外接球?qū)ｍ椨柧殠г敿毚鸢笍土曔M程

1、接 球 專 項 訓 練 （帶 詳細答案）精品資料外接球?qū)ｍ椨柧殔⒖即鸢敢?選擇題1、已知球。的半徑為2,圓M和圓N是球的互相垂直的兩個截面，圓 M和圓N的面積分別為2 和，則|MN |（）A. 1 B . 73 C . 2 D .甚d； 1 R2d； 2 R2.2. 2di d28 3 5,故【答案】D【解析】因由球心距與截面圓的半徑之間的關系得MNJd；d22 而,應選 D。僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝7考點：球的幾何性質(zhì)及運算。2、在三棱錐 P ABC 中，AB BC,AB BC V2, PA錐的外接球的表面積為（）A. 3-B . 2 C . 6 D . v62【答案】C

2、PC 2 , AC中點為M , cos PMB 坦,則此三棱3【解析】13如圖，易知BM -AC 1, PM 弋2 1 M3,由余弦定理可得 PB 小 3 2 43 N2 ,因213PB2 AB2 PA2，故 PB BA;同理 PB2CB2 PC2，故PB BC ,所以P, A, B, C是棱長為 亞的正方.32體的四個頂點，其外接球就是正方體的外接球，半徑為 R 2 ,所以外接球的面積為26 一，S 4 6 ,應選 C。4考點：球與幾何體的外接和表面積的計算公式。3、球。的球面上有四點S,AB,C ,其中O,A,B,C四點共面，ABC是邊長為2的正三角形，面 SAB 面ABC ,則棱錐S A

3、BC的體積的最大值為（）A. -3 B ,屈 C , 23 D , 4【答案】A【解析】設球心和 ABC的外心為O ,延長CO交AB于點P ,則由球的對稱性可知 PD AB ,繼而由面SAB 面ABC可得PDABC所在的平面，所以PD是三棱錐的高；再由 O,AB,C四點共面可知。是ABC的中心，故OP Y3,R 空，當三棱錐的體積最大時，其高為 PD J(&3)2 ()2 1,故三 33,3313 32 4, 3棱錐的體積的最大值為- 21 ,Ao343考點：幾何體的外接球等有關知識的運用?！疽族e點晴】球與幾何體的外接和內(nèi)切問題一直是高中數(shù)學中題的重要題型，也高考和各級各類考試的難點

4、內(nèi)容。本題將三棱錐與球外接整合在一起考查三棱錐的體積的最大值無疑是加大了試題的難度。解答本題時 要充分利用題設中提供的有關信息，先確定球心 。的位置是三角形 ABC的外心，再求外接球的半徑R 通并確定當PD為三棱錐的高時，該三棱錐的體積最大并算出其最大值為 34、已知在三棱錐 P ABC中，PA 面ABC, PC AB ,若三棱錐P ABC的外接球的半徑是 3,S S ABC S ABP S ACP ,則S的最大值是()A. 36 B . 28 C . 26 D . 18【答案】D【解析】因為PA 面ABC ,所以PA AB , PA AC ,又因為PC AB,所以AB 平面PAC ,所以AB

5、 AC ,所以有AB2 AC2 AP2 (2 3)2 36 ,則由基本不等式可得1 1222. 一 .S S ABC Sabp Sacp -(AB AC AB AP AP AC) -(AB AC AP ) 18,當且僅當2 2AB AC AP時等號成立，所以S的最大值是36,故選D.考點：1.線面垂直的判定與性質(zhì)；2.長方體外接球的性質(zhì)；3.基本不等式.【名師點睛】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、長方體外接球的性質(zhì)、基本不等式，中檔題；立體幾何的最值問題通常有三種思考方向：(1)根據(jù)幾何體的結構特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；(2)將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直

6、觀求解；(3)建立函數(shù)，通過求函數(shù)的最值或利用基本不等式來求解.5、如圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面積為()A. 8B .16C .32【答案】C【解析】幾何體為一個四棱錐，外接球球心為底面正方形（邊長為D . 644）中心，所以半徑為 22 ,表面積為4（20）232 ,選 c考點：三視圖，外接球【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程 （

