點集拓?fù)渲v義連通性學(xué)習(xí)筆記

1、第4章連通性本章討論拓?fù)淇臻g的幾種拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)， 包括連通性，局部連通性和弧連 通性，并且涉及某些簡單的應(yīng)用.這些拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)的研究也使我們能夠區(qū)別 一些互不同胚的空間.§4.1連通空間本節(jié)重點：掌握連通與不連通的定義；掌握如何證明一個集合的連通與否；掌握連通性的拓?fù)洳蛔冃?、有限可積性、可商性.我們先通過直觀的方式考察一個例子. 在實數(shù)空間R中的兩個區(qū)間（0,1） 和1, 2）,盡管它們互不相交，但它們的并（0, 1） U 1 , 2） = （0, 2） 卻是一個“整體”；而另外兩個區(qū)間（0, 1）和（1, 2）,它們的并（0, 1） U （1, 2）是明顯的兩個“部分”.產(chǎn)生上述不

2、同情形的原因在于，對于前一 種情形，區(qū)間（0, 1 ）有一個凝聚點1在1, 2）中；而對于后一種情形，兩 個區(qū)間中的任何一個都沒有凝聚點在另一個中.我們通過以下的定義，用術(shù)語 來區(qū)別這兩種情形.定義4.1.1 設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中的兩個子集.如果 門4=0則稱子集A和B是隔離的.明顯地，定義中的條件等價于 幺門3 = 0和3門1=0同時成立，也就是 說，a與b無交并且其中的任何一個不包含另一個的任何凝聚點.應(yīng)用這一術(shù)語我們就可以說，在實數(shù)空間 R中，子集（0, 1）和（1, 2） 是隔離的，而子集（0, 1）和1 , 2）不是隔離的.又例如，易見，平庸空間中任何兩個非空子集都不是隔離的，而在

3、離散空問中任何兩個無交的子集都是隔離的.定義4.1.2 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.如果X中有兩個非空的隔離子集 A和 B使得X=AJ B,則稱X是一個不連通空間；否則，則稱 X是一個連通空間.顯然，包含著多于兩個點的離散空間是不連通空間，而任何平庸空間都是 連通空間.定理4.1.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.則下列條件等價：（1） X是一個不連通空間；（2） X中存在著兩個非空的閉子集 A和B使得AH B=0和AU B= X成立；（3） X中存在著兩個非空的開子集 A和B使得AH B=0和AU B= X成立；（4） X中存在著一個既開又閉的非空真子集.證明 條件（1 ）蘊涵（2）:設(shè)（1）成立.令A(yù)和B是

4、X中的兩個非空的 隔離子集使得AU B= X,顯然AH B=0 ,并且這時我們有B =BeX =Br（AuB） = （B nZ）u（5 = B因此B是X中的一個閉子集；同理A也是一個X中的一個閉子集.這證明 了集合A和B滿足條件（2）中的要求.條件（2）蘊涵（3） .如果X的子集A和B滿足條件（2）中的要求，所 以A B為閉集，則由于這時有 A=B'和B=l'因此A B也是開集，所以A 和B也滿足條件（3）中的要求.條件（3）蘊涵（4） .如果X的子集A和B滿足條件（3）中的要求，所 以A、B是開集，則由人=9和8=/易見人和8都是X中的閉集，因此A、B 是X中既開又閉的真（:

5、 A Bw0, AU B=X ；A、BwX）子集，所以條件（4） 成立.條件（4）蘊涵（1 ）.設(shè)X中有一個既開又閉的非空真子集 A.令B=4.則 A和B都是X中的非空的閉子集，它們是無交的并且使得 AU B=X易見兩個無 交的閉子集必定是隔離的（因為閉集的閉包仍為自己）.因此（1）成立.例4.1.1 有理數(shù)集Q作為實數(shù)空間R的子空間是一個不連通空間.這是 因為對于任何一個無理數(shù) rCR-Q,集合（-00,）nQ=（巴 r AQ是子 空間Q中的一個既開又閉的非空真子集.定理4.1.2 實數(shù)空間R是一個連通空間.證明 我們用反證法來證明這個定理.假設(shè)實數(shù)空間R是不連通空間.則根據(jù)定理4.1.1

6、,在R中有兩個非空閉 集A和B使得AH B=0和AU B= R成立.任意選取aC A和bC B,不失一般性 可設(shè)a< b.令五=AAa,b，和W=Bna,b.于是】和W是R中的兩個非空閉 集分別包含a和b,并且使得】n且=0和Iu=a, b成立.集合有上界 b,故有上確界，設(shè)為彳.由于a是一個閉集，所以3 e N,并且因此可見彳< b,因為8 =b將導(dǎo)致be Rn月，而這與H n 3=0矛盾.因此2 , bu J .由 于3是一個閉集，所以方e 3 .這又導(dǎo)致方e R n E ,也與R c 8=0矛盾.定義4.1.3 設(shè)y是拓?fù)淇臻gX的一個子集.如果y作為X的子空間是- 個連通空間

