1.3行列式按行展開ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 行列式按行列展開行列式按行列展開nnnjninijinjaaaaaaaaaD111111 余子式、代數余子式余子式、代數余子式 一、預備知識一、預備知識在在n階行列式階行列式中，把中，把(i,j)(i,j)元元ija所在的第所在的第i i行第行第j j列劃去后，列劃去后，順序構成的一個順序構成的一個n-1n-1階行列式，階行列式，余下的元素按原來余下的元素按原來稱為元素稱為元素ija的余子式，記作的余子式，記作Mij，即，即nnnjnjnnnijijiiinijijiiinjjnjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaM112111111121111111121

2、1212122221111111211 ,)1(ijjiijMA ijA記記 稱為元素稱為元素 的代數余子式。的代數余子式。ija例例1 求四階行列式求四階行列式1514313172132010 D141312,11,AAAA的代數余子式的代數余子式解解27)1(,27154311723112)1(,1121513137211221121211111111 MAMMAM引理引理 。 ijaijaijijAaD 一個一個n n階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第i i行所有元素除行所有元素除(i,j)(i,j)元元零，那么這行列式等于零，那么這行列式等于與它的代數余子式的乘積，即與它的代數余

3、子式的乘積，即 外都為外都為nnnnnaaaaaaaD21222211100 1111MaD 證證 先證先證i，j）=（1，1的情形，此時的情形，此時由前面的學習得到由前面的學習得到1111Aa 把把D的行列式作如下調整：把的行列式作如下調整：把D的第的第i行依次與第行依次與第i-1行、第行、第i-2行、行、第、第1行對調，這時行對調，這時 就調成就調成1，j元，調換的次數為元，調換的次數為i-1 ，再把第再把第j列依次與第列依次與第j-1列、第列、第j-2列、列、 、第、第1列對調，這列對調，這 就調成就調成1，1元了，調換的次數為元了，調換的次數為j-1。總之，經過?？傊?，經過i+j-2次

4、對調，把數次對調，把數 調成調成1，1元，行列式元，行列式D變成了變成了D1。那么。那么再證一般情形，此時再證一般情形，此時nnnjninijinjaaaaaaaaaD111111 ijaijaijaD1=D1=（-1-1i+j-2D= i+j-2D= （-1-1i+jDi+jD而而D1中中1，1元的余子式就是元的余子式就是D中中i，j元的余子式。而由前元的余子式。而由前面的證明知面的證明知 D1=aijMij 從而得從而得 D=（-1i+jaijMij=aijAij二、行列式按行列展開二、行列式按行列展開定理定理 ininiiiiAaAaAaD2211ni, 2 , 1njnjjjjjAaA

5、aAaD2211nj, 2 , 1行列式等于它的任一行列的各元素與其對應的代數余行列式等于它的任一行列的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即子式乘積之和，即 或或證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21112112121121121111211000000ininiiiiAaAaAaD2211ni,2, 1njnjjjjjAaAaAaD2211nj,2,1 根據引理，即得根據引理，即得 類似的，若按列證明，可得類似的，若按列證明，可得 這個定理叫做行列式按行列展開法則。 這個也

6、作為行列式的另一定義這個也作為行列式的另一定義三、行列式按行列展開法則的應用三、行列式按行列展開法則的應用 1、在計算行列式時使用按行列展開，主要的作用達到降階簡化計算，但是如果選擇的行或列上的元素大部分是非零元的話，會增加計算量，所以使用此定理化簡行列往往選擇的是零元越多的行或列展開。在實際的應用過程中，有可能先用行列式的性質將行列式中某行或列的零元增多。 例例2 2 求四階行列式求四階行列式 1514313172132010D1514313192130010D11154311923) 1(121解解 把行列式的第把行列式的第2 2列乘以列乘以2 2加到第加到第4 4列上，有列上，有（按第（

