數(shù)理統(tǒng)計課件2013.7.28(完整)

1、 在數(shù)理統(tǒng)計中在數(shù)理統(tǒng)計中，把研究對象的全體稱為，把研究對象的全體稱為總體或總體或母體母體，而組成總體的每個元素稱為，而組成總體的每個元素稱為個體個體。 在應(yīng)用上在應(yīng)用上，總體總體指研究對象的某個指研究對象的某個(或幾個或幾個)數(shù)量數(shù)量指標(biāo)指標(biāo) X的所有可能取值的全體，指標(biāo)的所有可能取值的全體，指標(biāo)X的每一個取值的每一個取值稱為稱為個體個體。 例如：研究一批燈泡的使用壽命時，該批燈泡的例如：研究一批燈泡的使用壽命時，該批燈泡的全體稱為總體，每一個燈泡為一個個體。全體稱為總體，每一個燈泡為一個個體。樣本樣本12,nXXX 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 相互獨立，且每相互獨立，且每個個 與總體與總體X有相

2、同的分布，有相同的分布，則稱則稱 為總體為總體X的一個的一個樣本樣本，n稱稱為為樣本容量樣本容量， 所有可能不同取所有可能不同取值的集合稱為值的集合稱為樣本空間樣本空間。 (1,2,)iXin12,nXXX12(,)nXXX12(,)nxxx12(,)nXXX一次具體的抽樣中所得到的數(shù)值一次具體的抽樣中所得到的數(shù)值 稱為樣本稱為樣本 的一個觀察值，簡稱的一個觀察值，簡稱樣本觀察值樣本觀察值（樣本點樣本點）（兩重性）（兩重性）121(,)()nniiF xxxF x121(,)()nniif xxxf x已知總體X的分布函數(shù)為F(x),密度函數(shù)為f(x)。12,nXXX則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合

3、分布密度分別為： 設(shè)（設(shè)（ ）為總體）為總體X的一個樣本，的一個樣本， 為為不含任何未知參數(shù)不含任何未知參數(shù)的的函數(shù)函數(shù)，則，則稱稱 為樣本（為樣本（ ）的一個統(tǒng)）的一個統(tǒng)計量。計量。12,nXXX12(,)ng XXX12(,)ng XXX12,nXXX則則 例如例如： 設(shè)設(shè) 是從正態(tài)總體是從正態(tài)總體 中抽取中抽取的一個樣本，其中的一個樣本，其中 為已知參數(shù)為已知參數(shù), 為未知參數(shù)，為未知參數(shù)，123(,)XXX2( ,)N 1233XXX21233XX X123X X X2123XXX是統(tǒng)計量是統(tǒng)計量 不是統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量 設(shè)設(shè) 是總體是總體 的一個樣本，的一個樣本，12(,)nXXXX1

4、1niiXXn22111niiSXXnniiXXnS121111nkkiiAXn11nkkiiBXXn 數(shù)理統(tǒng)計中常用的分布除正態(tài)分布外，還有數(shù)理統(tǒng)計中常用的分布除正態(tài)分布外，還有三個非常有用的連續(xù)型分布，即三個非常有用的連續(xù)型分布，即 2分布分布t 分布分布F分布分布 數(shù)理統(tǒng)計的三大分布數(shù)理統(tǒng)計的三大分布( (都是連續(xù)型都是連續(xù)型) ). .它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系. .統(tǒng)計量的分布稱為統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布抽樣分布。 由于正態(tài)總體是最常見的總體，因此這里由于正態(tài)總體是最常見的總體，因此這里主要討論主要討論正態(tài)總體下的抽樣分布正態(tài)總體下的抽樣分布. .0,1

5、XNX2 定義定義 設(shè)總體設(shè)總體 ， 是是 的一個樣本的一個樣本, , 則稱統(tǒng)計量則稱統(tǒng)計量 服從自服從自由度為由度為n n的的 分布，記作分布，記作12,.,nXXX222212nXXX22( )n自由度是指獨立隨機(jī)變量的個數(shù)自由度是指獨立隨機(jī)變量的個數(shù) 設(shè)設(shè)22221122( ),(),nn 且且2212, 相互獨立相互獨立，則則2221212()nn 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn 定義定義5.4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XN(0，1)，Y 2(n) ，且且X與與Y相互獨立，則稱隨機(jī)變量相互獨立，則稱隨機(jī)變

