（整理版）例談高考數(shù)學(xué)?？家族e(cuò)失分點(diǎn)之導(dǎo)數(shù)篇

1、例談高考數(shù)學(xué)常考、易錯(cuò)、失分點(diǎn)之導(dǎo)數(shù)篇例23、函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 ?！疽族e(cuò)點(diǎn)診斷】復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即。解析： .【迷津指點(diǎn)】掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適中選定中間變量，分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)。適用性練習(xí)106湖北卷設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)。1求與的關(guān)系式用表示答案：.2y=lnx答案: y=·x=1=.【易錯(cuò)點(diǎn)23】關(guān)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(還有一個(gè)易錯(cuò)題)例24、曲線在點(diǎn)處的切線方程為 。【易錯(cuò)點(diǎn)診斷】此題易由，從而得到以a點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率為3，即所求切線

2、方程為的錯(cuò)誤結(jié)果，事實(shí)上要注意到點(diǎn)a不在曲線s上。解析：設(shè)過點(diǎn)a的切線與曲線s切于點(diǎn)處，由于由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率，又由兩點(diǎn)連線的斜率公式知，聯(lián)立得，從而切線的斜率=-9，故切線方程為?！久越蛑更c(diǎn)】在確定曲線在某點(diǎn)處切線的方程時(shí)，一定要首先確定此點(diǎn)是否在曲線上，假設(shè)此點(diǎn)在曲線上，那么曲線在該點(diǎn)處切線的斜率即為該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，假設(shè)此點(diǎn)不在曲線上，那么需按照上述方法即應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求斜率，寫出直線的方程的方法解答。特別的假設(shè)涉及到直線與圓錐曲線相切一類問題除可采用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解答外，還可采用代數(shù)方法即應(yīng)用判別式的方法來解答，這一類巧借導(dǎo)數(shù)幾何意義“傳接的各類綜合題頻頻出現(xiàn)?！具m用性練習(xí)】106全

3、國ii過點(diǎn)1，0作拋物線的切線，那么其中一條切線為 a b c d解：，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，那么切線的斜率為2，且于是切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)1，0在切線上，可解得0或4，代入可驗(yàn)正d正確。選d206四川卷曲線在點(diǎn)處的切線方程是a b c d解：曲線，導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以切線方程是，選d.3高考重慶卷文科曲線，求過點(diǎn)p2，4的切線方程.解: p2，4在曲線上,當(dāng)切點(diǎn)為p2，4時(shí), ,過點(diǎn)p2，4的切線方程為;當(dāng)切點(diǎn)不是p2，4時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,那么,又(), ,即,又,即,又切點(diǎn)為,過點(diǎn)p2，4的切線方程為.綜合得過點(diǎn)p2，4的切線方程為或.【易錯(cuò)點(diǎn)24】有關(guān)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例25、函數(shù) ，求函數(shù)單

4、調(diào)區(qū)間。【易錯(cuò)點(diǎn)診斷】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要樹立定義域優(yōu)先的原那么，此題易由得出函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。解析：據(jù)解析式可知函數(shù)定義域?yàn)?，由?故函數(shù)在和上分別為增函數(shù).【迷津指點(diǎn)】單調(diào)區(qū)間的求解過程， 1分析 的定義域； 2求導(dǎo)數(shù) 3解不等式，解集在定義域內(nèi)的局部為增區(qū)間4解不等式，解集在定義域內(nèi)的局部為減區(qū)間，對(duì)于函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并:函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，那么二區(qū)間就可以合并為以個(gè)區(qū)間。 【適用性練習(xí)】106山東卷設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(x

5、+1)，其中a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。答案:當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.205湖南卷函數(shù)f(x)lnx，g(x)ax2bx，a0.假設(shè)b2，且h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；解：i，那么因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以<0有解,又因?yàn)閤>0時(shí)，那么ax2+2x1>0有x>0的解.當(dāng)a>0時(shí)，y=ax2+2x1為開口向上的拋物線，ax2+2x1>0總有x>0的解；當(dāng)a<0時(shí)，y=ax2+2x1為開口向下的拋物線，而ax2+2x1>0總有x>0的解；那么=4+4a&