7、組）求解.【解析】由三視圖可知，這個幾何體是三棱錐2193.如圖所示，O為球心,F為等邊三角形BCD的外心，由圖可.2_2_2知 R2 OF2 CF232192-31219故外接球面積為3CB6、如圖是某幾何體的三視圖，正視圖是等邊三角形，側視圖和俯視圖為直角三角形，則該幾何體考點：三視圖.【思路點晴】設幾何體底面外接圓半徑為x,常見的圖形有正三角形，直角三角形，矩形，它們的外心可用其幾何性質(zhì)求；而其它不規(guī)則圖形的外心，可利用正弦定理來求.若長方體長寬高分別為a,b,c則其體對角線長為022b2C2"長方體的外接球球心是其體對角線中點.找?guī)缀误w外接球球心的一般方法：過幾何體各個面的外

8、心分別做這個面的垂線，交點即為球心.7、如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球半徑為()A. 2 夜 B , 72C . E D . 2邪3【答案】C【解析】從三視圖可以看出這是一個正方體上的一個四面體,如圖,其中正 MNP的邊長為41 2 ,其外接圓的4 2半彳至ri,同樣正 MiNiPi的外接圓的半徑是2 2-f=r-,由球的對稱性可知球心O必在正萬體的對角線 3,一8、.34 3AC上，且AOi hi ,CO2 h2 ，該球經(jīng)過六個點 M ,N,P,Mi,Ni,Pi,設球心O到平面 99MiNiP的距離為di；球心O到平面 MNP的距離為d2,

9、而兩個平面MNP和MNiP之間的距離為d4 <3(%h2)g3did2,則由球心距、垂面圓半徑之間的關系可得R2di2ri2,R2d；r22,3444444 3所以 d；di2ri2r228,即 d2 d；8,又1 d2，將其代入 d； di28可彳# d?di2d3,由3此可得d2513,所以R2d2 r2225833ii,所以外接球的半徑R 歷，應選C.3333考點：三視圖的識讀和理角I及幾何體體積的計算.【易錯點晴】本題以網(wǎng)格紙上的幾何圖形為背景，提供了一個三棱錐的幾何體的三視圖 ，要求求其外接球的半徑，是一道較為困難的難題.難就難在無法搞?f其幾何形狀，只知道是一個三棱錐（四面體

10、）是沒有任何用的通過仔細觀察不難看出這是一個正方體上的一個四面體，如圖，正 MNP的邊長為4J2 ,其外接圓的半徑ri4.2,同樣正 MiNiPi的外接圓的半徑是，由球的對稱性可知球心O必在對角線上，且經(jīng)過六個點M,N,P,Mi,Ni,R,設球心O到平面 MiNiPi的距離為di;球心O到平面 MNP的距離為d2,而兩個平面MNP和MiNiP之間的距離為d 473 （hh2）4.33did2,則由球心距垂面圓半徑之間的關系可得R2,222, 222, 2diri , R d2r2 ,所以 d2 di22ri28,即 d2di2d24. 3空士,將其代入3d22di28可得d2 di2V3 ,由

11、此可得d2且3,所以R2d125 83 333311,所以外接球的半徑，ii，其中計算hi, h2時可用等積法進行8、一直三棱柱的每條棱長都是3,且每個頂點都在球。的表面上，則球。的半徑為【答案】A【解析】球°的半徑滿足R2.6.7(2)22i2考點：外接球【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、 線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組） 角I.精品資料9、若某圓柱體的上部挖掉一個半球，下部

12、挖掉一個圓錐后所得的幾何體的三視圖中的正視圖和側視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是A. 24n B . 24n+8加支C. 24n+4/nD. 32n10、已知三棱錐ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB 2,SA SB SC 2,則三棱錐的外答案：C僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝#接球的球心到平面ABC的距離是()(B) 1(C)用,3.3(D) 2【答案】A【解析】因為三棱錐S ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SA SB SC 2,S在面ABC內(nèi)的射影為AB中點H , SH平面ABC , SH上任意一點到A，B，C的距離相等.SH 6 , CH 1 ,在面

