小概率事件原理

1、88小概率事件原理在生活中的應(yīng)用一、摘 要：概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的科學(xué)，它的理論的方法已成為研究國(guó)民經(jīng)濟(jì)和技術(shù)不可缺少的工具，概率最早起源于對(duì)賭博問(wèn)題的研究。十七世紀(jì)就出現(xiàn)了概率論，隨著社會(huì)的發(fā)展，概率論在工農(nóng)生產(chǎn)、國(guó)民經(jīng)濟(jì)、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)等方面具有廣泛的應(yīng)用。這既是近年來(lái)我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革的成果之一，也是實(shí)現(xiàn)教育內(nèi)容現(xiàn)代化的一個(gè)重要舉措。高中數(shù)學(xué)的許多知識(shí)與概率有著密切的聯(lián)系，特別是所學(xué)的排列、組合等知識(shí)在概率中得到了較為充分的應(yīng)用，同時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容也都以概率初步知識(shí)為基礎(chǔ)。小概率事件概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)好規(guī)律的科學(xué)。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已獲得當(dāng)今社會(huì)的廣泛應(yīng)用、

2、概率已成為日常生活的普通常識(shí)的今天，對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的概率問(wèn)題進(jìn)行研究就更顯得十分重要，小概率事件原理是概率論中實(shí)用價(jià)值較高，應(yīng)用范圍較廣的基本理論，下面我們略舉一些實(shí)例介紹其在其他生活領(lǐng)域的應(yīng)用。關(guān) 鍵 詞：概率，騙局，抽簽，質(zhì)量檢查，商場(chǎng)管理，相遇問(wèn)題，假設(shè)檢驗(yàn)，經(jīng)濟(jì)效益，2、 小概率事件的認(rèn)識(shí)： 在n次獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，P為事件A發(fā)生的概率。則對(duì) 0，有 或 根據(jù)伯努力大數(shù)定律，在大量重復(fù)試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的頻率接近于概率。假設(shè)事件A發(fā)生的概率為0.001，則在1000次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)大體為1次。但不管其概率是多么小，其值總是一個(gè)確定的正數(shù)。該事件隨著試驗(yàn)次數(shù)的不

3、斷增加，遲早會(huì)發(fā)生的概率趨近于1。事實(shí)上，假如在某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A的概率為P（A）=，是一個(gè)充分小的正數(shù)，則不論如何小，只要不斷獨(dú)立地重復(fù)這一試驗(yàn)，事件A總是會(huì)發(fā)生的（即A發(fā)生的概率為1）。設(shè)以A k表示事件A于第k次試驗(yàn)中發(fā)生這一事件，則P（A k）=。從而在前n次試驗(yàn)中，A都不發(fā)生的概率為：故在前n次試驗(yàn)中，A至少發(fā)生一次的概率為：當(dāng)n時(shí)，由于01，有l(wèi)imnpn=1這就說(shuō)明了雖然事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小，但在不斷地重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，A總會(huì)發(fā)生。因此，我們可以認(rèn)為概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是大不可能出現(xiàn)，這就是小概率事件原理。它是統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中拒絕還是接受原假設(shè)的依據(jù)，也是

4、人們?cè)趯?shí)踐中總結(jié)出來(lái)而被廣泛應(yīng)用的一個(gè)原理。 小概率事件原理的推斷方法是概率性質(zhì)的反證法，指的是人們首先根據(jù)問(wèn)題提出假設(shè)，然后根據(jù)一次試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，最后按照一定的概率標(biāo)準(zhǔn)做出鑒別。若小概率事件出現(xiàn)了，則拒絕假設(shè)；若小概率事件沒(méi)發(fā)生，則不拒絕假設(shè)。 小概率事件，在概率論的基礎(chǔ)理論研究中，大量隨機(jī)現(xiàn)象具有某種穩(wěn)定的性質(zhì)，例如頻率的穩(wěn)定性，平均結(jié)果的穩(wěn)定性等等，它反映了偶然性與必然性之間的辯證關(guān)系。為了揭示這種實(shí)際上的必然性或?qū)嶋H上的不可能性，我們對(duì)概率接近于1或0的事件的研究，具有重大的意義。概率論的基本問(wèn)題之一，就是要建立概率接近于1或0的規(guī)律。特別是對(duì)大量獨(dú)立或弱相關(guān)因素的累積結(jié)果所發(fā)生

