電感器交流電阻各種計(jì)算方法

1、電感器交流電阻各種計(jì)算方法的比較Comparison of Various Methods for Calculating the AC Resistance of Inductors1引言功率變換器的總效率主要取決于功率變換電路的功率電感器的效率，因而在設(shè)計(jì)高效率功率變換器時(shí)，控制電感器的功耗是相當(dāng)重要的。與功率電感器設(shè)計(jì)相關(guān)的主要問題之一是繞組交流電阻叱的計(jì)算。本文p的目的在于：1）比較幾位作者提出的電感器繞組交流電阻。士的計(jì)算公式，2）對(duì)理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果RR進(jìn)行比較，3）確定 叫的最精確計(jì)算公式。已經(jīng)證明電感器品質(zhì)因數(shù) Q的計(jì)算誤差對(duì)其交流電阻”的計(jì)算誤差非常敏感。因此要精確計(jì)算Q必

2、須精確計(jì)算”。p«的計(jì)算公式和電感器模型可用于高頻低繞組損耗電感器的設(shè)計(jì)。2繞組交流電阻的各種計(jì)算方法2.1 Dowell 方法圖I 電感器統(tǒng)組播哉面：（a ）圓導(dǎo)線A卜）方導(dǎo)線.圖2統(tǒng)招骸分Dowell通過計(jì)算繞組空間的一維場解得到繞組交流電阻的表達(dá)式。圖1兩種繞組的橫截面：一種為圓導(dǎo)線,另一種為方形導(dǎo)線。下面公式中所用的絕大部分符號(hào)已在圖中給出。1）繞組部分”的磁場分布如圖2。沿繞組高度方向表示，從零場位置起至第一個(gè)正或負(fù)磁場強(qiáng)度峰值。2）變壓器繞組空間的磁場與磁芯柱平行。R3）導(dǎo)體層近似為連續(xù)導(dǎo)體片（箔），并充滿整個(gè)磁芯窗口。圓導(dǎo)體繞組 °e的推導(dǎo)如下：首先將其看作一

3、 個(gè)等效方形截面導(dǎo)體，然后求出具有與圓導(dǎo)線和方導(dǎo)線具有相同直流電阻的等效箔導(dǎo)體。為此，引入一個(gè) 孔隙因數(shù)也b式中，=h為方形導(dǎo)體寬度，b為電感器線圈骨架寬度，""為繞組中一層的匝數(shù)。4）在計(jì)算橫穿繞組層的徑向磁場分布時(shí)忽略導(dǎo)體的曲率。5）忽略線圈的電容效應(yīng)。6）忽略任一導(dǎo)體層在層外產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度可忽略。7 ） Dowell 給出的實(shí)心方形橫載面導(dǎo)體電感的繞組交流電阻為r j +25in2 出+s-,*-2coi2X g J* _2 fin?4.F" +1' +3cw2d式中，百萬小、為繞組直流電阻;rL=單位長度繞組的電阻（對(duì)直徑d的實(shí)心圓導(dǎo)體銅導(dǎo)線口&#

4、39;付矛;P =1/ b =17.24106 Q mm=20電阻率，a =1/ 的電導(dǎo)率；lT= 一繞組的平均匝長；N=繞組匝數(shù)；m=一繞組部分的層數(shù)；A=h/ 6 （方形橫截面導(dǎo)體）,對(duì)圓橫截面導(dǎo)體"吟"式中，h=方形橫截面銅導(dǎo)體邊長；d=/銅導(dǎo)體直徑；t=兩相鄰導(dǎo)體中心距；ri =d/實(shí)心圓導(dǎo)體的孔隙因數(shù)；書="在凡應(yīng) 為趨膚效應(yīng)穿透深度；“產(chǎn)4八10THm為真空磁導(dǎo)率；1.1 r相對(duì)磁導(dǎo)率（對(duì)銅導(dǎo)體 a r=1。7值較低（700.7寸，不能很好滿足磁通平行于繞組層的假設(shè)，因而（2）式應(yīng)用于實(shí)心圓導(dǎo)線，僅在孔隙因p數(shù)較高（0.7 < T再也）”的計(jì)算才

