shí)(c sh)(c sh)切應(yīng)力切應(yīng)力均為零。均為零。ftttebx解得解得t2sintt2costtttx4545maxmaxminmin第38頁(yè)/共73頁(yè)第三十九頁(yè)，共73頁(yè)。40低碳鋼的扭轉(zhuǎn)低碳鋼的扭轉(zhuǎn)(nizhun)破壞破壞灰鑄鐵的扭轉(zhuǎn)灰鑄鐵的扭轉(zhuǎn)(nizhun)破壞破壞3-5 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度(qingd)和剛度條件第3

27、9頁(yè)/共73頁(yè)第四十頁(yè)，共73頁(yè)。41對(duì)于脆性材料對(duì)于脆性材料(cilio) ，tb 是材料是材料(cilio)的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限，試件的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限，試件扭轉(zhuǎn)斷裂原因是扭轉(zhuǎn)斷裂原因是45度斜面上的最大拉應(yīng)力。度斜面上的最大拉應(yīng)力。對(duì)于塑性材料對(duì)于塑性材料 ，ts 是材料的扭轉(zhuǎn)是材料的扭轉(zhuǎn)(nizhun)強(qiáng)度極限，試件扭裂時(shí)橫強(qiáng)度極限，試件扭裂時(shí)橫截面上的最大剪應(yīng)力達(dá)到截面上的最大剪應(yīng)力達(dá)到ts 。第40頁(yè)/共73頁(yè)第四十一頁(yè)，共73頁(yè)。42圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)(nizhun)的強(qiáng)度條的強(qiáng)度條件件 nutt材料材料(cilio)的扭轉(zhuǎn)許的扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力用剪應(yīng)力材料的扭轉(zhuǎn)極限剪應(yīng)力材料的扭轉(zhuǎn)極限剪應(yīng)力

28、安全系數(shù)安全系數(shù)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度(qingd)條件為條件為 maxmaxttTTWM對(duì)于塑性材料，對(duì)于塑性材料， =（0.50.6）對(duì)于脆性材料，對(duì)于脆性材料， =（0.81.0） tt第41頁(yè)/共73頁(yè)第四十二頁(yè)，共73頁(yè)。43圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)(nizhun)的設(shè)計(jì)公的設(shè)計(jì)公式式實(shí)心實(shí)心(shxn)圓圓軸軸空心空心(kng xn)圓軸圓軸163maxmaxttdMT)1 (1643maxmaxttDMT3max16tTMd 34max)1(16tTMD33 10. 0954916nNnNdt例如：富康轎車額定功率65kW，2500轉(zhuǎn)為設(shè)計(jì)工況mmd30250065 10. 0

29、3v承受同樣最大扭矩的相同材料制成的圓軸，誰(shuí)重誰(shuí)輕？第42頁(yè)/共73頁(yè)第四十三頁(yè)，共73頁(yè)。44圖示一空心傳動(dòng)軸，輪1為主動(dòng)輪，力偶矩M19KNm，輪2、輪3、輪4為從動(dòng)輪,力偶矩分別為M24KNm，M33.5KNm，M41.5KNm。已知空心軸內(nèi)外徑(wi jn)之比d/D1/2，試設(shè)計(jì)此軸的外徑(wi jn)D，并求出全軸兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角24。G80GPa，60MPa。5005001M2M3M4M500第43頁(yè)/共73頁(yè)第四十四頁(yè)，共73頁(yè)。455kN1.5kN4kN5005001M2M3M4M500解：作扭矩圖43116 DWP t tmaxTWP t t max43116TD 34ma

30、x116tTDmm7 .76mmD78mmd39PGILT2121 rad00734. 0PGILT1313 rad00917. 0PGILT3434 rad00275. 034132124 rad00458. 0第44頁(yè)/共73頁(yè)第四十五頁(yè)，共73頁(yè)。46已知鉆探機(jī)桿的外徑D=60mm，內(nèi)徑d=50mm，功率P=7.35kW，轉(zhuǎn)速n=180r/min，鉆桿入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。設(shè)土壤對(duì)鉆桿的阻力是沿長(zhǎng)度均勻分布的，試求：（1）單位長(zhǎng)度上土壤對(duì)鉆桿的阻力矩M；（2）作鉆桿的扭矩圖，并進(jìn)行強(qiáng)度(qingd)校核；（3）求A、B兩截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。MAlB第45頁(yè)/共73

