[理學(xué)]6-8二重積分

1、 返回一、二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分在直角坐標(biāo)系中計(jì)算二、二重積分在直角坐標(biāo)系中計(jì)算三、二重積分在極坐標(biāo)系中的計(jì)算三、二重積分在極坐標(biāo)系中的計(jì)算四、二重積分的幾何應(yīng)用四、二重積分的幾何應(yīng)用第八節(jié)第八節(jié) 二重積分二重積分二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算（一（一)二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算在直角坐標(biāo)系二重積分在直角坐標(biāo)系二重積分 的計(jì)算的計(jì)算化二重積分為二次積分或累次積分化二重積分為二次積分或累次積分把二重積分化為二次積分的關(guān)鍵：把二重積分化為二次積分的關(guān)鍵：（1 1）選擇積分次序）選擇積分次序（2 2）確定定積分的上、下限）確定定積分的上、

2、下限 Ddxdyyxf),( 根據(jù)根據(jù)積分區(qū)域積分區(qū)域D的圖形的圖形和和被積函數(shù)被積函數(shù)f(x,yf(x,y) )的特點(diǎn)的特點(diǎn) 從左端點(diǎn)從左端點(diǎn)a值值到右端點(diǎn)到右端點(diǎn)b值值.累次積分中積分限的確定方法累次積分中積分限的確定方法yxab )(2xyy )(1xyy yx )(2yxx )(1yxx dc區(qū)域區(qū)域D為為X-型區(qū)域型區(qū)域區(qū)域區(qū)域D為為Y-型區(qū)域型區(qū)域 從穿入的邊界從穿入的邊界方程方程 作為下限，穿出的作為下限，穿出的邊界方程邊界方程 作為上限作為上限. .)(1xy)(2xy第二次積分第二次積分:第一次積分第一次積分: : 從左端點(diǎn)從左端點(diǎn)c值值到右端點(diǎn)到右端點(diǎn)d值值. 從穿入的邊界

3、從穿入的邊界方程方程 作為下限，穿出的作為下限，穿出的邊界方程邊界方程 作為上限作為上限. .)(1yx)(2yx第二次積分第二次積分:第一次積分第一次積分: )()(21d),(dxyxybayyxfx baxS(x)dy-(x)y12 )()(21)d),(d(yxyxdcxyxfy dcS(y)dyx-(y)x12X-型積分型積分Y-型積分型積分 在計(jì)算二重積分時(shí)在計(jì)算二重積分時(shí)，甚至是積分區(qū)域甚至是積分區(qū)域D造成的困難是主要的造成的困難是主要的。有時(shí)有時(shí)而且還在于而且還在于積分區(qū)域積分區(qū)域D,求積分的困難不僅在于求積分的困難不僅在于),(yxfy ),(yxfy 例例 計(jì)算計(jì)算其中其中

4、,dd)(22 Dyxyxe.:222ayxD xyo dxex2 dyey2或或 dxxex2因此因此, ,針對(duì)不同形狀的積分區(qū)域針對(duì)不同形狀的積分區(qū)域D以及被積函數(shù)以及被積函數(shù)的特點(diǎn)的特點(diǎn), ,選擇選擇不同的坐標(biāo)系不同的坐標(biāo)系來計(jì)算二重積分是來計(jì)算二重積分是一個(gè)很重要的問題一個(gè)很重要的問題. . dyyey2或或被積函數(shù)被積函數(shù) 一般地一般地,當(dāng)二重積分的積分區(qū)域當(dāng)二重積分的積分區(qū)域D的邊界的邊界通常采用極坐標(biāo)變換通常采用極坐標(biāo)變換, ,就可使二重積分的計(jì)算就可使二重積分的計(jì)算或被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示更加方便或被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示更加方便扇形扇形等等）),(22yxf （如（如被積函數(shù)被積函

5、數(shù)為為 等時(shí)，等時(shí)，大大得以簡(jiǎn)化。大大得以簡(jiǎn)化。),(xyf)(yxf曲線用極坐標(biāo)表示更加簡(jiǎn)單曲線用極坐標(biāo)表示更加簡(jiǎn)單 （如如D為圓形、環(huán)形、為圓形、環(huán)形、極軸極軸X極點(diǎn)極點(diǎn)O r),( r極極坐坐標(biāo)標(biāo)xy 變變換換公公式式與與直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)極極坐坐標(biāo)標(biāo)),(),(yxr 如果選取以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)如果選取以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，為極點(diǎn)， 以以x軸為極軸，軸為極軸，之之間間與與直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)坐坐標(biāo)標(biāo)則則平平面面上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)的的極極),(),(yxr 的的變變換換公公式式為為原點(diǎn)原點(diǎn)Ox軸軸 cosrxrysin 用以極點(diǎn)用以極點(diǎn)O為中心的為中心的一族同心圓一族同心圓,1.1.利

