二次函數(shù)全章分節(jié)練習(xí)知識點

1、二次函數(shù)（1）【知識要點】1形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a0)的函數(shù)，叫二次函數(shù) 2在函數(shù)y=ax2+bx+c中，a,b,c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項一、基礎(chǔ)練習(xí)1某工廠第一年的利潤為20（萬元），第三年的利潤y（萬元），與平均年增長率x之間的函數(shù)關(guān)系式是 .2在下列函數(shù)關(guān)系式中，哪些是二次函數(shù)（是二次函數(shù)的在括號內(nèi)打上“”，不是的打“x”). (l）y=-2x2 ( ) (2）y=x-x2 ( ) (3）y=2(x-1)2+3 ( ) (4）y=-3x-3 ( ) (5) s=a(8-b) ( )3說出下列二次函數(shù)的二次項系數(shù)a，一次項系數(shù)b和常數(shù)項c (1)y=x

2、2中a= ,b= ,c= ; (2)y=5x2+2x中a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ;4已知二次函數(shù)y=x2+bx-c,當(dāng)x=-1時，y=0；當(dāng)x=3時，y=0，則b= ；c= .5.函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù))問當(dāng)a,b,c滿足什么條件時： (l）它是二次函數(shù) ；(2）它是一次函數(shù) ；(3）它是正比例函數(shù) ；二、提高訓(xùn)練6.已知正方形邊長為3，若邊長增加x，那么面積增加y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是 .7.在半徑為4cm的圓面上，從中挖去一個半徑為x的同心圓面，剩下一個圓環(huán)的面積為ycm2，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 .8已知二次函數(shù)y=a

3、x2+bx+c(a0),若x=0時y=1；x=1時y=1；x=2時y=-1.求這個二次函數(shù)關(guān)系式.9已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0),若x=1時y=3；x=-1時y=4；x=-2時y=3.求這個二次函數(shù)關(guān)系式.二次函數(shù)的圖象（1）【知識要點】1.函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是y軸，圖像的頂點是(0,0)2.函數(shù)y=ax2,當(dāng)a>0時，拋物線的開口向上；當(dāng)a<0時，拋物線開口向下.3.函數(shù)y=ax2,當(dāng)a>0時，對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大；當(dāng)x=0時函數(shù)y有最小值0.一、基礎(chǔ)練習(xí)1函數(shù)y=ax2(a0)的圖象叫做 ，它

4、關(guān)于 軸對稱，它的頂點是 .2當(dāng)a>0時，y=ax2在x軸上的 (其中頂點在 軸上),它的開口 并且向上無限 .3.函數(shù)的對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 ，對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而 ，當(dāng)x= 時，函數(shù)y有最 值，是 .4.函數(shù)y=3x2與函數(shù)y=-3x2的圖象的形狀 ，但 不同. 5.拋物線y=ax2與y=2x2形狀相同，則a= .6.已知函數(shù)y=ax2當(dāng)x=1時y=3，則a= , 對稱軸是 ，頂點是 . 拋物線的開口 ，在對稱軸的左側(cè)，y隨x增大而 ，當(dāng)x= 時，函數(shù)y有最 值，是 .7.若拋物線y=ax2經(jīng)過點P ( l，-2 )，則它也經(jīng)過 （ ） A. P1(-1，-2 ) B. P2

5、(-l, 2 ) C.P3( l, 2) D.P4(2, 1)二、提高訓(xùn)練8.一個函數(shù)的圖象是一條以y軸為對稱軸，以原點為頂點的拋物線，且經(jīng)過點A（-2,8).(l）求這個函數(shù)的解析式； (2）寫出拋物線上與點A關(guān)于y軸對稱的點B的坐標(biāo)，并計算OAB的面積 9.有一橋孔形狀是一條開口向下的拋物線 (1)利用圖象，當(dāng)水面與拋物線頂點的距離為4m時，求水面的寬； (2)當(dāng)水面寬為6m時，水面與拋物線頂點的距離是多少？二次函數(shù)的圖像（2）【知識要點】函數(shù)y=a(x+m)2+k(a,m,k是常數(shù)，a0).當(dāng)a>0時，圖像開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 ，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而 ，右側(cè)y隨

