第二篇集合論P(yáng)PT課件

1、第二篇 集合論 集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?，F(xiàn)代集集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。現(xiàn)代集合論的觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)分析、泛合論的觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)分析、泛函分析、概率、函數(shù)論以及信息論、函分析、概率、函數(shù)論以及信息論、排隊(duì)論等現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域。排隊(duì)論等現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域。 集合的概念在集合的概念在全書全書中都要用到。中都要用到。 借助集合基本概念，描述二元關(guān)系借助集合基本概念，描述二元關(guān)系(第第四章四章)、函數(shù)、函數(shù)(第五章第五章) ； 若在集合引進(jìn)一定的運(yùn)算，則組成代若在集合引進(jìn)一定的運(yùn)算，則組成代數(shù)系統(tǒng)數(shù)系統(tǒng)(第六章第六章) ； 既有一定的序結(jié)構(gòu)，又有一定運(yùn)算的既有一定的序結(jié)構(gòu)，又有一定運(yùn)算的系統(tǒng)就是一個

2、布爾代數(shù)系統(tǒng)就是一個布爾代數(shù)(第七章第七章) ； 如果有一個由結(jié)點(diǎn)構(gòu)成的集合，又有如果有一個由結(jié)點(diǎn)構(gòu)成的集合，又有一個由邊構(gòu)成的集合，則它組成一個圖一個由邊構(gòu)成的集合，則它組成一個圖(第第八章八章) 。 本篇主要包括如下內(nèi)容： 集合論基礎(chǔ) （第三章） 二元關(guān)系 （第四章） 函數(shù) （第五章） 本篇介紹集合論的基礎(chǔ)知識，如集合運(yùn)本篇介紹集合論的基礎(chǔ)知識，如集合運(yùn)算、性質(zhì)、序偶、關(guān)系、函數(shù)、基數(shù)等。算、性質(zhì)、序偶、關(guān)系、函數(shù)、基數(shù)等。 它在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。它在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。第三章 集合論基礎(chǔ)本章主要介紹如下內(nèi)容：本章主要介紹如下內(nèi)容： 基本概念及集合的表示方法基本概念及集合

3、的表示方法 集合間的關(guān)系集合間的關(guān)系 特殊集合特殊集合 集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算 包含排斥原理包含排斥原理 本章的重點(diǎn)是集合的運(yùn)算。本章的重點(diǎn)是集合的運(yùn)算。3-1 基本概念1.1.集合與元素集合與元素 集合是個最基本的、不能精確定義的概念。集合是個最基本的、不能精確定義的概念。 集合集合：是由確定的對象：是由確定的對象(客體客體)構(gòu)成的集體。用構(gòu)成的集體。用大寫的英文字母表示。大寫的英文字母表示。 這里所謂這里所謂“確定確定”是指：論域內(nèi)任何客體，要是指：論域內(nèi)任何客體，要么么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，是唯一確屬于這個集合，要么不屬于這個集合，是唯一確定的。定的。 元素元素：集合中的對象，

4、稱之為元素。：集合中的對象，稱之為元素。 ：表示元素與集合的屬于關(guān)系。：表示元素與集合的屬于關(guān)系。例如，例如，N表示自然數(shù)集合，表示自然數(shù)集合，2N，而，而1.5不屬于不屬于N寫成寫成 (1.5N), 或?qū)懗苫驅(qū)懗?1.5 N。2. 2. 有限集合與無限集合有限集合與無限集合 這里對有限集合與無限集合只給出樸素這里對有限集合與無限集合只給出樸素的定義，以后再給出嚴(yán)格的形式定義。的定義，以后再給出嚴(yán)格的形式定義。 有限集合有限集合：元素是有限個的集合。：元素是有限個的集合。 如果如果A是有限集合，用是有限集合，用|A|表示表示A中元素個中元素個數(shù)。例如，數(shù)。例如，A=1,2,3, 則則|A|=3