5、的規(guī)律的研究，將導(dǎo)致“依概率收劍”和“依概率1收劍”等概念的產(chǎn)生，與此同時(shí)，相應(yīng)的（弱）大數(shù)定律和強(qiáng)大數(shù)定律的研究也應(yīng)運(yùn)而生。三、概率事件在生活的應(yīng)用：1、數(shù)學(xué)騙局 我們經(jīng)常見(jiàn)到街頭免費(fèi)摸獎(jiǎng)的騙局，為什么說(shuō)它是騙局呢？我們?cè)诖擞靡粋€(gè)常見(jiàn)的例子分析一下：某廠商為了推銷某種水貨商品，特設(shè)立免費(fèi)摸獎(jiǎng)游戲，規(guī)則是：一個(gè)袋子中裝有20個(gè)球，標(biāo)有5分值和10分值的各10個(gè)，摸獎(jiǎng)?wù)邚拇腥我饷?0個(gè)球，這10個(gè)球的分值之和若分別是50，55，60，90，95，100者便可獲取獎(jiǎng)品一個(gè)，若得其它分值，則必須掏錢購(gòu)買廠商的商品一件。由于不花錢摸獎(jiǎng)，很多人都駐足一試，然而得獎(jiǎng)的人幾乎沒(méi)有，而大多數(shù)人則不得不花錢

6、購(gòu)買商品回家，這是為什么呢？在這個(gè)摸獎(jiǎng)游戲中廠商到底是贏還是虧呢？我們這樣來(lái)看：設(shè)Ak事件表示摸出的10個(gè)球中有k個(gè)5分值的，那么10分值的就有10-k個(gè)，則Ak事件代表的分值就為5k+10(10-k)=100-5k。又由中獎(jiǎng)的分值分別為50，55，60，90，95，100即100-5k等于50，55，60，90，95，100這6個(gè)分值中的一個(gè)則中獎(jiǎng)，因此k的值分別為10，9，8，2，1，0，所以中獎(jiǎng)的情況有以下6種：10個(gè)全是5分球，或9個(gè)5分球，1個(gè)10分球，或8個(gè)5分球，2個(gè)10分球，或2個(gè)5分球，8個(gè)10分球，或1個(gè)5分球，9個(gè)10分球，或10個(gè)全是10分球，且它們兩兩互不相容，又由排

7、列組合可知上述6種中獎(jiǎng)事件發(fā)生的概率分別為：、。因此用A表示中獎(jiǎng)事件，那么中獎(jiǎng)事件的概率P(A)= +=0.000767.由此可見(jiàn)，這是一個(gè)小概率事件，發(fā)生的概率只有0.000767，也可以說(shuō)中獎(jiǎng)幾乎不可能，廠商肯定會(huì)賺錢，所以廠商才會(huì)選擇和我們玩這樣一種所謂的“免費(fèi)”摸獎(jiǎng)游戲，其實(shí)質(zhì)是一場(chǎng)讓玩游戲的人自己掏腰包買水貨回家騙局。其實(shí)生活中我們會(huì)遇到很多這樣的“騙局”，我們必須正確認(rèn)識(shí)小概率事件，才不會(huì)“上當(dāng)受騙”。2、抽簽先后是否公平 生活中，我們有時(shí)要用抽簽的方法來(lái)決定一件事情。在高中我們就學(xué)過(guò)這樣一個(gè)例子：我校去年舉行慶祝五·四詩(shī)歌大賽，各班派出10名代表參加，為使人人參與，學(xué)校

8、規(guī)定全校同學(xué)都作準(zhǔn)備，賽前由各班用抽簽方法決定參賽的人選，很多同學(xué)們對(duì)抽簽之事展開(kāi)討論，有的同學(xué)說(shuō)先抽的人抽到的機(jī)會(huì)比較大，也有同學(xué)持不同意見(jiàn)，那么，抽簽有先有后(后抽人不知先抽人抽出的結(jié)果)，對(duì)各人真的公平嗎？我們現(xiàn)在就來(lái)研究一下，從概率的方面來(lái)說(shuō)明抽簽次序是否影響抽簽結(jié)果？不失一般性，第一，不妨考察5個(gè)簽中有一個(gè)彩簽的情況，顯然，對(duì)第1個(gè)抽簽者來(lái)說(shuō)，他從5個(gè)簽中任抽一個(gè)，得到彩簽的概率，為了求得第2個(gè)抽簽者抽到彩簽的概率，我們把前2人抽簽的情況作一整體分析，從5個(gè)簽中先后抽出2個(gè)，可以看成從5個(gè)元素中抽出2個(gè)進(jìn)行排列，它的種數(shù)是，而其中第2人抽到彩簽的情況有，因此，第1人未抽到彩簽，而第2

