隨機微分方程及其應(yīng)用學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1隨機隨機(su j)微分方程及其應(yīng)用微分方程及其應(yīng)用第一頁，共32頁。22 設(shè)X為n維的隨機變量,W為m維的維納運動(yndng)，b和B是給定的函數(shù)，并不是隨機變量， ， nnRTRb , 0:mnnMTRB , 0:1、隨機、隨機(su j)微分方程的定義：微分方程的定義：那么隨機微分方程可以表示成如下形式：0)0(),(),(XXdWtXBdttXbdX若X滿足等式： 那么X就是此隨機微分方程的解。dWssXBdsssXbXtXtt000),(),()( 如果系數(shù)b和B分別滿足：b(x,t)=c(t)+D(t)x，B(x,t)=E(t)+F(t)x,那么就稱此方程為線性隨機微分方

2、程。如果c(t)=E(t)=0，那么線性隨機微分方程是齊次的。如果F(t)=0，這稱隨機微分方程狹義上是線性。2第2頁/共32頁第二頁，共32頁。3332、線性隨機微分方程、線性隨機微分方程(wi fn fn chn)的解的形式的解的形式 以上我們定義(dngy)的是基于n維隨機變量和m維布朗運動的隨機微分方程，實際應(yīng)用中大多數(shù)為一維的情況，以下給出一維中隨機微分方程的解的具體形式 當(dāng)m=n=1時，線性隨機微分方程的一般形式如下：0)0()()()()(XXdWXtftedtXtdtcdX)()()()()()()()(01010ttdWsesdssfsescsXttX解為：)2(exp()(

3、002ttfdWdsfdt其中3第3頁/共32頁第三頁，共32頁。2 2、線性隨機、線性隨機(su j)(su j)微分方程舉例微分方程舉例例例1、股票價格、股票價格 設(shè)P(t)表示在t時刻股票的價格，通過股票價格的變化率可以(ky)建立P(t)的隨機微分方程：dWdtPdP其中和為常數(shù)，0 表示股票趨勢項，表示股票波動項，則微分方程轉(zhuǎn)化為下面的形式：PdWPdtdP根據(jù)伊藤公式可知：dWdtdtPPPdPPd)2(21)(log(2222第4頁/共32頁第四頁，共32頁。可以解出P(t)：由此可知，若初始價格為正直(zhngzh)，則股票價格總是正的。ttWeptP)2()(02)(由隨機微

4、分方程(wi fn fn chn)可知： 并且 ，則可知：dWPdsPptPtt000)(0)(0dWPEtdssPEptPEt00)()(可以解出：teptPE0)(因此股票價格的期望值由股票的趨勢項決定，與股票的波動沒有關(guān)系。第5頁/共32頁第五頁，共32頁。6例例2：朗之萬方程：朗之萬方程(fngchng) 存在摩擦力的情況下，布朗粒子的運動模型服從一維的隨機微分方程， ，其中表示白噪聲，b0表示摩擦系數(shù)，表示擴散系數(shù)。在此方程中，X代表布朗粒子的運動速率。X0與維納過程相互獨立，因為(yn wi)白噪聲是維納過程對時間的導(dǎo)數(shù)，所以此方程等價于下面的隨機微分方程：bXX0)0(XXdWb

5、XdtdX 根據(jù)線性隨機微分方程解的形式可以求得此微分方程的解為：dWeXetXtstbbt0)(0)(第6頁/共32頁第六頁，共32頁。7可以(ky)求出X的期望：)()(0XEetXEbt)1 (2)()()()(2)()(2()(222020)(220)(2020220)(20)(02022btbttstbtstbbtbttstbtstbbtbtebXEedseEdWeEXEeXEedWedWeXeXeEtXE則X的方差(fn ch)為：)1 (2)()(2202btbtebXVetXV則當(dāng)t趨于無窮大時：btXVtXE2)(0)(2從解的形式來看，當(dāng)t趨于無窮大時，X的漸近分布為正態(tài)分