5、。 無限集合無限集合：元素是無限個的集合。：元素是無限個的集合。 對無限集合的所謂對無限集合的所謂大小大小的討論，以的討論，以后再后再進(jìn)行。進(jìn)行。3.3.集合的表示方法集合的表示方法 列舉法列舉法：將集合中的元素一一列出，寫在大括：將集合中的元素一一列出，寫在大括號內(nèi)。號內(nèi)。 例如，例如，N=1,2,3,4, A=a,b,c,d 描述法描述法：用句子：用句子(或或謂詞公式謂詞公式)描述元素描述元素 的屬性。的屬性。 例如，例如，B=x| x是偶數(shù)是偶數(shù) C=x|x是實(shí)數(shù)且是實(shí)數(shù)且2x5 一般地，一般地，A=x|P(x), 其中其中P(x)是描述元素是描述元素x的特性的謂詞公式，如果論的特性的謂

6、詞公式，如果論域內(nèi)客體域內(nèi)客體a使得使得P(a)為真，則為真，則aA，否則，否則a A。4. 4. 說明說明集合中的元素間次序無關(guān)緊要，但是必須是可集合中的元素間次序無關(guān)緊要，但是必須是可以區(qū)分的，即是不同的。例如以區(qū)分的，即是不同的。例如 A=a,b,c,a，B=c,b,a,，則，則A與與B是一樣的。是一樣的。本書中常用的幾個集合符號的約定：本書中常用的幾個集合符號的約定： 自然數(shù)集合自然數(shù)集合N= 1,2,3, 整數(shù)集合整數(shù)集合I，實(shí)數(shù)集合，實(shí)數(shù)集合R，有理數(shù)集合，有理數(shù)集合Q 集合中的元素?zé)o任何限制，也可以是集合。集合中的元素?zé)o任何限制，也可以是集合。 如下面的集合的含義不同：如下面的集

7、合的含義不同： a： 張書記張書記 a: 黨支部黨支部(只有一個書記只有一個書記) a： 分黨委分黨委(只有一個支部只有一個支部) a： 黨委黨委 (只有一個分黨委只有一個分黨委) a： 市黨委市黨委(只有一個黨委只有一個黨委)3-2 集合間的關(guān)系一一. .被包含關(guān)系被包含關(guān)系( (子集子集) ) 1.定義定義：A、B是集合，如果是集合，如果A中元素都中元素都是是B中元素，則稱中元素，則稱B包含包含A，A包含于包含于B，也稱，也稱A是是B的子集。記作的子集。記作A B。 文氏圖表示如右下圖。文氏圖表示如右下圖。 例如，例如，N是自然數(shù)集合，是自然數(shù)集合， R是實(shí)數(shù)集合，則是實(shí)數(shù)集合，則N R

8、謂詞定義謂詞定義： A Bx(xAxB)AB2. 性質(zhì)性質(zhì)： 有自反性，對任何集合有自反性，對任何集合A有有A A。 有傳遞性，對任何集合有傳遞性，對任何集合A、B、C，有，有A B且且 B C ，則，則A C。 有反對稱性，對任何集合有反對稱性，對任何集合A、B，有，有A B且且 B A ，則，則A=B。二二. . 相等關(guān)系相等關(guān)系 1. 定義定義：A、B是集合，如果它們的元素完是集合，如果它們的元素完全相同，則稱全相同，則稱A與與B相等。記作相等。記作A=B。定理定理：A=B，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)A B且且 B A。證明證明：充分性充分性，已知，已知A B且且 B A，假設(shè)，假設(shè)AB，則至少

9、有一個元素，則至少有一個元素a,使得使得aA而而a B；或者；或者aB而而a A。如果。如果aA而而 a B，則與則與A B矛盾。如果矛盾。如果aB而而a A，則與，則與 B A矛盾。所以矛盾。所以A=B。必要性必要性顯然成立，因?yàn)槿绻@然成立，因?yàn)槿绻鸄=B，則必有，則必有A B且且 B A。謂詞定義謂詞定義：A=BA B B Ax(xAxB)x(xBxA)x(xAxB) (xBxA)x(xAxB) 2. 性質(zhì)性質(zhì)有自反性，對任何集合有自反性，對任何集合A，有，有A=A。有傳遞性，對任何集合有傳遞性，對任何集合A、B、C，如果，如果有有A=B且且 B=C ，則，則A=C。有對稱性，對任何集合

