全國研究生數(shù)學(xué)建模大賽——數(shù)控加工刀具運(yùn)動的優(yōu)化控制

1、參賽密碼 （由組委會填寫） 第十二屆“中關(guān)村青聯(lián)杯”全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽題 目 數(shù)控加工刀具運(yùn)動的優(yōu)化控制摘 要：問題一 要求加工型線為折線，在指定誤差的的條件下，建立實(shí)時加工優(yōu)化控制算法，求加工刀具經(jīng)過相鄰折線段夾角為90o和135o時多坐標(biāo)運(yùn)動速度的變化?？紤]到兩條相交的折線一定可以構(gòu)成一個平面，因此可以將問題一中刀具的運(yùn)行軌跡從三維降到二維來分析。首先求出x方向和y方向上速度的變化規(guī)律，進(jìn)而將兩個方向的速度進(jìn)行合成，求出合速度的運(yùn)行軌跡。最后通過限定條件刀具加工軌跡與實(shí)際軌跡之間的小于要求誤差，求出最終的折點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)動速度的變化。問題二 加工型線是由直線段和圓弧段（相切或不相切）組成的連

2、續(xù)曲線，在指定加工誤差的條件下，不考慮瞬時啟動加速度及瞬時啟動速度，建立實(shí)時加工優(yōu)化控制算法，討論圓弧半徑的變化對算法效率的影響；本次設(shè)計(jì)針對圓弧曲線進(jìn)行插補(bǔ)，采用加減速的方式完成刀具的行走過程。根據(jù)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)原理，實(shí)現(xiàn)數(shù)控軌跡的密化。本次插補(bǔ)的難點(diǎn)在于對刀具行走軌跡的自動加減速進(jìn)行控制，由控制器發(fā)出相應(yīng)指令，當(dāng)?shù)毒咭圆煌俣冗\(yùn)行到不同位置時，能夠根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)判斷下一個插補(bǔ)周期需要的狀態(tài)，從而連續(xù)平滑的完成插補(bǔ)過程。問題三 在問題二的基礎(chǔ)上，考慮瞬時啟動加速度及瞬時啟動速度，建立相對應(yīng)的實(shí)時加工優(yōu)化控制算法。在圓弧段的處理方式同樣采用了問題二中的圓弧加減速插補(bǔ)算法，而在直線段的處理上，因?yàn)?/p>

3、刀具存在瞬時啟動加速度及瞬時啟動速度，故對S型曲線加以改變從而優(yōu)化直線段刀具的運(yùn)行效率。問題四 分析S型曲線的加減速控制方法的優(yōu)缺點(diǎn)，在滿足精度和速度要求的條件下，建立能提高機(jī)床運(yùn)行平穩(wěn)性的優(yōu)化控制運(yùn)動模型。依據(jù)數(shù)控加工的實(shí)際條件,提出了一種新型的S曲線加減速算法。在單段路徑中,通過選取的初速度和末速度,計(jì)算得到加速區(qū)、勻速區(qū)和減速區(qū)的時間長度,消除了一般S曲線加減速方法在單一路徑中初速度和末速度相同的約束。在多段路徑中,分析了拐角處夾角大小和路徑長度對速度的限制條件,進(jìn)而采用移動窗口策略得到預(yù)處理段內(nèi)各拐點(diǎn)速度.關(guān)鍵詞：S曲線加減速算法 圓弧加減速插補(bǔ)算法 新型S曲線加減速算法一、問題重述1

4、.1 背景數(shù)控加工是指，由控制系統(tǒng)發(fā)出指令使刀具作符合要求的各種運(yùn)動，按照以數(shù)字和字母形式表示的工件形狀和尺寸等技術(shù)和加工工藝要求進(jìn)行加工1。數(shù)控加工技術(shù)正朝著高速高效高精度方向發(fā)展，高速加工要求機(jī)床各運(yùn)動軸都能夠在極短的時間內(nèi)達(dá)到高速運(yùn)行狀態(tài)并實(shí)現(xiàn)高速準(zhǔn)停。研究開發(fā)數(shù)控加工刀具運(yùn)動滿足高速高精度要求的、有效柔性加減速的控制方法，已成為現(xiàn)代高性能數(shù)控系統(tǒng)研究的重點(diǎn)。數(shù)控機(jī)床一般由輸入輸出設(shè)備、數(shù)控裝置(CNC)、伺服單元、驅(qū)動裝置(或稱執(zhí)行機(jī)構(gòu))、可編程控制器(PLC)及電氣控制裝置、輔助裝置、機(jī)床本體及測量裝置組成。圖1是數(shù)控機(jī)床的硬件構(gòu)成。圖1 數(shù)控機(jī)床的硬件構(gòu)成數(shù)控裝置（CNC裝置）是數(shù)