6、x的增大而 ，當(dāng)x= 時，y有最 值，是 .當(dāng)a<0時，圖像開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 ，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而 ，右側(cè)y隨x的增大而 ，當(dāng)x= 時，y有最 值，是 .一、基礎(chǔ)練習(xí)1.函數(shù)y=2(x+1)2是由y=2x2向 平移 單位得到的.2.函數(shù)y=-3(x-1)2+1是由y=-3x2向 平移 單位，再向 平移 單位得到的.3.函數(shù)y=3(x-2)2的對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 ，圖像開口向 ，當(dāng)x 時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x 時，函數(shù)y有最 值，是 .4.函數(shù)y=-(x+5)2+7的對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 ，圖象開口向 ，當(dāng)x 時， y隨x 的增大而減小，當(dāng)x 時，函數(shù)y

7、有最 值，是 .5. 二次函數(shù)y=(x-1)2-2的頂點坐標(biāo)是（ ）A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2)6. 把y= -x2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n的形式是（ ） A.y= - (x-2 )2 -2 B.y= - (x-2 )2 +6 C. y = - (x+2 )2 -2 D. y= - (x+2 )2 +6二、提高訓(xùn)練7. 圖象的頂點為(-2，-2 )，且經(jīng)過原點的二次函數(shù)的關(guān)系式是（ ） A.y=(x+2 )2 -2 B.y=(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2 -28. 經(jīng)過配方，二

8、次函數(shù)y=-3x2+6x-4的圖象， 它的對稱軸為 ；頂點坐標(biāo) ，當(dāng)x 時， y隨x的增大而減小，當(dāng)x 時，函數(shù)y有最 值，是 .二次函數(shù)的圖像（3）【知識要點】函數(shù)y=ax2+bx+c (a，b，c是常數(shù)a0).當(dāng)a>0時，函數(shù)y有最小值，是 . 當(dāng)a< 0時，函數(shù)y有最大值，是 .一、基礎(chǔ)練習(xí)1. 函數(shù)y=2x2-8x+1，當(dāng)x= 時，函數(shù)有最 值，是 .2. 函數(shù)，當(dāng)x= 時，函數(shù)有最 值，是 .3. 函數(shù)y=x2-3x-4的圖象開口 ，對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 ，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而 ，當(dāng)x 時，函數(shù)y有最 值，是 .4. 把二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向上平

9、移3個單位，所得到圖象的函數(shù)解析式是（ ）A. B. C. D. 5. 拋物線y=2x2-5x+3與坐標(biāo)軸的交點共有（ ）A . 1個B. 2個 C. 3個 D. 4個6. 二次函數(shù)y=(x-3)(x+2)的圖象的對稱軸是( )A.x=3 B.x=2 C.x= D.x=7. 二次函數(shù)y=-2x2+4x-9的最大值是 ( )A.7 B.7 C.9 D.9二、提高訓(xùn)練8. 己知直角三角形的兩直角邊的和為2，求斜邊長的最小值，以及當(dāng)斜邊長達(dá)到最小值時的兩條直角邊的長9. 如圖，用長20m的籬笆，一面靠墻圍成一個長方形的園子，怎么圍才能使園子的面積最大？最大面積是多少？二次函數(shù)的性質(zhì)【知識要點】 1若

10、已知拋物線的頂點為（0, 0)，則二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為y=ax2(a0 ). 2若已知拋物線的頂點在y軸上，則二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為y=ax2+k(a0 ).3若已知拋物線的頂點在x軸上，則二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為y=a(x+m)2 (a0 ).4若已知拋物線的頂點坐標(biāo)為（m , k ）則二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為y = a ( x+m）2+k （a0 ) .一、基礎(chǔ)練習(xí)1. 已知函數(shù)y=(m-1)x2+2x+m,當(dāng)m= 時，圖象是一條直線；當(dāng)m 時，圖象是拋物線；當(dāng)m 時，拋物線過坐標(biāo)原點2. 函數(shù)y=2x2的圖象向 平移5個單位，得到y(tǒng)=2（x+5）2的圖象，再向 平移 個單位得到y(tǒng)=2x2+