10、有對稱性，對任何集合A、B，如果有，如果有A=B，則，則B=A。三三. . 真被包含關(guān)系真被包含關(guān)系( (真子集真子集) ) 1. 定義定義：A、B是集合，如果是集合，如果A B且且AB，則稱則稱B真包含真包含A，A真包含于真包含于B，也稱，也稱A是是B的真子集。記作的真子集。記作A B。謂詞定義：謂詞定義：A BA B ABx(xAxB)x(xAxB)x(xAxB) (x(xAxB)x(xBxA)( x(xAxB)x(xAxB) ( x(xAxB) x(xBxA) x(xAxB) x(xB x A)2. 性質(zhì)性質(zhì) 有傳遞性，對任何集合有傳遞性，對任何集合A、B、C，如果，如果有有A B且且

11、B C ，則，則A C。練習(xí)題練習(xí)題：設(shè)：設(shè)A=a,a,a,b,a,b,c判斷下判斷下面命題的真值。面命題的真值。 aA (a A) cA a a,b,c a A a,ba,b,c a,b A a,b a,b,c c a,b,c (c A)(a)3-3 特殊集合一一. .全集全集 E E 定義定義：包含所討論的所有集合的集合，：包含所討論的所有集合的集合，稱之為全集，記作稱之為全集，記作E。 實(shí)際上，就是論域。實(shí)際上，就是論域。 它的文氏圖如右圖。它的文氏圖如右圖。 由于討論的問題不同，由于討論的問題不同，全集也不同。所以全集不唯一。例如，全集也不同。所以全集不唯一。例如，若討論數(shù)，可以把實(shí)數(shù)

12、集看成全集。若討論數(shù)，可以把實(shí)數(shù)集看成全集。若討論人，可以把人類看成全集。若討論人，可以把人類看成全集。E由于論域內(nèi)任何客體由于論域內(nèi)任何客體x都屬于都屬于E，所以，所以xE為永為永真式。所以需要用永真式定義真式。所以需要用永真式定義E。 E=x| P(x) P(x)性質(zhì)性質(zhì)：對于任何集合：對于任何集合A，都有，都有A E。二二. .空集空集 定義定義：沒有元素的集合，稱之為空集，記作：沒有元素的集合，稱之為空集，記作。因?yàn)檎撚騼?nèi)如何客體因?yàn)檎撚騼?nèi)如何客體x是矛盾式，所以要用是矛盾式，所以要用一個矛盾式定義一個矛盾式定義。 =x| P(x) P(x)性質(zhì)性質(zhì)：1.對于如何集合對于如何集合A，都

13、有，都有 A。 因?yàn)橐驗(yàn)?x(xxA)為永真式，所以為永真式，所以 A。2.空集是唯一的?？占俏ㄒ坏?。證明證明 假設(shè)有兩個空集假設(shè)有兩個空集1 、2 ，則，則 因?yàn)橐驗(yàn)?是空集，則由性質(zhì)是空集，則由性質(zhì)1得得 1 2 。 因?yàn)橐驗(yàn)?是空集，則由性質(zhì)是空集，則由性質(zhì)1得得 2 1 。所以所以1=2 。三三. .集合的冪集集合的冪集(Power Set)(Power Set)定義定義: A是集合，由是集合，由A的所有子集構(gòu)成的集合，稱的所有子集構(gòu)成的集合，稱之為之為A的冪集。記作的冪集。記作P(A)或或2A。 P(A)=B| B A例如，例如， A P(A) a ,a a,b ,a,b,a,ba