5、控機(jī)床的中樞。數(shù)控裝置從內(nèi)部存儲器中取出或接受輸入裝置送來的一段或幾段數(shù)控加工程序，經(jīng)過數(shù)控裝置的邏輯電路或系統(tǒng)軟件進(jìn)行編譯、運(yùn)算和邏輯處理后，輸出各種控制信息和指令，控制機(jī)床各部分的工作，使其進(jìn)行有序運(yùn)動和動作。 零件的輪廓圖形往往由直線、圓弧或其他非圓弧曲線組成，刀具在加工過程中必須按零件形狀和尺寸的要求進(jìn)行運(yùn)動，即按圖形軌跡移動。但輸入的零件加工程序只能是各線段軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)值等數(shù)據(jù)，不能滿足要求。因此要進(jìn)行軌跡插補(bǔ)，也就是在線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)值之間進(jìn)行“數(shù)據(jù)點(diǎn)的密化”，求出一系列中間點(diǎn)的坐標(biāo)值，并向相應(yīng)坐標(biāo)輸出脈沖信號，控制各坐標(biāo)軸（即進(jìn)給運(yùn)動各執(zhí)行部件）的進(jìn)給速度、

6、進(jìn)給方向和進(jìn)給位移量等2。文中的難點(diǎn)在于數(shù)控機(jī)床要對加工刀具在三個坐標(biāo)軸方向的運(yùn)動實(shí)行的是分別控制，刀具行走的路線是一系列首尾相接的直線段，由此加工刀具的運(yùn)行軌跡與工件的幾何形狀存在誤差，刀具的運(yùn)動方向受限制，而且影響到加工刀具在三個坐標(biāo)軸方向上的速度、加速度；這里我們需要研究應(yīng)該建立怎樣的模型，使用何種算法對圓弧和不規(guī)則的曲線進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算，并且應(yīng)該如何正確的使用S曲線加減速算法，從而在滿足精度和速度要求的條件下，建立能提高機(jī)床運(yùn)行平穩(wěn)性的優(yōu)化控制運(yùn)動模型 。1.2 問題（1）要求加工軌跡為折線形，討論當(dāng)相鄰兩折線段夾角為90°和135°時，通過折線交點(diǎn)時對應(yīng)各坐標(biāo)運(yùn)動速度

7、的變化。（2）將加工軌跡改為直線段和圓弧段組成的連續(xù)曲線，不考慮瞬時啟動加速度和瞬時啟動速度，討論圓弧半徑的變化對算法效率的影響；（3）在第2問基礎(chǔ)上，考慮瞬時啟動加速度及瞬時啟動速度，建立相對應(yīng)的實(shí)時加工優(yōu)化控制算法；（4）結(jié)合前3問，分析S型曲線的加減速控制方法的優(yōu)缺點(diǎn)，在滿足精度和速度要求的條件下，建立能提高機(jī)床運(yùn)行平穩(wěn)性的優(yōu)化控制運(yùn)動模型（如刀具在各坐標(biāo)軸方向上的運(yùn)動滿足加加速度連續(xù)變化等）。二、問題分析 問題1的分析 問題一要求加工型線為折線，在指定誤差的的條件下，建立實(shí)時加工優(yōu)化控制算法，求加工刀具經(jīng)過相鄰折線段夾角為90o和135o時多坐標(biāo)運(yùn)動速度的變化。考慮到兩條相交

8、的折線一定可以構(gòu)成一個平面，因此可以將問題一中刀具的運(yùn)行軌跡從三維降到二維來分析。首先求出x方向和y方向上速度的變化規(guī)律，進(jìn)而將兩個方向的速度進(jìn)行合成，求出合速度的運(yùn)行軌跡。最后通過限定條件刀具加工軌跡與實(shí)際軌跡之間的小于誤差，求出最終的坐標(biāo)運(yùn)動速度的變化。問題2的分析 加工型線是由直線段和圓弧段（相切或不相切）組成的連續(xù)曲線，在指定加工誤差的條件下，不考慮瞬時啟動加速度及瞬時啟動速度，建立實(shí)時加工優(yōu)化控制算法，討論圓弧半徑的變化對算法效率的影響；本次設(shè)計(jì)針對圓弧曲線進(jìn)行插補(bǔ)，采用加減速的方式完成刀具的行走過程。根據(jù)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)原理，實(shí)現(xiàn)數(shù)控軌跡的密化。本次插補(bǔ)的難點(diǎn)在于對刀具行走軌跡的自動加

9、減速進(jìn)行控制，由控制器發(fā)出相應(yīng)指令，當(dāng)?shù)毒咭圆煌俣冗\(yùn)行到不同位置時，能夠根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)判斷下一個插補(bǔ)周期需要的狀態(tài)，從而連續(xù)平滑的完成插補(bǔ)過程。插補(bǔ)算法一直以來就是數(shù)控系統(tǒng)中的核心技術(shù)。從數(shù)控系統(tǒng)的原理來說，插補(bǔ)的本質(zhì)問題就是對任意曲線進(jìn)行分解，成為若干段微小的曲線，當(dāng)對曲線的分解達(dá)到無窮級時，每一段曲線便成為微小的直線段。然后利用與相應(yīng)微小曲線相類似的直線段代替，通過控制刀具按直線段行走進(jìn)行加工，完成為整個曲線的插補(bǔ)運(yùn)算加工。實(shí)際問題中不可能對任意曲線的分解達(dá)到無窮，因此總是存在相應(yīng)的誤差。然而在實(shí)際運(yùn)用中對誤差的容忍度有限，因此只需在滿足精度的情況下進(jìn)行曲線的分解。對曲線的分解過程即是將