11、20x+56的圖象3. 二次函數(shù)y=2x2-4x-3，當(dāng)x= 時，有最 值，是 .4. 已知拋物線y=x2-kx-8經(jīng)過點P (2, -8), 則k= ，這條拋物線的頂點坐標(biāo)是 .5. 用配方法把二次函數(shù)y=-2x2+8x-5化成y=a(x+m)2+n的形式，即y= ,它的對稱軸是 ，頂點坐標(biāo)是 .6. 一個二次函數(shù)，當(dāng)x=0時，y=-5；當(dāng)x=1時，y=4；當(dāng)x=2時，y=5，則這個二次函數(shù)的關(guān)系式是（ ）A.y=2x2-x-5 B.y=2x2+x+5 C. y=2x2-x+5 D. y=2x2+x-57. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0）的頂點坐標(biāo)為M (2，4 )，且其圖象經(jīng)過

12、點A (0, 0 )，則a, b , c的值是（ ）A .a=l, b=4, c=0 B.a=1,b=-4,c=0 C.a=-1,b=-1,c=0 D.a=1,b=-4,c=88. 已知二次函數(shù)y=ax2-4x-13a有最小值-17，則a= .9. 已知拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為3, l；與y軸交點的縱坐標(biāo)為6，則二次函數(shù)的關(guān)系式是 .10. 拋物線y=-x2+4x-1的頂點坐標(biāo)是 ，在對稱軸x=2的 側(cè)y隨x的增大而減小11. 二次函數(shù)y =ax2+bx+c的圖象的形狀 ( ) A只與a有關(guān) B. 只與b有關(guān) C. 只與a, b有關(guān) D與 a , b，c都有關(guān)12. 二次函數(shù)y=ax2+

13、bx+c的圖象的對稱軸位置 ( ) A只與a有關(guān) B. 只與b有關(guān) C. 只與a, b有關(guān) D與 a , b，c都有關(guān)二、提高訓(xùn)練13. 己知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的頂點坐標(biāo)為（1，3 )，求b，c的值14. 已知二次函數(shù)y =ax2 +bx1的圖象經(jīng)過點 (2，1)，且這個函數(shù)有最小值3 ，求這個函數(shù)的關(guān)系式15. 已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為（l , 2 ) ，且圖象過點（ l ，3 ) . (1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系式； (2)寫出它的開口方向、對稱軸；二次函數(shù)的應(yīng)用（1）【知識要點】 運(yùn)用二次函數(shù)求實際問題中的最大值或最小值，首先用應(yīng)當(dāng)求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍，

14、求得的最大值或最小值對用的字變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi).一、基礎(chǔ)練習(xí)1. 二次函數(shù)y=x2-3x-4的頂點坐標(biāo)是 , 對稱軸是直線 ，與x軸的交點是 ，當(dāng)x= 時，y有最 值，是 .2. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則a的符號是 ，b的符號是 ，c的符號是 .當(dāng)x取 時， y0，當(dāng)x 時，y=0, 當(dāng)x取 時，y < 0 . 3. 若二次函數(shù)y=mx2-3x+2m-m2的圖象經(jīng)過原點，則m的值是（ ）A .1 B. 0 C. 2 D. 0或24. 下列各圖中有可能是函數(shù)y=ax2+c,的圖象是（ ） 5. 拋物線y=ax2+bx，當(dāng)a>0,b<0時，它的

15、圖象象經(jīng)過第 象限.6. 拋物線y=2x2+4x與x軸的交點坐標(biāo)分別是A( ),B( ).7. 已知二次函數(shù)y=-x2+mx+2的最大值為，則m= 8. 正方形邊長為 2 ，若邊長增加x，那么面積增加y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式 .9. 二次函數(shù)y=4x2-x+1的圖象與x軸的交點個數(shù)是（ ）A. l個 B.2個 C.0個 D.無法確定10. 已知二次函數(shù)y=x2-4x-5，若y>0,則（ ）A . x>5 B.-lx5 C. x>5或x-1 D. x>1或2x<-5二、提高訓(xùn)練11. 心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（單位：分）之間滿足函數(shù)