14、,b,c 則則 P(A)= ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c C33C32C31C30|P(A)|Cn2Cn0Cn1CnnCn2Cn0Cn1Cnnxn-1yxn-2y2xnynCn2Cn0Cn1Cnn性質(zhì)性質(zhì)：1. 給定有限集合給定有限集合A，如果，如果|A|=n, 則則|P(A)|=2n。證明證明：因?yàn)橛校阂驗(yàn)橛衝個元素，故個元素，故P(A)中元素個數(shù)為中元素個數(shù)為而而(x+y)n=令令x=y=1時得時得 2n=所以所以|P(A)|= 2n |2A|= 2|A|= 2n冪集元素的編碼冪集元素的編碼： a,b,c 則則P(A)= ,c,b,b,c,a,a,c,a,b,a,b,c

15、A的八個子集分別表示成：的八個子集分別表示成：B0,B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7寫成二進(jìn)制寫成二進(jìn)制:B000 ,B001,B010, B011, B100, B101, B110, B111, c bb,c a a,c a,ba,b,c B000B001B010,B011B100B101B110B111 B0 B1B2 B3B4B5 B6 B72進(jìn)制下標(biāo)中：進(jìn)制下標(biāo)中：0表示對應(yīng)元素在子集中沒出現(xiàn)；表示對應(yīng)元素在子集中沒出現(xiàn)； 1表示對應(yīng)的元素在子集中出現(xiàn)了表示對應(yīng)的元素在子集中出現(xiàn)了. 又如又如a,b,c,d 子集子集 B9 = B1001 =a,d a,c,d= B1011

16、= B11作業(yè)作業(yè)86頁頁(4) (7 )3-4 集合的運(yùn)算 介紹五種運(yùn)算：介紹五種運(yùn)算：- 一一. .交運(yùn)算交運(yùn)算1.定義：定義：A、B是集合，由既屬于是集合，由既屬于A，也屬于，也屬于B的的元素構(gòu)成的集合元素構(gòu)成的集合 ,稱之為稱之為A與與B的交集的交集,記作記作AB。ABAB例如例如A=1,2,3 B=2,3,4AB=2,3謂詞定義謂詞定義：AB=x|xAxBxAB xAxB如果如果AB=，則稱，則稱A與與B不相交。不相交。2.性質(zhì)性質(zhì) 冪等律冪等律 對任何集合對任何集合A，有，有AA=A。 交換律交換律 對任何集合對任何集合A、B，有，有AB=BA。 結(jié)合律結(jié)合律 對任何集合對任何集合

17、A、B、C，有，有 (AB)C=A(BC)。 同一律同一律 對任何集合對任何集合A，有，有AE=A。 零律零律 對任何集合對任何集合A，有，有A=。 A B AB=A。前前5個公式高中都學(xué)過，下面只證明個公式高中都學(xué)過，下面只證明。證明：證明：AB=A x(xAB xA)x(xAB xA)(xA xAB)x(x ABxA)(x AxAB)x( (xAxB)xA) (x A(xAxB)x(x Ax B)xA) (x A(xAxB)x(T(T ( x A xB)x( x A xB)x(xAxB) A B二二. .并運(yùn)算并運(yùn)算1.定義：定義：A、B是集合，由或?qū)儆谑羌?，由或?qū)儆贏，或?qū)儆冢驅(qū)儆贐

18、的元素構(gòu)成的元素構(gòu)成的集合的集合 ,稱之為稱之為A與與B的并集的并集,記作記作AB。ABAB 2.性質(zhì)性質(zhì)冪等律冪等律 對任何集合對任何集合A，有，有AA=A。交換律交換律 對任何集合對任何集合A、B，有，有AB=BA。結(jié)合律結(jié)合律 對任何集合對任何集合A、B、C，有，有 (AB)C=A(BC)。例如例如A=1,2,3 B=2,3,4AB=1,2,3,4謂詞定義謂詞定義：AB =x|xAxBxAB xAxB同一律同一律 對任何集合對任何集合A，有，有A=A。零律零律 對任何集合對任何集合A，有，有AE =E 。分配律分配律 對任何集合對任何集合A、B、C，有，有 A(BC) =(AB)(AC)