6、用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分AoD 設(shè)過極點(diǎn)設(shè)過極點(diǎn)O的射線與積分區(qū)域的射線與積分區(qū)域D的邊界曲線的交點(diǎn)的邊界曲線的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)，不多于兩點(diǎn)，.),(上連續(xù)上連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)Dyxf把區(qū)域把區(qū)域D分成分成n個(gè)小區(qū)域，個(gè)小區(qū)域，在極坐標(biāo)系下，在極坐標(biāo)系下，以及從極點(diǎn)以及從極點(diǎn)出發(fā)的出發(fā)的一族射線一族射線,在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下 Ddyxf ),( Ddxdyyxf),(在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 Ddyxf ),(如何表示？如何表示？極坐標(biāo)系下的面積微元極坐標(biāo)系下的面積微元?如如何何表表示示dAoD rr rrr 2221)(21rrr 2)(21rrr域域?yàn)槠渲幸粋€(gè)典型

7、小閉區(qū)為其中一個(gè)典型小閉區(qū)設(shè)設(shè) 同同時(shí)時(shí)也也表表示示該該 (),小小閉閉區(qū)區(qū)域域的的面面積積的的同同心心圓圓和和它它由由半半徑徑分分別別為為rrr 的的射射線線所所確確定定，和和和和極極角角分分別別為為 則則,充充分分小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) r ,)(212 r略去高階無窮小量 rr得得面積微元為面積微元為, rdrdd 所以，所以， Ddyxf),( 于是得到直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重于是得到直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重積分的積分的轉(zhuǎn)換公式轉(zhuǎn)換公式 如何計(jì)算極坐標(biāo)系下的二重積分？如何計(jì)算極坐標(biāo)系下的二重積分？化為二次積分或累次積分來計(jì)算化為二次積分或累次積分來計(jì)算 Drrf)sin,cos( rdr

8、d Ddxdyyxf),(.)sin,cos(rdrdrrfD 這樣二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為這樣二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為 在極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分或累次在極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分或累次積分，積分， 同樣要解決下面兩個(gè)問題：同樣要解決下面兩個(gè)問題：（2 2）確定積分的上、下限）確定積分的上、下限（1 1）選擇積分次序）選擇積分次序化為二次積分或累次積分來計(jì)算化為二次積分或累次積分來計(jì)算2.2.極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分(1)(1)若極點(diǎn)若極點(diǎn)O在區(qū)域在區(qū)域 D 之外之外 ),()(,:21rrrD 則有則有 Drrrrfdd)sin,c

9、os( (2) (2) 極點(diǎn)極點(diǎn)O在區(qū)域在區(qū)域D的邊界線上的邊界線上),(0 rr ，D:則有則有 Drrrrfdd)sin,cos(xo)(2r)(1rxo)(rr .d)sin,cos(d)()(21 rrrrrrf.d)sin,cos(d)(0 rrrrrfDD（只研究只研究先對(duì)先對(duì)r r后對(duì)后對(duì)的積分次序的積分次序）下面根據(jù)極點(diǎn)下面根據(jù)極點(diǎn)O與區(qū)域與區(qū)域D的位置分三種情況討論的位置分三種情況討論(3) (3) 若極點(diǎn)若極點(diǎn)O在區(qū)域在區(qū)域D的內(nèi)部的內(nèi)部 Drrrrfdd)sin,cos(則有則有).(0 ,20rr D:或被積函數(shù)為或被積函數(shù)為f (x2+y2)、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分積

10、分特征利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分積分特征)( rr xo.d)sin,cos(d)(020 rrrrrf利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算. .如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域 D D為為圓圓、半圓半圓、圓環(huán)圓環(huán)、扇形域扇形域等，等，D等形式，等形式，),(xyf)(yxf3.3.極坐標(biāo)下二重積分計(jì)算的基本步驟極坐標(biāo)下二重積分計(jì)算的基本步驟 (1)(1)將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分的二重積分. . 將將 代入被積函數(shù)代入被積函數(shù), ,sin,cosryrx 將區(qū)域?qū)^(qū)域D 的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，