31、頁(yè)第四十六頁(yè)，共73頁(yè)。47nPT31055. 9Nm390單位(dnwi)長(zhǎng)度阻力矩mNm40390mNm75. 9解：LTM MAlB)(xTxTPWTmaxt t16605016010390433 tMPa7 .17 MxxTxLTdxGIlxTlPAB0 2lGITPrad148.0強(qiáng)度(qingd)滿足第46頁(yè)/共73頁(yè)第四十七頁(yè)，共73頁(yè)。48例例3.4 圖示為兩直徑相同的實(shí)心圓軸，用剛性凸緣聯(lián)軸器由圖示為兩直徑相同的實(shí)心圓軸，用剛性凸緣聯(lián)軸器由12個(gè)螺栓分兩個(gè)螺栓分兩圈聯(lián)接，每圈各有圈聯(lián)接，每圈各有6個(gè)螺栓，分別布置個(gè)螺栓，分別布置(bzh)在半徑在半徑a=100mm和半徑和半徑

32、b=60mm的兩個(gè)同心圓上。已知圓軸的直徑的兩個(gè)同心圓上。已知圓軸的直徑d=80mm，材料的許用剪應(yīng)力，材料的許用剪應(yīng)力t=60MPa；螺栓的直徑；螺栓的直徑d1=10mm，其許用剪應(yīng)力，其許用剪應(yīng)力t1=60MPa 。試確定。試確定圓軸工作時(shí)能承受的最大扭矩。圓軸工作時(shí)能承受的最大扭矩。 第47頁(yè)/共73頁(yè)第四十八頁(yè)，共73頁(yè)。49按螺栓的強(qiáng)度條件確定按螺栓的強(qiáng)度條件確定(qudng)許可扭許可扭矩矩 baba3560100baGGbabattbdadMT121121max534646tt06. 01010053401. 061 . 010100401. 066232mkN41. 610)7

33、 . 171. 4(3許可許可(xk)載載荷取小荷取小mkNMT03. 6解解:按軸的強(qiáng)度按軸的強(qiáng)度(qingd)(qingd)條件確定許條件確定許可扭矩可扭矩 16/3maxdWMTTttmkN03. 616)1080(1060333第48頁(yè)/共73頁(yè)第四十九頁(yè)，共73頁(yè)。50圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度(n d)條件條件)/(180)(0maxmaxmGIMdxdpT圓軸的扭轉(zhuǎn)許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角圓軸的扭轉(zhuǎn)許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角)/(0m各類軸的許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角可在有關(guān)各類軸的許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角可在有關(guān)(yugun)(yugun)的機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)的機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)中查得。中查得。對(duì)精密機(jī)器的軸對(duì)精密

34、機(jī)器的軸q=(0.25q=(0.250.50)0/m0.50)0/m；一般傳動(dòng)軸一般傳動(dòng)軸q =(0.5q =(0.51.0)0/m1.0)0/m；精度要求不高的軸精度要求不高的軸q =(1.0q =(1.02.5)0/m2.5)0/m。 第49頁(yè)/共73頁(yè)第五十頁(yè)，共73頁(yè)。51e21MWV等直圓桿僅在兩端受外力偶矩等直圓桿僅在兩端受外力偶矩 Me 作用且作用且 時(shí)時(shí)pttpeGIlMp2e21GIlMp221GIlT2p21lGIV 或或Me Me Me Me 3-6 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)等直圓桿在扭轉(zhuǎn)(nizhun)時(shí)的應(yīng)變能時(shí)的應(yīng)變能 第50頁(yè)/共73頁(yè)第五十一頁(yè)，共73頁(yè)。52當(dāng)?shù)戎眻A桿各

