【創(chuàng)新設計】2011屆高三數(shù)學一輪復習 第4知識塊第3講平面向量的數(shù)量積及平面向量應用舉例課件 北師大版

1、【考綱下載考綱下載】1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系3掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算4能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系垂直關系5會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題6會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.第第3 3

2、講講 平面向量的數(shù)量積及平面向量應用舉例平面向量的數(shù)量積及平面向量應用舉例1數(shù)量積的概念數(shù)量積的概念 (1)定義：已知兩個非零向量定義：已知兩個非零向量a和和b，它們的夾角為，它們的夾角為，則，則 叫做叫做a與與 b的數(shù)量積，記作的數(shù)量積，記作ab，即，即ab ； (2)幾何意義：數(shù)量積幾何意義：數(shù)量積ab等于等于a的長度與的長度與b在在a方向上的投影方向上的投影|b|cos 的乘積的乘積 【思考思考】 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，它的符號是怎樣確定的向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，它的符號是怎樣確定的？ 答案：答案：當當a，b為非零向量時，為非零向量時，ab的符號由夾角的余弦來確定；當?shù)姆栍蓨A角的余弦

3、來確定；當 00；當；當90180時，時，ab0；當；當a與與b至少有一個至少有一個 為零向量或為零向量或90時，時，ab0.|a|b|cos |a|b|cos 2數(shù)量積的性質數(shù)量積的性質(e是單位向量，是單位向量，a，e) (1)eaae . (2)當當a與與b同向時，同向時，ab ；當；當a與與b反向時，反向時，ab ；特別地，；特別地， aa 或或|a| . (3)ab . . (4)cos . (5)|ab|a|b|. 提示：提示：當當a0，時，時，ab0，但，但ab0時不能得到時不能得到a0或或b0，因為，因為ab時，時， 也有也有ab0.|a|cos|a|b|a|b|a|2ab0.

4、3數(shù)量積的運算律數(shù)量積的運算律 (1)abba (2)(a)b a(b) (3)(ab)c . 提示：提示：(1)若若a、b、c是實數(shù)，則是實數(shù)，則abacbc(a0)；但對于向量，就沒；但對于向量，就沒 有這樣的性質，即若向量有這樣的性質，即若向量a、b、c滿足滿足abac(a0)，則不一定有，則不一定有bc， 即等式兩邊不能同時約去一個向量即等式兩邊不能同時約去一個向量 (2)數(shù)量積運算不適合結合律，即數(shù)量積運算不適合結合律，即(ab)ca(bc)，這是由于，這是由于(ab)c表示一表示一個個 與與c共線的向量，共線的向量，a(bc)表示一個與表示一個與a共線的向量，而共線的向量，而a與與

5、c不一定共線，不一定共線， 因此因此(ab)c與與a(bc)不一定相等不一定相等(ab)acbc4數(shù)量積的坐標運算數(shù)量積的坐標運算 (1) 若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則ab .x2y2x1x2y1y2(4)設設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則ab .x1x2y1y20 .1已知已知|a|2，|b|4，ab4，則，則a與與b的夾角為的夾角為() A30 B60 C150 D120解析：解析：又又0，180，120.答案答案：D2若向量若向量a(1,2)，b(1，3)，則向量，則向量a與與b的夾角等于的夾角等于() A45 B60 C120 D135又又0，180，13

6、5.答案：答案：D3兩個非零向量兩個非零向量a、b互相垂直，給出下列各式：互相垂直，給出下列各式： ab0；abab；|ab|ab|；|a|2|b|2(ab)2；(ab) (ab)0.其中正確的式子有其中正確的式子有() A2個個 B3個個 C4個個 D D5個個解析：解析：ab0，正確，正確，ab與與ab方向不同，錯誤方向不同，錯誤|ab|2|a|2|b|2 2ab|a|2|b|2，|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，|ab|ab|.正正確確(ab)2|a|2|b|22ab|a|2|b|2.正確正確當當|a|b|時時(ab)(ab)0不成立錯誤，故選不成立錯誤，故選B項項答案：

7、答案：B4(2009江蘇卷江蘇卷)已知向量已知向量a和向量和向量b的夾角為的夾角為30，|a|2，|b| ，則向量，則向量a和和 向量向量b的數(shù)量積的數(shù)量積ab_. 解析：解析：ab|a|b|cos 2 cos 303. 答案：答案：3利用數(shù)量積求解長度問題是數(shù)量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方利用數(shù)量積求解長度問題是數(shù)量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法：法：1a2aa|a|2或或|a| 已知已知a、b滿足滿足|ab| |ab|，|a|b|1，求，求|3a2b|.思維點撥：思維點撥：由由|ab| |ab|平方后尋找平方后尋找ab.解：解：由由|ab| |ab|得，得，|ab|23|a

8、b|2，即即(ab)23(ab)2，a22abb23(a22abb2)，8ab2a22b22|a|22|b|24，即即ab ，【例例1】由于兩個非零向量由于兩個非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夾角為的夾角為滿足滿足0180，所以用所以用【例例2】 已知三個向量已知三個向量a、b、c兩兩所夾的角都為兩兩所夾的角都為120，|a|1，|b|2， |c|3，求向量，求向量abc與向量與向量a的夾角的夾角 思維點撥：思維點撥：先求先求(abc)a，再求，再求|abc|.解：解：由已知得由已知得(abc)aa2abac12cos 1203cos 120 ，設向量設向量abc與向量與向