16、關(guān)系y=-0.1x2+2.6x +43（0x30）.y值越大，表示接受能力越強(qiáng) (l) x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？ (2)某同學(xué)思考10分鐘后提出概念，他的接受能力是多少？ (3)學(xué)生思考多少時間后再提出概念，其接受能力最強(qiáng)？12. 如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同正常水位時，大孔水面寬度米，頂點距水面米（即米），小孔頂點距水面米（即米）當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時，借助圖中的直角坐標(biāo)系，求此時大孔的水面寬EMFNCBDOA正常水位度二次函數(shù)的應(yīng)用（2）【知識要點】 利用二次函數(shù)來解實際問題，體會實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)

17、模型的過程，一、基礎(chǔ)練習(xí)1. 有一座拋物線型拱橋（如圖），正常水位時橋下河面寬20m，河面距拱頂4m. (l)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，求出拋物線解析式；(2)為了保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18m求水面在正常水位基礎(chǔ)上漲多少m時，就會影響過往船只？2. 一高爾夫球的飛行路線為如圖拋物線(l)請用解析法表示球飛行過程中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)高爾夫球飛行的最大距離為多少m？最大高度為多少m? (3)當(dāng)高爾夫球的高度到達(dá)5m 時，它飛行的水平距離為多少m ? 二、提高訓(xùn)練3. 如圖，這是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，橫斷面的地平線為x軸，橫斷

18、面的對稱軸為y軸橋拱的DGD '部分為一段拋物線，頂點G的高度為8m , AD和 A 'D '是兩根高為5.5m 的支柱OA和OA '為兩個方向的汽車通行區(qū)，寬都為15m，線段CD和C'D/為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度為14. (1)求橋拱DGD '所在拋物線的解析式及線段CC/的長； (2)BE和B 'E '為支撐斜坡的立柱，其高都為4m，相應(yīng)的AB和A 'B '為兩個方向的行人及非機(jī)動車通行區(qū)試求AB和 A 'B '的寬； (3)按規(guī)定，汽車通過該橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4

19、m，今有一大型運(yùn)貨汽車，裝載某大型設(shè)備后，其寬為4m ，車載大型設(shè)備的頂部與地面的距離均為7m它能否從OA（或O 'A/ '）區(qū)域安全通過？請說明理由二次函數(shù)的應(yīng)用（3）【知識要點】 二次函數(shù)是刻劃現(xiàn)實生活中某些情境的數(shù)學(xué)模型.一、基礎(chǔ)練習(xí)1. 某瓜果基地市場部為指導(dǎo)該基地某種蔬菜的生產(chǎn)和銷售，在對歷年市場行情和生產(chǎn)的情況進(jìn)行調(diào)查的基礎(chǔ)上對今年這種蔬菜上市后的市場售價和生產(chǎn)成本進(jìn)行了預(yù)測，得到了以下圖象：請你根據(jù)圖象提供的信息說明： (1)在3月份出售這種蔬菜，每千克的收益是多少？（收益=售價-成本） (2)哪個月出售這種蔬菜，每克的收益最大？請說明理由2. 某高科技發(fā)展公司投

20、資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金1500 萬元進(jìn)行批量生產(chǎn)已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為40元在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件，銷瞥單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件設(shè)銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利（年獲利=年銷售額一生產(chǎn)成本一投資）為z（萬元） (l)試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍）; (2)試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍）; (3)公司計劃：在第一年按年獲利最大確定的銷售單價進(jìn)行銷售，第二年年獲利不低于1130萬元請你借助函數(shù)的大致圖象說明，第二年的銷售單價x（元）應(yīng)

21、確定在什么范圍？3.已知二次函數(shù)y=-x2+4x-3,其圖象與y軸交于點B,與x軸交于A, C 兩點. 求ABC的周長和面積.4.如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A(x1,0),B(x2,0) , 且x1+x2=4, .(1)求拋物線的代數(shù)表達(dá)式; (2)設(shè)拋物線與y軸交于C點,求直線BC的表達(dá)式; (3)求ABC的面積.1.解：令x=0,得y=-3,故B點坐標(biāo)為(0, -3). 解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3. 故A、C兩點的坐標(biāo)為(1,0),(3,0).所以AC=3-1=2,AB=,BC=, OB=-3=3. CABC=AB+BC+AC=. SA