35、段橫截面上的扭矩不同時(shí)當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)(tngsh)niiiGIlTV1p22niiilGIV12p2或或ABCAM1M3 BACM2 dlABlAC第51頁(yè)/共73頁(yè)第五十二頁(yè)，共73頁(yè)。53純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度( )pttxzyWddd21dtzyxddd21tVWVVvddddtt21dddddd21zyxzyxtGGv22t22Gv xyzabOcdxddydzttttOttp單元體外力(wil)作功第52頁(yè)/共73頁(yè)第五十三頁(yè)，共73頁(yè)。54扭矩扭矩T為常量為常量(chngling)時(shí)，長(zhǎng)為時(shí)，長(zhǎng)為 l 的等直圓桿的應(yīng)變的等直圓桿

36、的應(yīng)變能為能為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)等直圓桿的扭轉(zhuǎn)(nizhun)應(yīng)變能與應(yīng)變能密度應(yīng)變能與應(yīng)變能密度的關(guān)系的關(guān)系VVvVdAxAGVdd22tlAxAvddAAITGld222p2p22GIlTAITxGAldd212pMe Me 第53頁(yè)/共73頁(yè)第五十四頁(yè)，共73頁(yè)。55例例 試用能量法求圖示桿系截面試用能量法求圖示桿系截面C處的扭轉(zhuǎn)處的扭轉(zhuǎn)(nizhun)角。角。圖中圖中Me，l1，l2，D1，d1，d2及桿材的切變模量及桿材的切變模量G均為均為已知。已知。解：解：ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性剛性板板已求得兩軸的扭矩已求得兩軸的扭矩e1MTe2MT 第54頁(yè)/共73頁(yè)第五十五頁(yè)

37、，共73頁(yè)。56其轉(zhuǎn)向其轉(zhuǎn)向(zhunxing)與與Me 相同。相同。2/eCMWVp22ep11eGIlMGIlMC422e4411e32)1 (32dGlMDGlMABCMep222ep112ep2222p11212222GIlMGIlMGIlTGIlTV桿系扭轉(zhuǎn)桿系扭轉(zhuǎn)(nizhun)應(yīng)變能為應(yīng)變能為而而第55頁(yè)/共73頁(yè)第五十六頁(yè)，共73頁(yè)。57例例 圓柱螺旋彈簧如圖圓柱螺旋彈簧如圖(簧桿斜度簧桿斜度(xi d)a d 。 試推導(dǎo)彈試推導(dǎo)彈簧的應(yīng)力和變形計(jì)算公式。簧的應(yīng)力和變形計(jì)算公式。第56頁(yè)/共73頁(yè)第五十七頁(yè)，共73頁(yè)。58解：解：1、 求簧桿橫截面上的內(nèi)力求簧桿橫截面上的內(nèi)力(

38、nil)FF S剪力FRT 扭矩分離分離(fnl)體的體的平衡平衡2、求簧桿橫截面上的應(yīng)力、求簧桿橫截面上的應(yīng)力(yngl)33pmax1616dFRdFRWTta) 略去與剪力相略去與剪力相應(yīng)的切應(yīng)力應(yīng)的切應(yīng)力b) D d 時(shí)時(shí)略去簧略去簧圈的曲率影響圈的曲率影響第57頁(yè)/共73頁(yè)第五十八頁(yè)，共73頁(yè)。593、 求彈簧求彈簧(tnhung)的變形的變形FW21近似近似(jn s)認(rèn)為簧桿長(zhǎng)度認(rèn)為簧桿長(zhǎng)度 l =2pRn43p2642GdnFRGIRnFRp2p222)(2GIRnFRGIlTVWV ptt彈簧在線彈性范圍彈簧在線彈性范圍(fnwi)內(nèi)工作內(nèi)工作時(shí)時(shí)kFnRGdk3464稱為彈