11、確定相應(yīng)的達(dá)式，確定相應(yīng)的積分限積分限. . 將面積元素將面積元素 dxdy 換為換為 .,dd rr2.2.將極坐標(biāo)系下的將極坐標(biāo)系下的二重積分二重積分轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為二次積分二次積分. . Dyxyxfdd),(.dd)sin,cos( Drrrrf3.3.計(jì)算計(jì)算二次積分二次積分. .則則例例1 1 計(jì)算計(jì)算其中其中解解,200: arD故故,dd)(22 Dyxyxe.:222ayxD Drrredd2 Dyxyxedd)(22).1(2ae 注注：由于：由于 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) , ,故本題故本題無法用直角坐標(biāo)計(jì)算無法用直角坐標(biāo)計(jì)算. .2xe xyo 2 0 0

12、dd2arrred210202are 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 例例2 2 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 其中區(qū)域其中區(qū)域D為為由由x=0及及 x2+y2=2y 圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域. .， Dyxyxdd22解解 D的邊界曲線為的邊界曲線為x2+y2=2y，此時(shí)此時(shí)D可以表示為可以表示為,sin2 r，sin20 ,20 rDyxyxdd22所以 20sin203d31r 203dsin38 202cosd)cos1 (38203coscos3138 xyo其極坐標(biāo)表達(dá)式其極坐標(biāo)表達(dá)式 rrsin20220dd.916 Drdrdr Dyxyxdd22 2020222yy

13、dxyxdy例例3 3 計(jì)算積分計(jì)算積分.ddsin2222422 yxyxyx積分域是圓環(huán)，積分域是圓環(huán)，.2,20 r 2222422ddsinyxyxyxdcoscos222 rrrrxyo 220dsindrrr解解D：.62 22224drdsinyxrr解解32 61 sin4 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 03 yx03 xyrsin2 yyx222 故故 例例5 5 計(jì)算計(jì)算 , 其中其中D是由不等式是由不等式 所確定的區(qū)域所確定的區(qū)域. . Dy d0, 0222 xyxyx及及, 422 yx解解 極點(diǎn)在區(qū)域極點(diǎn)在區(qū)

14、域 D的邊界曲線上的邊界曲線上. 曲線曲線 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為xyx222 ,cos2 r曲線曲線 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為422 yx，2cos2 r因此因此,20 又又202cos22dsinddrryD所以. 2 d)cos1(sin38203 xyocos2 rr =2.2 r解解因?yàn)楸环e函數(shù)為偶函數(shù)因?yàn)楸环e函數(shù)為偶函數(shù),例例6 6 求廣義積分求廣義積分所以，不能直接用一元函數(shù)的廣義積分計(jì)算。所以，不能直接用一元函數(shù)的廣義積分計(jì)算。( (泊松積分泊松積分）.202dxeIx 所所以以又因?yàn)楸环e函數(shù)又因?yàn)楸环e函數(shù) 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),2xe .2dxe

15、Ix 22xyDHedxdy 令令( , )|0,0Dx yxy 其其中中2xIedx 2200rderdr 22xyDHedxdy 220012red 20124d 利用極坐標(biāo)計(jì)算利用極坐標(biāo)計(jì)算H，( , )|0,02Drr 所以所以D正態(tài)分布正態(tài)分布 222 dxexdxex 022dxex 02dyey 0242I 20)(2dxex 42I dxeIx 2. 當(dāng)積分區(qū)域由當(dāng)積分區(qū)域由直線直線和和除圓以外的其它曲線除圓以外的其它曲線圍成時(shí)，圍成時(shí)， 一般說來，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)橐话阏f來，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、環(huán)形區(qū)域，圓形、扇形、環(huán)形區(qū)域， 選取選取適當(dāng)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的坐標(biāo)系對(duì)計(jì)算二重積分的計(jì)

16、算是至關(guān)重要的對(duì)計(jì)算二重積分的計(jì)算是至關(guān)重要的. . 而被積函數(shù)中含有而被積函數(shù)中含有 項(xiàng)時(shí)項(xiàng)時(shí),yxxyyx,22 選擇坐標(biāo)系選擇坐標(biāo)系選擇積分次序選擇積分次序二重積分計(jì)算過程二重積分計(jì)算過程通常選擇在通常選擇在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下計(jì)算下計(jì)算. 下的計(jì)算方法往往比較簡(jiǎn)便下的計(jì)算方法往往比較簡(jiǎn)便.二重積分計(jì)算方法總結(jié)：二重積分計(jì)算方法總結(jié)：化為累次積分化為累次積分計(jì)算累次積分計(jì)算累次積分二重積分可在兩種坐標(biāo)系中的計(jì)算二重積分可在兩種坐標(biāo)系中的計(jì)算. .采用采用極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系四、二重積分的幾何應(yīng)用四、二重積分的幾何應(yīng)用1.1.平面圖形的面積平面圖形的面積 由二重積分的幾何意義可由二重積分的幾

