數值計算課后答案3

1、習題三解答1、用高斯消元法解下列方程組。X12X24x2x37 - 82x1x2 3x31(1)4x12x25x34花2x27解:+ (-4)，1+ (-)消去第二、三個方程的X1，得：22音x?3X314x2X325313X2X32225再由+ (-4)消去此方程組的第三個方程的X2，得到三角方程組:X36 , X21 , X!9所以方程組的解為x (9, 1, 6)t 算法要求，不能化簡?；唲t不是嚴格意義上的消元法，在算法設計上就 多出了步驟。實際上，由于數值計算時用小數進行的，化簡既是不必要的也是不 能實現(xiàn)的。無論是順序消元法還是選主元素消元法都是這樣。 消元法要求采用一般形式，或者說

2、是分量形式，不能用矩陣，以展示消元過 程。要通過練習熟悉消元的過程而不是矩陣變換的技術。矩陣形式錯一點就是全錯，也不利于檢查。一般形式或分量形式：2x1 x2 3x314x-i 2x2 5x34x1 2x27 矩陣形式213%1425X24120X37向量形式x-i 4x2 2X3 5 必須是方程組到方程組的變形。三元方程組的消元過程要有三個方程組， 不能變形出單一的方程。 消元順序x-X2 L，不能顛倒。按為支援在方程組中的排列順序消元也是存儲算法的要求。實際上，不按順序消元是不規(guī)范的選主元素。 不能化簡方程，否則系數矩陣會變化，也不利于算法設計。11x-i 3x2 2x33 （2）23xi

3、 11x2X30Xi2x2 2x3 1 231解：+ （仝），+ （-丄）消去第二、三個方程的X1，得：111111x1 3x22X33523569X2X3111111252414x2X311111125再由+ C W）消去此方程組的第三個方程的X2，得到三角方程組:1111x1 3x22x33523569X2X31111111932235252回代，得：X322310641193 ，X2193 ，X1193 ，所以方程組的解為（蠱106193223 )t193)2、將矩陣10 2 00 111 A2 0 1 10 0 11作LU分解 解：設1°2°1°°

4、;°U11U12U13U14°111I211°°°U22U23U24LUA2°114l321°°°U31U32°°11l41l42l431°°°U44根據矩陣乘法，先求U的第一行，由aijUij，得U111,U120, U132, U14°。再求L的第一列，由矩陣乘法，因為如l iiUii，所以 Iji也，而UnU111，所再求U 的勺第二行,得l21U121U22 '1，則U221l21U121 °°1,l21U13

5、1U23° U331，則U231l21U131 °21,l21U141U24° U34° u441，則U241l21U141 °°1,再求L 的勺第二列,得l31U12l32U221 °°° °,則32°l31U12° 2°°41U12l42U22l430° ° °，則42°丨41U12° °°°再求U 的勺第三行,得l31U13l 32U231 u31，則U331l31U13

6、l32U231 22 °15l31U14l32U241 U34° u441,則U341l31U14l32U；241 2 °° 11再求L 的勺第三列,得l41U13l42U23l431U331 ° 1，則l43(1° 2 °1)155再求U 的勺第四行,得l41U14l42U24l431U341U441，則U441l41U14l42U24l43U341 °° °以 hi aji，所以 I21°, I312,141° o所以，矩陣A的LU分解為:(1)10 0 010 2 00

7、 10 00 1110，U指出：用分數而表示元素，不能化成近似小數也不化成小數表示3、用LU分解緊湊格式分解法解方程組。5 791016 8109x217 1087x315765x,110005762100055L 71,U100052103100解一，用一般格式求解： 將系數矩陣作LU分解得:594550101710Ly=b方程組為10006100y115y2171101y35213y41015解之得y1y2y3y41512210同樣地，解方程組Ux=y得x120X212X35x43解二，用LU緊湊格式分解法求解: 對增廣矩陣三角分解：5 79579 1016-810681091571087

8、171085765151 76579101562431655535571517175222531 0 -5115原方程組化成同解的上三角方程組為:5x,7x2:9x310X41241xx33x4555-1715x3X42213X1010回代得x (20, 12, 5,3)t。指出：10157910191624315555717187152511065179101243155515171222313051010緊湊格式是直接應用公式進行計算，計算結果保存在A的相應元素位置。從算法的角度，緊湊格式實際體現(xiàn)在數據的存儲方法上。由于緊湊格式計算時不再需要 A的前面的元素，因此可以進行。4、用列主元的三