7、按第1 1行展開）行展開）xyyxyxyxDn000000000000 xyxxyxxDn0000000000 例例3 3 計算計算n n階階n1n1行列式行列式解解 行列式中每行列都含有多個零。可將行列式按第行列式中每行列都含有多個零?？蓪⑿辛惺桨吹? 1列展開，列展開，得得yxxyxyyn0000000000)1.(1 nnnyx1)1( 階行列式階行列式計算計算例例n23nnnnnnnnndcdcdcbababaD111111112得直接按第一行展開解,00) 1(00111111121111111112nnnnnnnnnnnnnncdcdcbababddcdcbabaaD1111111

8、11) 12(11111111) 1(nnnnnnnnnnnnndcdcbabacbdcdcbabada即,)() 1(2) 1(2) 1(2nnnnnnnnnnnDcbdaDcbDda)()()2(21111)1(22 nnnnnnnnnnnnnnnDcbdacbdaDcbdaD222221111)()(Dcbdacbdacbdannnnnnnn)()(111122221111cbdacbdacbdacbdannnnnnnnniiiiicbda1)(02211jninjijiAaAaAaji 02211njnijijiAaAaAaji 2 2、推論、推論 行列式某一行列的元素與另一行列的對行

9、列式某一行列的元素與另一行列的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即應元素的代數余子式乘積之和等于零，即或或證證 由前面定理證明過程有，行列式由前面定理證明過程有，行列式)det(ijaD 按第按第i i行展開，有行展開，有 nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21112112121121121111211000000 ininiiiiAaAaAaD 2211nnnniiijnjjnaaaaaaaaaaaa212212111211 ), 2 , 1(nkaajkik換成ji 在上式中把在上式中把，可得，可得 nnnnjnnnnnnjnnnnnjnaa

10、aaaaaaaaaaaaaaaaaaa21112112121121121111211000000 injnijijAaAaAa 2211nnnnjjjjnjjnaaaaaaaaaaaa212212111211 兩行相同兩行相同=002211njnijijiAaAaAaji 上述證法用于列，即可得上述證法用于列，即可得 證畢。證畢。 jnnjjAbAbAb2211 從上面的證明過程，可知若要計算式從上面的證明過程，可知若要計算式nbbb,21代替原行列式的第代替原行列式的第j j行的各元素，而得到新行的各元素，而得到新相當于用相當于用的行列式。的行列式。433323137624652354224

11、321,4AAAAaaaaaaaaaaaaaaaaD 求求已已知知例例分析分析 所計算的是第三列的代數余子式的和所計算的是第三列的代數余子式的和, ,應想辦法轉化為原應想辦法轉化為原來的行列式來的行列式, ,再進行求解再進行求解. .433323134333231311111AAAAAAAA 因因解解法法理解成將行列式的第理解成將行列式的第3 3列元素全換成列元素全換成1 1后按第后按第3 3列展開而得到的列展開而得到的, ,于是于是有有724623522421433323131111aaaaaaaaaaaaAAAA =0第第2 2列與第列與第3 3列成比例列成比例而而 可以看成是第可以看成是

12、第2列的各元素列的各元素去乘第去乘第3列各元素的代數余子式，由推論可知它為列各元素的代數余子式，由推論可知它為0，從而所求的，從而所求的值為值為0。)(12432332232132243332313AaAaAaAaaAAAA 因因解解法法)(432332232132AaAaAaAa .232)2(;3)1(,23112135206341020124232221434241寫寫成成行行列列式式寫寫成成行行列列式式試試將將MMMMAAAD 例例50113352063410201033)1(44434241434241 AAAAAAA解解23/112/135202132020123224232221

13、 AAAA24232221232)2(MMMM 2442233222222112)1(2)1()1(3)1(2MMMM ,27051342211154213112225432156 D階階行行列列式式已已知知例例.4544434241AAAAA和求作作業(yè)業(yè)！寫寫成成行行列列式式求求解解和和分分別別將將解解法法AAAA 得得并并求求和和元元素素的的代代數數余余子子式式相相乘乘行行相相應應行行元元素素與與第第中中第第又又將將行行展展開開按按第第將將解解法法,42,42AD0)( 1)(227)(2)(45444342414544434241AAAAAAAAAA181221