9、人抽到彩簽的概率為，通過(guò)類似的分析，可知第3人抽到彩簽，則有種排列，而第一二人沒(méi)有抽到簽的情況有種，所以第3個(gè)抽簽的概率為，同理：第4個(gè)、第5個(gè)分別為，。一般地，如果在n個(gè)簽中有1個(gè)彩簽，n個(gè)人依次從中各抽1個(gè)，且后抽人不知先抽人抽出的結(jié)果，那么第i個(gè)抽簽者(i=1,2,n)抽到彩簽的概率為，即每個(gè)抽簽者抽到彩簽的概率都是，也就是說(shuō)，抽到彩簽的概率與抽簽的順序無(wú)關(guān)。通過(guò)對(duì)上述簡(jiǎn)單問(wèn)題的分析，我們看到在抽簽時(shí)順序雖然有先有后，但只要不讓后抽人知道先抽人抽出的結(jié)果，那么各個(gè)抽簽者中簽的概率是相等的，也就是說(shuō)，并未因?yàn)槌楹灥捻樞虿煌绊懙狡涔叫?。所以通過(guò)抽簽來(lái)決定事情是公平的。3 、產(chǎn)品質(zhì)量檢查

10、對(duì)某工廠的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢查，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中重復(fù)抽樣，共取200件樣品，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有4件次品，問(wèn)我們能否相信此工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率不超過(guò)0.005？我們可以這樣來(lái)分析：首先，我們假設(shè)該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率為0.005，即200件產(chǎn)品中有4件次品。而抽出一件產(chǎn)品有兩種可能結(jié)果，即要么是次品要么不是次品，因此我們可以把取200件產(chǎn)品看成是200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也就是已經(jīng)學(xué)過(guò)的伯努利試驗(yàn)，所以抽到的200件產(chǎn)品中出現(xiàn)4件次品的概率為P=0.015。由此可知，200件產(chǎn)品中出現(xiàn)4件次品的概率很小。根據(jù)小概率原理可知，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性很小，可以說(shuō)不可能發(fā)生，但是，題目中共取20

11、0件樣品中就有4件次品，所以我們不能相信此工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率不超過(guò)0.005。通過(guò)這個(gè)例子我們可以了解到，生活中其實(shí)還有很多類似的小概率事件，雖然看似很簡(jiǎn)單，但如果我們不細(xì)心推斷，就會(huì)被“欺騙”。所以掌握小概率事件的原理對(duì)于日常生活是很有實(shí)用價(jià)值的。4、小概率原理在商場(chǎng)管理中的應(yīng)用商場(chǎng)某電器部門有12臺(tái)電器，由于種種原因，每臺(tái)電器優(yōu)勢(shì)需要開(kāi)，有時(shí)需要關(guān)，每臺(tái)電器的開(kāi)或關(guān)時(shí)相互獨(dú)立的。由以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，每臺(tái)電器在一個(gè)工作日內(nèi)關(guān)閉的概率為P=1/3，為了了解該部門的用電情況，需要計(jì)算其在一天之內(nèi)恰有k臺(tái)電器處于關(guān)閉狀態(tài)的概率時(shí)多大。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的Bernoulli模型問(wèn)題，每個(gè)工作日內(nèi)處于關(guān)閉

12、狀態(tài)的電器X服從參數(shù)為n=12，p=1/3的二項(xiàng)分布，容易算出X的分布列，見(jiàn)表k0123456789101112pk0.0077070.0462440.1271710.2119520.2384660.1907570.1112750.0476890.0149030.0033120.0004970.0000450.000002由表可以得出關(guān)閉的臺(tái)數(shù)不超過(guò)1臺(tái)的概率為：P（0）+P（1）=0.053951P（8）+P（9）+P（12）=0.018759由此可見(jiàn)，若取小概率標(biāo)準(zhǔn)為0.05，則“停車臺(tái)數(shù)不超過(guò)1臺(tái)”和“停車臺(tái)數(shù)超過(guò)7臺(tái)”均屬于小概率事件。根據(jù)小概率原理，可以認(rèn)為在一個(gè)工作日內(nèi)處于停車的床