7、，則稱Y是X的一個連通子集；否則，稱Y是X的一個不連通子集拓?fù)淇臻gX的子集Y是否是連通的，按照定義只與子空間Y的拓?fù)溆嘘P(guān)(即 Y的連通與否與X的連通與否沒有關(guān)系.).因此，如果？ U2匚不，則Y是X 的連通子集當(dāng)且僅當(dāng)Y是Z的連通子集.這一點后面要經(jīng)常用到.定理4.1.3 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個子集，A, BUY.則A和B是子空 間Y中的隔離子集當(dāng)且僅當(dāng)它們是拓?fù)淇臻g X中的隔離子集.因此，Y是X的一個不連通子集，當(dāng)且僅當(dāng)存在 Y中的兩個非空隔離子集 A和B使得AU B= Y(定義)當(dāng)且僅當(dāng)存在X中的兩個非空隔離子集 A和B使得 AU B= Y.證明 用C"題、q氯分別表示A在Y,

8、X中的閉包.因為(Cy n B) un J)= g K) c Q uq (B)nY)nA)=(C式 c(YnB) u("(B)門(Fc翔=(%-8)5%(5)n而因此根據(jù)隔離子集的定義可見定理成立.定理4.1.4 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個連通子集.如果 X中有隔離子集A和B使彳# YUAUB則或者YCA,或者YC B.證明 如果A和B是X中的隔離子集使得Y UAUB則(j4ny)n5n7) o(5ny)ru4ny)二 豆)耳)=0這說明AAY和BAY也是隔離子集.然而(AH Y) U (BA Y) = (AU B) AY= Y因此根據(jù)定理4.1.3 ,集合AAY和BAY中必有一個是空

9、集.如果AH Y=0 ,據(jù)上式立即可見YCB,如果Bn Y= 0 ,同理可見YU A.定理4.1.5 設(shè)Y是拓?fù)淇臻g X的一個連通子集，ZC X滿足條件ZcZcF,則 Z也是X的一個連通子集.證明 假設(shè)Z是X中的一個不連通子集.根據(jù)定理 4.1.3 ,在X中有非空 隔離子集A和B使得Z=AU B,因此YCAUB由于Y是連通的，根據(jù)定理4.1.4 ,或者 Y_A.二二 £'二：二 一'1二：,'或者YUB,同理，幺=0 .這兩種情形都與假設(shè)矛盾.定理4.1.6 設(shè)甘3門是拓?fù)淇臻gX的連通子集構(gòu)成的一個子集族.如果y產(chǎn)。,則%是x的一個連通子集.證明 設(shè)A和B是X

10、中的兩個隔離子集，使得0,仃乙，=人。B.任意選取 xC % 4 ,不失一般性，設(shè)xCA.對于每一個 T r ,由于4連通，根據(jù) 定理4.1.4 ,或者4或者4匚8 ;由于xC 4 AA ,所以 4仁乂二%同匚2八3=0 .根據(jù)定理4.1.3，這就證明了 % %是連通的.定理4.1.7 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個子集.如果對于任意 x, yCY存 在X中的一個連通子集處使得x, yC期UY,則Y是X中的一個連通子集.證明 如果丫=0,顯然Y是連通的.下設(shè)、半口,任意選取a Y,容易驗 證y= 0火¥%并且ae小包% .應(yīng)用定理4.1.6 ,可見Y是連通的.我們曾經(jīng)說過，拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)

11、便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì) （參見§ 2. 2） .所 謂拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，乃是為一個拓?fù)淇臻g具有必為任何一個與其同胚的拓?fù)淇臻g 所具有的性質(zhì).事實上，如果拓?fù)淇臻g的某一個性質(zhì)，它是藉助于開集或者藉助于經(jīng)由開集定義的其他概念表達的，則此性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個 連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是一個在連續(xù)映射下保持不變的性 質(zhì).因為同胚是連續(xù)的滿射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是拓?fù)洳?變性質(zhì).拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個 商空間所具有，則稱這個性質(zhì)是一個可商性質(zhì).因為拓?fù)淇臻g到它的商空

12、間的 自然的投射是一個連續(xù)的滿射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是可商 性質(zhì).以下定理4.1.8指出，連通性(即一個拓?fù)淇臻g是連通的這一性質(zhì))是一 個在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì).因此，它是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是可商性質(zhì).定理4.1.8 設(shè)f:X-Y是從連通空間X到拓?fù)淇臻gY的一個連續(xù)映射.則 f (X)是Y的一個連通子集.證明 如果f (X)是Y的一個不連通子集，則存在 Y的非空隔離子集 A 和B使得f (X) =AU B.于是11 (A)和r1 (B)是X的非空子集，并且(廣 cu CZ 九3) C7)C C/-1 (i4)n 廣炳)"廿 ©所以.(A)和尸(B)是X的非

