認識勾股定理公開課獲獎【一等獎教學設計】公開課獲獎【一等獎教學設計】

1、1. 1探索勾股定理第1課時認識勾股定理1 .探索勾股定理，進一步發(fā)展學生的推理能力;（重點、難點）2 .理解并掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關系.、情境導入如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹，這就是著名的畢達哥拉斯樹，它由若干個圖形組成，而每個圖形的基本元素是三個正方形和一個直角三角形.各組圖形大小不一，但形狀一致，結(jié)構(gòu)奇巧.你能說說其中的奧秘嗎？二、合作探究探究點一：勾股定理的初步認識類型直接利用勾股定理求長度畫H 如圖，已知在 ABC 中，/ ACB= 90° , AB= 5cm, BC= 3cm, CDLAB于點 D,求 CDli D11解析：先運用勾股定理求出 AC的

2、長，再根據(jù) Saabc= 2AB CD= -AC- BC,求出CD的長.解：:ABC是直角三角形，/ ACB= 90° , AB= 5cm, BC= 3cm,由勾股定理得 AC2-2 _2 -2 .2 .1一 1 AC BC 4X3=AB BC= 53=4, . AC= 4cm.又 S ABC=2AB CD= -AC- BC,CD= AB =-5- =4cm）,故CD的長是*cm.55方法總結(jié)：由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高 的積，這個規(guī)律也稱 “弦高公式”，它常與勾股定理聯(lián)合使用.類型二勾股定理與其他幾何知識的綜合運用A如圖，已知 AD是4ABC

3、的中線.求證： AE2+AC2=2(AD2+CD).解析：結(jié)論中涉及線段的平方，因此可以考慮作 AH BC于點E,在4ABC中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進行證明.證明：如圖，過點 A作 AE! BC于點E.在RtAACE RtABE和 RtADE中，aB=aE" + BE2, AC2=A)+CE, AE=AD2-EE2, .1. AB + AC2= (AE2+BE) + (AE2+CE) =2(AD2-ED2) + (DBDE)2+(DC+DE)2=2AD22EE2+DB2 2DB D曰 D+ DC2+2DC D曰 D=2AE2+ D + DC+2DE(DO DB).又AD 是 A

4、BC 的中線，. BD= CD . AB2+AC2= 2AD+2DC2= 2(AD2 + CD).方法總結(jié)：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理把需要證明的線段聯(lián)系起來.一般地，涉及 線段之間的平方關系問題時，通常沿著這個思路去分析問題.【類型三】 分類討論思想在勾股定理中的應用113在4ABC中，AB= 20, AC= 15, AD為BC邊上的高，且 AD= 12,求 ABC的周長.解析：應考慮高AD在 ABC內(nèi)和 ABC外的兩種情形.解：當高AD在4ABC內(nèi)部時，如圖.在 RtABD中，由勾股定理，得 BE) = aB"-AE) = 202- 122= 162,BD= 16;在 RtAC

5、D中，由勾股定理，得 CD= AC2aD= 152 122= 81,CD= 9. .1.BG= BD+ CD= 25, .ABC勺周長為 25 + 20+ 15=60.當高AD在ABC外部時，如圖.同理可得 BD= 16, CD= 9.BC= BD- CD= 7,.ABC的周長為7+20+ 15= 42.綜上所述， ABC的周長為42 或 60.方法總結(jié)：題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況.如在 本例題中，易只考慮高 AD在 ABC內(nèi)的情形，忽視高 AD在 ABC外的情形.探究點二：利用勾股定理求面積H4如圖，以RtABC的三邊長為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若斜邊

6、AB= 3,則圖中 ABE的面積為 ,陰影部分的面積為 解析：因為 AE= BE,所以4abe= -AE- BE= 1AE2.又因為 aE"+bE"= AE2,所以 2A = aB 22所以 Sa AB4AE2=4><32=9；同理可得Sa AH-1 c 11 c 1 c 1 c 1&bcf= 4Ad+4BC.又因為A&Bd=AB2,所以陰影部分的面積為4A撲4AB2=獷=2><9 1 4 填故方法總結(jié)：求解與直角三角形三邊有關的圖形面積時，要結(jié)合圖形想辦法把圖形的面積與直角三角形三邊的平方聯(lián)系起來，再利用勾股定理找到圖形面積之間的等

