【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4知識(shí)塊第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算課件 北師大版 (2)

1、【考綱下載考綱下載】1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題2能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.第第7 7講講 正、余弦定理及其實(shí)際應(yīng)用正、余弦定理及其實(shí)際應(yīng)用正弦定理正弦定理(1)定理定理： = 其中其中R為三角形外接圓的半為三角形外接圓的半徑徑(2)變式變式：a，b ，c ；sin A ，sin B ，sin C ；abc .2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC1提示：提

2、示：已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理求其他的角和已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用正弦定理求其他的角和邊時(shí)，要注意對(duì)解的情況進(jìn)行判斷，這類問(wèn)題往往有一解，兩解，無(wú)解三邊時(shí)，要注意對(duì)解的情況進(jìn)行判斷，這類問(wèn)題往往有一解，兩解，無(wú)解三種情況種情況2余弦定理余弦定理 (1)定理：定理：a2 ； b2 ； c2 ； (2)變式：變式：cos A ； cos B ； cos C .b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosC提示：提示：在在ABC中，已知中，已知a，b，A，求，求c時(shí)，利用余弦定理時(shí)，利用余弦定理a2b2c22bccos A得到關(guān)于得到關(guān)于c的二次

3、方程，但也應(yīng)注意三角形解的個(gè)數(shù)的判斷的二次方程，但也應(yīng)注意三角形解的個(gè)數(shù)的判斷3三角形面積公式三角形面積公式(1)S (ha表示表示a邊上的高邊上的高)；(2)S absin C ；(3)S r(abc)(r為內(nèi)切圓半徑為內(nèi)切圓半徑)實(shí)際問(wèn)題中的常用角實(shí)際問(wèn)題中的常用角(1)仰角和俯角仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線線在水平視線 叫仰角；目標(biāo)視線在水平視線叫仰角；目標(biāo)視線在水平視線 叫俯角叫俯角( (如圖如圖) )上方上方下方下方4(2)方位角方位角指從指從 方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的

4、水平角，如方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為點(diǎn)的方位角為(如圖如圖)正北正北(3)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)提示：提示：在解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要明確題意，正確畫(huà)在解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要明確題意，正確畫(huà)出平出平面圖形或空間圖形，然后根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)將問(wèn)題歸結(jié)到三角形中面圖形或空間圖形，然后根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)將問(wèn)題歸結(jié)到三角形中解決解決1ABC的內(nèi)角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為的對(duì)邊分別為a，b，c.若若c ，b ，B120， 則則a等于等于()解析：解析：由正弦定理得由正弦定理得 又又C為銳角，則為銳角，

5、則C30，A30，ABC為等腰三角形，為等腰三角形，ac . 答案：答案：D2(2009廣東卷廣東卷)已知已知ABC中，中，A，B，C的對(duì)邊分別為的對(duì)邊分別為a，b，c. 若若ac ，且，且A75，則，則b()解析：解析：ac，A75，B30，b2a2c22accos 30b2.答案：答案：A3已知銳角已知銳角ABC的面積為的面積為3 ，BC4，CA3，則角，則角C的大小為的大小為() A75 B60 C45 D30答案：答案：B4在在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂和塔底的俯角分別是高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂和塔底的俯角分別是 30、60，則塔高為，則塔高為_(kāi)m.在在ACD中，由余

6、弦定理得，中，由余弦定理得，解析：解析：如如圖，由已知可得圖，由已知可得BAC=30，CAD=30， BCA=60，ACD=30，ADC=120，判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意特別注意“等腰直角三角形等腰直角三角形”與與“等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別依據(jù)已的區(qū)別依據(jù)已知條件中知條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí)，主要有如下兩條途徑：的邊角關(guān)系判斷時(shí)，主要有如下

7、兩條途徑：(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論這個(gè)結(jié)論 在在 中，中， 分別表示三個(gè)內(nèi)角分別表示三個(gè)內(nèi)角 的對(duì)邊，如的對(duì)邊，如果果 ，判斷三角

8、形的形狀，判斷三角形的形狀思維點(diǎn)撥：利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角思維點(diǎn)撥：利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系角關(guān)系【例例1】解：解法一：已知等式可化為解：解法一：已知等式可化為a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)2a2cos Asin B2b2cos Bsin A由正弦定理可知上式可化為：由正弦定理可知上式可化為：sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin Asin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0sin 2Asin 2B，由，由02A,2B2，得得2A2B或或2A2B，即，