13、空隔離子集.止匕外，/1 (A) U Z-1 (B)=/"(AU B) =/-1 (f(X)=X這說明X不連通.與定理假設(shè)矛盾.拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì) P稱為有限可積性質(zhì)，如果任意 n>0個拓?fù)淇臻g蒞&，”&都具有性質(zhì)p,蘊涵著積空間元也具有性質(zhì)p.例如，容易直接證明，如果拓?fù)淇臻g 苞，耳4都是離散空間（平庸空 問），則積空間X”XX:也是離散空間（平庸空間），因此我們可以說 拓?fù)淇臻g的離散性和平庸性都是有限可積性質(zhì).根據(jù)定理3. 2. 9以及緊隨其后的說明可見：假設(shè)已知拓?fù)淇臻g的某一個性質(zhì)p是一個拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).為了證明性質(zhì)p是一個有限可積性質(zhì)，我們只要 證明任何兩

14、個具有性質(zhì)p的拓?fù)淇臻g的積空間也是具有性質(zhì) p的拓?fù)淇臻g.定理4.1.9見是n個連通空間.則積空間“1義*2,'Xu也是連通空間.證明 根據(jù)前一段中的說明，我們只要對于 n=2的情形加以證明.首先我們指出：如果工二（工1用），丁 二修1仍）£“1><e兩個點有一個坐標(biāo)相 同，則丫/乂：有一個連通子集同時包含x和y不失一般性，設(shè)二定義映射k:Xi 'xX使得對于任何4 c均有上=（了由.由于口品：苞7*1是取常值人的映射,孫。卜X? T X2為何同映射,它們都是連續(xù)映射，其中hh分別是 3朝 到第1和第2個坐標(biāo)空間的 投射.因此，k是一個連續(xù)映射.根據(jù)定理

15、4.1.8 , k（X?）是連通的.此外易 見, M&A喝,因此它同時包含x和y.現(xiàn)在來證明： 為將中任何兩個點了 = （可用）廠飆仍）£11*&同時屬于X/均的某一個連通子集.這是因為這時若令（可）"/4 ,則 根據(jù)前段結(jié)論，可見有的一個連通子集X同時包含x和z,也有1如 的一個連通子集了2同時包含y和z.由于zJlC% ,因此根據(jù)定理4.1.6 , 了1口4是連通的，它同時包含x和y.于是應(yīng)用定理4.1.7可見12是一個連通空間.因為n維歐氏空間 必是n個實數(shù)空間R的笛卡兒積，而實數(shù)空間R又是一 個連通空間，所以應(yīng)用這個定理可見，n維歐氏空間K*是一個連

16、通空間.作業(yè)：P116 3. 5. 6. 8. 14.§ 4.2連通性的某些簡單應(yīng)用本節(jié)重點:掌握實數(shù)空間R中的連通子集的“形狀”掌握實數(shù)空間R的子集中常見的連通子集與不連通子集掌握常見的幾種空間的同胚與否的事實讓我們回憶實數(shù)集合R中區(qū)間的精確定義：R的子集E稱為一個區(qū)間，如 果它至少包含兩個點，并且如果 a, bCE, a<b,則有a , b=x R|a<x<b UE讀者熟知，實數(shù)集合R中的區(qū)間共有以下9類：(-00, °°) , ( a, °°) , a, °°), ( -oo, a) , (- oo,

17、 a (a, b) , (a, b , a, b) , a, b因為，一方面以上9類集合中的每一個顯然都是區(qū)間；另一方面，如果EU R是一個區(qū)間，可視E有無上(下)界，以及在有上(下)界的情形下視其上(下)確界是否屬于E,而將E歸入以上9類之一在定理4. 1. 2中我們證明了實數(shù)空間R是一個連通空間.因為區(qū)間(a, 8), ( 00, a)和(a, b)都同胚于R (請讀者自己寫出必要的同胚映射)， 所以這些區(qū)間也都是連通的；由于(口產(chǎn))=0,3),(-8 =(一-昉 u見.昉 c -用 u- uSA)根據(jù)定理 4. 1. 5 可見區(qū)間a, 8), (-00, a , a , b) , (a,

18、 b和 a , b都是連通的.另一方面，假設(shè)E是R的一個子集，并且它包含著不少于兩個點.如果E不是一個區(qū)間，則立也就是說，存在a<c<b,使得；從而，若令A(yù)= ( 00, c) n E, B=(c, 00) PE則可見A和B都是E的非空開集，并且有AU B=E和AH B=0 ,因此E不連 通.綜合以上兩個方面，我們已經(jīng)證明了:定理4.2.1 設(shè)E是實數(shù)空間R的一個子集.E是包含著不少于兩個點的 一個連通子集當(dāng)且僅當(dāng)E是一個區(qū)間.定理4.2.2 設(shè)X是一個連通空間，f:X 一R是一個連續(xù)映射.則f(X)是R 中的一個區(qū)間.因此，如果x, yCX,則又t于f(x)與f(y)之間的任何一