5、能獲得較好的精度。（2）式的主要局限是它不適用于計(jì)算束狀和多股絞，-R"，一 E 人 “r -”一_ 一“-一線的 °c o Dowell的公式僅適用于兩個(gè)繞組，在繞組中心嚴(yán)格成立。在解決圖 2所小的磁勢 七=0的點(diǎn)與磁勢E達(dá)到最大值后又重歸零的點(diǎn)之間的的繞組部分（2）式才嚴(yán)格成立。因而此方法不適合于三或多繞組變壓器的分析。1.2 Pery, Bennet 和 Larson 方法Dowell方法只可解繞組部分的磁場方程，Pary, Bennet和Larson則提出了求無限長的柱形電流體的單層電流分布、磁場通解的分析方法。因此，盡管他們僅對(duì)多層螺線管線圈（空心電感）感興趣，但

6、他們的方法 也適用于多繞組變壓器。線圈繞組第m層的交流電阻為g 岫丘蟲 + %£江者一出2 coshcos/ 3 mthq 喈式中看心£次為導(dǎo)體箔以趨膚深度s作為基準(zhǔn)的歸-化厚度。用（4）式很容易推導(dǎo)多層電感的R.“。R他們提出了一個(gè)在柱坐標(biāo)系中用貝塞爾函數(shù)推導(dǎo)”的方法。此法已考慮繞在線圈骨架上導(dǎo)線的曲率。然RD而，,”的推導(dǎo)相當(dāng)繁瑣，適用于無限長導(dǎo)體箔。因而用于圓導(dǎo)體繞組需做近似處理，從而導(dǎo)致。匚的計(jì) 算不準(zhǔn)確。1.3 Ferreira-1 方法Ferreira對(duì)2.2給出的 叫計(jì)算公式進(jìn)行了重新整理，以推廣至方橫截面導(dǎo)體。為此，考慮了單層趨膚深度為"，在柱坐標(biāo)

7、系中推導(dǎo)了第m層繞組的交流電阻。最后的結(jié)果為貝 =氏 曲五山收曲+旬”.立由 產(chǎn)勵(lì)加山式刈- $由dM* 2 cosh 系用cos 代融其中& "）=d而K2R。孔隙因數(shù)的平方F*與（5）式第二項(xiàng)的乘積表示導(dǎo)體有效載流橫截面積與導(dǎo)體總橫截面積之比，同時(shí)表明鄰近效應(yīng)對(duì)交流電阻的隨頻率變化有很大影響。（5）式的主要局限是，此式是針對(duì)箔導(dǎo)體和方形截面導(dǎo)體推導(dǎo)出來的，用于圓導(dǎo)體時(shí)，只是近似成立。1.4 Ferreira-2 方法Ferreira通過求解場方程在柱坐標(biāo)系中推導(dǎo)出了第m層繞組的交流電阻*, P /*反產(chǎn)-5酊尸037產(chǎn)唱系片”此式用于圓導(dǎo)體時(shí)應(yīng)當(dāng)比(4)、(5)式更精確。

8、然而它沒有考慮寸的影響。這里 周是載流導(dǎo)體橫截面積與導(dǎo)體總橫截面積之比。(6)式也說明了鄰近效應(yīng)對(duì)交流電阻隨頻率的變化有很大影響。因此用(6)式計(jì)R算士并不精確。1.5 Reatti 和 Kazimierczuk 方法上述方法采用的是一種多維解法，這些方法均假設(shè)在導(dǎo)體橫截面內(nèi)磁場均勻分布。Reatti和Kazimierczuk取消了這一假設(shè)，推導(dǎo)出的繞組交流電阻精確計(jì)算公式為/脩r班尸行力=/T)白巴加尸&叫加火Wi” *噓-1 - 5步尹產(chǎn)j仃)3理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較Q)2Cb)圖3 鍥器蜜i電路新參整鍬電路Xb時(shí)的笥化耕耍熟他JC O串課額電路4d/部分!£說用為了對(duì)