19、。 A(BC) =(AB)(AC)。吸收律吸收律 對任何集合對任何集合A、B，有，有 A(AB)=A A(AB) =A。證明證明 A(AB)= (AE)(AB) (同一同一) = A(EB) (分配分配) = AE=A (零律零律) (同一同一) A B AB=B。三三. . 差運(yùn)算差運(yùn)算- (- (相對補(bǔ)集相對補(bǔ)集) )1.定義：定義：A、B是集合，由屬于是集合，由屬于A，而不屬于，而不屬于B的的元素構(gòu)成的集合元素構(gòu)成的集合 ,稱之為稱之為A與與B的差集的差集,或或B對對A的的相對補(bǔ)集，記作相對補(bǔ)集，記作A-B。例如例如A=1,2,3 B=2,3,4A-B=1謂詞定義謂詞定義：A-B =x|

20、xAx BxA-B xAx B2.性質(zhì)性質(zhì)設(shè)設(shè)A、B、C是任意集合，則是任意集合，則A-=A -A=A-A= A-B AABA-BA B A-B= (A-B)-C=(A-C)-(B-C)證明：任取證明：任取x(A-C)-(B-C)x(A-C)x (B-C)(xAx C) (xBx C) (xAx C) (x BxC)(xAx Cx B) (xAx C xC)xAx Cx BxAx Bx C(xAx B)x CxA-Bx Cx(A-B)-C所以所以 (A-B)-C=(A-C)-(B-C)A-(BC)=(A-B)(A-C) A-(BC)=(A-B)(A-C)證明：任取證明：任取xA-(BC) xA

21、x (BC)xA (xBxC) xA(x Bx C)(xAx B)(xAx C )xA-BxA-Cx(A-B)(A-C) 所以所以 A-(BC)=(A-B)(A-C)A(B-C)=(AB)-(AC) 但但對對- 是不可分配的，如是不可分配的，如A(A-B)=A 而而(AA)-(AB)=注意注意:這不是分配律這不是分配律四四. . 絕對補(bǔ)集絕對補(bǔ)集 1.定義：定義：A是集合是集合,由不屬于由不屬于A的元素構(gòu)成的集合的元素構(gòu)成的集合 ,稱之為稱之為A的絕對補(bǔ)集的絕對補(bǔ)集,記作記作A。 實(shí)際上實(shí)際上A=E-A。例如例如，E=1,2,3,4A=2,3,A=1,4謂詞定義謂詞定義：A =E-A=x|xE

22、x A = x|x AxA x A2.性質(zhì)性質(zhì)設(shè)設(shè)A、B、C是任意集合，則是任意集合，則 E= =E (A)=A AA= AA=E A-B=ABAAE(AB)=AB (AB)=AB 這兩個公式稱之為底這兩個公式稱之為底-摩根定律。摩根定律。證明證明：任?。喝稳 (AB) x (AB) x AB(xAxB) (x Ax B)xAxB x AB (AB)=AB A B B A證明證明： A B x(xAxB) x(x Bx A)x(xBxA) B A A=B 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)AB=E且且 AB=證明：證明： AB=EAB=x(xABxE) (PTP) x(xABx) (PFP)x(xABT T)

23、 x(xABF F)x(xAB (xAB)x(xAxB) (xAxB)x(xAxB)(x Ax B)x(x AxB)(xBx A)x(xAxB)(xBxA)x(xAxB)A=B五. 對稱差1.定義：定義：A、B是集合是集合,由屬于由屬于A而不屬于而不屬于B，或者屬于或者屬于B而不屬于而不屬于A的元素構(gòu)成的集合的元素構(gòu)成的集合,稱之為稱之為A與與B的對稱差的對稱差,記作記作A B。例如例如A=1,2,3 B=2,3,4 A B=1,4 謂詞定義謂詞定義： A B=(A-B)(B-A)=x|(xAx B)(xBx A) A B=(AB)-(AB) ABABE2.性質(zhì)性質(zhì) 交換律交換律 對任何集合對