7、量關系.三、板書設計勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用 角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2.a, b, c分別表不直讓學生體會數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的思想方法， 意識及能力；進一步體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系. 成功的快樂；通過介紹勾股定理在中國古代的研究， 勵學生發(fā)奮學習.進一步發(fā)展學生的說理和簡單推理的 在探索勾股定理的過程中，體驗獲得激發(fā)學生熱愛祖國的悠久文化歷史，激4. 4 一次函數(shù)的應用第1課時確定一次函數(shù)的表達式1 .會確定正比例函數(shù)的表達式；（重點）2 .會確定一次函數(shù)的表達式.（重點）、情境導入某農(nóng)場租用播種機播種小麥，在甲播種機播種2天后，

8、又調(diào)來乙播種機參與播種，直至完成800畝的播種任務，播種畝數(shù)與天數(shù)之間的函數(shù)關系如圖.你能通過圖象提供的信息求出y與x之間的關系式嗎？你知道乙播種機參與播種的天數(shù)是多少呢？學習了本節(jié)的內(nèi)容，你就知道了.二、合作探究探究點一：確定正比例函數(shù)的表達式例”求正比例函數(shù) y= (m4)m215的表達式.解析：本題是利用正比例函數(shù)的定義來確定表達式的，即自變量的指數(shù)為 1,系數(shù)不為0,這種類型簡稱為定義式.2解：由正比例函數(shù)的7E義知 m15=1且m 4W0,，m= -4, . . y = - 8x.方法總結(jié)：利用正比例函數(shù)的定義確定表達式：自變量的指數(shù)為1,系數(shù)不為0.探究點二：確定一次函數(shù)的表達式【

9、類型一】 根據(jù)給定的點確定一次函數(shù)的表達式已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0, 5)、(2, 5)兩點，求一次函數(shù)的表達式.解析：先設一次函數(shù)的表達式為 y=kx+b,因為它的圖象經(jīng)過(0, 5)、(2, 5)兩點, 所以當x = 0時，y=5;當x=2時，y = 5.由此可以得到兩個關于 k、b的方程，通過解方 程即可求出待定系數(shù) k和b的值，再代回原設即可.解：設一次函數(shù)的表達式為 y=kx+b,根據(jù)題意得,y= 5x+ 5.5=2k+b. b=5.k = 5, 解得，二 一次函數(shù)的表達式為y = kx + b中有兩個方法總結(jié)：“兩點式”是求一次函數(shù)表達式的基本題型.二次函數(shù) 待定系數(shù)k、b,因而

10、需要知道兩個點的坐標才能確定函數(shù)的關系式.類型二根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達式113正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，它們的交點為A(4, 3) , B為一次函數(shù)的圖象與y軸的交點，且 OA= 2OB.求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式.解析：根據(jù)A(4, 3)可以求出正比例函數(shù)表達式，利用勾股定理可以求出 OA的長，從而可以求出點B的坐標，根據(jù)A、B兩點的坐標可以求出一次函數(shù)的表達式.解：設正比例函數(shù)的表達式為y1 = kx, 一次函數(shù)的表達式為y2= k2x+b. 丁點A(4, 3)3 » 一，一，.是匕們的父點，代入上述表達式中，得3=4k1, 3 = 4kz+b.k 1 =4,即

11、正比例函數(shù)的表達，-3o o 一5式為 y=4x. -. OA= 32+42 = 5,且 OA= 2OB,OB= 2.二.點 B在 y 軸的負半軸上， B點的,.5, 一，一一一 5.,，坐標為(0 , 2) .又丁點B在一次函數(shù) y2=k2x+b的圖象上，. 一3= b，代入3= 4k2+b中,得k2=；.，一次函數(shù)的表達式為 y2=gx 5. 882方法總結(jié)：根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達式的方法：從圖象上選取兩個已知點的坐標，然后運用待定系數(shù)法將兩點的橫、縱坐標代入所設表達式中求出待定系數(shù)，從而求出函數(shù)的表達式.【類型三】 根據(jù)實際問題確定一次函數(shù)的表達式H4某商店售貨時，在進價的基礎上加一

12、定利潤，其數(shù)量x與售價y的關系如下表所示，請你根據(jù)表中所提供的信息，列出售價y（元）與數(shù)量x（千克）的函數(shù)關系式，并求出當數(shù)量是2.5千克時的售價.數(shù)量x/千克售價y/元18+0.4216+ 0.8324+ 1.2432+ 1.6540+ 2.0解析：從圖表中可以看出售價由8+ 0.4依次向下擴大到2倍、3倍、解：由表中信息，得y=（8 + 0.4）x =8.4x ,即售價y與數(shù)量x的函數(shù)關系式為y = 8.4x. 當x=2.5時，y = 8.4 X 2.5 = 21.所以數(shù)量是2.5千克時的售價是 21元.方法總結(jié)：解此類題要根據(jù)所給的條件建立數(shù)學模型，得出變化關系，并求出函數(shù)的表達式，根據(jù)