13、SHC內(nèi)作SC的垂直平分線MO ,則。為S ABC的外接球球心.MSO 210H 技,SC 2,SM 1 , OSM 30 ,33 ,即為0到平面ABC的距離，故選a.考點：球內(nèi)接多面體；點到面的距離的計算.【名師點睛】(1) 一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關系.(2)若球面上四點P, A, B, C中PA PB, PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體 確定直徑解決外接問題.(3) 一般三棱錐的外接球的球心可通過其中一個面的外心作此平面的垂線，則球心必在此垂線上.11、已知三棱錐S ABC的底面是以AB為斜

14、邊的等腰直角三角形，AB 2,SA SB SC 2,則三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離是()(A) f(B) 1(C)囪)當12、某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐外接球的表面積是(精品資料【答案】【解析】B 34 C 胃 D "后B幾何體為一個四棱錐，其頂點為長方體四個頂點，長方體的長寬高為4,3,3 ,因此四棱錐外接球直徑為長方體對角線，即 2R V32+32+42 ，表面積是4 R2 34 .選B.考點：三視圖【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素

15、間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求角I.13、已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球SC=2,則此棱錐的體積為O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且【答案】A【解析】連接OA,OB,OC,則由已知得OA OB OCABBC AC 1 ,可知三棱錐O ABC是棱長為1的正四面體,、,6其高為,則三棱錐3S ABC的高為2,63,所以三棱錐SABC的體積為考點：三棱錐外接球.僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝1114、半徑為1的三個球A, B,C平放在平面 上,且兩兩相切，其上放置一半

16、徑為2的球D ,由四個球心A, B,C, D構成一個新四面體，則該四面體外接球。的表面積為（）A.生232439218 6923【答案】【解析】A由已知條件可知，該四面體是底面邊長為2的等邊三角形，且側棱長為3 .該四面體外接球半徑計算公式為R2 h2xh-,其中x為底面外接圓半徑, 2hh為高.本題中x 2®,h叵,故4 23R 一3一3692 39 69 ,S 4 R46281 6944 23 2324323考點：球的內(nèi)接幾何體.15、在正三棱錐S ABC中，M是SC的中點，且AM SB,底面邊長AB 2J2 ,則正三棱錐S ABC的外接球的表面積為（）A. 6B. 12 C.

17、32D. 36【答案】【解析】根據(jù)三棱錐為正三棱錐，可證明出AC±SB,結合SB±AM得到SB，平面SAC因此可得SA SBSC三條側棱兩兩互相垂直.最后利用公式求出外接圓的直徑，結合球的表面積公式，可得正三棱錐S-ABC的外接球的表面積.取 AC中點，連接 BN SN N為 AC 中點，SA=SC . . AC，SN, 同理 ACL BN V SNA BN=N : AC，平面 SBN. SB 平面 SBN ：ACL SB, v SB± AM且 ACA AM=ASB，平面 SAO SB! SA 且 SB! AC.三棱錐S-ABC是正三棱錐，：SA SR SC三條側

18、棱兩兩互相垂直.底面邊長AB 2/2,.側棱SA=2,;正三棱錐 S-ABC的外接球的直徑為：2R 2J3, R J3 ,:正三棱錐S-ABC的外接球的表面積是 S 4 R2 12 ，故選：B.考點：空間線面垂直的判定與性質(zhì)；球內(nèi)接多面體16、已知三棱錐P ABC,在底面 ABC中，AB 1 A 60：,BC V3, PA面ABC,PA 2 J3,則此三棱錐的外接球的表面積為（）A. 16 B . 4m C .7 D . 16【答案】D【解析】底面三角形內(nèi)，根據(jù)正弦定理，可得 AC 2, AB2 BC2 AC2,滿足勾股定理，ABC 900, PA 底面ABC ,所以PA BC ,那么BC 平

19、面PAB ,所以BC PB ,那么直角三角形PAC,PBC有公共斜邊PC ,所以三棱錐的外接球的球心就是 PC的中點O , PC是其外接球的直徑， PC 4,所以外接球的表面積 S 4 R216 ，故選D.精品資料僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝15考點：球與幾何體17、已知直三棱柱C11G的6個頂點都在球的球面上，若3,C 4,C,1 12 ,則球的表面積為為（A. 153【答案】C1cl為直三棱柱，底面C為直角三角形,把直三棱柱C 1 iCi【解析】由題意，三棱柱所以外接球半徑為2/321 13C 1則三棱柱C11cli外接球的表面積是4 R2 169 cm2.故選C.考點：幾何