17、何意義可知，知， DdxyD 利用二重積分的幾何意義可以求解利用二重積分的幾何意義可以求解平面圖平面圖形的面積形的面積( 為平面圖形的面積值）為平面圖形的面積值）表示成二重積分表示成二重積分 可可成的平面區(qū)域成的平面區(qū)域D的面積值，的面積值，xOy平面上封閉曲線所圍平面上封閉曲線所圍和和空間幾何體的體積空間幾何體的體積. . 例例 求由曲線求由曲線 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域的面積的面積. . 44,22 xyxy Dd 2 6 2d412yyy263241222 yyyy 解解xy2-6442 xyxy 2作出區(qū)域的圖形，作出區(qū)域的圖形， 所求面積為所求面積為 -yyxy2 44 2 6 2d

18、d.364 解解2 2 利用定積分求面積，利用定積分求面積， 2 6 2d412yyy.364 2.2.幾何體的體積幾何體的體積 (1)(1)以連續(xù)曲面以連續(xù)曲面 為頂，有界閉區(qū)域?yàn)轫?，有界閉區(qū)域D D為底的曲頂柱體體積為為底的曲頂柱體體積為 0),( yxfz ( (2)2)由連續(xù)曲面由連續(xù)曲面所圍成的幾何體的體積為所圍成的幾何體的體積為 Dyxyxgzyxfz ),(),(),(.d),( DyxfV .d),(),( DyxgyxfV zxyD),(yxfz ),(yxfz zxy),(yxgz D 例例 用二重積分計(jì)算由平面用二重積分計(jì)算由平面 和三個(gè)和三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積

19、坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積. .解解 Dyxd)326( 30)31(202d23)26(xyyxx 3022d3163112xxx. 6 xzy由二重積分幾何意義知所求四面體體積為由二重積分幾何意義知所求四面體體積為 )31(2030d)326(dxyyxx 302d316xx632 yxyx23DD2x+3y+z=6 例例 求橢圓拋物面求橢圓拋物面 與平面與平面 所所圍成的立體體積圍成的立體體積. .224yxz 0 z 考慮到圖形的對(duì)稱考慮到圖形的對(duì)稱性性，20 ,40:2 xxyDyxyxVDdd )4(422 yyxxxd )4(d42040222 xyyxyxd314424020

20、32 xxd)4(3220232 xyz解解只需計(jì)算第一卦限部分即可，只需計(jì)算第一卦限部分即可，畫出曲面所圍立體的圖形畫出曲面所圍立體的圖形, ,.8 xy2224xy ,20 , 20: rDyxyxVDdd )4(422 在極坐標(biāo)系下計(jì)算在極坐標(biāo)系下計(jì)算dd)4(42rrrD 2022/0)4(4rdrrd.84242/02042 drrxy222r顯然，該題利用顯然，該題利用極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系來計(jì)算要簡(jiǎn)便。來計(jì)算要簡(jiǎn)便。 例例 求由錐面求由錐面 與橢圓拋物面與橢圓拋物面 所圍立體的體積所圍立體的體積. .224yxz 222yxz 解解yxyxyxVDdd)(21)4(2222 Drrrr

21、dd242 222224yxzyxz消去消去z z得投影區(qū)域邊界為得投影區(qū)域邊界為, 422 yx, 4:22 yxD204328322 rrr 203220d24drrrrxyz由由.320 , 2 r即即xyo.0, 1,.11222所所圍圍成成立立體體的的體體積積求求由由曲曲面面 zyxyz, 10 ,20 r 因因 dyVD 2練習(xí)：練習(xí)：解解 故所求的立體的體積為故所求的立體的體積為xyodrrd 201023sindrrd 201032sin 2010422cos1)4(dr 20)2sin21(2141 .4 22yxz ,222圍圍成成與與yxz 得兩曲面的公共面為得兩曲面的公共面為 有有則則 解解故曲面方程為故曲面方程為由由因曲面是由因曲面是由.2.122222所圍成立體的體積所圍成立體的體