6、量 /XTY n 服從自由度為服從自由度為n的的t分布分布或或?qū)W生氏學(xué)生氏分布，分布， 記作記作T t(n).其圖形其圖形關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱，形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的概率密度的圖形概率密度的圖形.當(dāng)當(dāng)n較大時，較大時， t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.服從第一自由度為服從第一自由度為n1，第二自由度為第二自由度為n2的的F分布，分布，定義定義5.5 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X1 2(n1)、 X2 2(n2)，且且X1 與與X2相互獨立，則稱隨機(jī)變量相互獨立，則稱隨機(jī)變量 1122XnFXn 記作記作FF(n1，n2).概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)1X性質(zhì)性質(zhì)

7、：若：若XF(n1，n2)，則則F(n2，n1).110,1niiXXnZNnn2,XN 設(shè)總體設(shè)總體 ， 是是 的一的一個樣本個樣本, , 則則X12,.,nXXX1. 2.2. 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則(1) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互獨立；相互獨立； X222122()(1)(1)niiXXnSn (2)3.3. 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則統(tǒng)計量的樣本，則統(tǒng)計量 (1)XTt nSn 4.4. 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn1)和和(Y1，Y2，Yn2)

8、分別分別是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體N( 1 ， 2)和和N( 2 ， 2)的樣本，且它的樣本，且它們相互獨立，則統(tǒng)計量們相互獨立，則統(tǒng)計量121212() (2)11wXYTt nnSnn 其中其中22112212(1)(1),2wnSnSSnn 、21S22S分別為兩總體的樣本方差分別為兩總體的樣本方差. 為正態(tài)總體為正態(tài)總體 的樣本容的樣本容量和樣本方差；量和樣本方差；222,nS222(,)N 121,nS211(,)N 5. 設(shè)設(shè) 為正態(tài)總體為正態(tài)總體的樣本容的樣本容量和樣本方差；量和樣本方差；且兩個樣本相互獨立，則統(tǒng)計量且兩個樣本相互獨立，則統(tǒng)計量2211122222(1,1)SF

9、 nnS 使使PXx = ，定義定義對總體對總體X和給定的和給定的 (0 x = ( )xf x dx 2 2 oyx2x 12x 2212P XxP Xx則稱則稱 、 為為X分布的分布的雙側(cè)雙側(cè) 分位點。分位點。12x 2x 若存在數(shù)若存在數(shù) 、 ，使，使2x 12x 當(dāng)當(dāng)X的分布的分布關(guān)于關(guān)于y y軸對稱軸對稱時，時，則稱則稱 為為X分布的分布的雙側(cè)雙側(cè) 分位點分位點.2x 如圖如圖.2,x 若存在若存在 使使yxO2x 2x 2 2 2|Pxx例如，例如， =0.05，而而即：PZ1.645 =0.05(0,1)P ZzzN若，則稱 為分布的上側(cè) 分位點。 (x)xO z11()P Zz

10、P Zzz ()1z ()10.95z反查表反查表z反查表得反查表得1.645z即：P|z|1.96=0.05例如，求z0.05/2， (x)O /2 /2x2| |(0,1)P zzzN若，則稱 為分布的雙側(cè) 分位點。2()12z 2z2z反查表反查表2z2()10.9752z 反查表得21 .9 6z滿足滿足 的數(shù)的數(shù) 為為 2分布的分布的 上上 分位點分位點， 2( )n 其幾何意義見右圖所示其幾何意義見右圖所示.其中其中f(x)是是 2-分布的概率密度分布的概率密度.f(x)xO 2( )n 顯然，在自由度顯然，在自由度n取定以后，取定以后， 的值只與的值只與 有關(guān)有關(guān). 2( )n

11、222( )( )( )(01)nPnf x dx例如，當(dāng)例如，當(dāng)n=21， =0.05時，可查表得時，可查表得20.05(21) 32.67即即2(21)32.67 0.05P 當(dāng)當(dāng) 時，直接查時，直接查 2分布表分布表45n 當(dāng)當(dāng) 時，利用公式時，利用公式45n 221( )(21)2nzn(0,1)zN其 中為分 布 的 上分 位 點 把滿足把滿足 2222122( )( )2PnPn 的數(shù)的數(shù)22122( ),( )nn 稱為稱為 2分布的分布的雙側(cè)雙側(cè) 分位點分位點f(x)xO22( )n 212( )n 2 2 顯然，顯然，22( )n 為為 2分布的上分布的上 分位點分位點.2