10、其坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行密化，不但要保證精度，還需要在極短的時間內(nèi)完成。受現(xiàn)代技術(shù)的限制，這一過程目前還存在一定的問題。由此而產(chǎn)生的對插補(bǔ)算法的研究也一直沒有停止過，從經(jīng)典的逐點(diǎn)比較法到現(xiàn)在的自由曲面直接插補(bǔ)法，各種算法層出不窮。問題3的分析 在第2問基礎(chǔ)上，考慮瞬時啟動加速度及瞬時啟動速度，建立相對應(yīng)的實(shí)時加工優(yōu)化控制算法。在圓弧段的處理方式同樣采用了問題二中的圓弧加減速插補(bǔ)算法，而在直線段的處理上，因?yàn)榈毒叽嬖谒矔r啟動加速度及瞬時啟動速度，故對S型曲線加以改變從而優(yōu)化直線段刀具的運(yùn)行效率。 問題4的分析 分析S型曲線的加減速控制方法的優(yōu)缺點(diǎn)，在滿足精度和速度要求的條件下，建立能提高機(jī)床運(yùn)行平穩(wěn)性的優(yōu)化

11、控制運(yùn)動模型。依據(jù)數(shù)控加工的實(shí)際條件,提出了一種新型的S曲線加減速算法。在單段路徑中,通過選取的初速度和末速度,計(jì)算得到加速區(qū)、勻速區(qū)和減速區(qū)的時間長度,消除了一般S曲線加減速方法在單一路徑中初速度和末速度相同的約束。在多段路徑中,分析了拐角處夾角大小和路徑長度對速度的限制條件,進(jìn)而采用移動窗口策略得到預(yù)處理段內(nèi)各拐點(diǎn)速度.三、符號說明運(yùn)動過程中，機(jī)床對于速度、加速度、加加速度等的限制條件如下：l 進(jìn)給速度范圍Vmin, Vmax： 0.13, 6 單位m/minl 加速度范圍Amin, Amax： 0.02, 0.6 單位m/s²l 加加速度： =300 單位mm/s³l

12、 瞬時啟動速度： = 0.13單位m/minl 瞬時啟動加速度： = 0.02單位m/s²l 誤差 l 分辨率：M= 四、模型建立與問題求解4.1 問題一模型與求解4.1.1 問題重述加工型線為折線，在指定誤差的的條件下，建立實(shí)時加工優(yōu)化控制算法，求加工刀具經(jīng)過相鄰折線段夾角為90o和135o時坐標(biāo)運(yùn)動速度的變化。4.1.2 夾角為90o坐標(biāo)運(yùn)動速度的變化 圖2 圖3（1）刀具為了轉(zhuǎn)過夾角90o時,一開始轉(zhuǎn)角之前Vx 0，轉(zhuǎn)完90o之后，Vy為0.（2）基于S型曲線的加減速控制方法，可知加加速階段和減減速階段，速度的初始值和最終值分別為零，與Vx和Vy的速度變化規(guī)律相同，如圖3所示。

13、Vx變化曲線稱為加加速度Vy變化曲線稱為減減速度合速度的變化軌跡限制誤差條件4.1.3 夾角為135o坐標(biāo)運(yùn)動速度的變化 圖4 圖5Vx變化曲線方程由兩段組成，一段是加加速度運(yùn)動和一段勻加速過程 Vy變化曲線方程由兩段組成，一段是加減速度運(yùn)動和一段勻減速過程 合速度變化的軌跡4.2 問題二模型與求解4.2.1 問題重述加工型線是由直線段和圓弧段（相切或不相切）組成，在指定誤差的條件下，不考慮瞬時啟動加速度及瞬時啟動速度，建立實(shí)時加工優(yōu)化控制算法，并討論圓弧半徑的變化對算法效率的影響。本次設(shè)計(jì)針對圓弧曲線進(jìn)行插補(bǔ)，采用加減速的方式完成刀具的行走過程。根據(jù)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)原理，實(shí)現(xiàn)數(shù)控軌跡的密化。本次

14、插補(bǔ)的難點(diǎn)在于對刀具行走軌跡的自動加減速進(jìn)行控制，由控制器發(fā)出相應(yīng)指令，當(dāng)?shù)毒咭圆煌俣冗\(yùn)行到不同位置時，能夠根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)判斷下一個插補(bǔ)周期需要的狀態(tài)，從而連續(xù)平滑的完成插補(bǔ)過程。4.2.2實(shí)時優(yōu)化控制算法實(shí)現(xiàn) 當(dāng)?shù)毒咴谥本€段上運(yùn)動時，故使得效率最高，可以控制刀具做一個以直線段的長度為總位移的一個型加減速曲線運(yùn)動，在最短時間內(nèi)達(dá)到最大速度。通過計(jì)算可以得到曲線前三段和后三段的總位移為，之后控制刀具以最大速度運(yùn)動的勻速階段的時間即可得到直線段刀具的最優(yōu)控制。設(shè)為給定位移,在計(jì)算中為已知量,且， (其中為勻速過程位移, 為升速過程位移,為降速過程位移), 為初速度值,為末速度值,為最大速度值。圖