14、02271,9122110227,4544434241AAAAA得聯立求解)(1111112112222121jijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxD此行列式的結構特點：此行列式的結構特點：第第1 1行全為行全為1 1；2) 1( nnni, 3 , 211312xxxxxxnni, 4 , 3)()(11413xxxxxxn1nnxx將它們連乘。具體如下：第將它們連乘。具體如下：第i i列列減去第減去第1 1列有列有n-1n-1項：項：；第；第i i列列依次類推，第依次類推，第n n列減去第列減去第n-1n-1列只有列只有。 范德蒙德行列式范德蒙德行列式結論指的是，后列的元素減去前列

15、的元素，共有結論指的是，后列的元素減去前列的元素，共有項，然后項，然后減去第減去第2 2列有列有n-2n-2項：項：1 1項：項：方式方式: :按升冪排列從零排到按升冪排列從零排到n-1,n-1,冪指數成等差數列；冪指數成等差數列；6427181691443121111D)34)(14)(13)(24)(23)(21 (12?6416412793111118421D12習作題習作題11114321)4() 3()2() 1()4() 3()2() 1(22223333aaaaaaaaaaaaD333322222)4()3()2()1()4()3()2()1(43211111)1( aaaaaa

16、aaaaaaD解解 將行列式的第四行與第一行調換，再將行列式的第二行和將行列式的第四行與第一行調換，再將行列式的第二行和第三行調換，得第三行調換，得12) 1).(1).(2).(1).(2).(3()3() 4().2() 3)(2() 4)(1() 2)(1() 3)(1() 4( aaaaaaaaaaaa解解 本題雖然第一行元素為本題雖然第一行元素為1 1，但后行與前一行比不相同，但它還，但后行與前一行比不相同，但它還是有范德蒙德行列式的影子，看能否通過一些變化能否變成范德是有范德蒙德行列式的影子，看能否通過一些變化能否變成范德蒙德行列式。若從第蒙德行列式。若從第i( )i( )行中提取

17、公因子，第行中提取公因子，第1 1列全為列全為1 1，即即nnnnnnnD222333222111ni, 3 , 21112221212123213213211111!.1333122211111!.nnnnnnnnnnnnnnnD 122311312! nnnnn例例7 7 計算計算! 1 ! 2)!1( ! nn1111)()1()()1(181111naaanaaanaaaDnnnnnnnn 階行列式階行列式計算計算例例次次交交換換后后得得到到行行列列式式共共經經過過如如此此類類推推行行到到第第再再依依次次與與前前面面各各行行交交換換行行新新的的第第行行到到第第行行依依次次與與前前面面各

18、各行行交交換換把把第第解解2)1(,21,11 nnnnnnnnnnnnnnaaanaaanaaaD)() 1()() 1(1111) 1(1112)1(1)()1() 1() 1(112) 1(范德蒙行列式jinnnjaia11112)1()()() 1(jinjinnnijij小結行列式的求法）小結行列式的求法）( (五五) ) 降階法降階法 分塊結論、按行列展開分塊結論、按行列展開)(,)0 , 0 , 1(,1,)(,)(或加邊法或加邊法稱之為升階法稱之為升階法列式列式且化簡后常變成箭形行且化簡后常變成箭形行便便方方就可以使消零化簡更加就可以使消零化簡更加素素并適當選擇第一行的元并適當選擇第一行的元素為素為特別是第一列的元特別是第一列的元階的行列式階的行列式有時加上一行一列變成有時加上一行一列變成成比例成比例其它元素相同或其它元素相同或上元素外上元素外或次對角線或次對角線如除對角線如除對角線階行列式階行列式的的但對于某些特殊但對于某些特殊是降階是降階行列式計算的一般方法行列式計算的一般方法加邊法加邊法升階法升階法Tnn naaaaD 11111111111111119321計計算算例例nrrrrrrnaaaaaaaan0001000100010001111111111011110111101111011111321321131211