9、量a的夾角為的夾角為，則，則即即150，故向量故向量abc與向量與向量a的夾角為的夾角為150.1.兩個向量平行的充要條件：兩個向量平行的充要條件：(1)ab|ab|a|b|ab|a|b|或或ab|a|b|.(2)ab且且a0存在實數(shù)存在實數(shù)，使，使ba.2兩個非零向量垂直的充要條件兩個非零向量垂直的充要條件兩非零向量垂直，則它們的數(shù)量積等于兩非零向量垂直，則它們的數(shù)量積等于0. 【例例3】 已知向量已知向量a(1,2)，b(2,1)，k k，t為正實數(shù)，向量為正實數(shù)，向量xa(t21)b， yk ka b，問是否存在，問是否存在k k，t使使xy？若存在，求出？若存在，求出k k的取值范的取

10、值范圍；圍； 若不存在，請說明理由若不存在，請說明理由. 思維點撥：思維點撥：先求先求x、y的坐標，再利用的坐標，再利用xy列方程列方程解：解：xa(t21)b(2t21，t23)，假設存在正實數(shù)假設存在正實數(shù)k k，t使使xy，整理得整理得tk k(t21)10，則滿足上述等式的正實數(shù)，則滿足上述等式的正實數(shù)k k，t不存在，所以不不存在，所以不 存在存在k k，t使使xy. 拓展拓展3：本例中的條件不變，若本例中的條件不變，若xy，求，求k k的最小值的最小值 解：解：a(1,2)，b(2,1)，ab0， 又又xy，t為正實數(shù)，為正實數(shù)，k k 2，當且僅當，當且僅當t1時，時，k k2，

11、k k的最小值為的最小值為2.用含有三角函數(shù)的坐標表示向量，就使得向量與三角函數(shù)建立了密切的內在用含有三角函數(shù)的坐標表示向量，就使得向量與三角函數(shù)建立了密切的內在聯(lián)系通過向量的坐標運算，將向量條件轉化為三角函數(shù)關系是解題的第一聯(lián)系通過向量的坐標運算，將向量條件轉化為三角函數(shù)關系是解題的第一層內容；根據(jù)題目要求，求解余下的三角函數(shù)問題是解題的第二層內容利層內容；根據(jù)題目要求，求解余下的三角函數(shù)問題是解題的第二層內容利用這個分層求解的策略，可將向量與三角函數(shù)的綜合問題化為兩個基本問題用這個分層求解的策略，可將向量與三角函數(shù)的綜合問題化為兩個基本問題來解決來解決【例例4】 已知已知a(cos ，si

12、n )，b(cos ，sin )(0) (1)求證：求證：ab與與ab互相垂直；互相垂直； (2)若若k kab與與a k kb的模相等，求的模相等，求(其中其中k k為非零實數(shù)為非零實數(shù))(2)解：解：k kab(k kcos cos ，k ksin sin )，ak kb(cos k kcos ，sin k ksin )，2kcos()2kcos()又又k0，cos()0.而而0， .證明：證明：(1)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab與與ab互相垂直互相垂直 變式變式4：(2010廣東惠州調研廣東惠州調研)已知向量已知向量a(sin

13、，cos )， b( ，1)， 其中其中 . (1)若若ab，求，求sin 和和cos 的值；的值； (2)若若f()(ab)2，求，求f()的值域的值域 即函數(shù)即函數(shù)f()的值域為的值域為(7,9.【方法規(guī)律方法規(guī)律】1數(shù)量積數(shù)量積ab中間的符號中間的符號“”不能省略，也不能用不能省略，也不能用“”來替代來替代2要熟練類似要熟練類似(ab)(satb)sa2(ts)abtb2的運算律的運算律(、s、tR)3求向量模的常用方法：利用公式求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，求模的運算轉化為向量的數(shù)量積的，求模的運算轉化為向量的數(shù)量積的運算運算4可以用向量的數(shù)量積公式解決有關夾角和垂直問題，

14、但要注意兩種公式的靈活可以用向量的數(shù)量積公式解決有關夾角和垂直問題，但要注意兩種公式的靈活運用運用 5利用向量垂直的充要條件研究幾何中線與線垂直的問題，常建立適當?shù)淖鴺讼?，利用向量垂直的充要條件研究幾何中線與線垂直的問題，常建立適當?shù)淖鴺讼?，得到簡單的向量坐標，減少運算量，實現(xiàn)了平面幾何問題轉化為數(shù)量的運算得到簡單的向量坐標，減少運算量，實現(xiàn)了平面幾何問題轉化為數(shù)量的運算.(12分分)設向量設向量e1，e2，滿足，滿足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夾角為的夾角為60，若向量，若向量2te17e2與向量與向量e1te2的夾角為鈍角，求實數(shù)的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍的取值范圍【閱卷實錄閱卷實錄】【教師點評教師點評】【規(guī)范解答規(guī)范解答】 接上面的解，設接上面的解，設2te17e2(e1te2)(0)，其中其中0 向量向量2te17e2與向量與向量e1te2的夾角為的夾角為.實數(shù)實數(shù)t的的取值范圍為：取值范圍為：