13、函數(shù)的表達式作答.三、板書設計確定一次函數(shù)表達式正比例函數(shù)y=kx （kw。） 一次函數(shù) y=kx+b （kw。）經(jīng)歷對正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達式的探求過程，掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達體會式，進一步使用數(shù)形結(jié)合的思想方法；經(jīng)歷從不同信息中獲取一次函數(shù)表達式的過程,到解決問題的多樣性，拓展學生的思維.2. 2平方根第1課時算術(shù)平方根1. 了解算術(shù)平方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根;（重點）2. .根據(jù)算術(shù)平方根的概念求出非負數(shù)的算術(shù)平方根;3. 了解算術(shù)平方根的性質(zhì).（難點）（重點）一、情境導入上一節(jié)課我們做過：由兩個邊長為1的小正方形，通過剪一剪，拼一拼，得到一個邊長為a的大正

14、方形，那么有 a2=2, a=, 2是有理數(shù)，而a是無理數(shù).在前面我們學 過若x2=a,則a叫做x的平方，反過來 x叫做a的什么呢？二、合作探究探究點一：算術(shù)平方根的概念類型求一個數(shù)的算術(shù)平方根畫口求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:(1)64 ； (2)2 4； (3)0.36 ; (4) 412-402.解析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義求非負數(shù)的算術(shù)平方根, 這個非負數(shù)即可.解：(1) .8 2= 64,64的算術(shù)平方根是 8;3 2 911 ,3(2) .(2) =4=2不24的算術(shù)平萬根是 .(3) .0.6 2= 0.36，.二 0.36 的算術(shù)平方根是 0.6 ;只要找到一個非負數(shù)的平方等于(4)

15、W2 402 =炯,又 92=81, .481 = 9,而 32=9, .,.4412402的算術(shù)平方根是3.方法總結(jié)：(1)求一個數(shù)的算術(shù)平方根時，首先要弄清是求哪個數(shù)的算術(shù)平方根，分清 求，而與81的算術(shù)平方根的不同意義，不要被表面現(xiàn)象迷惑.(2)求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根常借助平方運算，因此熟記常用平方數(shù)對求一個數(shù)的算 術(shù)平方根十分有用.【類型二利用算術(shù)平方根的定義求值1123 + a的算術(shù)平方根是 5,求a的值.解析：先根據(jù)算術(shù)平方根的定義，求出 3 + a的值，再求a.解：因為52= 25,所以25的算術(shù)平方根是 5,即3 + a=25,所以a= 22.方法總結(jié)：已知一個數(shù)的算術(shù)平方根

16、，可以根據(jù)平方運算來解題.探究點二：算術(shù)平方根的性質(zhì)類型一 含算術(shù)平方根式子的運算113計算：49 + 9+ 16-V225.解析：首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義進行開方運算，再進行加減運算.解：y/49+小+ 16-225 = 7+ 5- 15=- 3.方法總結(jié):解題時容易出現(xiàn)如79+ 16 =J9+ 36的錯誤.【類型二】H4已知算術(shù)平方根的非負性x, y為有理數(shù)，且xjx 1 + 3(y 2)2=0,求x y的值.解析：算術(shù)平方根和完全平方式都具有非負性，即、瓜>0, a2>0,由幾個非負數(shù)相加和為0,可得每一個非負數(shù)都為 0,由此可求出x和y的值，進而求得答案.解：由題意可得 x

17、 1 = 0, y 2=0,所以 x=1, y=2.所以 x y=12= 1.方法總結(jié)：算術(shù)平方根、絕對值和完全平方式都具有非負性，即、/a>0, |a| >0, a2> 0,當幾個非負數(shù)的和為。時，各數(shù)均為0.三、板書設計概念：非負數(shù)a的算術(shù)平方根記作 乖算術(shù)平方根fa>0,性質(zhì)：雙重非負性<廣aja 封 0概念讓學生正確、深刻地理解算術(shù)平方根的概念，需要由淺入深、不斷深化.概念的形成 過程也是思維過程， 加強概念形成過程的教學， 對提高學生的思維水平是很有幫助的. 教學過程中要做到：講清概念，加強訓練，逐步深化.4. 4 一次函數(shù)的應用第1課時確定一次函數(shù)的表