19、個實數(shù)t (即當(dāng) f(x) < f(y)時，f(x) < t < f(y);當(dāng) f(y) < f(x)時，f(y) < t < f(x)，存在 z C x 使彳4 f(z)=t .證明 這個定理的第一段是定理 4. 1. 8和定理4.2.1的明顯推論.以下 證明第二段.設(shè)x, yCX.如果f (x) =f (y),則沒有什么要證明的.現(xiàn)在 設(shè)f (x) wf (y),并且不失一般性，設(shè)f (x) <f (y) .由于 f (X)是一個區(qū)間，所以f (x) , f (y) Cf (X).因 此對于任何t, f(x) < t < f(y)，有t

20、 Cf(X),所以存在 zCX,使得 f (z) =t.根據(jù)定理4.2.2 ,立即可以推出數(shù)學(xué)分析中的介值定理和不動點定理.定理4.2.3 介值定理設(shè)f:a , b 一 R是從閉區(qū)間a, b到實數(shù)空間R的一個連續(xù)映射.則對于f (a)與f (b)之間的任何一個實數(shù)r,存在zC a, b使得 f(z)=r .定理4.2.4不動點定理設(shè)f:0 , 1 一 0, 1是一個連續(xù)映射.則存 在 zC0, 1使得 f(z)=z證明如同數(shù)學(xué)分析中的證法那樣，只需構(gòu)造F(x)=x-f(x),再利用介值定理即可證得.容易證明歐氏平面爐中的單位圓周金=。，用£必H是連通的. 這是因為如果定義映射f：R

21、一片 使得對于任意t CR有f(t)=(cos2 冗t,sin2冗t) C則易于驗證f是一個連續(xù)映射，并且f(R) =Sl因此是連通空間R在一個連續(xù)映射下的 象，所以它是連通的.設(shè)點工=加用)，"=(一而，-為)£公稱為點乂的對徑點.映射：土一> 中使 得任何xC "有r(x)=-x ,稱為對徑映射.對徑映射是一個連續(xù)映射，因為它 是歐氏平面K?到自身的反射l :在單位圓周上的限制.其中，映射l定義為對于任何彳=(再 J ,有 l (x) =-x,容易驗證(請讀者自行驗證)是一個連續(xù)映射.定理4.2.5Borsuk-Ulam 定理 設(shè)f: S，-R是一個連續(xù)

22、映射.則在中 存在一對對徑點x和-x ,使得f(x)=f(-x).證明(略)我們已經(jīng)知道n維歐氏空間爐是連通空間，下面進一步指出：定理4.2.6 n>1維歐氏空間 爐的子集髭-0是一個連通子集，其中0=(0, 0, , 0)e 爐.證明 我們只證明n = 2的情形.根據(jù)定理4. 1. 9,火2中的子集(-oo, 0)XR和(0, oo) xr都是連通的.由于(Qb)x uQb)xR-Q匚Q嚴(yán))xR叫xR所以根據(jù)定理4. 1. 5, Rn中的子集A= 0,以)XR-0是連通的；同理， 子集B=(-oo, 0 xr-0是連通的.由于AH Bw0以及AU B=用-0,因此根據(jù)定理4.1 . 6

23、可見，爐-0是連通的.一般情形的證明類似，請讀者自行補證.定理4.2.6可以得到進一步的改善(參見習(xí)題第 4題)定理4.2.7 歐氏平面爐和實數(shù)空間R不同胚.證明 假設(shè)曾與R同胚，并且設(shè)f:必一R是一個同胚.因此對于連續(xù)映 射g -Of我們有一戶k伙0) .但根據(jù)定理4.2.6 , -0是連通的，而根據(jù)定理4.2.1 , R-f(0)是不連通的.這與定理4. 1. 8矛盾.定理4.2.7給出了利用拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)判定兩個空間不同胚的第一個實例.定理4.2.4 ,定理4.2.5和定理4.2.7盡管簡單但確有意思，特別是這幾 個定理都有高維“版本”，我們分別陳述如下：止理4.2.8Brouwer 不動

24、點止理設(shè)f 是一一個連續(xù)映射，其中。”是n維球體.則存在zC D”使得f (z) =z.定理 4.2.9Borsuk Ulam定理 設(shè) f:S' T腔是-個連續(xù)映射，其中 nm 則存在xe£*使得f (x) =f (-x).定理4.2.10 如果nwm則歐氏空間 *和R屬不同胚.這些定理的證明 (除去我們已經(jīng)證明過的情形)一般都需要代數(shù)拓?fù)渲R，例如同調(diào)論或同倫 論，請參閱有關(guān)的專門書籍.作業(yè)：P121 4.§ 4.3 連通分支本節(jié)重點：掌握連通分支的定義（即連通“類”的分法）;掌握連通分支的性質(zhì)（定理4.3.1）.從前面兩節(jié)中的內(nèi)容可以看出，知道一個拓?fù)淇臻g是否連