9、角分解法解線性方程組。X 2x2 2x3 13x,x2 4x372x-i 3x2 2x30解一，列選主元素消元法：先選第一列主元為a2i 3，將第一個方程與第二個方程交換，消去 Xi得:524X2X3一33371414X2X3333X24X3 73x1x24X3771414X2X3333126X3331回代求得方程組的解X32，X21，X12再選第二列主元為日323，交換第所以方程組的解為三兩個方程，消去X2得二角形方程組:1 TX (2,1-)。212213247(A,b)3247 UuuuuuU122123202320324712 2 1332 4732232027GUluulS33311

10、52 21337同解的三角形方程組為3%X24X3771414X2X33334X3247324714142714143333331521423733 2 0解二，列主元素三角分解法:1回代求得方程組的解X3-，X21，X!2所以方程組的解為1 TX (2,1,)。2說明：用矩陣討論中，矩陣元素進行了化簡。5 用追趕法解方程組21,b10000分析： 三對角矩陣A 2 O2可以分解如下形式的兩個矩陣:1121131U2,U2U3n 1Un112Ui1131U22U3O1nOOn 1UnO1n由矩陣乘法規(guī)則，有U1li和2,3，L n)ui i h i 1 (i 2,3丄,n)這樣可以求出矩陣L和

11、U的所有元素 設有系數矩陣為A的方程組：Ax b,b (b11b2,L bn)T，這樣的方程組稱為三對角方程組。三對角方程組經LU分解分解為Ly b,Ux y，求解之yibiybihyi i,i 2,3丄，nXi(yiiXi J u,i n 1,n 2,L ,1這就是所謂追趕法 解：由公式uii 2,12Ui2U2133U2U3132I3C“1、“八 32 ()(1)-2223414U32 ( 2) ( 1)33U414 3155U44 6U55 I5 42 ( -) ( 1)-5 5由此得下三角方程組11221334Y11Y20Y301y40y504 ,15和上三角方程組X1y1X2y2X3

12、y31X4X565154解上三角方程組11y11y12y20y21y3oy33來oy41ysoy5415代入并解上三角方程組2 113112X12X1241X21X233X33X3451X41X454X54X5661556、用改進的Cholesky分解法解方程組4為 2x2 4x3102x,17x2 10x334x(10x29x37解：設此方程組的系數矩陣為 A,右端向量為b,則42410A21710,b341097矩陣A是對稱正定矩陣，可以進行喬累斯基分解。設424Uiiuiiui2Ui3217i0ui2U 22u 22U234109ui3U23U33U33由矩陣乘法得Uii2,U12i,u

13、i32, U224, U232, U33i由Uliyii0U12U 22y23U13U23U33y37得yi5, y22, y3i再由Uiiui2ui3Xi5U 22U23X22U33X3i得Xi2, X2i,X3i 07、用改進的Cholesky分解法解方程組4ii0Xi7i3i0X28ii52X340024X46解：U11U12U13U14pU22U23U24U33U34U442丄022ii3 ii0222u5不22ii5785解下三角方程組得2785725 11yi 2，%22 ' %解上三角方程組 得Xi 1,X2 2,X31,X42指出：6、7兩題應用一般的喬累斯基分解而沒有

14、采用書上的方法。 用MATLA求解為：>> format rat>> a=4>1>-1>0;1>3>-1>0;-1>-1>5>2;0>0>2>4a =41-1013-101-1520024>> P,q=chol(a)P =21/2-1/2 001985/1197-379/8380001179/5531106/11790005617/3180&設 x (1, 2,3)T，求 X2, x解：n|xhXi I1 I 2 3 6i 1n 2 1ML (|xj )2 J12 ( 2)2 3

15、2 皿i 1II xmax|xj max 1 , 2,3 3i1 1 09、設 A2 2 3，求 A1, A2, A5 41n解：| AL maxaijmax 8,7,48 ；nIIAmaxi j iaijmax2,7,1010 ；125 11030251A A124 223252120315411210則3025125212(30)(21)(10) 50 50 (21) 4(30)625(10)12103 61251090解之得，151.0043,129.9780, 30.0177 ,叫A.(AtA)寫出雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的迭代格式; 證明雅可比迭代法收斂而高斯-賽德爾迭代法發(fā)

16、散。(51.0043 7.1417。指出：三次方程可用三次方程的求根公式求出根來。 用我們學過的知識，三次方程的根有如下求法: 用二分法求。1 10110、設 A 2 23,x3,計算x| ,|A| ,|Ax| ,并比較 | Ax 與| A5 412的大小。解：xmax1 ,3,23 ,Amax1 10,223,54 110 ,1 1 012Ax 22332|Ax|max2, 2,99 ,54129|A| |x|10 330,|Ax|A| |x|122x11211、給定方程組111x20。221X310(3 )給定 x(0)(0,0,0)用迭代法求出該方程組的解，精確到X(k 1)X(k)10