12、212( )n 為為 2分布的上分布的上 分位點分位點.12 如當(dāng)如當(dāng)n=8, =0.05時，時，220.97512( )(8)n 220.0252( )(8)n 2.1817.53對于給定的對于給定的 (0 1)，稱滿足條件，稱滿足條件 ( )( )( )t nP Tt nf x dx 的數(shù)的數(shù)t (n)為為t分布的分布的上上 分位點分位點，其幾何意義見右圖。其幾何意義見右圖。 f(x)xOt (n) 當(dāng)當(dāng) 時，直接查時，直接查t分布表分布表45n 當(dāng)當(dāng) 時，時，45n ( )tnz由于由于t分布的對稱性，稱滿足條件分布的對稱性，稱滿足條件 2( )P Ttn 的數(shù)的數(shù)t /2(n)為為t分

13、布的分布的雙側(cè)雙側(cè) 分位點分位點，其幾何意義如右圖所示其幾何意義如右圖所示.f(x)xOt /2(n) /2 /2- - t /2(n)其求法與上其求法與上 分位點的分位點的求法類似。求法類似。對于給定的對于給定的 (0 =0.1,求求 .解解因為因為n=10，n- -1=9， 2=42，所以所以2294S 2(9).又又PS2 =2229944SP =0.1，所以所以220.19(9)4 查表查表14.684.故故 14.684x16926.105 設(shè)總體設(shè)總體X的分布依賴于參數(shù)的分布依賴于參數(shù) 1, 2, , k，而而X1，X2，Xn是總體是總體X的一個樣本，的一個樣本，12,nx xx為

14、樣本觀察值為樣本觀察值已知：已知：方法：方法：以統(tǒng)計量的觀察值以統(tǒng)計量的觀察值12(,)ingxxx作為作為i的估計值的估計值常用的方法：矩估計法、最常用的方法：矩估計法、最( (極極) )大似然法大似然法 i12(,)ingXXX構(gòu)造統(tǒng)計量構(gòu)造統(tǒng)計量作為作為的估計量的估計量),2, 1(kii 基本思想基本思想：用樣本矩作為總體矩的估計量：用樣本矩作為總體矩的估計量總體總體m階原點矩：階原點矩：()mE X樣本樣本m階原點矩：階原點矩：11nmmiiAXn設(shè)總體設(shè)總體X的分布中含有的分布中含有k個待估參數(shù)個待估參數(shù) 1, 2, , k12(,)nXXX為總體 的樣本X令令11()nmmmii

15、AXE Xn(m=1,2, ,k)11()nmmmiiAXE Xn(m=1,2, ,k)如果如果 是是 的矩估計量，而的矩估計量，而 是是 的連續(xù)的連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)，則 是是 的矩估計量。的矩估計量。( )g( )g( )g假定有唯一的一組解假定有唯一的一組解12,k 則將則將作為作為矩估計量矩估計量矩估計量的觀察值為未知參數(shù)的矩估計量的觀察值為未知參數(shù)的矩估計值矩估計值k,21k,21例例112(,)nXXX為總體為總體 的樣本的樣本，X設(shè)設(shè)已知已知 的概率分布為的概率分布為X101( , )10 xxf x （）其他試用矩估計法估計總體參試用矩估計法估計總體參數(shù)數(shù)解：解：令令()E XX1

16、X即：即：解得解得1XX10()( , )1E Xxf xdxx dx因為因為1XX故故為參數(shù)為參數(shù)的矩估計量。的矩估計量。求解方法（以母體為連續(xù)性隨機(jī)變量為例）：求解方法（以母體為連續(xù)性隨機(jī)變量為例）：121ln ( , )ln( , )nniiL x xxf x（2）取自然對數(shù)）取自然對數(shù) 其解其解 即為參數(shù)即為參數(shù) 的極大似然估計值。的極大似然估計值。 （3）令）令 ln ( )0dLd121( )( , )( , )nniiLL x xxf x（1）構(gòu)造似然函數(shù)）構(gòu)造似然函數(shù) 若總體的密度函數(shù)中有多個參數(shù)若總體的密度函數(shù)中有多個參數(shù) 1， 2， n，則將則將第（第（3）步改為）步改為l