24、任何集合A、B，有，有A B=B A。 結(jié)合律結(jié)合律 對任何集合對任何集合A、B、C，有，有 (A B) C=A (B C)。 此式證明較繁，教材里有證明，這里從略。此式證明較繁，教材里有證明，這里從略。 同一律同一律 對任何集合對任何集合A，有，有A =A。 對任何集合對任何集合A，有，有A A=。對對 可分配可分配 A(B C)=(AB) (AC)證明：證明： (AB) (AC)= (AB)(AC)-(AB)(AC)= (A(BC)-(ABC)= A(BC)-(BC) (對對-分配分配)= A(B C) 但是但是對對 不可分配，不可分配， 舉反例：舉反例： A(A B)AB , 而而(AA

25、) (AB)A (AB)= (AB)-AA(A B)(AA) (AB) 本節(jié)掌握本節(jié)掌握： 各個運(yùn)算的謂詞定義。各個運(yùn)算的謂詞定義。 運(yùn)算的性質(zhì)的證明和應(yīng)用。運(yùn)算的性質(zhì)的證明和應(yīng)用。作業(yè)：作業(yè)： 第第94頁頁d) b) c) 3-5. 包含排斥原理 這節(jié)主要解決這節(jié)主要解決集合的計(jì)數(shù)集合的計(jì)數(shù)問題。問題。例如例如有有A、B兩個商店兩個商店, A店經(jīng)營店經(jīng)營1000種商品，種商品， B店經(jīng)營店經(jīng)營1200種商品，其中有種商品，其中有100種商品兩個商店都經(jīng)營，問兩個種商品兩個商店都經(jīng)營，問兩個商店共經(jīng)營多少種商品？商店共經(jīng)營多少種商品？顯然顯然 |AB|=|A|+|B|-|AB|如果有如果有AB

26、C三個有限集合，則三個有限集合，則|ABC|=|AB|+|C|-|(AB)C|=|A|+|B|-|AB|+|C|-|(AC)(BC)|=|A|+|B|-|AB|+|C|- (|AC|+|BC|-|ABC|)=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC| ABABAB一般地一般地，有，有n個有限集合個有限集合A1, A2, . An，則，則=Aii=1nAii=1n1ijnAiAj+1ij knAiAj AkAii =1n+ + (-1)n-1EFJ10U例例1 某個研究所有某個研究所有170名職工，其中名職工，其中120人會英語，人會英語，80人會法語，人會法語，60人會日

27、語，人會日語，50人會英語和法語，人會英語和法語，25人會人會英語和日語，英語和日語，30人會法語和日語，人會法語和日語，10人會英語、日語人會英語、日語和法語。問有多少人不會這三種語言？和法語。問有多少人不會這三種語言？解解:令令U為全集，為全集，E、F、J分別分別為會英語、法語和日語人的集合。為會英語、法語和日語人的集合。|U|=170|E|=120 |F|=80 |J|=60 |EF|=50 |EJ|=25 |FJ|=30 |EFJ|=10|EFJ|=|E|+|F|+|J|-|EF|-|EJ|-|FJ|+|EFJ| = 120806050253010165|U-(EFJ)|=170-16

28、5=5 即有即有5人不會這三種語言。人不會這三種語言。例例2.求求1到到1000之間不能被之間不能被5、6、8整除的數(shù)的個數(shù)。整除的數(shù)的個數(shù)。解解.設(shè)全集設(shè)全集 Ex| x是是1到到1000的整數(shù)的整數(shù) |E|=1000 A5、 A6、 A8是是E的子集并分別表示可被的子集并分別表示可被5、6、8整除整除的數(shù)的集合。的數(shù)的集合。 x 表示小于或等于表示小于或等于x的最大整數(shù)。的最大整數(shù)。LCM(x,y):表示表示x,y兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。(Least Common Multiple )|A6 | =1000 6= 166|A8 | =1000 8= 125|A5 | =10