13、臺(tái)數(shù)在27臺(tái)之間，進(jìn)而可計(jì)算實(shí)際用電量。反之，還可以利用小概率原理，通過(guò)實(shí)際觀察來(lái)檢驗(yàn)原先對(duì)一臺(tái)電器在一個(gè)工作日內(nèi)關(guān)閉概率的估計(jì)值P=1/3是否正確。如果在某個(gè)工作日內(nèi)發(fā)現(xiàn)關(guān)閉的臺(tái)數(shù)不超過(guò)1臺(tái)或超過(guò)7臺(tái)，則表明上述兩個(gè)小概率事件竟然發(fā)生了，因此可以認(rèn)為這是不正常的。如果沒(méi)有其他原因，就可以認(rèn)為將關(guān)閉的概率估計(jì)為1/3是不正確的。像上例這種類型的問(wèn)題在商場(chǎng)管理中是經(jīng)常遇見(jiàn)的。又如仍有12臺(tái)電器，每臺(tái)電器出現(xiàn)故障需要維修的概率是p=0.05，可以認(rèn)為各臺(tái)電器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，而且一名維修工人每次只能維修一臺(tái)電器。那么，為了減少因等待維修而影響生產(chǎn)，商場(chǎng)應(yīng)配備幾名維修工人？這也是二項(xiàng)分布問(wèn)題

14、，其中同一天內(nèi)出現(xiàn)故障的車床臺(tái)數(shù)Xb（12，005）。不難算出：P（0）=0.541，P（1）=0.341于是至少2臺(tái)出現(xiàn)故障的概率P=1-P(0)-P(1)=0.118.據(jù)此，可以考慮只配備1名維修工，因?yàn)槌^(guò)1臺(tái)出現(xiàn)故障的概率是小概率。5、相遇問(wèn)題 一位丈夫和他的妻子要上街購(gòu)物，他們決定在上午10：00到11：00之間到某一街角的一家商店門口相會(huì)，他們約定當(dāng)其中一人先到后一定要等另一人15分鐘，若另一人仍不到則離去。試問(wèn)這對(duì)夫妻能夠相遇的概率為多大？假定他們到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間是隨機(jī)的且都在約定的一小時(shí)之內(nèi)。 問(wèn)題主要涉及到丈夫和妻子到達(dá)商店門口的時(shí)間這兩個(gè)變量，若用x和y表示x-y=-15

15、上午10：00以后丈夫和妻子分別到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間(以分鐘計(jì)算)，則他們所x-y=15有可能的到達(dá)時(shí)間都可由有序?qū)?x,y)來(lái)表示，其中0<x<60,0<y<60,于是樣本空間即為圖中邊長(zhǎng)為60的正方形區(qū)域。為了使丈夫和妻子相遇，他們到達(dá)時(shí)間必須在相距15分鐘的間隔之內(nèi)，也就是說(shuō)滿足|x-y|<15,此范圍表示的區(qū)域即為事件A(這對(duì)夫妻能夠相遇)發(fā)生的區(qū)域，如圖中正方形內(nèi)兩條線段所夾陰影部分所示。因此，%。當(dāng)然，上面只是海洋中的幾朵小小的浪花，只要大家都來(lái)做有心人，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它還有很多有意思的例子，例如在軍事上，在賭博上等等。由以上幾個(gè)問(wèn)題我們可從中領(lǐng)悟到概率論的確

16、如英國(guó)的邏輯學(xué)家的經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯（Jevons,1835-1882）說(shuō)的那樣，它是“生活真正的停路人，如果沒(méi)有對(duì)概率的某種估計(jì)，我們就寸步難行，無(wú)所作為”。6、小概率事件在假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用在概率統(tǒng)計(jì)中，為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，必須計(jì)算種種隨機(jī)事件的概率，由于隨機(jī)現(xiàn)象的多樣性，我們不得不研究各種數(shù)學(xué)模型，并對(duì)每一種模型進(jìn)行具體分析。 問(wèn)題：某保健品檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)中要求，保健品中某項(xiàng)元素的不合格品率p不超過(guò)3，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50瓶進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)2瓶不合格，問(wèn)該批產(chǎn)品能否投入市場(chǎng)？按照一般的習(xí)慣性思維：50瓶中有2瓶不合格品，不合格品率就是4，超過(guò)了原來(lái)設(shè)置的3的不合格品率，因此不能投放市場(chǎng)。但假如根據(jù)