17、解:(1) 此方程組變形為x-i 2x2 2x3 12X2X1X3x3 2x1 2x2 10據此建立雅可比法迭代格式得 x1k 1) 2x2k)2x3k)12 x2k1) x1k) x3k) x3k1) 2x(k) 2x2k) 10高斯-賽德爾迭代法迭代格式為x1k1) 2x2k) 2x3k) 12x(k 1) x(k 1) x(k)213系數矩陣12 2100A111D L U01122 1000x3k1) 2x(k1) 2x2k 1) 10(2)證明一：用定理2證明:0 0 0 0 2 21 0 0 0 0 12 2 0 0 0 0雅可比迭代法的迭代矩陣為0 22Bj1D (L U)101

18、22022則EBj1122令22E Bj11022則301230所以 p (Bj)=0<1所以雅可比迭代法收斂高斯-賽德爾迭代法的迭代矩陣為0 2 21Bg s (D L) U 0210 8 6由此求出BG S 141所以，高斯-賽德爾迭代法發(fā)散。證明二：用定理5證明：12 2A11 1 ,22 1令22110 ,22則3 01230 ,所以 p (Bj)=0<1所以雅可比迭代法收斂。 而2 21 0(2 44)0(2 78)(2 V8)02 21 0, 22 2邁322&所以 p (Bg-s)=2.2 >10所以高斯-賽德爾迭代法發(fā)散。(3) 取迭代初值x(0) (

19、0,0,0) T，用雅可比迭代法迭代得k(k) X 1(k) X 2(k) X 3000011201023221431246584124658因為 x(4)x0 f 10 3所以方程組的解為x* x（12, 46, 58）t用高斯-賽德爾迭代法迭代得k(k)X 1(k)X 2(k)X300001121238240294319610258649563701336因為高斯-賽德爾迭代法發(fā)散，不能求出滿足要求的解211x,012、給定方程組111x23。112x31（1）寫出 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代格式。 解：（1）方程組變形為x2x3所以,11x2X322咅 3111x1

20、x2222Jacobi迭代格式為(k1)1)x(k)x(k)2 x22 x3x(k)x(k)313(k 1)1(k)1(k)X1X2X322(k1)(k 1)x3k)3X2X1(kX31)1 (kX11）1 (k 1)-X21222證明:用定理5證明：211A111 ,112令Gauss-Seidel迭代格式為1 (k)1(k)1x1x22 2 21)2(2 1)(22) 01.1741.174，1 17彳1，所以雅可比迭代法發(fā)散?；颍核?Bj)記f()因為f (1)3, f(2)20所以方程40在區(qū)間(一2, 1)有一個根，則P (Bj)>1所以雅可比迭代法發(fā)散。 而(4241)01

21、21 所以 p (Bg-s)=<1,2所以高斯-賽德爾迭代法收斂。(0,0,0) T，用高斯賽德爾迭代法迭代得0, 2(3)取迭代初值x(0)(k 1)X1k 1)1 (k)1(k)x2x32 2(k1)(k)x-ix 31 (k 1)1(k 1)X1X22 2(k 1)X1丄(x(k) x(k) x2x3 )2(k 1)(k)(為X3 )1 (k 1) (k 1) (X1X221)k(k) X 1(k)X 2(k)X300001030.52-1.754.25-0.753-1.755.5-1.3754-2.0636.438-1.6885-2.3757.063-1.8446-2.6107.

22、454-1.9227-2.7667.688-1.9618-2.8647.825-1.9819-2.9587.939-1.99110-2.9747.965-2.00011-2.9837.983-2.00012-2.9927.992-2.00013-2.9967.996-2.00014-2.9987.998-2.00015-2.9997.999-2.00016-3.0008.000-2.00017-3.0008.000-2.000因為 x(17)x(16)05111 101115 1 1 10迭代法都是收斂的。14、方程組Ax=b,其中 10所以方程組的解為x*x(16)(3.000,8.000,

23、 2.000)T。5x1X2X3X4413、已知x110x2X3X412xX25X3 x48xX2X310x434格式的收斂性。解：因為51 11110 11x1x2x3x411 5111 110考察Jacobi迭代格式和 Gauss-Seidel迭代系數矩陣A是對稱正定矩陣，而且嚴格對角占優(yōu)，因此兩種A 4a 10 ,x,b R3a 01利用迭代收斂的充分必要條件確定雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法均收斂 的a的取值范圍。解：對雅可比迭代法來說，因為a a4a 03 5a20，a 0所以Bj的特征值為i 0, 25a, 3 5a。所以，迭代矩陣B的譜半徑為(B)妁 a，時，雅可比迭代法收斂對