29、00 5= 200|A5 A6| =1000LCM(5,6)= 33100030=不能被不能被5、6、8整除的數(shù)的集合為整除的數(shù)的集合為(A5A6A8)|(A5A6A8)|=|E|A5A6A8| |E|(|A5|+|A6|+|A8|A5A6|A5A8|A6A8| +|A5A6A8|)1000(200+166+1253325418)600|A6 A8| =1000LCM(6,8)= 41100024=|A5 A8| =1000LCM(5,8)= 25100040=|A5 A6 A8 |=1000LCM(5,6,8)= 81000120=例例3.對對24名科技人員掌握外語的情況進(jìn)行調(diào)查結(jié)果如下：名

30、科技人員掌握外語的情況進(jìn)行調(diào)查結(jié)果如下： 英、日、德、法四種外語中，每個人至少會一種；英、日、德、法四種外語中，每個人至少會一種； 會英、日、德、法語的人數(shù)分別是會英、日、德、法語的人數(shù)分別是13、5、10、9人；人； 同時會英、日語的有同時會英、日語的有2人；人； 同時會英、法語的有同時會英、法語的有4人；人； 同時會德、法語的有同時會德、法語的有4人；人； 同時會英、德語的有同時會英、德語的有4人；人； 會日語的人不會德語，也不會法語；會日語的人不會德語，也不會法語；問這問這24人中，只會一種外語的人各是多少人？人中，只會一種外語的人各是多少人？同時會英、法、德三種語言的人有多少人？同時會

31、英、法、德三種語言的人有多少人？解解：設(shè)全集為：設(shè)全集為U,E,F,G,J分別表示會英、法、德、日語人分別表示會英、法、德、日語人的集合。的集合。又設(shè)又設(shè) |EFG|=x 只會英、法、德、日一種外只會英、法、德、日一種外語的人分別是語的人分別是y1, y2, y3, y4。 于是畫出文氏圖如下：于是畫出文氏圖如下：|U|24, |E|=13 |J|=5 |G|=10 |F|=9 , |EF|=|GF|=|EG|=4 , |EJ|=2|FEG|=|F|+|E|+|G|-|FE|-|FG|-|EG|+|FEG|= 9+13+10-4-4-4+|FEG|=20 +|FEG|FEG|=20 +|FEG

32、|只會日語的人數(shù)為只會日語的人數(shù)為: | J|-|EJ|=5-2 =3得：得：|EFJ|=|U|-3=24-3=21所以所以|FEG|=x=21-20=1于是最后得：于是最后得：y1= 13-4-4+1-2=4y2= 9-4-4+1=2y3=10-4-4+1=3 y4=3 作業(yè)：作業(yè)： P100 (4) b)EFGJx4-x4-x4-x2y1y2y3y4 本章小結(jié)本章小結(jié)： 1.掌握集合間三種關(guān)系的定義、謂詞定義、掌握集合間三種關(guān)系的定義、謂詞定義、證明方法。證明方法。 2.掌握三個特殊集合，會求集合的冪集。掌握三個特殊集合，會求集合的冪集。 3.掌握集合的五種運(yùn)算定義、計(jì)算方法及掌握集合的五

33、種運(yùn)算定義、計(jì)算方法及性質(zhì)。性質(zhì)。 4.會用包含排斥原理解決集合計(jì)數(shù)問題會用包含排斥原理解決集合計(jì)數(shù)問題. 下面上第三章的習(xí)題課第三章 習(xí)題課第第86頁頁(4)判斷下面命題的真值：判斷下面命題的真值：a)如果如果AB，B C ，則，則 A C。證明：證明： T，因?yàn)橐驗(yàn)锽 C ， AB，所以，所以A C。b)如果如果AB，B C，則，則 A C 。 F，舉反例舉反例A=1 B=1 C=1,2滿足滿足AB, B C ，但是不滿足，但是不滿足A C (1A 但但1 C )。c)如果如果A B，BC，則，則 AC。 F，舉反例舉反例A=1 B=1,2 C=1,2滿足滿足A B, BC ，但是，但是A