15、6由題目中給的S型曲線各階段的變化規(guī)律，通過計(jì)算得出，做一個完整的S型曲線刀具所走的位移可用如下公式表示： （4-2-1）其中，設(shè)刀具所走的直線距離是L，當(dāng)L>S時，當(dāng)L<S時，所以刀具在直線段上運(yùn)行時的時間為：刀具在進(jìn)行插補(bǔ)時的速度應(yīng)該是一個加速-勻速-減速的過程，各個過程與時間的關(guān)系應(yīng)該由相應(yīng)的加速度來控制。因此曲線的形狀呈現(xiàn)一定的拋物線形。令初始進(jìn)給速度為F1，末端進(jìn)給速度為F2，指令速度為F，當(dāng)前速度為V，減速距離為S，當(dāng)前距離為CS，n為插補(bǔ)周期個數(shù)，t為當(dāng)前時刻。則速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：(F1<F)&&(CS>S)，起始時刀具加速運(yùn)動。 F1

16、<F/2，加速度為； F1>=F/2,加速度為；(F1>=F)&&(CS>10)，刀具做勻速運(yùn)動。(F1>=F)&&(CS<S)，刀具做減速運(yùn)動。 V<4F2，加速度為； V>=F/2，加速度為。其速度曲線如圖7所示。圖7 圓弧插補(bǔ)速度曲線插補(bǔ)軌跡的數(shù)學(xué)表達(dá)式本次插補(bǔ)對象為圓弧，因此其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 這里可以忽略Z向變化，即假定其為定值，上式變?yōu)閷A弧第一象限部分進(jìn)行插補(bǔ)，利用MATLAB軟件進(jìn)行圖形繪制，其圓弧軌跡如圖8所示。圖8 圓弧軌跡插補(bǔ)原理3-5設(shè)被插補(bǔ)圓弧如圖8所示，其半徑為R，圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，端點(diǎn)為

17、A和C。根據(jù)采樣插補(bǔ)原理，圓弧插補(bǔ)的任務(wù)是，沿給定的圓弧軌跡在兩端點(diǎn)之間進(jìn)行坐標(biāo)密化，并使插補(bǔ)點(diǎn)之間的距離滿足速度和精度要求。根據(jù)圖中關(guān)系，位于圓弧軌跡上的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)可按下式求得： （4-2-2） 這樣，根據(jù)進(jìn)給方向、進(jìn)給速度和精度要求控制的增加或減少，即可控制懂點(diǎn)沿圓弧軌跡逆時針或順時針運(yùn)動，從而實(shí)現(xiàn)逆圓或順圓插補(bǔ)。 圖9 圓弧插補(bǔ)原理由于式(4-2-2)就是圓弧的參數(shù)方程，因此可確保其計(jì)算的插補(bǔ)點(diǎn)位于圓弧指令軌跡上。剩下的問題是，如何使插補(bǔ)速度和逼近誤差滿足要求，為此采取以下措施。(1)速度控制由圖9可知，兩相鄰插補(bǔ)點(diǎn)對應(yīng)的位置角有以下關(guān)系： （4-2-3） 式中為步距角(插補(bǔ)直線段對應(yīng)的

18、圓心角)。如果對步距角進(jìn)行控制，使其滿足 （4-2-4） 式中為進(jìn)給速度()；為插補(bǔ)周期()。則可使插補(bǔ)誤差的運(yùn)動速度滿足給定的進(jìn)給速度。(2)誤差控制為滿足誤差的要求，可按給定的允許誤差對進(jìn)行約束控制，使其最大值滿足 （4-2-5） 式中為所允許的最大徑向誤差。這樣，實(shí)際運(yùn)行過程中各種若，則按式(4-2-4)求出的進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算，否則按進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算。因?yàn)槭?4-2-5)的計(jì)算可在預(yù)處理階段完成，所以上述誤差控制不會影響插補(bǔ)的實(shí)時性。柔性加減速控制為充分利用機(jī)床的有效工作行程，要求機(jī)床運(yùn)動具有極短的加減速過渡過程。而僅從時間上去考慮縮短過渡過程，而不對機(jī)床的加減速動態(tài)過程進(jìn)行合理的控制，必將給擊

19、穿鋼結(jié)構(gòu)帶來很大的沖擊。為解決問題，一方面要求數(shù)控系統(tǒng)能因機(jī)而異，另一方面需在控制系統(tǒng)中采用特殊方法來實(shí)現(xiàn)這種動態(tài)規(guī)律。顯然，傳統(tǒng)數(shù)控系統(tǒng)采用的固定加減速控制方法是無法實(shí)現(xiàn)這一要求的。為此采用一種可根據(jù)任意曲線對數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動進(jìn)行自動加減速控制的方法。這種方法將自動加減速控制有傳統(tǒng)的固定模式推向新的柔性模式，為有效提高數(shù)控機(jī)床的動態(tài)性能探索出一條新的途徑。在數(shù)控系統(tǒng)軟件中，設(shè)計(jì)一條通用的與加減速數(shù)據(jù)庫內(nèi)容無關(guān)的通道，由其獨(dú)立完成加減速計(jì)算和軌跡控制。該方法的實(shí)現(xiàn)原理圖如圖8所示。圖10 柔性加減速控制原理圖（1）柔性自動加速控制設(shè)給定的加速曲線如圖11所示，現(xiàn)將其作為樣板以數(shù)表形式存放于加減速