9、即AB或或A B，ABC為等腰或直角三角形為等腰或直角三角形解法二：解法二：同解法一可得同解法一可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B，由正、余弦定理，可得由正、余弦定理，可得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)即即(a2b2)(a2b2c2)0ab或或a2b2c2，ABC為等腰或直角三角形為等腰或直角三角形.三角形一般由三個(gè)條件確定，比如已知三邊三角形一般由三個(gè)條件確定，比如已知三邊a，b，c，或兩邊，或兩邊a，b及夾角及夾角C，可以將可以將a，b，c或或a，b，C作為解三角形的基本要素，根據(jù)已知條件，通過(guò)正作為解三角形的基本要素，根據(jù)已知條件，通過(guò)正弦定理、余弦定理、

10、面積公式等利用解方程組等手段進(jìn)行求解，必要時(shí)可考弦定理、余弦定理、面積公式等利用解方程組等手段進(jìn)行求解，必要時(shí)可考慮作輔助線，將所給條件置于同一三角形中慮作輔助線，將所給條件置于同一三角形中(1)求求ABC的面積；的面積；(2)若若c1，求，求a的值的值形面積公式求解即可；形面積公式求解即可；(2)(2)根據(jù)第根據(jù)第(1)(1)問(wèn)求出的問(wèn)求出的bcbc，結(jié)合，結(jié)合b bc c就可以求就可以求出出b b， c c的值，根據(jù)余弦定理求解的值，根據(jù)余弦定理求解解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)榈玫胋ccos A3，所以，所以bc5.因此因此SABC bcsin A2.(2)由由(1)知，知，bc5.又又c1，所

11、以，所以b5，由余弦定理，得由余弦定理，得a2b2c22bccos A20，所以所以a2 . 已知已知ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)(1)若若c5，求，求sin A的值；的值；(2)若若A為鈍角，求為鈍角，求c的取值范圍的取值范圍解：解：(1)解法一：解法一：A(3,4)，B(0,0)，|AB|5.又又C(c,0)，sin B .當(dāng)當(dāng)c5時(shí)，時(shí)，|BC|5，由正弦定理得由正弦定理得變式變式2：解法二：解法二：A(3,4)，B(0,0)，|AB|5.當(dāng)當(dāng)c5時(shí)時(shí)，|BC|5.由余弦定理得由余弦定理得(2)A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，|

12、AC|2(c3)242，|BC|2c2.A為鈍角，為鈍角，cos A0，即，即|AB|2|AC|2|BC|20.52(c3)242c2506c .三角函數(shù)作為聯(lián)系代數(shù)與幾何問(wèn)題的紐帶和橋梁，往往出現(xiàn)在綜合題三角函數(shù)作為聯(lián)系代數(shù)與幾何問(wèn)題的紐帶和橋梁，往往出現(xiàn)在綜合題中中解三角形就是這樣一種常見(jiàn)而又典型的問(wèn)題，在三角形的三角變解三角形就是這樣一種常見(jiàn)而又典型的問(wèn)題，在三角形的三角變換中，正、余弦定理是解題的基礎(chǔ)換中，正、余弦定理是解題的基礎(chǔ)【例例3】 ABC中，中，A，B，C所對(duì)的邊分別為所對(duì)的邊分別為a，b，c，tan C ， sin(BA)cos C. (1)求求A，C； (2)若若SABC

13、3 ，求，求a，c. 思維點(diǎn)撥：思維點(diǎn)撥：(1)變換變換tan C ，尋找尋找A，B，C的三角函數(shù)之間的關(guān)的三角函數(shù)之間的關(guān)系系；(2)在解決了第在解決了第(1)問(wèn)的情況下，則相當(dāng)于知道了三角形的三個(gè)內(nèi)角，根問(wèn)的情況下，則相當(dāng)于知道了三角形的三個(gè)內(nèi)角，根據(jù)三角形面積公式和正弦定理就可以得到一個(gè)關(guān)于據(jù)三角形面積公式和正弦定理就可以得到一個(gè)關(guān)于a，c的方程組，解這個(gè)方的方程組，解這個(gè)方程組即可程組即可解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)閠an C所以所以sin Ccos Asin Ccos Bcos Csin Acos Csin B，即即sin Ccos Acos Csin Acos Csin Bsin Cco

14、s B，得得sin(CA)sin(BC)所以所以CABC，或，或CA(BC)(不成立不成立)， 即即2CAB，又因?yàn)橛忠驗(yàn)閟in(BA)cos C ，由正弦定理，得由正弦定理，得由由、得得變式變式3： (2009山東卷山東卷)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)2sin xcos2 cos xsin sin x(0)在在x處取最小值處取最小值(1)求求的值；的值；(2)在在ABC中，中，a，b，c分別是角分別是角A，B，C的對(duì)邊已知的對(duì)邊已知a1，b ，f(A) ，求角，求角C.解：解：(1)f(x)2sin x cos xsin sin xsin xsin xcos cos xsin sin xsin

