橢圓運(yùn)動(dòng)星體機(jī)械能守恒問(wèn)題新解

1、橢圓運(yùn)動(dòng)星體機(jī)械能守恒問(wèn)題新解摘要：重新解答了橢圓周運(yùn)動(dòng)的星體機(jī)械能守恒問(wèn)題，得出了在直線勻速遠(yuǎn)離太陽(yáng)的飛船上，環(huán)繞太陽(yáng)橢圓周運(yùn)動(dòng)星體機(jī)械能守恒的新結(jié)論關(guān)鍵詞：橢圓周運(yùn)動(dòng)星體；動(dòng)能；勢(shì)能；機(jī)械能守恒中圖分類號(hào)：O 313.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A質(zhì)量為m的地球（視為質(zhì)點(diǎn)），在質(zhì)量為M的太陽(yáng)引力作用下，環(huán)繞太陽(yáng)做長(zhǎng)短半軸分別為a，b的橢圓周運(yùn)動(dòng)，有一宇宙飛船相對(duì)于太陽(yáng)以恒速量值u沿直線遠(yuǎn)離太陽(yáng)在理想情況下，試問(wèn)在太陽(yáng)（太陽(yáng)質(zhì)量視為充分大，忽略其他星體的引力，故穩(wěn)定地保持為慣性系）和宇宙飛船上觀察，地球的機(jī)械能是否守恒，并說(shuō)明理由u o圖1 橢圓運(yùn)動(dòng)星體機(jī)械能守恒問(wèn)題新解x地球v J F r v vr

2、bay宇宙飛船解：以太陽(yáng)為參照系時(shí)，以橢圓中心o為原點(diǎn)，直線Jo為x軸，垂直于x軸的直線oy為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)太陽(yáng)位于橢圓左焦點(diǎn)J處，以J為極點(diǎn)，射線Jo為極軸，從太陽(yáng)到地球的矢量r為極徑，極徑和極軸的夾角為極角建立平面極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系如圖1所示設(shè)地球的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，對(duì)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為，則： 由天文學(xué)知識(shí)可以得到橢圓運(yùn)動(dòng)星體的額運(yùn)行周期為T(mén)=，r2=2×r2=2×=設(shè)以太陽(yáng)為參照系時(shí)，地球從t=0時(shí)刻在極軸與橢圓的右交點(diǎn)處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻的徑向線速度、橫向線速度、線速度、動(dòng)能、勢(shì)能、機(jī)械能分別為：，v，Ek(t)，Ep(t)，E(t)；在宇宙飛船上觀察

3、時(shí)，t時(shí)刻的徑向線速度、橫向線速度、線速度、動(dòng)能、勢(shì)能、機(jī)械能分別為：, v1,E1k(t),E1p(t),E1(t)；則在太陽(yáng)上觀察時(shí)有：r=，1-ecos =，(0+esin )= -=-r2=-= -esin = r= =(1-ecos )=+=+(1-ecos=(+1-2ecos +) =(1-2ecos +)=(2-2ecos +-1)=×2(1-ecos )+(-1)Ek(t)= Ek() =mv2=(1-ecos )+(-1)；Ep(t)= Ep() =-=-(1-ecos )；E(t)=Ek(t)+Ep(t)= Ek()+Ep()=(1-ecos )+(-1)-(1-

4、ecos )=(-1)所以，以太陽(yáng)為參照系時(shí)，地球的機(jī)械能守恒，守恒值為-另解對(duì)于近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)有下列關(guān)系式由機(jī)械能守恒定律和角動(dòng)量守恒定律知 (1)r1v1=r2v2 (2)式中v1、v2分別為地球在遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)的速度，r1、r2為遠(yuǎn)日點(diǎn)和近地點(diǎn)到日心的距離.將(2)式中的v1代入(1)式，經(jīng)整理得 (3)注意到r1+r2=2a (4)得 (5)因 (6)由(4)、(5)、(6)式得 (7)在宇宙飛船上觀察（即以宇宙飛船為靜止系）時(shí)：直覺(jué)判斷：因?yàn)榈厍虻倪\(yùn)動(dòng)方向是變化的，當(dāng)?shù)厍虻倪\(yùn)動(dòng)速度與飛船的運(yùn)動(dòng)速度方向垂直時(shí)，在宇宙飛船上觀察時(shí)，我們規(guī)定此時(shí)的勢(shì)能相等，地球的機(jī)械能比在太陽(yáng)上觀察時(shí)增加