17、假設(shè)檢驗(yàn)的理論，在=0.05的顯著性水平下，該批產(chǎn)品就可以投放市場(chǎng)。解法如下：假設(shè) H：pp=0.03；H:pp=0.03若把p看作是n=1的二項(xiàng)分布b（1，p）中成功的而概率，則可在大樣本場(chǎng)合（一般n25）獲得參數(shù)p的近似的檢驗(yàn)，得樣本統(tǒng)計(jì)量：，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）。其中=250=0.04,p=0.03,n=50,顯著水平為，常取=0.05.根據(jù)=0.05及備擇假設(shè)知道拒絕域W為：=1.645。由樣本觀測(cè)值，求樣本統(tǒng)計(jì)量：=0.4151.645.因此，我們認(rèn)為：在=0.05時(shí)，樣本觀測(cè)值未落在拒絕域，所以，不能拒絕原假設(shè)，應(yīng)允許這批產(chǎn)品投放市場(chǎng)。由以上討論可知，用抽樣樣本的質(zhì)量水

18、平來(lái)判別產(chǎn)品整體的質(zhì)量水平，存在抽樣風(fēng)險(xiǎn)。結(jié)合例題，假設(shè)這批產(chǎn)品共有100000瓶，里面有40瓶不合格品，不合格品率遠(yuǎn)低于3的標(biāo)準(zhǔn)。隨機(jī)抽樣50瓶，如果在50瓶中抽到了2瓶甚至更多的不合格品，簡(jiǎn)單地用抽到的不合格品除以50來(lái)作為整批產(chǎn)品的不合格品率來(lái)判斷，那么，就會(huì)對(duì)整批產(chǎn)品質(zhì)量水平造成錯(cuò)誤判斷。因此，以小概率事件原理為基礎(chǔ)的假設(shè)檢驗(yàn)就應(yīng)運(yùn)而生。從上面的敘述看到，假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法就是從抽樣的樣本值出發(fā)，通過(guò)觀察一個(gè)“小概率事件”在一次抽樣中是否發(fā)生來(lái)判斷原來(lái)對(duì)總體X的某種“看法”（原假設(shè)H是否正確。具體做法是：為了檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)假設(shè)H是否成立，首先假設(shè)H成立，如果由此導(dǎo)出了一個(gè)小概率（小于某個(gè)數(shù)即

19、為顯著水平，常取=0.05，0.01等）事件發(fā)生，則認(rèn)為是矛盾，從而應(yīng)否定H，否則接受H。）假設(shè)檢驗(yàn)中可能會(huì)產(chǎn)生兩類錯(cuò)誤：第一類錯(cuò)誤是當(dāng)H實(shí)際上成立的條件下，被我們判斷為不成立，即犯了“棄真”的錯(cuò)誤。顯然，犯“棄真”錯(cuò)誤的概率就是顯著水平；第二類錯(cuò)誤就是當(dāng)H實(shí)際上不成立時(shí)，反而被我們判斷為成立，即犯了“納偽”的錯(cuò)誤。就我們的而主觀愿望來(lái)說(shuō)，自然是希望犯這兩類錯(cuò)誤的概率都盡可能的小，即二者都是小概率事件，然而，可以證明，當(dāng)樣本容量確定后，犯兩類錯(cuò)誤的概率不可能同時(shí)減少，減少其中一個(gè)，另一個(gè)往往就會(huì)增大。若要它們同時(shí)減少，只有增加樣本容量。在實(shí)際問(wèn)題中，因人們常把“棄真”看得比“納偽”更重要些，一

20、般總是控制犯第一類錯(cuò)誤的概率，這就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的“顯著性檢驗(yàn)”。7、經(jīng)濟(jì)效益 有時(shí)從經(jīng)濟(jì)效益的角度來(lái)考慮，利用概率的知識(shí)可使得有些問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單又經(jīng)濟(jì)，省錢又省力。例如：為防止某突發(fā)事件發(fā)生，在甲、乙、丙、丁四種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用，單獨(dú)采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率(記為P)和所需費(fèi)用如下：預(yù)防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6費(fèi)用(萬(wàn)元)90603010預(yù)防方案可單獨(dú)采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施。在總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元的前提下，我們應(yīng)該采用哪一種預(yù)防方案，可使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大？我們現(xiàn)在就來(lái)研究在總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元的前提下采用哪一種相