39、簧的稱為彈簧的剛度系數(shù)剛度系數(shù)（N/m)第58頁(yè)/共73頁(yè)第五十九頁(yè)，共73頁(yè)。603-7 等直非圓截面桿在自由等直非圓截面桿在自由(zyu)扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形變形 矩形截面桿的自由(zyu)扭轉(zhuǎn) 桿件受扭轉(zhuǎn)力偶作用發(fā)生變形(bin xng)，變形(bin xng)后其橫截面將不再保持平面，而發(fā)生“翹曲”（圖b）。第59頁(yè)/共73頁(yè)第六十頁(yè)，共73頁(yè)。61非圓桿兩種類型非圓桿兩種類型(lixng)的扭轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)自由自由(zyu)扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)(純扭轉(zhuǎn)純扭轉(zhuǎn))此時(shí)相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，無(wú)附加此時(shí)相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，無(wú)附加(fji)正應(yīng)力產(chǎn)生正應(yīng)力產(chǎn)生此時(shí)相鄰兩橫截面的

40、翹曲程度不同，橫截面上有此時(shí)相鄰兩橫截面的翹曲程度不同，橫截面上有附加附加正應(yīng)力產(chǎn)生正應(yīng)力產(chǎn)生1、等直桿兩端受外力偶作用，端面可自由翹曲時(shí)、等直桿兩端受外力偶作用，端面可自由翹曲時(shí)2 2、非等直桿扭轉(zhuǎn)、扭矩沿桿長(zhǎng)變化、或端面有約束、非等直桿扭轉(zhuǎn)、扭矩沿桿長(zhǎng)變化、或端面有約束不能自由翹曲時(shí)不能自由翹曲時(shí)約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)第60頁(yè)/共73頁(yè)第六十一頁(yè)，共73頁(yè)。62矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)(nizhun)(nizhun)時(shí)的應(yīng)力時(shí)的應(yīng)力和變形和變形一般一般(ybn)(ybn)矩形矩形截面等直桿截面等直桿tt時(shí)1、 t發(fā)生n在橫截面的長(zhǎng)邊中點(diǎn)處；2、橫截面周邊各點(diǎn)的切應(yīng)力必定與周邊相切，沿

41、周邊形成與扭矩同向的順流；3、四個(gè)角點(diǎn)處t 0 。思考：思考：存在第二、第三條規(guī)律的原因是什么？存在第二、第三條規(guī)律的原因是什么？第61頁(yè)/共73頁(yè)第六十二頁(yè)，共73頁(yè)。63矩形矩形(jxng)截面等直桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力和變形的計(jì)算公截面等直桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力和變形的計(jì)算公式式最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力(yngl)（長(zhǎng)邊中（長(zhǎng)邊中點(diǎn)處）點(diǎn)處）tWTmaxt短邊中點(diǎn)短邊中點(diǎn)(zhn din)處的切應(yīng)力處的切應(yīng)力maxntt單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：tGIT4tbI3tbW相當(dāng)極慣性矩相當(dāng)極慣性矩扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)其中其中、n 與與 相關(guān)的因數(shù)相關(guān)的因數(shù)bhm 第62頁(yè)/共73頁(yè)第六十三頁(yè)，共73頁(yè)。64狹長(zhǎng)矩形截面狹長(zhǎng)矩形截面(jimin)(jimin)桿自由扭轉(zhuǎn)桿自由扭轉(zhuǎn)10bhm3m特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、沿長(zhǎng)邊各點(diǎn)的切應(yīng)力值除靠角點(diǎn)附近外，、沿長(zhǎng)邊各點(diǎn)的切應(yīng)力值除靠角點(diǎn)附近外，均接近相等；均接近相等；2、離短邊稍遠(yuǎn)處、離短邊稍遠(yuǎn)處(yun ch)，可認(rèn)為切應(yīng)力沿，可認(rèn)為切應(yīng)力沿厚度厚度d 按直線規(guī)律變化。按直線規(guī)律變化。44t3mI33t3mW34313hh23313hhtI第63頁(yè)/共73頁(yè)第六十四頁(yè)，共73頁(yè)。65例例 有兩根尺寸、材料均相同的薄壁鋼管，設(shè)將其中一根沿縱有兩根尺寸、材料均相同的薄壁鋼管，設(shè)將其中一根沿縱向開(kāi)一細(xì)縫，在兩桿的兩端各施加相同的扭轉(zhuǎn)力偶矩向