9、(2)、(4) (7)式的理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，采用圖 3的電感器等效電路。圖 3 (a)中，RL為標(biāo)稱電感，Rc為磁芯電阻，C為電感器的固有電容。電阻"和Rc均隨頻率升高。如果磁芯電阻 RcR遠(yuǎn)小于繞組交流電阻士，則電感器模型可簡化成圖3 (b)o大部分LCR表測量的是圖3 (c)所示的兩端器件的等效串聯(lián)電抗 Xs及等效串聯(lián)電阻。圖3 (c)中等效電路的阻抗為£廣 4 +j£%+j3(l-由Fc-不口一 Q-曲與07(也昆了qE? HMMkRSr電；E)通工次i小酶o hrr*"ki 法 r HyirfTT * 2FwH；* “Tr由4 i號(hào)知騰

10、可用匕1 1%.二曰,-”Ty.主.C1Jhntkr r|<A JFtrr* krTtt.+hfl 廉 >O4T 足而*'J當(dāng)頻率f遠(yuǎn)低于第一自諧頻率fr時(shí)，等效串聯(lián)電抗XS為感性并可表示為 Xs=3 Ls。因此，等效串聯(lián)電感為Ls=Xs/ 3如圖3 (d)所示。某一頻率下的品質(zhì)因子定義為ffiE iqglWEZrah "MlMTtririft.工TrtpfM同甘飛飛上-、1 * 二寸盯？小 F«it4u 川法i>Fitt +瑞廣；2dE La 噸> & iCM> .用工胸值>M 丁，Lfl 唐 II b-f Mrtif

11、i< rl mil . rO< ft汕HR為了將繞組電阻,“從磁芯電阻Rc中分離出來，實(shí)驗(yàn)中選用了一個(gè)空心(無磁芯)電感器和一個(gè)鐵粉芯R電感器。對(duì)空心電感器，磁芯電阻Rc為零；對(duì)鐵粉芯電感器，磁芯電阻Rc遠(yuǎn)小于繞組電阻« o兩種電感器用HP4192A LF阻抗分析儀測試。阻抗分析儀配備了一個(gè)HP16047A型測試架來減小殘余參數(shù)和接觸電阻，從而達(dá)到較高精度。3.1 1號(hào)電感器1號(hào)電感器為兩層繞組空心電感器， N=146 (Nl=73) ,AWG#25線，銅線直徑d=0.45mm,繞組節(jié)距t=0.65mm , 繞在塑料環(huán)形線圈骨架上，有效面積 Ae=32mm2 ,有效磁路長

12、度le=50mm ,有效體積Ve=1600mm3,平均 匝長lT=26.8mm。這時(shí)磁芯電阻 Rc=0 ,低頻下測得電感 L=25rH。低頻條件下，電感 L與串聯(lián)電感Ls相 等。測得第一諧振頻率 fr=4.935MHz 。3.2 2號(hào)電感器2 號(hào)電感器為三層繞組電感器，N=114 ( Nl=38) , AWG#28 線，d=0.32mm , t=0.393mm ,繞于 Micrometal E-25鐵粉芯上。無氣隙磁芯的相對(duì)磁導(dǎo)率“r=75中心段有9mm的氣隙，有效相對(duì)磁導(dǎo)率降至“e=6鐵粉芯電R感器，磁芯電阻遠(yuǎn)小于繞組電阻“。測得低頻電感 L=166“H ,第一自諧頻率fr=2.039MHz