6、布 ，與初始分布無關(guān)。)2, 0(2bN第7頁/共32頁第七頁，共32頁。8例例3 3：烏倫貝克過程：烏倫貝克過程(guchng)(guchng)布朗運動的另一隨機(su j)微分方程模型：10)0(,)0(YYYYYbY 其中Y(t)是t時刻布朗粒子的位移，Y0與Y1是給定的高斯隨機變量，b0是摩擦系數(shù)，是擴散系數(shù)，通常為白噪聲。 若 ，即X表示速率，則原方程等價于以下朗之萬方程：YX1)0(YXdWbXdtdX則方程的解為：dWeYetXtstbbt0)(1)(第8頁/共32頁第八頁，共32頁。9則可以(ky)解出原微分方程的解Y(t)：dsXYtYt00)(例例4 4：隨機諧波：隨機諧波

7、(xi b)(xi b)振子振子102)0(,)0(XXXXXbXX 其中 表示線性的保守勢場力， 表示摩擦阻尼力，表示白噪聲，可以通過一般的公式來求解此隨機微分方程。 當(dāng)X1=0，b=0，=1時，隨機微分方程的解為：X2XbdWsttXtXt00)(sin(1)cos()(第9頁/共32頁第九頁，共32頁。1010隨機諧波振子的微分方程進行(jnxng)推廣可以的得到如下方程：10)0(,)0()()(XXXXtxVXbX 阻尼力，b是摩擦系數(shù)保守勢場力，V(x)即為勢函數(shù)，在隨機諧波振子微分方程中 為線性的，當(dāng)勢函數(shù)為非線性的時，就會存在(cnzi)逃逸的問題。 隨機力或噪聲項，通常為高斯

8、白噪聲1.摩擦系數(shù)b可以是線性的，也可以是非線性的。2.此方程中X的導(dǎo)數(shù)為一階，然而X的導(dǎo)數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，即分?jǐn)?shù)階摩擦10XxV2)(第10頁/共32頁第十頁，共32頁。111111 逃逸問題是研究系統(tǒng)在隨機力作用下從穩(wěn)態(tài)出發(fā)的演化過程，盡管隨機力很小，但是(dnsh)足以引起布朗粒子的逃逸，從而使原來的穩(wěn)態(tài)發(fā)生質(zhì)的改變，我們基于以上的隨機微分方程來研究布朗粒子的逃逸問題。 若勢函數(shù)V(x)是非線性的，且是單勢阱，結(jié)構(gòu)如下圖： 11第11頁/共32頁第十一頁，共32頁。121212 從勢函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖中可以看出該勢阱的高度為 ，勢能最小值的位置坐標(biāo)為xs ，也是V(x)的穩(wěn)定(wndng)

9、點，最大值的位置坐標(biāo)為xu，也是V(x)的不穩(wěn)定(wndng)點。當(dāng) 時， ，因此系統(tǒng)在負(fù)x方向是被束縛的，xxu,系統(tǒng)會自動趨于無窮，所以xxu叫做逃逸區(qū)。研究系統(tǒng)從束縛區(qū)進入逃逸區(qū)的問題，就叫“逃逸問題”。Vx)(xV12 當(dāng)勢阱函數(shù)V(x)為雙穩(wěn)勢阱時，在隨機(su j)力的作用下，兩個勢阱中的運動不再相互獨立，初始在某一勢阱內(nèi)的系統(tǒng)，會在不同時間以不同的概率進入另一勢阱。逃逸問題也就轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)在隨機(su j)力的作用下兩個穩(wěn)態(tài)之間的躍遷問題。第12頁/共32頁第十二頁，共32頁。131313 如圖所示：它在x的正負(fù)無窮上都是受束縛的，勢函數(shù)有兩個極小值（穩(wěn)定解）和一個極大值（不穩(wěn)定解