17、n ( )0,(1,2, )iLin解方程組即可。解方程組即可。 最最( (極極) )大似然估計法大似然估計法 解解似然函數(shù)為似然函數(shù)為11( )niiinxxniLee故故1ln( )ln(ln)niiLnxnx1()0nx得得故最大似然估計值故最大似然估計值1x例例1 設(shè)總體設(shè)總體即即X的概率密度為的概率密度為0( ,)00 xexfxx0求求 的最大似然估計值。的最大似然估計值。)(EX令令0d)(lndL練習(xí)：練習(xí)：12(,)nXXX為總體為總體 的樣本的樣本，X設(shè)設(shè)已知已知 的概率分布為的概率分布為X101( , )10 xxf x （）其他試用最大似然法估計總體參數(shù)試用最大似然法估

18、計總體參數(shù)解：解：似然函數(shù)為似然函數(shù)為11( )nniiLx故故1ln ( )ln(1)lnniiLnx1ln0niinx得得故最大似然估計值故最大似然估計值1lnniinx 令令0d)(lndL練習(xí)：練習(xí)：設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為為總體總體X的的樣本樣本已知已知X的分布律為：的分布律為：(1)kkm kmP XkC ppk=0,1,m 0 p1求參數(shù)求參數(shù)p的最大似然估計量。的最大似然估計量。解：解：似然函數(shù)為似然函數(shù)為11()1()()(1)nniiiiinxmxxmiLpCpp故故111ln ( )lnlnln(1)()innnxmiiiiiL pCpxpmx10niixmnp得得mX

19、p 故最大似然估計量令令0d)(lndppL無偏性、有效性、一致性無偏性、有效性、一致性無偏估計量無偏估計量：設(shè)設(shè) 是未知參數(shù)是未知參數(shù) 的估計量，如果的估計量，如果 則稱則稱 是是 的的無偏估計量。無偏估計量。( ),E 例例1： 設(shè)樣本設(shè)樣本 是取自數(shù)學(xué)期望為是取自數(shù)學(xué)期望為12,(,)nXXX的總體的總體 的樣本，則的樣本，則 是是 的無偏的無偏X11niiXXn估計量。估計量。X 例例2： 設(shè)樣本設(shè)樣本 是取自總體是取自總體 的樣本的樣本12,(,)nXXX的均值的均值 未知未知，則統(tǒng)計量則統(tǒng)計量 是是 的無偏的無偏1niiia XX估計量，其中估計量，其中 為常數(shù)，且為常數(shù)，且 。1

20、2,na aa11niiakA例例3：設(shè)總體的設(shè)總體的k階矩存在，則樣本的階矩存在，則樣本的k階矩階矩 是總體是總體k階矩的無偏估計量。階矩的無偏估計量。212,(,)nXXX2211()1niiSXXn例例4：設(shè)設(shè) 是來自總體的一個樣本，是來自總體的一個樣本，是是 的無偏估計量，而樣本二階中心矩的無偏估計量，而樣本二階中心矩22(),(),E XD X 且且 未知，未知， 則樣本方差則樣本方差不是不是 的無偏估計量的無偏估計量22211niiBXXn設(shè)設(shè) 、 為未知參數(shù)為未知參數(shù) 的兩個無偏估計量，若的兩個無偏估計量，若12則稱則稱 比比 有效。有效。 12)()(21DD12(,)0lim

21、 | 1nnX XXP設(shè)為參數(shù) 的估計量。若對任意， 有 則稱 為 的一致估計量。例：例：12,nX XX設(shè)設(shè) 取自總體取自總體 。試證明樣本均值。試證明樣本均值X11niiXXn是是E(X)的一致估計量的一致估計量(其中其中D(X)已知已知)。 置信下限置信下限 置信上限置信上限12 設(shè)總體的分布中含有一個未知參數(shù)設(shè)總體的分布中含有一個未知參數(shù) ，對給定的，對給定的 ， (0 1) 如果由樣本如果由樣本 確定兩個確定兩個 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 , 使得使得 ，則稱隨機(jī)區(qū)間，則稱隨機(jī)區(qū)間 為為 參數(shù)參數(shù) 的置信度（或置信水平）為的置信度（或置信水平）為1- 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。12(,)nXXX1