13、 。3.3 測量結(jié)果與計(jì)算結(jié)果比較p1號(hào)電感器等效串聯(lián)阻抗 Rs的計(jì)算值與測量值示于圖 4。由（2）式得出的“算得的Rs與測量值符合很R好。然而由（4） （6）式得出 叫算得的Rs只在低頻（f<1020kHz）與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。由（7）式算出 的Rs 一直到電感器第一自諧頻率都與實(shí)測結(jié)果符合很好。電感器品質(zhì)因數(shù) Q的測量和計(jì)算結(jié)果示于圖 5。利用（2）式求得的結(jié)果，在5kHz以下及從200至800kHz 理論值與實(shí)驗(yàn)值符合很好。曲線B、C、D顯示Q的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值相差很大。曲線E與實(shí)測值符合很好，在f = 70kHzB現(xiàn)最大誤差15%。2號(hào)電感器等效串聯(lián)電阻 Rs示于圖6。曲線A僅在低頻，

14、如f&2Hz與實(shí) 測值很好符合。另一方面，曲線 B直到其第一諧振頻率與實(shí)測結(jié)果很好符合。對(duì)曲線 C和D在f> 10kHz 與實(shí)測值有較大誤差，而曲線E在整個(gè)測試頻率范圍內(nèi)都與實(shí)測值很好符合。圖7顯示了 2號(hào)電感器品質(zhì)因數(shù) Q的計(jì)算值與實(shí)測值。曲線 A、C、D表明，由（4）、（5）、（6）式得到的p”,求出的品質(zhì)因數(shù)與實(shí)測值有較大誤差。曲線 B和E與實(shí)測結(jié)果符合很好。圖4和圖6中的Rs曲線表明由（2）式算得的叫，對(duì)兩繞組電感器可以求得精確的等效串聯(lián)電阻，但對(duì)多于兩繞組的電感器，精度較低。與此類似，由（4）式求得的Rs僅在一定情況下（例如 2號(hào)電感器）與R實(shí)測結(jié)果相符。由（5）、（6

15、）式得出的職，對(duì)1號(hào)電感器僅在低頻（010kHz）,對(duì)2號(hào)電感器僅在f020kHzp能得到Rs的精確結(jié)果。附錄中已證明，如果由“求得的Rs有較大誤差，Q的誤差將高達(dá)100%。這就說明了為什么Q的測量值與計(jì)算值有較大差異，如圖 5中的曲線B、C、D,圖7中的曲線A、C、D。p圖4和圖6中的曲線E證明了由（7）式求出的,叫可得到精確的等效串聯(lián)電阻 Rs計(jì)算值，而與電感器繞組層數(shù)、電感器形狀等無關(guān)。圖 5、圖7中的Q曲線也證明電感器電阻有很好的計(jì)算精度。正如附錄中所 證明的，只有Rs的計(jì)算精度高，所算得的 Q才與實(shí)測值很好吻合。4結(jié)論R對(duì)電感器繞組高頻電阻的幾種計(jì)算方法進(jìn)行了比較，同時(shí)也將這些算法得

16、出的«與實(shí)測結(jié)果進(jìn)行了比較。測試所用的電感器仔細(xì)裝配以便與繞組電阻相比可忽略磁芯電阻。比較結(jié)果表明，計(jì)算電感器繞組交流電阻的大多數(shù)方法只在一定頻段可得到精確結(jié)果。此外，大部分方法僅對(duì)一定的繞組結(jié)構(gòu)能得到精確結(jié)果。由于電感器等效串聯(lián)電阻較大計(jì)算誤差將導(dǎo)致Q的計(jì)算誤差較大，因此大部分比較的方法不能正確描述品質(zhì)因數(shù)的頻率特性。只有公式（7）從直流直至電感器第一諧振頻率，無論繞組結(jié)構(gòu)如何可得到精確的交流電阻計(jì)算值。同時(shí)，計(jì)算電感器等效串聯(lián)誤差小也使在很寬的頻率范 圍內(nèi)求得精確的品質(zhì)因子計(jì)算值。（7）式結(jié)合本文提出的簡單電感器模型可用于設(shè)計(jì)具有較低高頻電阻的電感器繞組。附錄:電感器電阻和品質(zhì)因子的計(jì)算誤差R”計(jì)算的百分誤差為竺”.=比 r - 夫乂 100 ,: K m& L F.瓦 L- FC 0 jpp式中K“-c和c。匚-m為電阻的計(jì)算值和測