10、 ）。如果不存在隨機力的作用，初態(tài)處于的勢阱內(nèi)的粒子將逗留在原勢阱內(nèi)，它們將各自趨于初態(tài)所處勢阱的極小值，即到達系統(tǒng)的穩(wěn)定解。而一旦到達了此穩(wěn)態(tài)，粒子將永遠不再偏離。但若存在隨機力激勵(jl)的條件下，則粒子就可能在兩個穩(wěn)態(tài)之間躍遷。13V(x)的雙勢阱(sh jn)結(jié)構(gòu)圖第13頁/共32頁第十三頁，共32頁。1414 逃逸率和平均首次穿越時間是用來刻畫逃逸過程和躍遷過程的兩個重要的特征量，布朗粒子首次穿過勢壘所用的時間即為首通時間，由于隨機力的作用，在同樣條件的各次實驗中，首通時間是各不相同的，即從一個穩(wěn)態(tài)出發(fā)系統(tǒng)越過勢壘進入另一勢阱(sh jn)所用時間在各次試驗中是不同的，這些時間的平均

11、值叫作平均第一渡越時間（MFPT）。14第14頁/共32頁第十四頁，共32頁。15ModelModel：)(2)()(,0tDxUvvvmvx粒子的質(zhì)量(zhling)，假設(shè)m=1高斯(o s)白噪聲，噪聲強度為D15（1）(v)表示非線性摩擦函數(shù)，在非平穩(wěn)問題中，摩擦函數(shù)有RH和SET兩種形式。RH摩擦函數(shù)的表達式：u0表示在沒有噪聲激勵下，粒子最終到達的速度，假設(shè)u0=1,0=20,SET摩擦函數(shù)的表達式： ,假設(shè)=2)()(2020uvv1),11 ()(20vv)3()(3xxAxU（2）勢函數(shù)U(x)的表達式為： ，A表示振幅，則U(x)的結(jié)構(gòu)圖如下：第15頁/共32頁第十五頁，共3

12、2頁。16如圖所示，勢能(shnng)最小值坐標(biāo)x-min=-1,為穩(wěn)定點，勢能(shnng)最大值坐標(biāo)x-max=1，為不穩(wěn)定點，x1為逃逸區(qū)。A43 如果振幅很小的話，粒子會很容易逃出勢壘，存在臨界值振幅Ac，使得不存在噪聲激勵時，粒子逗留在原勢阱內(nèi)，不會逃逸。對于(duy)不同的摩擦函數(shù)，臨界值的表達式不同。根據(jù)V的零切線的分叉可以可以計算出振幅的臨界值。 該勢阱的高度為3/4A。第16頁/共32頁第十六頁，共32頁。17 零切線：在不存在噪聲的情況下， 所表示的直線就是v的零切線。那么v的零切線為方程 的圖像(t xin)，該方程是關(guān)于v的三次方程，如果給定x的值，速率v存在三個解，位

13、于中間的解是動態(tài)不穩(wěn)定的，上下解的分支形成粒子的軌跡，x零切線與v的切斜線相交僅僅形成兩個不穩(wěn)定的固定點。通過上下解的分歧情況可以求出振幅的臨界值。0v 0)1 ()(20 xAvv17對于SET摩擦函數(shù)(hnsh)臨界振幅為： 當(dāng)=2時，Ac=0.3)8 (, 2)2()()3 (ddddAc對于RH摩擦函數(shù)臨界振幅為： ，當(dāng)u0=1時， Ac=0.38 )3/(22330uAc第17頁/共32頁第十七頁，共32頁。18 如圖所示，可以看出，當(dāng)振幅小于臨界值時，粒子的軌跡(guj)與零切線很接近，并且很快逃出穩(wěn)定區(qū)，當(dāng)振幅大于臨界值時，粒子保持在最小值附近，軌跡(guj)類似于一極限環(huán)，即布