22、BC=AC·OB=×2×3=3.2.解.(1)解方程組, 得x1=1,x2=3. 故 ,解這個方程組,得b=4,c=-3. 所以,該拋物線的代數(shù)表達(dá)式為y=-x2+4x-3. (2)設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+m. 由(1)得,當(dāng)x=0時,y=-3,故C點坐標(biāo)為(0,-3). 所以, 解得 直線BC的代數(shù)表達(dá)式為y=x-3 (3)由于AB=3-1=2, OC=-3=3.二次函數(shù)y=ax2bxc與ax2bxc =0（a0）的關(guān)系1、 一元二次方程ax2bxc =0（a0）的根是二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）與x軸交點的橫坐標(biāo)，反之y=ax2bxc（a0）與x軸交

23、點的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2bxc =0（a0）的根；52、 一元二次方程ax2bxc =0（a0）根情況的判別即二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）與x軸交點個數(shù)情況：判別式直接看方程平移例1：拋物線y=ax2bxc圖像如下， 則 ax2bxc =0的根有 （ ）個ax2bxc+30的根有（ ）個ax2bxc40的根有（ ）個 x例2：若關(guān)于x的不等式組 無解，則二次函數(shù)y=（a-2）x2-x與X x 軸交點有（ ）個；例3：一元二次方程與X軸的交點個數(shù)為（ ）個；例4：二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）的圖像如圖所示，根據(jù)圖像解答下列問題：（1） 寫出方程ax2bxc =0的兩個根；（2） 寫

24、出不等式ax2bxc >0的解集；（3） 寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范值；（4） 若方程ax2bxc =k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取什范圍。 32213、 韋達(dá)定理在二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）中的應(yīng)用（） 已知其中一個交點，求另一個交點：例5：若拋物線與X軸的一個交點是（2，0）則另一個交點是（ ）； 求兩交點A,B線段的長度例6：若拋物線與X軸的交點為A，B，且AB的長度為10，求a 利用韋達(dá)定理求面積：例7：拋物線與X軸的一個交點是A(3，0），另一個交點是B，且與y軸交于點C， （1）求m的值；（2）求點B的坐標(biāo)；（3）該二次函數(shù)圖象上有一點D（x，y）（其中

25、x>0，y>0），使，求點D的坐標(biāo)。例8：已知如圖，二次函數(shù)與x軸于A,B兩點，若OA:OB=3:1，求mABOxy例9：已知二次函數(shù)的圖像交x軸于A(，0)、B（，0）兩點，交y軸正半軸于點C，且。(1)求此二次函數(shù)的解析式； (2)是否存在過點D(0，)的直線與拋物線交于點M、N,與x軸交于E點，使得M、N關(guān)于點E對稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請說明理由。 4、 拋物線ax2bxc =0與x軸交點及對稱軸之間的關(guān)系；31設(shè)拋物線與x軸的交點為A(，0)和B（，0）則對稱軸為直線，拋物線任縱坐標(biāo)相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱，即若有，則則對稱軸為直線。例10：已知二次函數(shù)

26、的部分圖像如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的解是 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)： 當(dāng)時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間的距離. 當(dāng)時，圖象與軸只有一個交點； 當(dāng)時，圖象與軸沒有交點. 當(dāng)時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當(dāng)時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；例：二次函

27、數(shù)232與x軸有無交點?若有，請說出交點坐標(biāo)；若沒有，請說明理由: 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標(biāo)，或已知與軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo).總結(jié)： 一元二次方程的實數(shù)根就是對應(yīng)的二次函數(shù)與軸交點的 .二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系如下：（一元二次方程的實數(shù)根記為）二次函數(shù)與一元二次方程 與軸有 個交點 0，方程有 的實數(shù)根是 .與軸有 個交點這個交點是 點 0，方程有 的實數(shù)根是 .與軸有 個交點 0，方程 實數(shù)根.二次函數(shù)與軸交點坐標(biāo)是 .經(jīng)典例題講

28、解【例1】已知：關(guān)于的方程求證：取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；若二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱求二次函數(shù)的解析式；已知一次函數(shù)，證明：在實數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立；在條件下，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且在實數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，均成立，求二次函數(shù)的解析式【思路分析】本題是一道典型的從方程轉(zhuǎn)函數(shù)的問題，這是比較常見的關(guān)于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和M0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二問的第一小問考關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問加入了