25、通給我們處理一 些問題帶來很大的方便.這導(dǎo)致我們?nèi)タ疾煲粋€我們并不知道是否連通的拓?fù)?空間中的“最大”連通子集（即連通分支）.定義4.3.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，x, yCX.如果X中有一個連通子集 同時包含x和y,我們則稱點x和y是連通的.（注意：是點連通）根據(jù)定義可見，如果x, y, z都是拓?fù)淇臻gX中的點，則（1） x和x連通（因為每一個單點集都是連通子集）；（2）如果x和y連通，則y和x也連通；（顯然）（3）如果x和y連通，并且y和z連通，則x和z連通.（這是因為， 這時存在X中的連通子集A和B使得x, yCA和y, zCB.從而由于yCAAB 可見AUB連通，并且x, zC AU B

26、.因止匕x和z連通.）以上結(jié)論歸結(jié)為：拓?fù)淇臻g中點的連通關(guān)系是一個等價關(guān)系.定義4.3.2 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.對于X中的點的連通關(guān)系而言的每一 個等價類稱為拓?fù)淇臻gX的一個連通分支.如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個子集.Y作為X的子空間的每一個連通分支稱 為X的子集Y的一個連通分支.拓?fù)淇臻gX* 0的每一個連通分支都不是空集；X的不同的連通分支無交； 以及X的所有連通分支之并便是 X本身.止匕外，x, yCX屬于X的同一個連通 分支當(dāng)且僅當(dāng)x和y連通.拓?fù)淇臻gX的子集A中的兩個點x和y屬于A的同一個連通分支當(dāng)且僅當(dāng) A有一個連通子集同時包含點x和y.定理4.3.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，C是拓?fù)淇臻gX

27、的一個連通分支.則 (1)如果Y是X的一個連通子集，并且YA cw0,=>YuC；(2) C是一一個連通子集；(3) C是一一個閉集.本定理中的條件(1)和(2)說明，拓?fù)淇臻g的每一個連通分支都是 X的 一個最大的連通子集.證明(1)任意選取x YA C.對于任何yCY由于x和y連通，故y C C.這 證明Y_C(2)對于任何x, yCC,根據(jù)定義可見，存在 X的一個連通子集期使得 x, yC % .顯然% AC* 0 ,故根據(jù)(1) , 4匚C應(yīng)用定理4. 1. 7可知， C是連通的.(3)因為C連通，根據(jù)定理4. 1, 5, 0連通.顯然，= .所 以根據(jù)(1), C匚=>0己

28、.從而c是一個閉集.但是，一般說來連通分支可以不是開集.例如考慮有理數(shù)集 Q (作為實數(shù) 空間R的子空間).設(shè)x, yCQ xwy.不失一般性，設(shè)x<y.如果Q的一個 子集E同時包含x和y,令A(yù)=(- r)門e和B=(r , °°) A E,其中r是任何一 個無理數(shù)，x<r<y,此時易見A和B都是Q的非空開集，并且E= AU B.因此 E不連通.以上論述說明E中任何一個包含著多于兩個點的集合都是不連通的，也就是說，Q的連通分支都是單點集.然而易見 Q中的每一個單點集都不是開 集.記住這個事實：任一個集合A都可以由含于它內(nèi)部的所有連通分支的并而 成(且這些連

29、通分支互不相交).即使是離散空間，它的每一個點自成連通分支 這個結(jié)論也成立.作業(yè)：P123 1.3.4. 8.§ 4.4 局部連通空間本節(jié)重點：掌握局部連通的定義與性質(zhì)(定理4.4.1-4.4.3);掌握連通與局部連通的關(guān)系.引進新的概念之前，我們先來考察一個例子.例 4.4.1在歐氏平面 K 中令 S=(x,sin(1/x)|x (0,1.T=0 X-1,1,其中S被稱作拓?fù)鋵W(xué)家的正弦曲線，它是區(qū)間(0, 1在一個 連續(xù)映射下的象，因此是連通的.止匕外，也容易驗證M=SUT,因此M = sut也是連通的.盡管如此，倘若我們查看杭中的點，容易發(fā)現(xiàn)它們明顯地分為兩類：S中的每一個點的任

30、何一個“較小的”鄰域中 都包含著一個連通的鄰域，而T中的每一個點的任何一個鄰域都是不連通的.我們用以下的術(shù)語將這兩個類型的點區(qū)別開來.定義4.4.1設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，xCX.如果x的每一個鄰域U中都包含著x的某一個連通的鄰域V,則稱拓?fù)淇臻gX在點x處是局部連通的.如果拓?fù)淇臻gX在它的每一個點處都是局部連通的，則稱X是一個局部連 通空間.回到例4.4.1中所定義的拓?fù)淇臻gS.容易證明，用在其屬于s的每一個 點處是局部連通的，而在其屬于 T的每一個點處都不是局部連通的.也因此， 盡管虬是一個連通空間，但它卻不是一個局部連通的空間.局部連通的拓?fù)淇臻g也不必是連通的.例如，每一個離散空間都是局部連