20、曲線庫中。圖中，為加速過程進(jìn)給速度總該變量(樣板速度差)，為加速過程所需時間(樣板加速時間)。根據(jù)加速曲線數(shù)表實(shí)現(xiàn)加速控制的過程如下：根據(jù)加速開始前的進(jìn)給速度F1，加速過程結(jié)束后進(jìn)給速度F2，求出加速過程速度差，并據(jù)此計(jì)算出實(shí)際速度差與樣板速度差的比值 (4-2-6)根據(jù)加速開始前到當(dāng)前時刻所經(jīng)過的插補(bǔ)周期個數(shù)n，計(jì)算出時間(為采樣時周期 (4-2-7)根據(jù)差加速曲線表可得樣板速度增量。由此可計(jì)算出經(jīng)過n個插補(bǔ)周期后實(shí)際速度的變量 (4-2-8)進(jìn)一步，經(jīng)求出的n周期速度該變量代入下式，求出當(dāng)前插補(bǔ)周期的實(shí)際進(jìn)給速度 (4-2-9)最后，根據(jù)所求得的計(jì)算當(dāng)前采樣周期中插補(bǔ)直線的長度，并據(jù)此進(jìn)行

21、歸集計(jì)算，即可實(shí)現(xiàn)滿足圖11所示曲線要求的自動加速控制。 圖11自動加速曲線 圖12 自動減速曲線（2）柔性自動減速控制設(shè)給定的減速曲線如圖12所示，如同加速控制一樣將去作為樣板以數(shù)表的形式存放于加減速曲線庫中。根據(jù)加速曲線數(shù)表實(shí)現(xiàn)自動減速控制的過程如下：同加速過程一樣，減速過程速度差為。按照與加速控制相同的過程，求出時間，并查減速曲線表得樣板速度增量，由此可計(jì)算出經(jīng)過n個插補(bǔ)周期后實(shí)際速度的改變量 (4-2-10)進(jìn)一步，將求出的n周期改變量代入下式，求出當(dāng)前插補(bǔ)周期的實(shí)際進(jìn)給速度 (4-2-11)最后，根據(jù)計(jì)算當(dāng)前插補(bǔ)周期中插補(bǔ)直線段的長度，并據(jù)此進(jìn)行軌跡計(jì)算，即可實(shí)現(xiàn)滿足圖12所示曲線要

22、求的自動減速控制。對于自動減速控制，減速前還需要預(yù)測減速點(diǎn)，以決定何時開始減速。確定減速點(diǎn)的依據(jù)是減速距離s，其計(jì)算公式為： (4-2-12)式中為樣板減速時間；為樣板減速距離。樣板減速距離可通過下式以離線方式預(yù)先求出，并存儲于加減速數(shù)據(jù)庫中。 (4-2-13)式中為樣板減速曲線的離散取值；為樣板減速曲線離散點(diǎn)總數(shù)；為豎直幾分的時間增量。插補(bǔ)程序流程圖如圖13所示圖13 程序流程圖最終結(jié)果分析在MATLAB程序窗口輸入以上命令并點(diǎn)擊運(yùn)行之后，輸入相應(yīng)的參數(shù)，可得到以下數(shù)據(jù)：圓弧軌跡、速度曲線、加速度曲線。分別如圖14-16所示。圖14 圓弧軌跡圖15 速度曲線 圖16 加速度曲線圓弧軌跡曲線與

23、設(shè)置的參數(shù)一致，是半徑為0.5，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)。從速度曲線可知，運(yùn)用插補(bǔ)算法后，刀具在每一段插補(bǔ)線段上做了一個周期的加減速運(yùn)動。根據(jù)題目所給機(jī)床的相關(guān)速度、加速度、加加速度等限制條件，由于刀具的加速度沒有達(dá)到最大值時速度已經(jīng)達(dá)到了最大值，故刀具只經(jīng)過了S曲線加減速算法的加加速階段、減加速階段、加減速階段、減減速階段。在初始階段起步時速度變化較緩慢，經(jīng)過一定時間后速度迅速上升，達(dá)到插補(bǔ)路程中段左右開始加減速運(yùn)動和減減速運(yùn)動，之后產(chǎn)生與加速過程相類似的變化趨勢。刀具的這種變化曲線同實(shí)際運(yùn)用各種較為相似，即刀具在運(yùn)行過程中有充分的緩沖時間，這樣可減少系統(tǒng)產(chǎn)生的沖擊，有利于加工過程平穩(wěn)，快速的進(jìn)行。而