29、一個一次函數(shù)，證明因變量的大小關(guān)系，直接相減即可。事實上這個一次函數(shù)恰好是拋物線的一條切線，只有一個公共點（1，0）。根據(jù)這個信息，第三問的函數(shù)如果要取不等式等號，也必須過該點。于是通過代點，將用只含a的表達(dá)式表示出來,再利用,構(gòu)建兩個不等式,最終分析出a為何值時不等式取等號,于是可以得出結(jié)果.【解析】解：（1）分兩種情況：當(dāng)時，原方程化為，解得， （不要遺漏）當(dāng)，原方程有實數(shù)根. 當(dāng)時，原方程為關(guān)于的一元二次方程， . 原方程有兩個實數(shù)根. （如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會是完全平方式，大家注意就是了） 綜

30、上所述，取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根. （2）關(guān)于的二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，.（關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)一次項系數(shù)一定為0）.拋物線的解析式為. ，（判斷大小直接做差）（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）. （3）由知，當(dāng)時，.、的圖象都經(jīng)過. （很重要，要對那個等號有敏銳的感覺）對于的同一個值，的圖象必經(jīng)過. 又經(jīng)過，. （巧妙的將表達(dá)式化成兩點式，避免繁瑣計算）設(shè).對于的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立，.又根據(jù)、的圖象可得 ，.（a>0時,頂點縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值）. .而.只有，解得.拋物線的解析式為. 【例2】關(guān)于的一元二次方程.（1）當(dāng)為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）

31、點是拋物線上的點，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，若點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交于點的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由.【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項系數(shù)不為零這一條件。第二問給點求解析式，比較簡單。值得關(guān)注的是第三問，要注意如果有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個交點，則需要設(shè)直線y=kx+b以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因為y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個交點,所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.【解析】：（1）由題意得 解得 解得 當(dāng)

32、且時，方程有兩個不相等的實數(shù)根. （2）由題意得 解得（舍） (始終牢記二次項系數(shù)不為0) （3）拋物線的對稱軸是 由題意得 (關(guān)于對稱軸對稱的點的性質(zhì)要掌握) 與拋物線有且只有一個交點 (這種情況考試中容易遺漏) 另設(shè)過點的直線（） 把代入，得， 整理得有且只有一個交點， 解得 綜上，與拋物線有且只有一個交點的直線的解析式有，【例3】已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點（1）求的值；（2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0是否有實數(shù)根，若有，求出它的實數(shù)根；若沒有，請說明理由；（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與軸無交點，求的最小值【例4】已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根

33、，為正整數(shù).（1）求的值；（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于的二次函數(shù)的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線與此圖象有兩個公共點時，的取值范圍. 【思路分析】去年中考原題,相信有些同學(xué)已經(jīng)做過了.第一問自不必說，判別式大于0加上k為正整數(shù)的條件求k很簡單.第二問要分情況討論當(dāng)k取何值時方程有整數(shù)根,一個個代進(jìn)去看就是了,平移倒是不難,向下平移就是整個表達(dá)式減去8.但是注意第三問,函數(shù)關(guān)于對稱軸的翻折,旋轉(zhuǎn)問題也是比較容易在中考中出現(xiàn)

34、的問題,一定要熟練掌握關(guān)于對稱軸翻折之后函數(shù)哪些地方發(fā)生了變化,哪些地方?jīng)]有變.然后利用畫圖解決問題.解：（1）由題意得，AOxy864224B為正整數(shù)，（2）當(dāng)時，方程有一個根為零；當(dāng)時，方程無整數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個非零的整數(shù)根綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意當(dāng)時，二次函數(shù)為，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，則，依題意翻折后的圖象如圖所示當(dāng)直線經(jīng)過點時，可得；當(dāng)直線經(jīng)過點時，可得由圖象可知，符合題意的的取值范圍為單元過關(guān)測試一、選擇題1. 二次函數(shù)y=(x-1)2-2的頂點坐標(biāo)是（ ）A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2

