第十四講 薄板小撓度彎曲(一)

1、第十四講 薄板小撓度彎曲理論（一）研究生48學(xué)時(shí)概念和假定薄板：板的厚度遠(yuǎn)小于中面最小尺寸的板。荷載縱向荷載：作用在板中面以內(nèi)的荷載，可以認(rèn)為沿板的厚度均布，按平面應(yīng)力計(jì)算。橫向荷載：使薄板彎曲，按薄板彎曲問題計(jì)算。xy中面彎曲所形成的曲面稱為薄板的彈性曲面，中面內(nèi)各點(diǎn)的橫向位移稱為撓度。薄板彎曲的基本假設(shè)（基爾霍夫假設(shè)）（1）垂直于中面方向的正應(yīng)變ez可以不計(jì)，由¶w/¶z = 0得到 w = w (x, y)板厚度內(nèi)各點(diǎn)具有相同的撓度。放棄物理方程：目地：允許sz-m(sx+sy) ¹ 0（2）應(yīng)力分量txz、tyz、sz遠(yuǎn)小于其余三個(gè)應(yīng)力分量，它們所引起的應(yīng)

2、變可以不計(jì)（它們本身是平衡所需，不能不計(jì)），即認(rèn)為gxz = gyz = 0（一般，薄板彎曲問題中，txz、tyz是次要應(yīng)力，sz則為更次要應(yīng)力） ， ，放棄物理方程：，即：允許gxz和gyz等于零，但txz和tyz不為零。只有三個(gè)物理方程 與平面應(yīng)力問題相同。（3）薄板中各點(diǎn)都沒有平行于中面的位移，(u)z = 0 = 0，(v)z = 0 = 0，因此，(ex)z = 0 = 0，(ey)z = 0 = 0，(gxy)z = 0 = 0薄板彎曲后，在xy平面的投影形狀不變。彈性曲面微分方程按位移求解，基本未知量為撓度w，需將其它物理量用w表示，由 ，積分得到：，由：(u)z = 0 = 0

3、，(v)z = 0 = 0得到：f1(x, y) = f2(x, y) = 0，因此 ，則： ，將應(yīng)力分量sx、sy、txy用w表示 w僅為x、y的函數(shù)，因此應(yīng)力分量與z成正比。將應(yīng)力分量txz和tyz用w表示不考慮縱向荷載，fx = fy = 0，由平衡方程 因w = w(x, y)，以上二式積分得 由板的上下邊界條件(txz)z = ±d/2 = 0，(tyz)z = ±d/2 = 0，得到 最后，將應(yīng)力分量sz用w表示，設(shè)fz = 0（如果fz ¹ 0，可以將板的單位面積內(nèi)的體力歸入板面上的面力，只對sz產(chǎn)生影響） 在板的下邊有邊界條件(sz)z = d/2

4、 = 0，因此xy 在板的上邊有邊界條件(sz)z = -d/2 = -q，因此 或： 薄板的彈性曲面微分方程，薄板小撓度彎曲問題的基本方程。 稱為薄板的彎曲剛度橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力薄板彎曲問題中，要求應(yīng)力分量在板的側(cè)面上處處滿足應(yīng)力邊界條件有困難，需應(yīng)用圣維南原理，使板在厚度方向上的應(yīng)力分量整體滿足邊界條件。三邊長度分別為dx、dy和d 的六面體，在x為常數(shù)的橫截面上sx和txy的合力（積分）為零，分別合成彎矩Mx和扭矩Mxy，考慮單位寬度上的內(nèi)力 剪應(yīng)力txz合成橫向剪力FSx 同理，在y為常數(shù)的橫截面上 1. 內(nèi)力為單位寬度的力，彎矩和扭矩的量綱為力，剪力的量綱為力長度-1；2. 內(nèi)力的

5、符號規(guī)定：按右圖為正；3. 薄板彎曲問題中主要計(jì)算彎矩和扭矩，橫向剪力一般不計(jì)算。各應(yīng)力分量可由內(nèi)力表示為 ， ，按各應(yīng)力分量對薄板作用效應(yīng)sx，sy：彎應(yīng)力；txy：扭應(yīng)力；txz，tyz：橫向剪應(yīng)力；sz：擠壓應(yīng)力。邊界條件，扭矩的等效剪力矩形薄板OABC，OA邊是夾支邊，OC邊是簡支邊，AB、BC邊是自由邊yxOABCab1. 夾支邊OA (w)x = 0 = 0，(¶w/¶x)x = 0 = 0(¶w/¶y)x = 0 = 0不是獨(dú)立邊界條件2. 簡支邊OC (w)y = 0 = 0，(My)y = 0 = 0或?qū)憺?，如(w)y = 0 = 0