24、速度曲線的變化趨勢直接受加速度曲線變化趨勢的影響。由加速度曲線可知，系統(tǒng)初始加速度為0，當(dāng)控制器發(fā)送指令后在較短的時間內(nèi)完成加速度的上升，到達(dá)一定程度后加速度又逐漸變小從而控制刀具的速度完成平滑的過渡。而減速過程與加速過程正好相反。在加速度的控制之下，刀具平穩(wěn)、快速的實(shí)現(xiàn)圓弧軌跡的插補(bǔ)運(yùn)算。4.2.3 圓弧半徑對算法效率的影響 現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)常采用時間分割法進(jìn)行前加減速插補(bǔ)。對以連續(xù)短線段描述的空間加工路徑，若直接以各段為單位進(jìn)行加減速，效率很低；若采用直接過渡法進(jìn)行加減速，合成速度的加減速次數(shù)減少，但各運(yùn)動軸速度隨著分量系數(shù)的變化而產(chǎn)生不同程度的跳變，盡管跳變量可以根據(jù)系統(tǒng)加減速能力限制在可接

25、受的范圍內(nèi)但加加速度將產(chǎn)生明顯沖擊，嚴(yán)重時可能在工件表面產(chǎn)生刀痕。如果在任意兩線段間加入相切的空間圓?。▓D 17），則線段間將被光滑地連接成整體，加工效率會進(jìn)一步提高，各運(yùn)動軸由于轉(zhuǎn)接圓弧的存在而主動調(diào)整速度以適應(yīng)后續(xù)段的需要，速度跳變得以避免。圖174.2.3.1 轉(zhuǎn)接精度與過渡圓弧半徑如圖17，插入空間圓弧后應(yīng)當(dāng)保證其軌跡精度在最大允許誤差范圍內(nèi)。在加工過程中，其誤差由兩部分構(gòu)成，一部分來自圓弧轉(zhuǎn)接誤差，另一部分來自插補(bǔ)圓弧時產(chǎn)生的弓高誤差。即要求： （4-2-14）為處理方便，此處取=/2對于由三個刀位點(diǎn)控制的兩相鄰線段，其幾何特征包括：第i段線段長度，第i+1段線段長度和兩線段的過渡夾

26、角，則過渡圓弧的圓心角為若和足夠大，則圓弧半徑 R ： （4-2-15）由于第i段線段需要同時與第 i1段線段和第 i+1段線段進(jìn)行過渡，考慮到為下一段線段留足夠的銜接余地，這里分別取每段線段長度的一半進(jìn)行過渡運(yùn)算。則兩側(cè)過渡距離 (4-2-16)若和不夠長，此兩相鄰線段提供的過度空間不足，取，需要根據(jù)重新計(jì)算圓弧半徑R (4-2-17)4.2.3.2轉(zhuǎn)接速度轉(zhuǎn)接速度即空間圓弧段的最大加工速度。設(shè)插補(bǔ)周期為T ，機(jī)床的最大加速度為，考慮機(jī)床的驅(qū)動能力，應(yīng)有： (4-2-18)插補(bǔ)時還將產(chǎn)生弓高誤差 (4-2-19)應(yīng)當(dāng)有，取近似，即要求轉(zhuǎn)接速度， （4-2-20）由（4-2-20）公式可知，空

27、間弧半徑R增大，則轉(zhuǎn)接速度增大， 由于在短線段高速加工中，加工效率主要取決于滿足精度條件下的過渡點(diǎn)許可速度即轉(zhuǎn)接速度，轉(zhuǎn)接速度增大則算法的效率提高。4.2.3算法驗(yàn)證 實(shí)際加工路徑示例圖及相關(guān)約束條件如下所示：圖18所示是一個圓角矩形切割路徑的示意圖，路徑的四個角是半徑為0.5的整圓的1/4圓弧。矩形外圍大小是： 41×41（單位：cm²）。圖18 圓角矩形切割路徑20.5在實(shí)際加工過程中，從坐標(biāo)為 (-20.500，-20.000，0.000) 的節(jié)點(diǎn)1位置開始下刀，該點(diǎn)處的瞬時速度為0.13；從節(jié)點(diǎn)1到節(jié)點(diǎn)2 (-20.500，-17.708，0.000)的過程中，要求

28、最大速度為0.19。從節(jié)點(diǎn)2 (-20.500，-17.708，0.000) 出發(fā)，順時針加工，回到該點(diǎn)(-20.500，-17.708，0.000)（記為節(jié)點(diǎn)11），期間要求最大速度為1.26，節(jié)點(diǎn)11處的終止速度為0.13。 表1給出加工過程中對最大速度的要求。表1 圓角矩形切割路徑加工中速度要求路徑節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(X、Y、Z)用戶設(shè)定的最大頻率F最大頻率F轉(zhuǎn)換后對應(yīng)的速度1(-20.500,-20.000,0.000)27730.132(-20.500,-17.708,0.000)40290.193(-20.500,20.000,0.000)268651.264(-20.000,20.50

29、0,0.000)268651.265(20.000,20.500,0.000)268651.266(20.500,20.000,0.000)268651.267(20.500,-20.000,0.000)268651.268(20.000,-20.500,0.000)268651.269(-20.000,-20.500,0.000)268651.2610(-20.500,-20.000,0.000)268651.2611(-20.500,-17.708,0.000)27730.13表中最大頻率指的是控制脈沖的最大頻率，本題可以不予考慮，對應(yīng)的速度指的是刀具的運(yùn)動速度，單位是m/min運(yùn)動過程中