35、) D.(1,2)2. 二次函數(shù)y=(x-3)(x+2)的圖象的對稱軸是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=- D.x=3. 把y= -x2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n的形式是（ ） A.y= - (x-2 )2 -2 B.y= - (x-2 )2 +6 C. y = - (x+2 )2 -2 D. y= - (x+2 )2 +64把二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位，所得到圖象的函數(shù)解析式是 （ ） A. B. C. D. 5 拋物線y=2x2-5x+3與坐標(biāo)軸的交點共有（ ）A . 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個6. 圖象的頂點為(-2，-2

36、 )，且經(jīng)過原點的二次函數(shù)的關(guān)系式是（ ） A.y=(x+2 )2 -2 B.y=(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2 -27二次函數(shù)y =ax2+bx+c的圖象的形狀 ( ) A只與a有關(guān) B. 只與b有關(guān) C. 只與a, b有關(guān) D與 a , b，c都有關(guān)8 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸位置 ( ) A只與a有關(guān) B. 只與b有關(guān) C. 只與a, b有關(guān) D與 a , b，c都有關(guān)9. 若二次函數(shù)y=mx2-3x+2m-m2的圖象經(jīng)過原點，則m的值是（ ）A .1 B. 0 C. 2 D. 0或210、二次函數(shù)y= a (x

37、+m)2-m (a0) 無論m為什么實數(shù)，圖象的頂點必在 ( )A.直線y=-x上 B. 直線y=x上 C.y軸上 D.x軸上11、拋物線y=x2+x+2上三點（-2，a）、(-1，b)，（3，c），則a、 b、c的大小關(guān)系是（ ）A、abc B bac C cab D無法比較大小12、已知二次函數(shù)y=x2-4x-5，若y>0, 則（ ）A . x>5 B.-lx5 C. x>5或x-1 D. x>1或x<-513、下列各圖中有可能是函數(shù)y=ax2+c, 的圖象是（ ） 二、填空題14.拋物線y=-2(x+1)2+1的頂點坐標(biāo)是 .15.將y=2x2的函數(shù)圖象向左

38、平移3個單位，再向上平移2個單位，得到二次函數(shù)解析式為 .16.拋物線y=(1-k)x2-2x-1與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是 .17.已知二次函數(shù)y=x2+kx-12的圖象向右平移4個單位后，經(jīng)過原點，則k的值是 18.寫出一個二次函數(shù)的解析式，使它的頂點恰好在直線y=x+2上，且開口向下，則這個二次函數(shù)解析式可寫為 .19.二次函數(shù) y=ax2+c(a,c為已知常數(shù)），當(dāng)x取x1,x2時（x1x2），函數(shù)值相等，則當(dāng)x取x1+x2時，函數(shù)值為 .三、解答題20.根據(jù)下列不同條件，求二次函數(shù)的解析式： (l）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A (-1, l)，B（l, 7), C(2,4）三點； (

39、2）已知當(dāng)x=2時，y有最小值3,且經(jīng)過點(l,5 ); (3）圖象經(jīng)過（-3,0),(l,0), (-l，4)三點21. 已知二次函數(shù)y=-2x2，怎樣平移這個函數(shù)圖象，才能使它經(jīng)過（0,0）和（1，6 ）兩點？22. 某廣告公司設(shè)計一幅周長為12m的矩形廣告牌，廣告設(shè)計費(fèi)為每平方米1000元，設(shè)矩形邊長為x（m) ，面積為S(m2）. (l）求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍； (2）請你設(shè)計一個方案，使獲得的設(shè)計費(fèi)最多，并求出這個費(fèi)用23.某跳水運(yùn)動員進(jìn)行IOm跳臺跳水的訓(xùn)練時，身體（看成一點）在空中的運(yùn)動路線是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為己

40、知條件）在跳某個規(guī)定動作時，正確情況下，該運(yùn)動員在空中的最高處距水面m，入水處與池邊的距離為4m, 同時，運(yùn)動員在距水面高度為5m以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤 (l)求這條拋物線的解析式； (2)在某次試跳中，測得運(yùn)動員在空中的運(yùn)動路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為，問：此次跳水會不會失誤？通過計算說明理由二次函數(shù)的應(yīng)用【例題經(jīng)典】用二次函數(shù)解決最值問題例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積 【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，