6、得到滿足，則必有¶2w/¶x2 = 0，簡支邊的邊界條件簡化為 ，3. 自由邊AB自由邊的彎矩、扭矩和橫向剪力均為零，三個(gè)邊界條件 (My)y = b = 0，(Myx)y = b = 0，(FSy)y = b = 0簡化：將扭矩變換為等效橫向剪力，與第三式合并。設(shè)任意邊界上的微段EF = dx上作用有扭矩Myxdx，可以變換為等效的兩個(gè)力Myx，分別作用于E點(diǎn)和F點(diǎn)。相鄰微段FG = dx上作用有扭矩，可以變換為等效的兩個(gè)力，分別作用于F點(diǎn)和G點(diǎn)。在F點(diǎn)合成向下的，邊界上的分布扭矩Myx變換為等效分布剪力，自由邊AB上的總剪力：。角點(diǎn)（A點(diǎn)和B點(diǎn)）還有未被低消的集中力 F

7、SA = (Myx)A，F(xiàn)SB = (Myx)B自由邊AB的邊界條件（不包括角點(diǎn)）最終可簡化為 ，或?qū)憺?，4. 自由邊BC與AB邊類似，邊界條件 ，或?qū)憺?，角點(diǎn)（B點(diǎn)和C點(diǎn)）還有未被低消的集中力 FSB = (Mxy)B，F(xiàn)SC = (Mxy)C兩自由邊的交點(diǎn)B，總的集中反力（注意方向定義） 注意：按內(nèi)力方向的規(guī)定，F(xiàn)SB沿z軸的負(fù)向?yàn)檎?，同理，F(xiàn)SO也沿z軸的負(fù)向?yàn)檎?，F(xiàn)SA和FSC則沿z軸的正向?yàn)檎?。如B點(diǎn)無集中力作用，則 B點(diǎn)有沿z軸正向的集中力F，則 討論：1. B點(diǎn)有支撐時(shí)，角點(diǎn)條件 (w)B = 0 或 (w)B = z其中z為支柱沉陷，解出w后，可由上式求支柱反力。2. 與梁

8、剛性連接的板，梁的彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度都很大時(shí)，板邊可作為夾支邊。3. 梁的彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度都很小時(shí)，板邊可作為自由邊。4. 梁的彎曲剛度大而扭轉(zhuǎn)剛度小，板邊可作為簡支邊。例一，兩邊簡支，兩邊自由的矩形薄板，邊長分別為OC = a，OA = b，試求板的內(nèi)力和角點(diǎn)反力；（1）在角點(diǎn)B處受向下的集中力F作用；（2）在角點(diǎn)B處設(shè)有支柱，且支柱有一微小沉陷d。xyABCOFabzxyABCOabz解：（1）考慮板的邊界x = 0和y = 0時(shí)要求撓度為零，可設(shè)板的撓度為 w = mxy可滿足AO和OC兩邊簡支條件容易驗(yàn)證，撓度w滿足彈性曲面微分方程 板的內(nèi)力 ，自由邊界上 ，滿足薄板的全部邊界條件角點(diǎn)B處作

9、用有沿z軸正向的集中力F，則 得到：板的撓度和內(nèi)力 ， ， ，（2）仍設(shè)撓度表達(dá)式為 w = mxy板的內(nèi)力表達(dá)式同上角點(diǎn)B處的位移邊界條件，(w)B = d，得到 板的撓度和內(nèi)力 ， xyABOCbba例二，半橢圓形薄板，邊界AB為簡支邊，ACB為夾支邊，受荷載q = q0x/a作用，試證 能滿足一切邊界條件，并求撓度及最大值。解：在簡支邊x = 0上，板的邊界條件要求 ，容易驗(yàn)證，撓度w滿足邊界條件在夾支邊ACB上，要求 (w)ACB = 0，(¶w/¶n)ACB = 0n為橢圓邊界的外法線方向，第一式恒滿足，第二式要求 因此第二式也滿足。由薄板彎曲基本方程：得到： 板的撓度 求最大撓度，需要解聯(lián)立方程求駐點(diǎn) 1.