30、，機(jī)床對于速度、加速度、加加速度等的限制條件如下：l 進(jìn)給速度范圍Vmin, Vmax： 0.13, 6 單位m/minl 加速度范圍Amin, Amax： 0.02, 0.6 單位m/s²l 加加速度： =300 單位mm/s³l 瞬時啟動速度： = 0.13單位m/minl 瞬時啟動加速度： = 0.02單位m/s²l 誤差 l 分辨率：M= 在實(shí)際加工過程中，從坐標(biāo)為 (-20.500，-20.000，0.000) 的節(jié)點(diǎn)1位置開始下刀，故節(jié)點(diǎn)1處的初始速度為0，節(jié)點(diǎn)2 (-20.500，-17.708，0.000)的過程中，要求最大速度為0.19m/min

31、，節(jié)點(diǎn)3(-20.500,20.000,0.000)處的速度為1.26m/min。故結(jié)合題目二設(shè)計(jì)的算法及S曲線加減速算法的特點(diǎn)，計(jì)算出刀具在示例路徑運(yùn)動一圈所需的時間，計(jì)算過程如下：通過對以上算法分析知，由式（4-2-1）計(jì)算做一個完整的S型曲線刀具所走的距離S遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于示例路徑直線段的的長度L，故在直線段部分，道具只做了S型曲線中的前面一段，將具體參數(shù)帶入到算法中得：， （4-2-21）所以刀具的速度在S型曲線的加加速階段就達(dá)到了最大值，由加加速階段的速度公式可得，刀具從節(jié)點(diǎn)1到節(jié)點(diǎn)2運(yùn)行的時間為： （4-2-22）從節(jié)點(diǎn)3到節(jié)點(diǎn)4的加工型線是一個直徑為5mm，圓心角為的圓弧，根據(jù)前面所提到

32、的算法，由公式（4-2-7）可得到滿足最大允許誤差的條件下，步距角計(jì)算如下： ，故轉(zhuǎn)過一個 的圓弧需要插入段插分段：即，1段插分段的長度為，故刀具實(shí)際運(yùn)行路徑的總長度為，故刀具通過圓弧所需的時間為需通過以下公式計(jì)算：，帶入數(shù)據(jù)解得 故刀具走完整條加工型線所用的時間為：4.3 問題三模型與求解4.3.1 問題重述在第2問答基礎(chǔ)上，考慮瞬時啟動加速度和瞬時啟動速度，建立相對應(yīng)的實(shí)時加工優(yōu)化控制算法。4.3.2 模型的建立與求解在問題二的基礎(chǔ)上，考慮瞬時啟動加速度及瞬時啟動速度，建立相對應(yīng)的實(shí)時加工優(yōu)化控制算法。在圓弧段的處理方式同樣采用了問題二中的圓弧加減速插補(bǔ)算法，而在直線段的處理上，因?yàn)榈毒叽?/p>

33、在瞬時啟動加速度及瞬時啟動速度，故對S型曲線加以改變從而優(yōu)化直線段刀具的運(yùn)行效率。當(dāng)?shù)毒咴谥本€段上運(yùn)動時，故使得效率最高，可以控制刀具做一個以直線段的長度為總位移的一個型加減速曲線運(yùn)動，在最短時間內(nèi)達(dá)到最大速度。通過計(jì)算可以得到曲線前三段和后三段的總位移為，之后控制刀具以最大速度運(yùn)動的勻速階段的時間即可得到直線段刀具的最優(yōu)控制。設(shè)為給定位移,在計(jì)算中為已知量,且， (其中為勻速過程位移, 為升速過程位移,為降速過程位移), 為初速度值,為末速度值,為最大速度值。 (1)如果,可得 （4-3-1）(2) 如果,表明沒有勻速區(qū),即為0 ,且速度最大值達(dá)不到 ，得: （4-3-2）其中 ， 4.3.

34、3算法驗(yàn)證 在第2問基礎(chǔ)上，考慮瞬時啟動加速度及瞬時啟動速度時，刀具在節(jié)點(diǎn)1出的初始速度，通過對以上算法分析知，由式（4-3-1）計(jì)算可得，刀具從節(jié)點(diǎn)1到節(jié)點(diǎn)2運(yùn)行的時間為：，圓弧段時間不變，為 故刀具走完整條加工型線所用的時間為： 4.4 問題四模型與求解4.4.1 問題重述分析S型曲線的加減速控制方法的優(yōu)缺點(diǎn)，在滿足精度和速度要求的條件下，建立能提高機(jī)床運(yùn)行平穩(wěn)性的優(yōu)化控制運(yùn)動模型。4.4.2 S型曲線的加減速控制方法的優(yōu)缺點(diǎn)S形速度曲線可以劃分為加加速、勻加速、減加速、勻速、加減速、勻減速、減減速這7個過程。在加加速、減加速、加減速、減減速這四個過程加速度變化率J的絕對值恒定;勻加速和勻