5、m(-u)2=mu2，所以在宇宙飛船上觀察時(shí)，地球的機(jī)械能為：E1(t)=E(t)+mu2=-+mu2=常數(shù)所以，在宇宙飛船上觀察時(shí)，地球的機(jī)械能守恒，守恒值為-+mu2數(shù)學(xué)推導(dǎo)：v1x=vx-u，=+-2uvx；v1y=vy，=；=+=+-2u（cos -sin）+=v2+u2-2u(cos -sin )E1k(t)= E1k()=m=mv2+mu2-mu×cos +mu×sin =Ek() +mu2+mu×esin cos +mu×(1-ecos )sin =(1-ecos )+(-1)+mu2+mu×sin = -r2，dt = -r2在

6、宇宙飛船坐標(biāo)系比太陽(yáng)參照系增加的位移微分為(-u)dt ，此時(shí)萬(wàn)有引力多做的功為-(cos )(-u)dt=-(cos )r2=-E1p(t) = cos d=mu×sin E1p(t) = E1p() =-(1-ecos )-mu×sin （當(dāng)u=0 時(shí)，E1p(t)= Ep(t)，符合玻爾的對(duì)應(yīng)原理.在宇宙飛船系測(cè)量的勢(shì)能是的函數(shù)，即位置的函數(shù)，不是顯含時(shí)間的力.）E1(t)=E1k(t)+E1p(t)= E1k()+E1p()=(1-ecos )+(-1)+mu2+mu×sin -(1-ecos )-mu×sin =(-1)+m=-+m所以，在宇宙

7、飛船上觀察時(shí)，地球的機(jī)械能守恒，守恒值為+mu2當(dāng)u=0時(shí)兩個(gè)坐標(biāo)系重合，守恒值相等，符合玻爾的對(duì)應(yīng)原理.另解：我們采用矢量式坐標(biāo)變換關(guān)系，并假定飛船速度u在地球軌道平面內(nèi)沿x軸方向，t=0時(shí)兩坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，t=0時(shí)地球過(guò)近日點(diǎn)，如圖 r=r+utdr=dr+udt=+u a =af= f全部采用矢量運(yùn)算，按定義，在日心系地球動(dòng)能、勢(shì)能和機(jī)械能分別為Ek =mv2 （1） （2）Ep(t)+Ek(t)=m =-=E (3)(3)式即地球軌道運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律，即（）式.在宇宙飛船系，地球的動(dòng)能、勢(shì)能和機(jī)械能分別為Ek(t)=m=m（v-u）2=m2-mvu+mu2 （4)dEp=-fdr=

8、-fdr + fudt = -dr+udt= -dr+mudvEp= -+mvu+C因?yàn)楫?dāng)u=0時(shí)兩個(gè)坐標(biāo)系重合，根據(jù)玻爾的對(duì)應(yīng)原理勢(shì)能相等Ep= Ep= -，所以C=0，Ep= -+mvu （5）Ep(t)+Ek(t)=m - +mu2 = -+mu2 = E +mu2=E （6）式（3）和式（6）比較可見(jiàn)，地球(質(zhì)點(diǎn))機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立.經(jīng)典萬(wàn)有引力勢(shì)能公式的局限性分析當(dāng)u=0 時(shí)，E1p(t)= Ep(t)，符合玻爾的對(duì)應(yīng)原理，這說(shuō)明萬(wàn)有引力勢(shì)能和重力勢(shì)能一樣具有相對(duì)性.周衍柏理論力學(xué)教程（1979年第一版，人民教育出版社）第47頁(yè)“由于物體間相對(duì)位置發(fā)生變化所具有的能量，通