20、體的外接球18、如圖，ABCD AB1cl D1是邊長為1的正方體，S ABCD是高為1的正四棱錐，若點S,Ai,Bi,Ci,Di在同一個球面上，則該球的表面積為（BA.旦16【答案】D251649168116【解析】按如圖所示作輔助線，。為球心，設0GlSOB1G 也，則在 Rt OB1Gl 中，OB； G1B1220Gl2同時由正方體的性質(zhì)知2,解得x -,所以球的半徑 89 ,281，R OBi 9,所以球的表面積為 S 4 R2 以，故選D.816考點：1、球內(nèi)接多面體的性質(zhì)；2、球的表面積公式.19、在平行四邊形ABCD中，AB BD , 4AB2 2BD2 1,將此平行四邊形沿BD

21、折成直二面角，則三棱錐A BCD外接球的表面積為（）A.3 B . C . 2 D . 4【答案】A【解析】因為平行四邊形 ABCD中，AB BD,沿BD折成直二面角A BD C ,所以三棱錐A BCD的1外接球的直徑為 AC,且AC2 AB2 BD2 CD2 2AB2 BD2 一,所以二棱錐 A BCD的外接球的半2徑為立,所以三棱錐 A BCD的外接球的表面積為42 ;故選A4162考點：1.平面圖形的折疊問題；2.多面體與球的組合.20、如圖，在菱形ABCD中，BAD 60 , AB 2邪,E為對角線BD的中點，將 ABD沿BD折起到PBD的位置，若PEC 120；,則三棱錐P BCD的

22、外接球的表面積為()A. 28B . 32 C . 16【答案】A1,NC 2畫出圖象如下圖所示，由圖象可【解析】設M ,N分別是等邊三角形 PBD,CBD的外心，則QN知，MO1N120 ：,OO1N60),故 ON 1 tan 60：73, R OCJon"NC2,34J7,外接球面積為4 R2 4 7 28考點：球的內(nèi)接幾何體.21、已知從點P出發(fā)的三條射線 PA, PB, PC兩兩成60角，且分別與球O相切于A, B, C三點.若球 O的體積為36九，則O, P兩點間的距離為()(A) 3五(B) 3石(C) 3(D) 6【答案】B【解析】連接OP交平面ABC于O',

23、由題意可得：ABC和 PAB為正三角形，所以3AB 3AP .OP APAP O'A .因為AO' PO, OA PA,所以 ，所以OP OA J30A.又因33OA AOA0為球的體積為36 ,所以半徑0A 3,所以0P 3布.考點：點、線、面間的距離計算.精品資料【思路點睛】連接 OP交平面ABC于O'由題意可得:O'A3AB3由AO'PO, OA PA可彳# OP 世，根據(jù)球的體積可得半徑 OA 3,進而求出答案.OA AO22、在半徑為1的球面上有不共面的四個點A, B, C, D且 AB CD xBC DA y, CA BD z,則22 2a/

24、 /、x y z等于（）A. 16 B .8 C .4 D【答案】B【解析】如圖，構造長方體，設長方體的長、寬、高分別為2 22-2a,b,c，則 a b c 22.22,222222222a b x ,b c y ,a c z,則 x y z2(a2 b2 c2) 8；故選 B.僅供學習與交流，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝21考點：多面體與球的組合23、 “牟合方蓋”是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積的過程中構造的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全 相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方 蓋）.其直觀圖如圖所示，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所

25、作的輔助線.當其正視圖和側視圖完全相同時， 它的俯視圖可能是（）【解析】因為相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋），且 正視圖和側視圖是一個圓，所以從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，即俯視圖是有兩條對 角線且為實線的正方形；故選 B.考點：三視圖.24、某一簡單幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的外接球的表面積是（）lE蜒距A. 13 B . 16 C . 25 D【答案】C【解析】從三視圖可以看出該幾何體是底面對角線長為l V32 425 2R,故該幾何體的外接球的面積為274正方形高為3正四棱柱，故其對角線長為S 4 R2 25 ,選 C