14、朗粒子的運動穩(wěn)定在極限環(huán)內(nèi)。在無噪聲激勵下，布朗粒子(lz)的樣本路徑如圖：18第18頁/共32頁第十八頁，共32頁。19Escape statisticsEscape statistics： 由以上討論可知，在沒有噪聲激勵(jl)的情況下，如果振幅大于臨界值，布朗粒子將逗留在穩(wěn)定區(qū)內(nèi)，在一極限環(huán)內(nèi)運動。如果存在噪聲的激勵(jl)，粒子將逃離穩(wěn)定區(qū)，隨著噪聲強度的增大，粒子越容易逃離，用逃逸率來衡量粒子逃逸的容易度，研究隨著噪聲強度的增大，逃逸率將如何變化。 在此逃逸率是用平均首次穿越時間的倒數(shù)來計算的。為了(wi le)測量不同噪聲強度下粒子的逃逸率，選取初始狀態(tài)為x(0)=-1，v(0)=

15、-1，計算粒子首次通過極限值xth=5的平均時間，也可以選取穩(wěn)定區(qū)內(nèi)的其他初始狀態(tài)，這并不影響我們模擬的結(jié)果。第19頁/共32頁第十九頁，共32頁。20逃逸率隨噪聲強度(qingd)的變化如下圖：20第20頁/共32頁第二十頁，共32頁。21結(jié)論：結(jié)論： （1）逃逸率并不是單調(diào)增加的隨著噪聲強度的增加，明顯地，當(dāng)）逃逸率并不是單調(diào)增加的隨著噪聲強度的增加，明顯地，當(dāng)振幅足夠大時，噪聲強度超過一定的范圍，逃逸率隨噪聲強度的增振幅足夠大時，噪聲強度超過一定的范圍，逃逸率隨噪聲強度的增大而減小，隨后大而減小，隨后(suhu)又隨著噪聲強度的增加而增大，產(chǎn)生了最大又隨著噪聲強度的增加而增大，產(chǎn)生了最大

16、值和最小值。值和最小值。 （2）當(dāng)）當(dāng)A=0.41時，逃逸率的最大值是更顯著的，一般而言，當(dāng)振時，逃逸率的最大值是更顯著的，一般而言，當(dāng)振幅比較大時，對所有的噪聲強度而言。逃逸率都會減小，但是在噪幅比較大時，對所有的噪聲強度而言。逃逸率都會減小，但是在噪聲強度較弱時，減小的更明顯。聲強度較弱時，減小的更明顯。 （3）隨著振幅的增加，逃逸率的最大值將會在更大的噪聲強度處）隨著振幅的增加，逃逸率的最大值將會在更大的噪聲強度處取得，當(dāng)振幅足夠大時，逃逸率的最大值將消失，逃逸率隨著噪聲取得，當(dāng)振幅足夠大時，逃逸率的最大值將消失，逃逸率隨著噪聲強度的增大嚴(yán)格遞增。強度的增大嚴(yán)格遞增。21第21頁/共32

17、頁第二十一頁，共32頁。22 為了更好的理解逃逸率與噪聲強度的關(guān)系(gun x)，畫出了在不同噪聲強度下的粒子逃逸軌跡如下圖：無噪聲激勵的情況下，無噪聲激勵的情況下，粒子在極限粒子在極限(jxin)環(huán)環(huán)內(nèi)運動，沒能逃出勢內(nèi)運動，沒能逃出勢壘壘在噪聲強度很小的情在噪聲強度很小的情況下，粒子在極限環(huán)況下，粒子在極限環(huán)內(nèi)運動一段時間，最內(nèi)運動一段時間，最后通過分界線逃出勢后通過分界線逃出勢壘壘隨著噪聲強度的隨著噪聲強度的增大，粒子更有增大，粒子更有可能逃出勢壘，可能逃出勢壘，在極限環(huán)內(nèi)只運在極限環(huán)內(nèi)只運動幾圈動幾圈在一定的噪聲強度范在一定的噪聲強度范圍內(nèi)，隨著噪聲強度圍內(nèi)，隨著噪聲強度的增大，逃逸率

