（整理版）離散型隨機變量的期望值和方差

1、12.2 離散型隨機變量的期望值和方差穩(wěn)固·夯實根底 一、自主梳理 1.期望：假設(shè)離散型隨機變量,=xi的概率為p(=xi)=pi(i=1,2,n,),那么稱e=xipi為的數(shù)學(xué)期望,反映了的平均值. 2.方差：稱d=(xi-e)2pi為隨機變量的均方差，簡稱方差.叫標(biāo)準(zhǔn)差，反映了的離散程度. 3.性質(zhì)：(1)e(a+b)=ae+b,d(a+b)=a2d(a、b為常數(shù)). (2)假設(shè)b(n,p),那么e=np,d=npq(q=1-p). 二、點擊雙基1.袋子里裝有5只球,編號為1,2,3,4,5,從中任取3個球,用表示取出的球的最大號碼,那么e等于( )a.4 b.5 c解析：可以取

2、3,4,5, p(=3)=,p(=4)=,p(=5)=. e=3×+4×+5×=4.5.答案：c2.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.01,假設(shè)發(fā)射10次,其出事故的次數(shù)為,那么以下結(jié)論正確的選項是( )c.p(k·10-k d.p(=k)=ck10·k·10-k解析:b(n,p),e=10×0.01=0.1.答案:ab(n,p),且e=7,d=6,那么p等于 a. b. c. d.解析:e=np=7,d=np(1-p)=6,所以p=.答案:a4.一個盒子里裝有n-1個白球,1個紅球,每次隨機地取出一個球,假設(shè)取到白球那么放回再取,假

3、設(shè)取到紅球那么停止取球,那么取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_.解析：可以取1,2,3,n, p(=k)=(k=1,2,n), e=(1+2+3+n)=.答案：5.有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝重量分別為隨機變量1、2,e1=e2,d1d2,那么自動包裝機_的質(zhì)量較好.解析:e1=e21>d2說明甲機包裝重量的差異大,不穩(wěn)定. 乙機質(zhì)量好.答案:乙誘思·實例點撥【例1】設(shè)是一個離散型隨機變量,其分布列如下表,試求e、d.-101p1-2qq2剖析:應(yīng)先按分布列的性質(zhì),求出q的值后,再計算出e、d.解:因為隨機變量的概率非負(fù)且隨機變量取遍所有可能值時相應(yīng)的概率之和等于1,所以 解得q=1-.

4、于是,的分布列為-101p-1- 所以e=(-1)×+0×(-1)+1×(-)=1-, d=-1-(1-)2×+(1-)2×(-1)+1-(1-)2×(-)=-1.講評:解答此題時,應(yīng)防止機械地套用期望和方差的計算公式,出現(xiàn)以下誤解:e=(-1)×+0×(1-2q)+1×q2=q2-.鏈接·提示 既要會由分布列求e、d,也要會由e、d求分布列,進(jìn)行逆向思維.如:假設(shè)是離散型隨機變量,p(=x1)=,p(=x2)=,且x1<x2,又知e=,d=.求的分布列. 解:依題意只取2個值x1與x2,

5、于是有 e=x1+x2=, d=x12+x22-e2=. 從而得方程組 解之,得或 而x1<x2, x1=1,x2=2. 的分布列為12p【例2】 把4個球隨機地投入4個盒子中去,設(shè)表示空盒子的個數(shù),求e、d.4,空盒子的個數(shù)可能為0個,此時投球方法數(shù)為a44=4!, p(=0)=;空盒子的個數(shù)為1時,此時投球方法數(shù)為c14c24a33, p(=1)=. 同樣可分析p(=2),p(=3).解:的所有可能取值為0,1,2,3. p(=0)=, p(=1)=, p(=2)=, p(=3)=. 的分布列為0123p e=,d=.講評:此題的關(guān)鍵是正確理解的意義,寫出的分布列.鏈接·提

6、示 求投球的方法數(shù)時,要把每個球看成不一樣的.=2時,此時有兩種情況:有2個空盒子,每個盒子投2個球;1個盒子投3個球,另1個盒子投1個球.【例3】遼寧高考某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二道工序加工而成,兩道工序的加工結(jié)果相互獨立,每道工序的加工結(jié)果均有a、b兩個等級.對每種產(chǎn)品,兩道工序的加工結(jié)果都為a級時,產(chǎn)品為一等品,其余均為二等品.(1)甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為a級的概率如表一所示,分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率p甲、p乙.表一(2)一件產(chǎn)品的利潤如表二所示,用、分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤,在(1)的條件下,求、的分布列及e、e.表二(3)生產(chǎn)

7、一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠有工人40名,可用資金60萬元.設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量,在(2)的條件下,x、y為何值時,z=xe+ye最大?最大值是多少?(解答時需給出圖示)表三解:(1)p甲×0.85=0.68,p乙×0.8=0.6. (2)隨機變量、的分布列是5pp e=5××0.32=4.2, e××0.4=2.1. (3)由題設(shè)知 目標(biāo)函數(shù)為z=xe+ye=4.2x+2.1y.作出可行域(如圖): 作直線l:4.2x+2.1y=0, 將l向右上方平移至l1位置時,直線經(jīng)過可行域上的點m且與原點距離最大