6、gt;0,且方程ax2+2x1=0至少有一正根.此時(shí)，1<a<0. 綜上所述，a的取值范圍為1，00，+.【易錯(cuò)點(diǎn)25】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。例26、函數(shù)上是減函數(shù)，求a的取值范圍。【易錯(cuò)點(diǎn)診斷】是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如在r上遞減，但。解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，那么故解得。2當(dāng)時(shí)，易知此時(shí)函數(shù)也在r上是減函數(shù)。3當(dāng)時(shí)，在r上存在一個(gè)區(qū)間在其上有，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是?！久越蛑更c(diǎn)】假設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：

7、與為增函數(shù)的關(guān)系:能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系:假設(shè)將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系:為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即為或。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，那么為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，防止討論以上問題，也簡化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中

8、還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。因此此題在第一步后再對(duì)和進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴(yán)密性?！具m用性練習(xí)】106全國卷i高考題變式設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍。解:f'(x)=3x22ax+(a21),其判別式=4a212a2+12=128a2.()假設(shè)=128a2,即時(shí)恒有即f(x)在(,+)為增函數(shù).() 128a2>0,即<a<,只需即時(shí)在區(qū)間上恒有即在上是增函數(shù),綜上所述a(,1,).2是否存在這樣的k值，使函數(shù)在上遞減，在

9、上遞增？答案：。提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，但是函數(shù)在上遞減，在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出k值后要檢驗(yàn)。306江西卷對(duì)于r上可導(dǎo)的任意函數(shù)fx，假設(shè)滿足x1³0，那么必有 a f0f2<2f1 b. f0f2£2f1c. f0f2³2f1 d. f0f2>2f1解：依題意，當(dāng)x³1時(shí)，f¢x³0，函數(shù)fx在1，¥上是增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)；當(dāng)x<1時(shí)，f¢x£0，fx在¥，1上是減函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，故當(dāng)函數(shù)為常數(shù)函數(shù)函數(shù)時(shí)f0f2=2f1,當(dāng)函數(shù)為非常數(shù)函數(shù)時(shí)易知f

10、x當(dāng)x1時(shí)取得最小值，即有f0>f1，f2>1，此時(shí)f0f2>2f1,故有f0f2³2f1,選c(此題易誤選d)4函數(shù)f(x) = 在(2，)內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。提示:錯(cuò)誤的主要原因是由于對(duì)于函數(shù)f(x)在d上單調(diào)遞增或遞減的充要條件是f1(x)(或f1(x)且f1(x)在d任一子區(qū)間上不恒為零沒有理解。而當(dāng)a=時(shí)fl(x)=0在(-2,+ )恒成立，所以不符合題意，所以舍去。答案:【易錯(cuò)點(diǎn)26】有關(guān)函數(shù)的極值與最值例27、函數(shù)在時(shí)有極值10，那么的值為 ?！疽族e(cuò)點(diǎn)診斷】要明確函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)的方程的根之間的關(guān)系，即0是為極值點(diǎn)的必要而不充分條件，檢

11、驗(yàn)這一步驟必不可少。解析：，由于當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極值10，故必有；;聯(lián)立得或，但當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)雖有，但由極值定義可知當(dāng)時(shí)函數(shù)值不是極值，故?！久越蛑更c(diǎn)】是極值點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，即假設(shè)在方程的根的左右的符號(hào)：“左正右負(fù)在處取極大值；“左負(fù)右正在處取極小值，而不僅是0，0是為極值點(diǎn)的必要而不充分條件。對(duì)于給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)(“左負(fù)右正)的轉(zhuǎn)化，否那么條件沒有用完，這一點(diǎn)一定要切記！ 【適用性練習(xí)】fx=ax3+bx2+cxa0在x=±1時(shí)取得極值，且f1=1,試求常數(shù)a、b、c的值；試判斷x=±1是函數(shù)的極大值還是極小值，并說明理由.答案:1a=,b=0,c=.2x=1時(shí)，fx有極大值；x=1時(shí),fx有極小值.函數(shù)