22、21P),(211nXXX),(212nXXX),(21 (2)給定置信度給定置信度 ，由，由U分布的雙分布的雙 側(cè)側(cè) 分位點分位點 ，使得，使得1(01)12, 121PU (3)利用利用 ，求出，求出 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。12U(1)構(gòu)造含待估參數(shù)構(gòu)造含待估參數(shù) 的樣本函數(shù)的樣本函數(shù) 12(,; )nU X XX的分布已知。U若母體 X 的分布未知, 但子樣容量很大, ),(2nNX若若 2 2已知已知, 則 的置信度為1 - 的置信區(qū)間可取為nuX2若若 2 2未知未知, 則 的置信度為1 - 的置信區(qū)間可取為nStX2非正態(tài)母體均值的區(qū)間估計非正態(tài)母體均值的區(qū)間估計( (大子樣大子

23、樣) )由中心極限定理, 可近似地視總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 （1）方差已知，對均值的區(qū)間估計）方差已知，對均值的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 選取樣本函數(shù)選取樣本函數(shù)Z，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，確定確定Z的的雙側(cè)分位點雙側(cè)分位點 22,XzXznn2z得得E(X)的的區(qū)間估計區(qū)間估計為為 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 （2）方差未知，對均值的區(qū)間估計）方差未知，對均值的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造樣本函數(shù)構(gòu)造樣本函數(shù)T，查，查t-分布表，分布表

24、，確定確定T的的雙側(cè)分位點雙側(cè)分位點 22(1),(1)SSXtnXtnnn得得E(X)的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 2(1)tn總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 （3）均值已知，對方差的區(qū)間估計）均值已知，對方差的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造樣本函數(shù)構(gòu)造樣本函數(shù) 2 ，查，查 2-分布表，分布表，確定確定 2的的雙側(cè)分位點雙側(cè)分位點 得得 2的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 12222( ),( )nn212221122,( )( )nniiiiXXnn總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計 （4）均值

25、未知，對方差的區(qū)間估計）均值未知，對方差的區(qū)間估計 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 選取樣本函數(shù)選取樣本函數(shù) 2 ，查，查 2-分布表，分布表，確定確定 2的的雙側(cè)分位點雙側(cè)分位點 得得 2的區(qū)間估計為的區(qū)間估計為 12222(1),(1)nn2122222(1)(1),(1)(1)nSnSnn 1.兩正態(tài)總體方差已知，即兩正態(tài)總體方差已知，即.,2221已知. 22212122221212），（nnzYXnnzYX2.兩正態(tài)總體方差未知，但兩正態(tài)總體方差未知，但.22221. 11)2(11)2(2121221212），（nnSnntYXnnSnntYXWW ),1, 1(/2122222

26、121nnFSS. )1, 1(/)1, 1(/212122212122221），（nnFSSnnFSS選擇樣本函數(shù)選擇樣本函數(shù)假設(shè)檢驗 假設(shè)檢驗是指施加于一個或多個母體的假設(shè)檢驗是指施加于一個或多個母體的概率分布或參數(shù)的假設(shè)概率分布或參數(shù)的假設(shè). . 所作假設(shè)可以所作假設(shè)可以是正確的是正確的, ,也可以是錯誤的也可以是錯誤的. . 為判斷所作的假設(shè)是否正確為判斷所作的假設(shè)是否正確, , 從母體中從母體中抽取子樣抽取子樣, ,根據(jù)子樣的取值根據(jù)子樣的取值, ,按一定原則按一定原則進(jìn)行檢驗進(jìn)行檢驗, , 然后作出接受或拒絕所作假然后作出接受或拒絕所作假設(shè)的決定設(shè)的決定. .假設(shè)檢驗的理論依據(jù)假設(shè)