24、高斯-賽德爾迭代法，因為a a,c3 L 22c4 a 05a 0a 0所以高斯-賽德爾迭代矩陣特征值為2120, 3 5a其譜半徑為2(Bg s) 5a，當（Bg s） 5a2 11.5 aJ5時,高斯-賽德爾迭代法收斂所以，雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法都收斂的a的范圍是(430x2415、設方程組341x230，分別用Gauss-Seidel迭代法和3= 1.2501 4 x324的SOF法求解此方程組，準確到4位有效數字(取x(0)(1,1,1T )。解：本方程組的Gauss-Seidel迭代格式為(kX；1)x2ki)1)3x2k)3 Xi(k 1)4!x2k1) 64(k)154

25、X取 x(0)(i,i,iT迭代得x(5.250,3.813, 5.057)x(3.141,3.883, 5.029) L用SOR方法解方程組迭代格式為x(k1)(1)x(k)x2k 1)(1)x2k)x3k1)(1)x3k)(3x2k)46)1(k)3 (k 1)(4x1取1.25 , x(0)(1,1,1迭代得x(1)(6.313,3.520, 6.650)x(2.622,3.959, 4.600)。100 9917、設A，計算A的條件數cond(A)p, p 2,8 p解：因為100 991 011 1 199980 1 uum&9998 0111 111 09899UuuUUi

26、U 0199100juuut2 0199100109899UuuuGuuV 0199100所以A198100AA1199所以 cond(A)1992 。At A10099100991002992(9999299989998100 9999 98100 99 99992 9829899 200 199 19899 19899 98 12001981)99198(2 99 981)(99200 1)(2 99981)(992198)(99 200239206(2 99 981)290109601 01)(99 200 1) (214653.5, 24949.59998 1)(992198)所以|

27、a.(AtA)114653.5121.05;(A 1)tA 1989998999929829910099100(10099 99 98)(10010099299 98)99299 19699 19899 19899 200 1得(9999196198所以a11)99(991982001)392062901096010,14653.5, 24949.51 T 1(A ) A ).14653.5121.05 ;所以 cond(A)2121.05。18、設A是n階非奇異方陣,B是n階奇異方陣，試證明con d(A)A B|A|分析:要證明,IIa b|con d(A)|a|因為 cond(A)A 1

28、 A ，即證:1a1!卜B|IA，因為范數總是不小于0的,也即證:也即證：|a1|a b i ,由相容性，只需要證明|a|A B|A 1(A B) IE A 1B 1而要證明E a 1B 1 ,根據定義E a 1Bmaxl(Ea 1B)x|x只需要證明對于某個特殊的Xo 0 ,|(E A1B)x|xo |1 '因為B是奇異矩陣，所以Xo 0滿足:Bxo 0，利用這個條件，可以完成證明證明：E A1bmax KE1a 1B)x|x因為B是奇異矩陣，所以x。0滿足:Bx°0，所以(E A1B)x0|ex。(a1)®。)|ex°|x°|xoxoxoE

29、a1b又因為l(Emaxa 1B)x|x|IIaFIa B |a1(a b)|e(E A1B)xoXo|a 1b所以|a|a b| 1，因為范數總是不小于0的，所以1所以1 IA BA1|A IAI而 cond(A) | A 1 | A所以1|IA B|con d(A)|A|19、舉例說明一個非奇異矩陣不一定存在 LU分解 解：考慮矩陣顯然A非奇異。若A有LU分解，則有0110 bcbc10a1 0dab ac d于是b0,c1,ab1,ac d 0，而b0ab0，矛盾。故并非所有的非奇異矩陣都能LU分解。 指出：舉例，從簡單的例子開始。 所以A A可逆。補充題（一）1、設有矩陣作矩陣的LU分

30、解。 解：由矩陣的LU分解公式i 1UjaijlikUkj( j i,i 1,L ,n;i 1,2,L , n)k 1j 1lij (ajlikUj)/Ujj (ij 1,j 2,L ,n; j 1,2,L , n)k 1可得U11an4U12a123|11 1 / U111I21a21 / Un12U21a21 |21U1121240U22a22 I211U12113122|12(a12I11U12) / U22(311 3)/( -) 02I 2222I21U12 )/ U22(1113)/( -)122所以1 0L 1 ,U -124310 -22,3丄，n),可以直接套用指出：a1j=