15、xcos cos xsin sin(x)因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)在在x處取最小值，所以處取最小值，所以sin()1，故故sin 1.又又0，所以所以 .(2)由由(1)知知因?yàn)橐驗(yàn)榍仪褹為為ABC的內(nèi)角，所以的內(nèi)角，所以由正弦定理得由正弦定理得解斜三角形有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何、物理諸方面都要用解斜三角形有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何、物理諸方面都要用到解斜三角形的知識(shí)，解此類問(wèn)題一般步驟是：到解斜三角形的知識(shí)，解此類問(wèn)題一般步驟是：(1)閱讀理解，畫(huà)出示意閱讀理解，畫(huà)出示意圖，分清已知和所求，尤其要理解應(yīng)用題中有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)，如坡度、圖，分清已知和所求，尤其要理解應(yīng)用題中有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)

16、，如坡度、仰角、俯角、象限角、方位角等；仰角、俯角、象限角、方位角等；(2)分析與所研究的問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或分析與所研究的問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形；幾個(gè)三角形；(3)解這些三角形，求出答案解這些三角形，求出答案 (2009 (2009遼寧卷遼寧卷)如圖，如圖，A，B，C，D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面A處測(cè)得處測(cè)得B點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)的點(diǎn)的仰角分別為仰角分別為75，30，于水面，于水面C處測(cè)得處測(cè)得B點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為點(diǎn)的仰角均為60，AC0.1 km.試探究圖中試探究圖中B，D間距

17、離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距的距離離(計(jì)算結(jié)果精確到計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km， 1.414， 2.449)【例例4】解：解：在在ACD中中，DAC30，ADC60DAC30，所以所以CDAC0.1.又又BCD180606060，故故CB是是CAD底邊底邊AD的中垂線，所以的中垂線，所以BDBA.故故B，D的距離約為的距離約為0.33 km.【方法規(guī)律方法規(guī)律】1正、余弦定理和三角形面積公式是本講課的重點(diǎn)，能利用三角形內(nèi)角正、余弦定理和三角形面積公式是本講課的重點(diǎn)，能利用三角形內(nèi)角和、邊、角之間的關(guān)系，三角函數(shù)的變形公式去判斷三角形的形狀，求

18、解三和、邊、角之間的關(guān)系，三角函數(shù)的變形公式去判斷三角形的形狀，求解三角形，以及利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題角形，以及利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題2應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：ABC， 中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)3正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2Asin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明4根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要

19、有兩種途徑：(1)化邊為角；化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦化角為邊，并常用正弦(余弦余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換.【高考真題高考真題】(2009安徽安徽)在在ABC中，中，sin(CA)1，sin B .(1)求求sin A的值；的值；(2)設(shè)設(shè)AC ，求，求ABC的面積的面積【規(guī)范解答規(guī)范解答】解：解：(1)由由sin(CA)1，CA，知知又又ABC，所以，所以2AB ，故故cos 2Asin B， 本題的關(guān)鍵是關(guān)系式本題的關(guān)鍵是關(guān)系式2AB ，命題者把這個(gè)關(guān)系用，命題者把這個(gè)關(guān)系用sin(CA)1表達(dá)表達(dá)出來(lái)，然后在條件出來(lái)，然后在條件sin B 下求解下求解sin A

20、(實(shí)際上也可給出實(shí)際上也可給出sin A或或cos A的值的值求解求解sin B、cos B等等)，重在考查方程思想在解題中的應(yīng)用，重在考查方程思想在解題中的應(yīng)用【探究與研究探究與研究】 確定三角形的條件之一就是知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角的大小確定三角形的條件之一就是知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角的大小(實(shí)際上就是知實(shí)際上就是知道了三個(gè)內(nèi)角的大小道了三個(gè)內(nèi)角的大小)及一個(gè)邊長(zhǎng)，在解題中要善于利用確定三角形的條及一個(gè)邊長(zhǎng)，在解題中要善于利用確定三角形的條件分析解決問(wèn)題，如本題中由第件分析解決問(wèn)題，如本題中由第(1)問(wèn)的結(jié)果，實(shí)際上就是知道了該三角問(wèn)的結(jié)果，實(shí)際上就是知道了該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小，第形的三個(gè)內(nèi)角的大小，第(2)問(wèn)中又給出了一個(gè)邊長(zhǎng)，根據(jù)正弦定理可以問(wèn)中又給出了一個(gè)邊長(zhǎng)，根據(jù)正弦定理可以求出另外兩邊的長(zhǎng)，這樣使用三角形的面積公式求出另外兩邊的長(zhǎng)，這