27、檢驗的理論依據(jù) 假設(shè)檢驗所以可行假設(shè)檢驗所以可行, ,其理論背景為實際其理論背景為實際 推斷原理推斷原理, ,即即“小概率原理小概率原理”。假設(shè)檢驗的兩類錯誤 第一類錯誤：棄真錯誤 第二類錯誤：存?zhèn)五e誤00IIPPHH犯第 類錯誤的概率第 類錯誤拒絕|=是真的00IIIIPHHP犯第類錯誤的概率第類錯誤接受|=是假的假設(shè)檢驗的步驟 根據(jù)實際問題所關(guān)心的內(nèi)容根據(jù)實際問題所關(guān)心的內(nèi)容, ,建立建立H H0 0與與H H1 1。 在在H H0 0為真時為真時, ,選擇合適的統(tǒng)計量選擇合適的統(tǒng)計量V V, ,由由H H1 1確定拒絕確定拒絕域形式域形式。 給定顯著性水平給定顯著性水平 , ,其對應(yīng)的拒

28、絕域其對應(yīng)的拒絕域 根據(jù)子樣值計算根據(jù)子樣值計算, ,并作出相應(yīng)的判斷并作出相應(yīng)的判斷。3.2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗單個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗給定顯著性水平與子樣值(x1,x2,xn )，設(shè) X N( 2)，2 已知，需檢驗： H0: 0 ； H1: 0 0 0 0 0 0uUuU u u 檢驗法檢驗法 ( 0 02 2 已知已知) )原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗統(tǒng)計量及其H0為真時的分布拒絕域2/uU 000,1/XUNn 0 0 0 02/tT 0tT tT0/XTSnt t檢驗法檢驗法 ( 2 2 未知未知) )原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗統(tǒng)計量及其H0為真時的分布拒絕域(1)t

29、n例例1 1 在正常情況下每臺織布機(jī)一小時內(nèi)經(jīng)紗平均斷頭數(shù)為0.975根. 20臺織布機(jī)經(jīng)工藝改革后每臺一小時內(nèi)經(jīng)紗平均斷頭數(shù)為0.915根,標(biāo)準(zhǔn)差為0.16根.檢驗工藝改革后經(jīng)紗平均斷頭數(shù)與改革前有無顯著差異？假設(shè)斷頭數(shù) X N ( , 2), 顯著性水平取 0.05. 解解 選用統(tǒng)計量:拒絕域 W : 故接受原假設(shè), 即改革后經(jīng)紗平均斷頭數(shù)與改革前無顯著差異.現(xiàn))19(20/tSXT093. 2)19(025. 0tTWT6771. 120/16. 0975. 0915. 0假設(shè) H0 : = 0.975; H1: = 0.975.(一) 方差未知但相等方差未知但相等兩個正態(tài)母體兩個正態(tài)母

30、體(X1, X2 , Xn)與(Y1, Y2 , Ym) 獨立, 在兩母體上作假設(shè)012112:;:.HH當(dāng)H0成立時,由抽樣分布的重要結(jié)論有 (2)t nm2212(1)(1)112X YnSmSnmn m設(shè)母體 X N(1 2), Y N(2 2 ) 1 = 2 (2)t nm2Tt 兩兩均值均值的的t t檢驗檢驗Tt1 2 1 2 1 2 1 2 11XYTSnmT t原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1統(tǒng)計量在H0為真時的分布拒絕域2212(1)(1)2nSmSSn m 3.3 3.3 方差的假設(shè)檢驗方差的假設(shè)檢驗作假設(shè)H0: 2=02.常用于方差檢驗的統(tǒng)計量為如下兩個： 設(shè)母體X N( 2),

31、一個正態(tài)母體一個正態(tài)母體)()(220122nXnii) 1() 1(22022nSn 2 02 2 02)(22n 2 02) 1(22n 2 22 12 22 12 22 12 22 12 22F F 檢驗法檢驗法1, 2 均已知原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布拒絕域122121( ,)niiniiXXFF n mYY21( ,)FFn ma-2( , )FF nma或1( , )F F nma-(,)FFnma例例 假設(shè)機(jī)器 A 和 B 都生產(chǎn)鋼管, 要檢驗 A 和 B 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑的穩(wěn)定程度. 設(shè)它們生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別為 X 和 Y , 且都服從正態(tài)分布 X