31、通空間，但包含著多于兩個點的離散空間卻不是連通空間.又例如，n維歐氏空間片的任何一個開子空間都是局部連通的（這是因為每一個球形鄰域都同胚 于整個歐氏空間片，因而是連通的），特別，歐氏空間K*本身是局部連通的.另 一方面，歐氏空間？中由兩個無交的非空開集的并作為子空間就一定不是連通 的（請讀者自己證明）.此外根據(jù)定義立即可見：拓?fù)淇臻gX在點xCX處是局部連通的當(dāng)且僅當(dāng)x 的所有連通鄰域構(gòu)成點x處的一個鄰域基，定理4.4.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.則以下條件等價：（1） X是一個局部連通空間；（2） X的任何一個開集的任何一個連通分支都是開集；（3） X有一個基，它的每一個元素都是連通的.證明（1）

32、蘊涵（2）.設(shè)c是x的一個連通分支，Cc!7e0 如果xec, 由于U是x的一個鄰域，所以當(dāng)（1）成立時x有一個連通鄰域V包含于U.又 由于vnc包含著點x,所以不是空集,根據(jù)定理 4. 3. 1可見uC .因此 CC I .這證明C是屬于它的任何一個點x的鄰域，因此C是一個開集.條件(2)蘊涵(3) .若(2)成立，則X的所有開集的所有連通分支(它 們都是開集)構(gòu)成的集族，由于每一個集合是它的所有連通分支之并，恰是X的一個基.條件(3)蘊涵(1).顯然.我們常用到定理4.4.1的一個推論：局部連通空間的每一個連通分支都是 開集.定理4.4.2 設(shè)X和Y都是拓?fù)淇臻g，其中X是局部連通的.又設(shè)f

33、:X -Y 是一個連續(xù)開映射.則f (X)是一個局部連通空間.證明 根據(jù)定理4.4.1 ,可設(shè)B是X的一個基，其中的每一個元素都是連 通的.對于每一個BC B,集合f(B)是連通的，并且由于f是一個開映射，f (B) 是Y中的一個開集，因此也是f(X)的一個開集.這證明集族B1=f (B) |B B 是一個由f (X)的連通開集構(gòu)成的族.我們指出 B1是f(X)的一個基，這是因 為，如果u是f(X)中的一個開集，則 11 (U)是X中的一個開集，因此%】=六廣】(S)=是B1中某些元素之并.于是根據(jù)定理 4.4.1可知f (X)是局部連通的.根據(jù)定理4.4.2易見，拓?fù)淇臻g的局部連通性是一個拓

34、撲不變性質(zhì) .定理4.4.3設(shè)比1，“?，4 是nl個局部連通空間.則積空間上1 X蒞X也是局部連通空間證明(略)應(yīng)用這些定理，有些事情說起來就會簡單得多.例如，實數(shù)空間 R由于所 有的開區(qū)間構(gòu)成它的一個基，所以它是局部連通的； n維歐氏空間贄是n個R 的積空間，所以它也是局部連通的.當(dāng)然這些事情我們早就知道了.作業(yè):P127 1.2.3.§ 4.5 道路連通空間較之于連通空間的概念，道路連通空間這個概念似覺更符合我們的直覺因 而易于理解些.我們先定義“道路”.定義4.5.1 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.從單位閉區(qū)間0,1 一X的每一個連 續(xù)映射f:0 , 1 一X叫做X中的一條道路，并且此

35、時f(0)和f(1)分別稱為道 路f的起點和終點.當(dāng)x = f (0)和y = f (1)時，稱f是X中從x到y(tǒng)的一 條道路.起點和終點相同的道路稱為閉路，并且這時，它的起點(也是它的終 點)稱為閉路的基點.如果f是X中的一條道路，則道路f的象集f(0 , l)稱為X中的一條曲 線或弧，并且這時道路f的起點和終點也分別稱為曲線f(0,1)的起點和終 點.或許應(yīng)當(dāng)提醒讀者，“道路”這個詞在這里所表達的意思已經(jīng)與我們對它 原有的理解頗有不同，希望讀者不要因此而混淆了我們在這里嚴(yán)格定義的道路 和曲線這兩個不同的概念.定義4.5.2 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.如果對于任何 x, y,存在著X中的一 條從x到

36、y的道路(或曲線)，我們則稱 X是一個道路連通空間.X中的一個 子集Y稱為X中的一個道路連通子集，如果它作為X的子空間是一個道路連通 空間.(Y是否道路連通與X是否道路連通沒有關(guān)系)實數(shù)空間R是道路連通的.這是因為如果x,yCR,則連續(xù)映射f:0 ,1-R 定義為對于任何tC0,1有f(t)=x+t(y-x),便是R中的一條以x為起點以y 為終點的道路、也容易驗證任何一個區(qū)間都是道路連通的.定理4.5.1 如果拓?fù)淇臻gX是一個道路連通空間，則 X必然是一個連通 空間.證明 對于任何x, yCX,由于X道路連通，故存在從x到y(tǒng)的一條道路 f：0 , l 一X這時曲線f (0,1),作為連通空間0