31、U1j(j=1,2,3,n) , |訂a(iU112、考慮三對角矩陣給出三對角矩陣A的LU分解算法，并給出求解以A為系數矩陣的線性方程組 的算法。解：對于三對角矩陣A，也可以用LU分解方法，把它分解為下三角矩陣 L與 上三角矩陣U的乘積。即A=LU但因為三對角矩陣的特殊性，我們容易驗證，分解出的兩個矩陣具有這樣的形式：1U1 1I21U2 2LI31,UU3 OO OOnIn 1Un即Ui12 1I31O OIn1U22U3OUn由矩陣乘法規(guī)則，我們有U1li (i 2,3丄 n) ,Ui 1ui i li i 1(i 2,3,L , n)這樣可以求出矩陣L和U的所有元素 設有系數矩陣為A的方

32、程組：Ax b,b (b1,b2丄 bn)T，這樣的方程組稱為三對角方程組。三對角方程組經LU分解分解為Ly b,Ux y，求解之Y1b1Yibi liYi 1,i2,3丄，n 'XnYn UX (Yi1)Ui,i n 1,n 2,L ,1用這組公式解三對角線性方程組稱為追趕法，其中 到大和由大到小的形象比喻?！白贰焙汀摆s”是指下標由小3用追趕法解線性方程組的計算量最大約為 5n次，比高斯消元法的n次少得多33.用高斯消元法求解線性方程組:2x13x24x363x15x22x35 。4x13x230x332解：3+ (-)，+ (- 2)消去第二、三個方程的X1，得:2x1 3x2 4

33、x360.5x2 4x343x222 x320再由+ 6消去此方程組的第三個方程的X2，得到三角方程組:2% 3x2 4x360.5x2 4x342x344.回代，得：X32 , x24 4X30.58 ,Xi6 3X2 4X3213用高斯列選主元素消元法解線性方程組Xi2x2 3x315X| 4x210x303x(0.1x2 x32解：先選第一列主兀為a21 5，將第一行與第二行交換，消去X1得：5x14x2 10 x3 01.2 x2 x312.5 X2 5 X32再選第二列主元為a32 2.5，交換第二行與第三行，消去X2得三角形方程組:5為 4x2 10x302.5x2 5x321.4

34、x3 1.96回代求得方程組的解X31.4，X2 2，X1 1.25. 用高斯全選主元素消元法解線性方程組12x1 3x2 3x31518x1 3x2 x315x1x2x36解：選全主元為X2118，交換第一個方程與第二個方程，消去X1，得：1炭3X2禺 15X? 2.33X3 5.0001.1672 0.9443 5.167再在此方程組的后兩個方程中選主元a22 2.333，交換第二與第三個方程，消 去X2得三角形方程組：1&1 3X2 X$152.3333 X2 5.0001.5722 3.144回代得方程組的解x2 2.000，務3.000， X, 1.0001即原方程組的解為：

35、X 236用 LU 分解法解線性方程組1020x150101x23。1243x3。170103x47解：設10201u11 u12u13u140101l211u22u23u241243l31 l321u33u340103l41 l42l431u44由矩陣乘法（或LU公式）分解得11u11u12u13u141020l21101u22u23u24101l31l321121Ju33u3421l41l42l43 10101u442解下三角方程組1y1501y23121y3170101y47得y15,y23,y3 6,y44再解上三角方程組1020x15101x2321x362x44得x42,x32,

36、x21,x11。指出：LU分解的手算求解實際上不需要記憶公式 題 1 ：解：對矩陣A423，1，設4310u11 u1221l2110 u22先計算U的第一行，由矩陣乘法，有Q a1141 u11+00uii 4Q a123=1 u12+° u22U123再計算L的第一列，由矩陣乘法，有Q a?12121U111 021a21 /u11然后計算U的第2行Q a 221 121U121 U22U22121U12所以補充題（二）1、考慮矩陣2 11 2 11 2 11 2試求A的喬累斯基分解解：矩陣A是對稱正定矩陣，可以進行喬累斯基分解 設21U11U11比U13U14121U12U22U22U23U2412 1U13U23U33U33U341 2U14U24U34U44U44由矩陣乘法，得u112, U12至u1320，口40,U22、6,U232L 0,U3323,U34亠 J32匹U442所以.222U11U12U13U14仝2_6U22U23U2423U33U342 3U443補充題(三)1、計算向量x (1, 2,4)T的各種范數。解：Xi 1 2 4 7 ,X2，廠T2廠