32、 N (1, 12) , Y N (2, 22) 現(xiàn)從機(jī)器 A和 B生產(chǎn)的鋼管中各抽出18 根和13 根, 測得,29. 021s.34. 022s 設(shè)兩子樣相互獨立. 問是否能認(rèn)為兩臺機(jī)器生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑的穩(wěn)定程度相同? ( 取 = 0.1 )解：解：作假設(shè) H0: 12=22 ；H1: 1222 查表得 F0.05( 17, 12 ) = 2.59,F0.95(17, 12)= 取統(tǒng)計量42. 038. 21)17,12(105. 0F)12,17(/2221FSSF拒絕域W :或現(xiàn)算得:故接受原假設(shè), 即認(rèn)為兩機(jī)器生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑的穩(wěn)定程度相同.WssF85. 034. 029. 02221

33、59. 2F42. 0F接受域置信區(qū)間1假設(shè)檢驗區(qū)間估計統(tǒng)計量 樞軸量對偶關(guān)系同一函數(shù)假設(shè)檢驗與區(qū)間估計的聯(lián)系假設(shè)檢驗與區(qū)間估計的聯(lián)系3.5 分布假設(shè)檢驗前幾節(jié)介紹的檢驗法都是在母體分布為已知的前提下進(jìn)行討論的. 而實際問題中有時并不能預(yù)知母體服從什么分布, 這時就需要檢驗?zāi)阁w分布的各種假設(shè).分布假設(shè)檢驗對母體分布作某假設(shè)用母體的一個子樣來檢驗該假設(shè)是否成立分布假設(shè)檢驗亦稱擬合優(yōu)度檢驗檢驗觀察到的一批數(shù)據(jù)是否與某種理論分布符合.稱000( )( ):( )( )F xXF xHF xF xxR 記為總體 的未知的分布函數(shù)，設(shè)是形式已知但可能含有若干個未知參數(shù)的分布函數(shù)，需檢驗假設(shè) 0000,1

34、,2,.( )iiXHHXP Xtp iXHHXf x：若總體 為離散型，則相當(dāng)于:總體 的分布律為。若總體 為連續(xù)型，則相當(dāng)于:總體 的概率密度為注。擬合優(yōu)度檢驗問題2earson(一)P檢驗基本原理和步驟：011.,.kHXkAA在下，總體 取值的全體分成 個兩兩不相交的子集12.(1,., ),.inin ikxxA以記樣本觀察值中落在 的數(shù)（實際頻數(shù)個）00003.(),1,.;.,iiFiiiiiHF xApPAikF xrrppnpnp當(dāng)為真且 ( )完全已知時，計算事件 發(fā)生的概率當(dāng) ( )含有 個未知參數(shù)時，先利用極大似然法估計 個未知參數(shù)，然后求得 的估計 .此時稱或)為理論

35、頻數(shù)(22211222110224.()()().kkiiiiiiikkiiiiiiinnpnnnpnpnnpnnnpnpHc統(tǒng)計量或反映了實際頻數(shù)與理論頻數(shù)的綜合偏差，當(dāng)成立時，的取值偏小，因此檢驗的拒絕域形式為：001)nHkrkrF x 22 若 充分大，則當(dāng)為真時，統(tǒng)計量近似服從(分布定理，其中 為分類數(shù)，為 ( 中含有的未知：參數(shù)個數(shù).22212221(1),(1),kiiikiiinnknpnnkrrnp 即在顯著性水平 下拒絕域為（沒有參數(shù)需要估計）（有 個參數(shù)需要估計）2()iinnpnp：擬合檢驗使用時必須注意 要足夠大，或不能太小。根據(jù)實踐，要求，否則應(yīng)適當(dāng)合并相鄰的類，

36、以足要求。注滿iinpnpn50n505 5（）或方差分析和回歸分析方差分析和回歸分析 單因素方差分析 一元線性回歸 方差分析方差分析(Analysis of variance, 簡簡稱稱:ANOVA),是由英國統(tǒng)計學(xué)家費歇爾是由英國統(tǒng)計學(xué)家費歇爾(Fisher)在在20世紀(jì)世紀(jì)20年代提出的年代提出的,可用于推可用于推斷兩個或兩個以上總體均值是否有差異斷兩個或兩個以上總體均值是否有差異的顯著性檢驗的顯著性檢驗.1單因素方差分析例：為了比較三種不同類型日光燈管的壽命(小時), 現(xiàn)將從每種類型日光燈管中抽取 8個, 總共 24 個日光燈管進(jìn)行老化試驗,根據(jù)下面經(jīng)老化試驗后測算得出的各個日光燈管的