18、達式1 .會確定正比例函數(shù)的表達式；（重點）2 .會確定一次函數(shù)的表達式.（重點）、情境導入S畫用M天J35020()G某農(nóng)場租用播種機播種小麥，在甲播種機播種2天后，又調(diào)來乙播種機參與播種， 直至完成800畝的播種任務，播種畝數(shù)與天數(shù)之間的函數(shù)關系如圖.你能通過圖象提供的信息求出y與x之間的關系式嗎？你知道乙播種機參與播種的天數(shù)是多少呢？學習了本節(jié)的內(nèi)容， 你就知道了.二、合作探究探究點一：確定正比例函數(shù)的表達式1,系數(shù)不為SiD 求正比例函數(shù)y= （m4）m215的表達式.解析：本題是利用正比例函數(shù)的定義來確定表達式的，即自變量的指數(shù)為0,這種類型簡稱為定義式.2解：由正比例函數(shù)的7E義知

19、 m15=1且m 4W0,，m= -4, . . y = - 8x.方法總結(jié)：利用正比例函數(shù)的定義確定表達式：自變量的指數(shù)為1,系數(shù)不為0.探究點二：確定一次函數(shù)的表達式【類型一】 根據(jù)給定的點確定一次函數(shù)的表達式112已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過 （0, 5）、（2, 5）兩點，求一次函數(shù)的表達式.解析：先設一次函數(shù)的表達式為y=kx+b,因為它的圖象經(jīng)過（0, 5）、（2, 5）兩點,所以當x = 0時，y=5;當x=2時，y = 5.由此可以得到兩個關于 k、b的方程，通過解方 程即可求出待定系數(shù) k和b的值，再代回原設即可.解：設一次函數(shù)的表達式為 y=kx+b,根據(jù)題意得,5=b,k=-

20、5,y= 5x+ 5.解得二 一次函數(shù)的表達式為-5=2k+b. b=5.y = kx + b中有兩個方法總結(jié)：“兩點式”是求一次函數(shù)表達式的基本題型.二次函數(shù) 待定系數(shù)k、b,因而需要知道兩個點的坐標才能確定函數(shù)的關系式.類型二根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達式酶 正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，它們的交點為A（4, 3）, B為一次函數(shù)的圖象與y軸的交點，且 OA= 2OB.求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式.解析：根據(jù)A（4, 3）可以求出正比例函數(shù)表達式，利用勾股定理可以求出OA的長，從而可以求出點B的坐標，根據(jù)A、B兩點的坐標可以求出一次函數(shù)的表達式.解：設正比例函數(shù)的表達式為 yi =

21、kix, 一次函數(shù)的表達式為 y2= k2x+b. 丁點A（4, 3） 3是匕們的父點，代入上述表達式中，得3=4ki, 3 = 4k2+ b. k i =4,即正比例函數(shù)的表達3225式為y=4x. - OA= 32+4 =5,且OA= 2OB,OB= 2.二.點B在y軸的負半軸上， B點的55坐標為（0, 2）.又丁點B在一次函數(shù)y2=k2x+b的圖象上，:. 一萬= b，代入3= 4k2+b中,得k2=?.，一次函數(shù)的表達式為 y2=-yx-f.882方法總結(jié)：根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達式的方法：從圖象上選取兩個已知點的坐標， 然后運用待定系數(shù)法將兩點的橫、縱坐標代入所設表達式中求出待定

22、系數(shù)，從而求出函數(shù)的表達式.類型三根據(jù)實際問題確定一次函數(shù)的表達式某商店售貨時，在進價的基礎上加一定利潤，其數(shù)量x與售價y的關系如下表所示，請你根據(jù)表中所提供的信息，列出售價y（元）與數(shù)量x（千克）的函數(shù)關系式，并求出當數(shù)量是2.5千克時的售價數(shù)量x/千克售價y/元18+0.4216+ 0.8324+ 1.2432+ 1.6540+ 2.0解析：從圖表中可以看出售價由8+ 0.4依次向下擴大到2倍、3倍、解：由表中信息，得y=（8 + 0.4）x =8.4x ,即售價y與數(shù)量x的函數(shù)關系式為y = 8.4x. 當x=2.5時，y = 8.4 X 2.5 = 21.所以數(shù)量是2.5千克時的售價是 21元.方法總結(jié)：解此類題要根據(jù)所給的條件建立數(shù)學模型，得出變化關系，并求出函數(shù)的表達式，根據(jù)函數(shù)的表達式作答.三、板書設計確定一次函數(shù)表達式在比例函數(shù)y=kx （kw。）U次函數(shù) y=kx+b （kw。）經(jīng)歷對正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達式的探求過程，掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達式，進一步使用數(shù)形結(jié)合的思想方法；經(jīng)歷從不同信息中獲取一次函數(shù)表達式的過程，體會到解決問題的多樣性，拓展學生的思維.»af 2，.«> |*r>