37、, 1在連續(xù)映射下的象， 是X中的一個連通子集，并且我們有 x, yCf (0,1).因此根據(jù)定理4.1.7 可見X是一個連通空間.連通空間可以不是道路連通的.我們已經(jīng)指出例4. 4. 1中的機是一個連通空間.不難證明(留作習(xí)題，見習(xí)題第 3題)它不是道路連通的.道路連通與局部連通之間更沒有必然的蘊涵關(guān)系、例如離散空間都是局部 連通的，然而包含著多于兩個點的離散空間不是連通空間，當(dāng)然也就不是道路 連通空間了.定理4.5.2 設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，其中X是道路連通的，f:X 一Y是 一個連續(xù)映射.則f (X)是道路連通的.證明 設(shè)幾內(nèi)水也聲齒“加). 由于X是道路連通 的，故X中有從11到工？

38、的一條道路g: 0 , 1 一X.易見，映射h: 0 , 1 一f(X), 定義為對于任意tC0, 1有h (t) =f u g (t),是f (X)中從“到辦的一條 道路.這證明f (X)是道路連通的.根據(jù)定理4.5.2可見，空間的道路連通性是一個拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是一個可商性質(zhì).定理4.5.3 設(shè)幾為，&是nl個道路連通空間.則積空間乂1巾也是道路連通空間.證明 我們只需要對n= 2的情形加以證明.設(shè)”(孫訪),廠81偽)£乃1"為對于i=l , 2,由于X是道路連通空間, 故在4中有從1i到Z的一條道路，：0 , 1 一 4 .定義映射 f ： 0 , 1“17

39、,使得對于任何te0, 1有f (t)=( ;.) .容易驗證 (應(yīng)用定理327 )f是連續(xù)的，并且有f(0)=x,f(1)=y .這也就是說f是3乂% 中從x到y(tǒng)的一條道路.這證明 丫儼*2是一個道路連通空間.作為定理4.5.3的一個直接的推論立即可見：n維歐氏空間K*是一個道路 連通空間.(這個結(jié)論也容易直接驗證.)為了今后的需要我們證明以下引理，定理4.5.4粘結(jié)引理設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中的兩個開集(閉集)， 并且有X= AU B.又設(shè)Y是一個拓?fù)淇臻g，J；: A-Y和BfY是兩個連續(xù)映射，滿足條件：A ki= Li定義映射f:X -Y使得對于任何xX, f/i W j Ef (x) x

40、wB則f是一個連續(xù)映射.證明 首先注意，由于 廣力Lm,映射f的定義是確切的.因為當(dāng) xCAAB 時, 有工.其次，我們有：對于Y的任何一個子集Z有/F(Z)引(Z)這是由于，：.'.；一；現(xiàn)在設(shè)U是Y的一個開集.由于/者B連續(xù)，所以工"。)，4"分別 是A和B的開集.然而A和B都是X的開集，所以 工、也都是X的 開集.因此廣是x的一個開集.這便證明了 f是一個連 續(xù)映射.當(dāng)A和B都是X的閉集時，證明是完全類似的.我們現(xiàn)在按建立連通分支概念完全類似的方式建立道路連通分支的概念.定義4.5.3 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，x, yCX.如果X中有一條從x至U y 的道路，我們

41、則稱點x和y是道路連通的.(注意：是“點”道路連通)根據(jù)定義可見，如果x, y, z都是拓?fù)淇臻gX中的點，則(1) x和x道路連通；(因為取常值的映射 f: 0 , 1 一X(它必然是連 續(xù)的)便是一條從x到x的道路.)(2)如果x和y連通，則y和x也連通；(設(shè)f:0 ,1 一X是X中從x到 y的一條道路.定義映射j ： 0 , l -X,使得對于任何t C0, 1有j (t)= f (1-t).容易驗證j是一條從y到x的道路.)(3)如果x和y連通，并且y和z連通，則x和z連通.(設(shè)工/ : 0 ,1 f 分別是X中從x至ij y和從y到z的道路.定義映射f:0 ,1 f 使得對 于任何t

42、0 , l,<)£0,1/2上-九曰/2應(yīng)用粘結(jié)引理立即可見f是連續(xù)的，此外我們有f (0) = J1 (0) =x和 f(1)=，2(1)=z .因此f是從x到z的一條道路.)以上結(jié)論歸結(jié)為：拓?fù)淇臻g中點的道路連通關(guān)系是一個等價關(guān)系.定義4.5.4 設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g.對于X中的點的道路連通關(guān)系而言的 每一個等價類稱為拓?fù)淇臻gX的一個道路連通分支.如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個子集.Y作為X的子空間的每一個道路連通分 支稱為X的子集Y的一個道路連通分支.拓?fù)淇臻gXH 0的每一個道路連通分支都不是空集；X的不同的道路連通 分支無交；以及X的所有道路連通分支之并便是 X本身.止匕外，x