37、壽命(小時)，試判斷三種不同類型日光燈管的壽命是不是有存在差異.日光燈管的壽命(小時)類型壽命(小時)類型I5290 6210 5740 5000 5930 6120 6080 5310類型II5840 5500 5980 6250 6470 5990 5470 5840類型.III7130 6660 6340 6470 7580 6560 7290 6730引起日光燈管壽命不同的原因有二個方面引起日光燈管壽命不同的原因有二個方面: 其一其一, 由于日光燈類型不同由于日光燈類型不同,而引起壽命不同而引起壽命不同. 其二其二,同一種類型日光燈管同一種類型日光燈管,由于其它隨機(jī)因由于其它隨機(jī)因素的

38、影響素的影響, 也使其壽命不同也使其壽命不同. 在方差分析中在方差分析中, 通常把研究對象的特征值通常把研究對象的特征值, 即所考察的試驗結(jié)果即所考察的試驗結(jié)果( 例如日光燈管的壽命例如日光燈管的壽命)稱為稱為 試驗指標(biāo)試驗指標(biāo). 對試驗指標(biāo)產(chǎn)生影響的原因稱為對試驗指標(biāo)產(chǎn)生影響的原因稱為 因素因素, “日日光燈管類型光燈管類型” 即為即為因素因素. 因素中各個不同狀態(tài)稱為因素中各個不同狀態(tài)稱為 水平水平, 如日光燈管如日光燈管三個不同的類型三個不同的類型, 即為三個即為三個水平水平. 單因素方差分析單因素方差分析 僅考慮有一個因素僅考慮有一個因素A對試對試驗指標(biāo)的影響驗指標(biāo)的影響. 假如因素假

39、如因素 A有有r 個水平個水平, 分別分別在第在第 i 水平下進(jìn)行了水平下進(jìn)行了 多次獨立觀測多次獨立觀測, 所得到所得到的試驗指標(biāo)的數(shù)據(jù)的試驗指標(biāo)的數(shù)據(jù) 122221122111212122212:,:,:,rrrrrnnrnANANANXXXXXXXXX每個總體相互獨立. 因此, 可寫成如下的 數(shù)學(xué)模型:2(0,),1, 2,1, 2,ijiijijijiXNirjn各獨 立，012112:.:,.,rrHH 不全相等。檢驗假設(shè)組內(nèi)平均11,iniijjiXXn將每個子樣看成一個組1,2, .irEQ總平均111inrijijXXn1.riinn11,riiinXn總離差平方和TQ 21(

40、)riiin XXAQ記成記成211()inrijiijXX組內(nèi)離差組內(nèi)離差平平 方方 和和組間離差組間離差平平 方方 和和推導(dǎo)211()inrTijijQXX211() ()inrijiiijXXXX112()()inrijiiijXX X X211()inrijiijXX12 ()riiX X211()inrijiijXX211()inriijX X21()riiin X X1()inijijXX0EQAQ記成記成反映各組內(nèi)ijX由 引起的抽樣誤差2反映組間各母體均值不同引起的誤差加上抽樣誤差,ijiijX通過比較,ii0.HTEAQQQ離差分解式和EQAQ的數(shù)值來檢驗假設(shè)先計算先計算EE

41、QAEQ和和令1,2,ijn1,2, .ir其中令11,riiinn1.riinn記則,ii 1,2, .ir2(0,).ijN. .iid10.riiin于是進(jìn)而令于是，,ijiijX 1,2,ijn1,2, .ir11,iniijjin111.inrijijn和EQAQ可表示成21()rAiiiiQn 211()inrEiijiiijQ 211()inrijiij21()riiiin21riiin21()riiinriiiin1)(2rinjiijEiEEQ112)(riiijnjiE121)(riiijnjiD11)(rinjiiinn1211riin12) 1(.)(2rnriiiAnEQ12riiiEn12)(riiiiriiDnn121)(riiiiriinnnn122111.) 1(221rnirii顯然故,2rnQEE22111iiAnrrQE.22EAESES rnQSEE2記稱 組內(nèi)均方離差12rQSAA稱 組間均方離差),(2NXj i. .ii