9、常叫做勢(shì)能.”這里勢(shì)能應(yīng)該是指內(nèi)勢(shì)能，具有伽利略變換的不變性，在內(nèi)勢(shì)能中如果二者質(zhì)量差別極大，例如本文中的太陽(yáng)和地球（質(zhì)量相差懸殊），此時(shí)可以把質(zhì)量較大的物體的質(zhì)量視為無(wú)窮大，可以認(rèn)為是質(zhì)量較小物體的外勢(shì)能，外勢(shì)能不具有伽利略變換的不變性，但是機(jī)械能守恒定律具有伽利略變換的不變性, 這是經(jīng)典力學(xué)在公理化的過(guò)程中向前邁進(jìn)的一小步.對(duì)于勢(shì)能屬于系統(tǒng)應(yīng)該全面理解，特殊情況下認(rèn)為外勢(shì)能存在(這是一種數(shù)學(xué)處理方法)，量變引起了質(zhì)變.300多年來(lái)人們一直認(rèn)為外勢(shì)能差具有伽利略變換的不變性，這是機(jī)械能守恒定律與力學(xué)相對(duì)性原理關(guān)系爭(zhēng)論的根源所在,不完全歸納法得出的結(jié)論不一定是普遍的真理.如果我們這樣認(rèn)識(shí)經(jīng)典力

10、學(xué)，去除了一些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，經(jīng)典力學(xué)便顯得更加和諧.如果考慮到這一點(diǎn)，原來(lái)各家雜志上對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的爭(zhēng)議便全部迎刃而解.正如愛(ài)因斯坦所講的：“從原始的文獻(xiàn)中追蹤理論的形成過(guò)程，往往會(huì)對(duì)于事物的本質(zhì)產(chǎn)生更加深刻的認(rèn)識(shí).”主要結(jié)論通過(guò)本文得出了關(guān)于萬(wàn)有引力的外勢(shì)能的機(jī)械能守恒定律不但滿足力學(xué)相對(duì)性原理，而且也具有單獨(dú)的協(xié)變性.對(duì)于內(nèi)勢(shì)能，勢(shì)能差是伽利略變換的不變量；對(duì)于外勢(shì)能，勢(shì)能差不是伽利略變換不變量，經(jīng)典力學(xué)沒(méi)有明確指明，才導(dǎo)致了這場(chǎng)爭(zhēng)論，使人們發(fā)生了誤解,這不是經(jīng)典力學(xué)的錯(cuò)誤.說(shuō)明：上面是以太陽(yáng)和地球?yàn)槔f(shuō)明引力機(jī)械能滿足力學(xué)相對(duì)性原理，因?yàn)榈厍虻馁|(zhì)量和太陽(yáng)質(zhì)量相去甚遠(yuǎn)，因此太陽(yáng)可以視為慣性系（

11、近似成立）.當(dāng)兩個(gè)星體的質(zhì)量差別不是很大時(shí)，可以以較大星體為參照系，較小星體的質(zhì)量用它們的折合質(zhì)量代替即可，就可以得到與上面類似的結(jié)論,此時(shí)嚴(yán)格講應(yīng)該為內(nèi)勢(shì)能.參考文獻(xiàn)：1白靜江. 兩體問(wèn)題中的功能原理及機(jī)械能守恒定律J，大學(xué)物理，1997，（16）3:11-142蔡伯濂. 關(guān)于力學(xué)相對(duì)性原理與機(jī)械能守恒的來(lái)稿綜述. 大學(xué)物理，1994（1）Brand-new explanation of mechanical energy conservation of celestial body moving in ellipse orbitAbstract：It refurbished the issue of mechanical energy conservation of celestial body moving in ellipse orbit, which straightforwardly led to conclusion, no matter we take reference frame of the sun itself or earth flying away from the sun in uniform speed, the mechanical energy of celestial body movin