34、 C 。d)如果如果A B，BC，則，則 A C。 F，舉反例舉反例A=1 B=1,2 C=1,2滿足滿足A B, BC ，但是不滿足，但是不滿足A C 。e)、f) 的真值都為的真值都為F，類似舉反例。，類似舉反例。(7)設(shè)設(shè)A=， B=P(P(A) a) 是否是否 B？是否？是否 B？ b)是否是否B？是否？是否 B ？ c)是否是否B？是否？是否 B ？解：解：B=P(P(A) =P(,)=, , , 可見可見a)、b)、c)中命題均為真。中命題均為真。第第94頁頁(3) 給定給定全集全集 N=1,2,3,4,. A=1,2,7,8 B= i | i250 C=i | i可被可被3整除，

35、整除，0 i 30 D= i |i=2k, k i+, 1 k 6 解解. A=1,2,7,8 B=1,2,3,4,5,6,7 C=3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 D=2,4,8,16,32,64 A=3,4,5,6,9,10,11,12.c) B-(AC)=1,2,3,4,5,6,7-1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30=4,5d) (AB)D=3,4,5,6D=2,3,4,5,6,8,16,32,64(4) .證明證明 (AB)C=A(BC) iff C A.證明證明:充分性充分性 已知已知C A (AB)C=(AC)(BC) =A(B

36、C) ( C A AC=A)必要性必要性 已知已知(AB)C=A(BC) 任取任取 xC x(AB)C xA(BC) xA所以所以 C A.(5)b)證明證明 (A-B)-C=(A-C)-B方法方法1.任取任取 x(A-B)-C x(A-B)x C (xAx B)x C(xAx C)x B x(A-C)x B x(A-C)-B 所以所以(A-B)-C=(A-C)-B方法方法2 (A-B)-C=(AB)C =(AC) B =(A-C)-Bc)課堂已講課堂已講(6) 計(jì)算計(jì)算= = , -=, ,-= ,-= (7) 證明各式彼此等價(jià)。證明各式彼此等價(jià)。c)AB=E, A B, B A.證明證明.

37、 AB=E x(xAB xE) x(xAB) (因因xE 為為T) (PTP)x(xAxB) x(x AxB) x(xAxB) A B同理同理AB=E . x(xAxB) x(x BxA) x(xBxA) B A所以所以AB=E A B B A.(9) .在什么條件下，下面命題為真？在什么條件下，下面命題為真？a) (A-B)(A-C)=A解解.(A-B)(A-C)= (AB)(AC)=A(BC)= A(BC)=A-(BC)=A 所以滿足此式的所以滿足此式的充要條件充要條件是：是：ABC= b) (A-B)(A-C)=解解.(A-B)(A-C)= A-(BC)= 所以滿足此式的所以滿足此式的充

38、要條件充要條件是：是：A BCc) (A-B)(A-C)=解解.(A-B)(A-C)= (AB)(AC)=A(BC)= A(BC)=A-(BC)= 所以滿足此式的所以滿足此式的充要條件充要條件是是: A BCd) (A-B) (A-C)=解解. 因?yàn)橐驗(yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A=B ，才有，才有A B=所以滿足此式的所以滿足此式的充要條件充要條件是是: A-B=A-CP100 (4) b)一個班有一個班有50人，第一次考試得人，第一次考試得A的人數(shù)等于第的人數(shù)等于第二次考試得二次考試得A的人數(shù)，僅僅在一次考試中得的人數(shù)，僅僅在一次考試中得A的學(xué)生總數(shù)的學(xué)生總數(shù)是是40，有，有4個學(xué)生兩次考試都沒有得到個學(xué)生兩次考試都沒有得到A，問有多少學(xué)生，問有多少學(xué)生僅在第一次考試中取得僅在第一次考試中取得A？問有多少學(xué)生僅在第二次考試？問有多少學(xué)生僅在第二次考試中取得中取得A？問有多少學(xué)生兩次考試中都取得？問有多少學(xué)生兩次考試中都取得A？解解.設(shè)設(shè)A1、 A2 分別表示在第一次和第二次得分別表示在第一次和第二次得A的人的集合。的人的集合。根據(jù)題意得根據(jù)題意得: |E|=50, |A1|=|A2|, (|A1|-|A1A2|)+(|A2|-|A1A2|)=40 , 即即 |A1|+|A2|