（整理版）第九章（B）第七講

1、第九章b 第七講時(shí)間：60分鐘總分值：100分一、選擇題(8×540分)1、是兩個(gè)平行平面，直線a，直線b，a與b之間的距離為d1，與之間的距離為d2，那么 ()ad1d2 bd1d2 cd2<d2 dd1>d2答案：b解析：由條件知，a與b的位置關(guān)系是平行或異面假設(shè)ab，那么d1d2；假設(shè)a、b異面，那么d1d2.2在abc中，abac5，bc6，pa平面abc，pa8，那么p到bc的距離為()a. b2c3 d4答案：d解析：取bc中點(diǎn)e，連結(jié)ae、pe，由aebc知pebc，即pe為點(diǎn)p到bc的距離那么pa8，ae4，pe4.3(·成都市高中畢業(yè)班第一次診

2、斷性檢測(cè)題)如圖，在平行六面體abcda1b1c1d1中，假設(shè)aa1abad1，a1ada1ab60°，bad90°，那么直線a1d1到平面abcd的距離為()a1 b.c. d.答案：b解析：作a1o平面abcd于點(diǎn)o，連結(jié)ao.由a1ada1ab得點(diǎn)o位于bad的平分線上，且cosa1adcosa1ao·cosdao，因此cosa1ao，sina1ao，由題意知直線a1d1到平面abcd的距離等于點(diǎn)a1到平面abcd的距離，即1×，選b.4(·黃岡市高三年級(jí)月考試題)如圖，正三棱柱abca1b1c1的各棱長都為2，e、f分別是ab、a1c1

3、的中點(diǎn)，那么ef的長是 ()a2 b.c. d.答案：c解析：過f作fmac于m，連接me，那么efm為直角三角形|ef|.5如下圖，正方體abcda1b1c1d1棱長為1，e是a1b1上的點(diǎn)，那么點(diǎn)e到平面abc1d1的距離是()a. b. c. d.答案：b解析：如示意圖取ad1、bc1的中點(diǎn)分別為m、n，連結(jié)a1m、b1n、mn.那么a1m綊b1nad1.a1b1mn，a1b1平面abc1d1.a1b1平面b1bcc1，a1b1b1n.mnb1n.又b1nbc1，b1n平面abc1d1.點(diǎn)e到平面abc1d1的距離為a1m.6a是正方形bcde所在平面外一點(diǎn)，ae平面bcde，且aecd

4、a，g、h分別是be、ed的中點(diǎn)，那么gh到平面abd的距離是()a.a b.a c.a d.a答案：d解析：如圖g到平面abd的距離是e到平面abd距離的一半，可先求后者易知abadbdbea，sabdab2×(a)2a2，sbeda2，設(shè)e到平面abd的距離為h.由veabdvabed得：sabd·hsbed·ae，×a2h×a2×a，ha.gh到平面abd的距離hha.7空間四邊形abcd的各邊與兩條對(duì)角線的長都是1，點(diǎn)p在邊ab上移動(dòng)，點(diǎn)q在cd上移動(dòng)，那么點(diǎn)p和q的最短距離為()a. b. c. d.答案：b解析：易證，當(dāng)p

5、、q分別為ab、cd的中點(diǎn)時(shí)，pq間距離最短，解rtadq及rtapq，得pq.8三棱錐sabc中，sa，sb，sc兩兩互相垂直，底面abc上一點(diǎn)p到三個(gè)面sab，sac，sbc的距離分別為，1，那么ps的長度為()a9 b. c. d3答案：d解析：p到三個(gè)面的距離可以構(gòu)成一個(gè)長方體的三邊，那么ps是對(duì)角線，ps3.二、填空題(4×520分)9在長方體abcda1b1c1d1中，ab2，ada1a1，那么直線b1c與a1d的距離為_；直線ac與b1d1的距離為_；點(diǎn)a到直線b1c的距離為_；點(diǎn)b到平面ab1c的距離為_；直線b1c1到cd1的距離為_答案：21解析：如圖：易知b1c

6、a1d而cda1d，cdb1c，cd的長為直線b1c與a1d的距離等于2；易知ac與b1d1距離為bb11；連ac、ab1、b1c作aeb1c于e由題意易知acab1，b1cae；連結(jié)ab1，b1c，ac1由所給題條件易得：vbab1c，由得：sab1c××，由等體積法得所求距離為；作c1fcd1，四邊形abcd為長方形，b1c1面c1d，b1c1c1f，c1f即為所求c1f.10(·昆明質(zhì)檢)三棱錐pabc中，pa平面abc，bac90°，abacap2，d為ab中點(diǎn)，e為bc 中點(diǎn)，那么點(diǎn)d到直線pe的距離等于_答案：解析：如圖，由題意知edab，由

7、三垂線定理知，edpd，又ed1，pd，pe，那么點(diǎn)d到直線pe的距離等于，故填.11如右圖，將邊長為1的正方形abcd沿對(duì)角線ac折起，使平面acd平面abc，那么折起后b、d兩點(diǎn)的距離為_；直線bd和平面abc所成角的大小是_.答案：145°解析：在rtbod中，obod，那么bd1.dbo即為直線bd和平面abc所成角的大小，dbo45°.12多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的如下列圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)a在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)正方體上與頂點(diǎn)a相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1,2和4.p是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，那么p到平面的距離可能是：3；4；5；6；