41、把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力同時，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間x（元）152030y（件）252010例2 某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表： 若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù) （1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？ 【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b則 解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40 （2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元

42、 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元 【點評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程【考點精練】1二次函數(shù)y=x2+x-1，當(dāng)x=_時，y有最_值，這個值是_2在距離地面2m高的某處把一物體以初速度V0（m/s）豎直向上拋出，在不計空氣阻力的情況下，其上升高度s（m）與拋出時間t（s）滿足：S=V0t-gt

43、2（其中g(shù)是常數(shù)，通常取10m/s2），若V0=10m/s，則該物體在運(yùn)動過程中最高點距離地面_m3影響剎車距離的最主要因素是汽車行駛的速度及路面的摩擦系數(shù)有研究表明，晴天在某段公路上行駛上，速度為V（km/h）的汽車的剎車距離S（m）可由公式S=V2確定；雨天行駛時，這一公式為S=V2如果車行駛的速度是60km/h，那么在雨天行駛和晴天行駛相比，剎車距離相差_米4如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10在EF上取一點M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN矩形ABCD令MN=x，當(dāng)x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？5在2006年

44、青島嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕，某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃銷售，對往年的市場銷售情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：銷售價x（元/千克） 25 24 23 22銷售量y（千克）2000250030003500 （1）在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出各組有序數(shù)對（x，y）所對應(yīng)的點連接各點并觀察所得的圖形，判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若櫻桃進(jìn)價為13元/千克，試求銷售利潤P（元）與銷售價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x取何值時，P的值最大？6市“健益”超市購進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量y（千

45、克）與銷售單價x（元）（x30）存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式 （1）試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式； （2）設(shè)“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（3）根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍（直接寫出答案）7施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米，現(xiàn)在O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示） （1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標(biāo)； （2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；（3）施工隊計劃在

46、隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使A、D點在拋物線上，B、C點在地面OM上為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下8一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個以AD為直徑的半圓O，下部是一個矩形ABCD （1）當(dāng)AD=4米時，求隧道截面上部半圓O的面積； （2）已知矩形ABCD相鄰兩邊之和為8米，半圓O的半徑為r米 求隧道截面的面積S（米）關(guān)于半徑r（米）的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出r的取值范圍）； 若2米CD3米，利用函數(shù)圖象求隧道截面的面積S的最大值（取3.14，結(jié)果精確到0.1米）答案:例題經(jīng)典 例1：解：設(shè)矩形PNDM的邊DN

47、=x，NP=y，則矩形PNDM的面積S=xy（2x4）易知CN=4-x，EM=4-y且有（作輔助線構(gòu)造相似三角形），即=，y=-x+5，S=xy=-x2+5x（2x4），此二次函數(shù)的圖象開口向下,對稱軸為x=5，當(dāng)x5時，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，對2x4來說，當(dāng)x=4時，S有最大值S最大=-×42+5×4=12考點精練 1-1，小，- 27 3364解：矩形MFGN矩形ABCD，AB=2AD，MN=x，MF=2x，EM=EF-MF=10-2x，S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2（x-）2+，當(dāng)x=時，S有最大值為5解：（1）正確描點、連線由圖象可知，y是x的一

48、次函數(shù)，設(shè)y=kx+b，點（25，2000），（24，2500）在圖象上， ，y=-500x+14500（2）P=（x-13）·y=（x-13）·（-500x+14500）=-500x2+21000x-188500=-500（x-21）2+32000，P與x的函數(shù)關(guān)系式為P=-500x2+21000x-188500，當(dāng)銷售價為21元/千克時，能獲得最大利潤6解：（1）設(shè)y=kx+b由圖象可知，y=-20x+1000（30x50） （2）P=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x2+1400x-20000a=-20<0，P有最大值當(dāng)x=-=35時，P最大值=4500即當(dāng)銷售單價為35元/千克時，每天可獲得最大利潤4500元（3）31x34或36x397解：（1）M（12，0），P（6，6） （2）設(shè)這條拋物線的函數(shù)解析式為：y=a（x-6）2+6，拋物線過O（0，0），a（0-6）2+6=0，解得a=，這條拋物線的函數(shù)解析式為y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x （3）設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，-m2+2m），OB=m，AB=DC=-m2+2m，根據(jù)拋