18、減小，的增大，逃逸率減小，粒子穩(wěn)定在極限環(huán)內(nèi)，粒子穩(wěn)定在極限環(huán)內(nèi)，降低了逃逸的可能，降低了逃逸的可能，但是最終也逃出勢壘但是最終也逃出勢壘22第22頁/共32頁第二十二頁，共32頁。23Summary:Summary: 論文研究了在非線性摩擦函數(shù)的情況下，逃逸率與噪聲(zoshng)強度呈現(xiàn)非單調(diào)的關(guān)系，這與線性情況下的單調(diào)關(guān)系完全不一致。 依賴噪聲(zoshng)的非單調(diào)逃逸率并非僅僅限制在一維的模型中，也可能在高維的模型中存在。23第23頁/共32頁第二十三頁，共32頁。第24頁/共32頁第二十四頁，共32頁。 以上我們提到的噪聲都是高斯白噪聲，即概率密度函數(shù)服從正態(tài)分布，功率譜密度是常數(shù)

19、的噪聲，自然界中并不存在真正的白噪聲，只是在噪聲相關(guān)時間遠小于確定性系統(tǒng)的弛豫時間時，噪聲之間的關(guān)聯(lián)才可以(ky)近似地忽略，當(dāng)作白噪聲來處理。則概率密度函數(shù)不服從正態(tài)分布的噪聲為非高斯型噪聲，可以(ky)通過高斯白噪聲的線性表達形成非高斯型噪聲。假設(shè)(t)為非高斯噪聲，則(t)滿足(mnz)下列線性方程：)(2)2/() 1(22tDDqdtd其中，表示相關(guān)時間，(t)表示高斯白噪聲，D表示噪聲強度，q表示(t)偏離高斯分布的程度。第25頁/共32頁第二十五頁，共32頁。26261、Grunwald-Letnikov（GL）分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義）分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義 對于對于(duy)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)y

20、=f(t)，依據(jù)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，它的一階導(dǎo)數(shù)，依據(jù)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，它的一階導(dǎo)數(shù)定義式為：定義式為：hhtftfdttdfh)()(lim)(0依據(jù)相同的定義(dngy)，可以推出二階導(dǎo)數(shù)的定義(dngy)式：200022)2()(2)(lim)2()()()(1lim)()(lim)(hhtfhtftfhhtfhtfhhtftfhhhtftfdttfdhhh同理可得函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)為：26第26頁/共32頁第二十六頁，共32頁。27273033)3()2(3)(3)(lim)(hhtfhtfhtftfdttfdh以此類推，n階導(dǎo)數(shù)的一般定義(dngy)可以記為：njjnhnnjhtfjnhd

21、ttfd00)() 1(1lim)(式中：) 1() 1() 1()!( !jnjnjnjnjn推廣以上等式，當(dāng)n為任意正實數(shù)，可以導(dǎo)出GL分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)(do sh)的形式：00)() 1(1lim)(jjhtjhtfjhtfD27第27頁/共32頁第二十七頁，共32頁。282828) 1() 1() 1()!( !jjjjj其中(qzhng)：2、黎曼、黎曼-劉維爾（劉維爾（RL）分?jǐn)?shù)）分?jǐn)?shù)(fnsh)階微積分定階微積分定義義（1）RL分?jǐn)?shù)階積分分?jǐn)?shù)階積分 首先定義2階積分函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間 ，且函數(shù)f(x)的一階積分函數(shù)在該區(qū)間上局部黎曼可積，則對 ，稱 為f(x)的二階積分函數(shù)。因為則也可以稱 為函數(shù)f