35、減速過程的加速度恒定,為數(shù)控系統(tǒng)的最大加速度;勻速過程加速度為0。優(yōu)點(diǎn)在于這種加減速模式在任意位置的加速度都是連續(xù)變化的,可避免柔性沖擊,速度曲線平滑。缺點(diǎn)是這種S曲線加減速控制算法單一路徑加工過程中存在初速度和末速度相等的限制,這種限制在加工中造成時間增加,電機(jī)變速頻繁,影響效率6。4.4.3 新模型的建立依據(jù)數(shù)控加工的實(shí)際條件,提出了一種新型的 S曲線加減速算法。在單段路徑中, 通過選取的初速度和末速度,計(jì)算得到加速區(qū)、勻速區(qū)和減速區(qū)的時間長度,消除了一般 S曲線加減速方法在單一路徑中初速度和末速度相同的約束。在多段路徑中,分析了拐角處夾角大小和路徑長度對速度的限制條件,進(jìn)而采用移動窗口策

36、略得到預(yù)處理段內(nèi)各拐點(diǎn)速度。通過實(shí)例仿真,表明該方法在單段和多段路徑加工過程中能有效縮短加工時間。4.4.4 算法分析與設(shè)計(jì)在數(shù)控加工過程中,任何形狀的零件輪廓都可以用一系列微路徑段來逼近。在一個平面上,當(dāng)加工多段路徑時,坐標(biāo)運(yùn)動軌跡相當(dāng)于X, Y兩軸的運(yùn)動合成。加工過程可以轉(zhuǎn)化成已知若干坐標(biāo)點(diǎn)、速度極值、加速度極值等信息的運(yùn)動分解問題。加工中,如何根據(jù)微小段之間的拐角情況對速度進(jìn)行加減速控制并且做到速度過渡過程的平滑,讓各段微小線段的加工速度都保持比較高的值,從而實(shí)現(xiàn)高速加工,同時保證加工柔性,是數(shù)控系統(tǒng)的一個難點(diǎn)7-8。本方法采用下圖所示的 S曲線加減速分別由加加速、減加速、勻速、加減速、

37、減減速 5個過程組成9。 圖18設(shè)S為給定位移,在計(jì)算中為已知量,且(其中 為勻速過程位移, 為升速過程位移, 為降速過程位移), 為速度值,為加速度值, 為加速度的變化率,其為一恒值,為初速度值,為末速度值,為最大速度值。其中加加速和減加速過程的時間相等,都為;加減速和減減速過程的時間相等,都為。勻速過程時間為。加速度公式如下: （4-4-1）速度公式如下： （4-4-2）位移公式： （4-4-3）由上式可知已知初速度 、末速度 及給定位移 后,設(shè)定加速度的變化率 和速度最大值,進(jìn)而確定 , , 。確定這三個參數(shù)也就確定了加速度、速度、位移三條曲線,那么問題轉(zhuǎn)變成了求, ,。當(dāng)時,由速度公式

38、得: （4-4-4）即只要求得 ,中任意一個的值就可以求出另一個的值。以下分兩種情況求解,。(1)如果,式(4-4-2)可得 （4-4-5）則 將式(4-4-5)代入式(4-4-4)得 （4-4-6）則 進(jìn)而由式(4-4-3)可求得 （4-4-7） (2) 如果< 0 ,表明沒有勻速區(qū),即為0 ,且速度最大值達(dá)不到 。由式(4-4-3)和(4-4-4)得: （4-4-8）如果上式中看作變量,則可以當(dāng)作關(guān)于的函數(shù),即其中相對于相對于區(qū)間是單調(diào)遞增的。根據(jù)式(4-4-6)得的取值上限是 當(dāng)時，的取值為0。其可取值范圍是 因此,若給定位移則存在正數(shù)解,令式(4-4-8)中 = S,采用二分法求

39、解;否則重新選取初速度、末速度。當(dāng)時，由式(4-4-4)得即 的最小值是 則 可取值范圍是。 因此,若給定位移則存在正數(shù)解,令式(4-4-8)中,采用二分法求解;否則重新選取初速度、末速度 。將求取的,代入式(4)得到。進(jìn)而利用式(4-4-7)則可求得 , , ，。得到,和 后, 代入式(4-4-2),各區(qū)域的速度也可以得到。圖19五、參考文獻(xiàn)1楊建武.國內(nèi)外數(shù)控技術(shù)的發(fā)展現(xiàn)狀與趨勢J.制造技術(shù)與機(jī)床,57-62，2008. 2李恒熙,胡志玲,任茂文.CK6136（教學(xué)型）數(shù)控車床結(jié)構(gòu)組成的研究J.機(jī)械制造與自動化,35:86-87,2006.3王愛玲.現(xiàn)代數(shù)控原理及控制系統(tǒng)M.北京:國防工業(yè)出版社,2002 4王潤孝.機(jī)床數(shù)控原理與系統(tǒng)M.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,1989 5吳祖育,秦鵬飛.數(shù)控機(jī)床M.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1989.6張海偉,李隴梅.XY數(shù)控平臺伺服系統(tǒng)的建模與仿真J.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,29:68-69,2008. 7曹宇男,王田苗,陳友東,等.插補(bǔ)前S加減速在CNC前瞻中的應(yīng)用J.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),33:594-599,2007. 8李曉輝,鄔義杰,冷洪濱.S曲線加減速控制新方法的研究J.組合機(jī)床與自動化加工技術(shù)50-53,2007.9胡磊,林示麟,徐建明,等.