8、7；以上結(jié)論正確的為_(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))答案：解析：如圖假設(shè)p位于c，平面abcd為正方形，bd與ac的中點(diǎn)為同一點(diǎn)o.b、d到平面的距離分別為2、1，o到平面的距離為.c到平面的距離為3.假設(shè)p位于b1，b1b綊a1a，b1到平面的距離等于a1到平面的距離加b到平面的距離為6.同理，假設(shè)p位于c1，那么c1到平面的距離為7.假設(shè)p位于d1，那么d1到平面的距離為5.三、解答題(4×1040分)13在正四棱柱abcda1b1c1d1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，e、f分別為棱ab、bc的中點(diǎn)(1)求證：平面b1ef平面bdd1b1；(2)求點(diǎn)d1到平面b1ef的距離d.分析：

9、(1)可先證ef平面bdd1b1.(2)用幾何法或等積法求距離時(shí)，可由b1d1bd，將點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)移：d1點(diǎn)到平面b1ef的距離是b點(diǎn)到它的距離的4倍，先求b點(diǎn)到平面b1ef的距離即可解答：(1)證明：ef平面bdd1b1平面b1ef平面bdd1b1.(2)解：解法一：連結(jié)ef交bd于g點(diǎn)b1d14bg，且b1d1bg，d1點(diǎn)到平面b1ef的距離是b點(diǎn)到它的距離的4倍利用等積法可求由題意可知，efac2，b1g.sb1efef·b1g×2×，sbefbe·bf××1.vbb1efvb1bef，設(shè)b到面b1ef的距離為h1，那么×

10、×h1×1×4，h1.點(diǎn)d1到平面b1ef的距離為h4h1.解法二：如圖，在正方形bdd1b1的邊bd上取一點(diǎn)g，使bgbd，連結(jié)b1g，過點(diǎn)d1作d1hb1g于h，那么d1h即為所求距離可求得d1h(直接法)14如圖直三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱cc12，bac90°，abac，m是棱bc的中點(diǎn)，n是cc1中點(diǎn)求：(1)二面角b1anm的大??；(2)c1到平面amn的距離解析：(1)bac90°，abac，m是棱bc的中點(diǎn)，ambc，bc2，am1.am平面bcc1b1.平面amn平面bcc1b1.作b1hmn于h，hran于r，連結(jié)b1

11、r，b1h平面amn.又由三垂線定理知，b1ran.b1rh是二面角b1anm的平面角由得an，mn，b1mb1n，那么b1h，又rtamnrthrn，rh.b1r，cosb1rh.二面角b1anm的大小為arccos.(2)n是cc1中點(diǎn)，c1到平面amn的距離等于c到平面amn的距離設(shè)c到平面amn的距離為h，由vcamnvnamc得×·mn·h×am·mc.h.15(·北京海淀一模)如下圖，四棱錐pabcd中，pa平面abcd，底面abcd為直角梯形，且abcd，bad90°，paaddc2，ab4.(1)求證：bcp

12、c；(2)求pb與平面pac所成的角的正弦值；(3)求點(diǎn)a到平面pbc的距離解析：(1)證明：如圖，在直角梯形abcd中，abcd，bad90°，addc2，adc90°，且ac2.取ab的中點(diǎn)e，連結(jié)ce，由題意可知，四邊形abcd為正方形，aece2.又beab2.ceab，abc為等腰直角三角形，acbc.又pa平面abcd，且ac為pc在平面abcd內(nèi)的射影，bc平面abcd，由三垂線定理得，bcpc.(2)由(1)可知，bcpc，bcac，pcacc，bc平面pac.pc是pb在平面pac內(nèi)的射影，cpb是pb與平面pac所成的角又cb2，pb2pa2ab220，

13、pb2，sincpb，即pb與平面pac所成角的正弦值為.(3)由(2)可知，bc平面pac，bc平面pbc，平面pbc平面pac.過a點(diǎn)在平面pac內(nèi)作afpc于f，af平面pbc，af的長即為點(diǎn)a到平面pbc的距離在直角三角形pac中， pa2，ac2，pc2，af.即點(diǎn)a到平面pbc的距離為.16(·吉林長春一模)如下圖，四棱錐pabcd的底面是正方形，pa底面abcd，pa2，pda45°，點(diǎn)e、f分別為棱ab、pd的中點(diǎn)(1)求證：af平面pce；(2)求二面角epdc的大??；(3)求點(diǎn)a到平面pce的距離解析：(1)證明：如圖取pc的中點(diǎn)g，連結(jié)fg、eg，fg為pcd的中位線，fgcd且fgcd.又底面四邊形abcd是正方形，e為棱ab的中點(diǎn)，aecd且aecd，aefg且aefg.四邊形aegf是平行四邊形，afeg.又eg平面pce，af平面pce，af平面pce.(2)解：pa底面abcd，paad，pacd.又adcd，paada，cd平面pad.又af平面pad，cdaf.又pa2，pda