26、.考點：三視圖與幾何體的外接球.25、如圖，邊長為 2的正方形ABCDK 點E, F分別是邊 AB, BC的中點 AED EBF FCD分別沿DE EF, FD折起，使A, B, C三點重合于點A,若四面體AEFD的四個頂點在同一個球面上，則該球的半徑為5.116C. D . ()【解析】因為折起后 A,B,C三點重合，所以 A'E, A'F, A'D兩兩垂直，三棱錐的外接球，就是棱長為1,1,2的長方體的外接球，球半徑 R滿足4R2 12 12 22 6, R 6,故選D.2考點：幾何體外接球的性質(zhì).26、已知三棱錐 S-ABC滿足SAL SB, SB! SC, SC

27、L SA,且SA=SB=S C若該三棱錐外接球的半徑為 五,Q是外接球上一動點，則點 Q到平面ABC的距離的最大值為()、34.3A. 3B. 2 C . 3D . 3【答案】DJ3,所以正方體的對角線長為【解析】因為三棱錐 S ABC中，SA SB, SB SC, SC SA ,且SA SB SC ,所以三棱錐的外接球即為以SA, SB, SC為長寬高的正方體的外接球，因為該三棱柱外接球的半徑為2 J3 ,所以球心到平面 ABC的距離為1 空 顯,所以點Q到平面ABC的距離的最大值為2333 i3 433,故選D.考點：球的性質(zhì)及組合體的應用.27、一個直棱柱的三視圖如圖所示，其中俯視圖是一

28、個頂角為 120的等腰三角形，則該直三棱柱外接球的表Q事 惻視圖A 2020 53D . 2575【解析】由三視圖可知,該三棱柱為底面為頂角為2，兩腰為2的等腰二角形，身為32 ,底面三角形的外接圓直徑為W3-4 ,2sin 一3半徑為2 ,設該三棱柱的外接球的半徑為R ,則R2 22 115,所以該三棱柱的外接球的表面積為S 4R2 20 ,故選A考點：1.三視圖；2.球的切接問題；3.球的表面積.【名師點睛】本題主要考查三視圖、球的切接問題、表面積公式及空間想象能力、運算能力，中檔題；識圖 是數(shù)學的基本功，空間想象能力是數(shù)學與實際生活必備的能力，本題將這些能力結合在一起，體現(xiàn)了數(shù)學的 實用

29、價值，同時也考查了學生對球的性質(zhì)與表面積公式的掌握與應用、計算能力.28、某四面體的三視圖如圖，正視圖、側視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積【答案】B【解析】由題意此四面體是棱長為 J2的正四面體，其外接球半徑為 匣6吏，所以4,2V 4串）?.故選B.考點：三視圖，外接球，球體積.【名師點睛】正四面體的內(nèi)切球與外接球：（1）正四面體的內(nèi)切球，如圖.位置關系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關系：設正四面體的棱長為 a,高為h;球的半徑為R ,這時有4R h a ;（可以利用體積3橋證明）（2）正四面體的外接球，如圖 5.位置關系：正四面體

30、的四個頂點都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關系：設正四面體的棱長為 a,高為h；球的半徑為R,這時有4R 3h J6a ；（可用正四29、如圖所示，在直三棱柱C C中，C C, C 2, C 4,點 是線段 的中點，則三棱錐C的外接球的體積是（）A36 B ¥ C 褥 D 3【答案】A【解析】由題意可知MA1MB AB J6 ,取AB的中點D ,連接MD ,CD ,在直角 MCD中, 2MC JmD2 CD2 J6,所以點M在平面ABC內(nèi)的射影是ABC的外心，即為 AB的中點，設三棱錐C的外接球的球心為 O,由球的截面性質(zhì)可得MD r 2 CD2 r2,即 1 r 2 5 r2,解得43r 3,所以其外接球的體積為 V - R 36 ,故選A. 3考點：棱錐與球的組合體及球的體積 .【方法點睛】本題主要考查了棱錐與球的組合體，球的截面性質(zhì)及球的體積，考查了考生的空間想象能力屬于中木3題.本題解答的關鍵是根據(jù)已知條件求得