43、, yCX屬于 X的同一個道路連通分支當(dāng)且僅當(dāng) x和y道路連通.拓?fù)淇臻gX的子集A中的兩個點x和y屬于A的同一個道路連通分支的充 分必要條件是A中有一條從x到y(tǒng)的道路.根據(jù)定義易見，拓?fù)淇臻g中每一個道路連通分支都是一個道路連通子集； 根據(jù)定理4.5.1 ,它也是一個連通子集；又根據(jù)定理 4. 3. l ,它必然包含在 某一個連通分支之中.作為定理4.5.1在某種特定情形下的一個逆命題，我們有下述定理：定理4.5.5 n維歐氏空間R”的任何一個連通開集都是道路連通的.證明 首先我們注意n維歐氏空間？中的任何一個球形鄰域都是道路連通 的，這是因為它同胚于n維歐氏空間下本身.其次證明n維歐氏空間R&

44、quot;的任何一個開集的任何一個道路連通分支都是 一個開集：設(shè)U是片的一個開集，C是U的一個道路連通分支.設(shè)xCC因為 U是一個包含x的開集，所以也包含著以x為中心的某一個球形鄰域 Bx, e ).由 于球形鄰域B(x, £ )是道路連通的，并且B (x, £ ) AC包含著x,故非空，這 導(dǎo)致B (x, £ ) UC.所以C是一個開集.最后，設(shè)V是K*的一個連通開集.如果 V=0 ,則沒有什么要證明的.下 設(shè)V，0. V是它的所有道路連通分支的無交并，根據(jù)前一段中的結(jié)論，每一 個道路連通分支都是開集.因此如果 V有多于一個道路連通分支，易見這時 V 可以表示為

45、兩個無交的非空開集之并，因此 V是不連通的，這與假設(shè)矛盾.因 此V只可能有一個道路連通分支，也就是說 V是道路連通的.推論4.5.6 n維歐氏空間Y中任何開集的每一個道路連通分支同時也是 它的一個連通分支.證明 由于n維歐氏空間 尸是一個局部連通空間，根據(jù)定理 4. 4. 1,它 的任何開集的任何連通分支都是開集.根據(jù)定理4.5.5 , K*的任何開集的任何 連通分支都是道路連通的，因此包含于這個開集的某一個道路連通分支之 中.另一方面.任何一個集合的道路連通分支，由于它是連通的，因此包含于 這個集合的某一個連通分支之中，本推論的結(jié)論成立.通過引進局部道路連通的概念，定理4.5.5和推論4.5

46、.6的結(jié)論可以得到 推廣.(參見習(xí)題5.)作業(yè)：P132 1.2.本章總結(jié)：(1)有關(guān)連通、局部連通、道路連通均為某個集合的概念，與這個集合 的母空間是否連通、局部連通、道路連通無關(guān).(2)掌握連通、局部連通、道路連通這三者之間的關(guān)系.(3)記?。恐械哪男┳蛹沁B通、局部連通、道路連通的.(4)連通、局部連通、道路連通分支是一個分類原則，即每個集合都是 若干個某某分支的并，任兩個不同的分支無交，每個分支非空.若兩個分支有 交，則必是同一個分支.(5)連通是本章的重點.(6)掌握證明連通、不連通及道路連通的方法.特別注意反證法.(7)掌握連通性、局部連通性、道路連通是否是連續(xù)映射所保持的、有限可

47、積的、可遺傳的.期中習(xí)題主要復(fù)習(xí)兩個內(nèi)容：拓?fù)鋵W(xué)研究的思路與成果；常見證明方法.一、研究的思路與成果1 .預(yù)備知識(1)集合的三種運算的定義與證明方法：并、交、差：AU R AH R A-B(2)在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特點？f (AU B) =f (A) Uf (B)f (AnB)cf (A) nf(B) 當(dāng)f為單射時，取等號f (A-B) 3f (A) -f (B)當(dāng)f為單射時，取等號(3)集合的并、交、差運算關(guān)于f的原象有什么特點？ 一句話：保持運算.即小U的 廣】所為二尸 尸/2)=尸")-尸.(4) f滿時取等號，廠1廠或二單時取等號.(5)等價關(guān)系、等價類

48、的定義，作用等價類是一種分類方法，將等價類看成一個元素，所有這樣元素的集 合就是原集合的商集.(6)有限集與無限集、可數(shù)集與不可數(shù)集大不相同.2 .拓?fù)淇臻g(1)度量空間、球形鄰域、開集、連續(xù)映射的定義；(2)拓?fù)淇臻g的定義.拓?fù)淇臻g是所有數(shù)學(xué)空間中最基礎(chǔ)的空間(是所有數(shù)學(xué)空間的交集)它只具有開集.(3)模仿實數(shù)空間，在拓?fù)淇臻g中引進實數(shù)空間的性質(zhì).定義了鄰域、閉集、閉包、凝聚點、導(dǎo)集.定義了連續(xù)映射，并利用閉集、閉包給出了連續(xù)映射的等價命題.(4)模仿高等代數(shù)，給出了基的概念.(5)定義了序列及極限點.思路：模仿實數(shù)空間，在拓?fù)淇臻g中引進實數(shù)空間的性質(zhì).同時也剖 析了實數(shù)空間，使我們對實數(shù)空間的認(rèn)識更深刻.因此，我們在研究各種性質(zhì)時，應(yīng)不斷探討：R