隨機(jī)變量的概念與離散型隨機(jī)變量學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1隨機(jī)變量隨機(jī)變量(su j bin lin)的概念與離散的概念與離散型隨機(jī)變量型隨機(jī)變量(su j bin lin)第一頁(yè)，共61頁(yè)。Random Variable and Distribution第2頁(yè)/共61頁(yè)第二頁(yè)，共61頁(yè)。出現(xiàn)出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)出現(xiàn)出現(xiàn)2點(diǎn)點(diǎn)出現(xiàn)出現(xiàn)3點(diǎn)點(diǎn)出現(xiàn)出現(xiàn)4點(diǎn)點(diǎn)出現(xiàn)出現(xiàn)5點(diǎn)點(diǎn)出現(xiàn)出現(xiàn)6點(diǎn)點(diǎn)X123456P616161616161如何如何(rh)(rh)引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量n基本基本(jbn)(jbn)思想思想將樣本空間數(shù)量化將樣本空間數(shù)量化, ,即用即用數(shù)值數(shù)值來(lái)表示試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)表示試驗(yàn)的結(jié)果第3頁(yè)/共61頁(yè)第三頁(yè)，共61頁(yè)。又如：又如：1.某個(gè)某個(gè)(mu

2、 )燈泡的使用壽命為燈泡的使用壽命為X。X 的可能的可能(knng)取值為取值為 0,+)2.某電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的某電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的 呼叫呼叫(h jio)次數(shù)為次數(shù)為Y.Y 的可能取值為的可能取值為 0，1，2，3，., 設(shè)箱中有設(shè)箱中有10個(gè)球，其中有個(gè)球，其中有2個(gè)紅球，個(gè)紅球，8個(gè)白個(gè)白 球；球；從中任意抽取從中任意抽取2個(gè)個(gè),觀察抽球結(jié)果。觀察抽球結(jié)果。 X表示取得表示取得的的紅球數(shù)紅球數(shù)第4頁(yè)/共61頁(yè)第四頁(yè)，共61頁(yè)。未中未中中了中了贏了贏了輸了輸了不發(fā)生不發(fā)生發(fā)生發(fā)生不合格不合格合格合格不健康不健康健康健康不好不好好好 AAAn 有些有些(yuxi)(yuxi)隨

3、機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不是用數(shù)量來(lái)表示，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不是用數(shù)量來(lái)表示，n 但可數(shù)量化但可數(shù)量化實(shí)驗(yàn)所有實(shí)驗(yàn)所有結(jié)果結(jié)果XA10第5頁(yè)/共61頁(yè)第五頁(yè)，共61頁(yè)。定義定義(dngy)2.1.1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對(duì)于每一，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn) ，均有唯一的實(shí)數(shù)，均有唯一的實(shí)數(shù) 與與之對(duì)應(yīng)，稱之對(duì)應(yīng)，稱 為樣本空間為樣本空間上上的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量（Random Variable） 。 ( )X ( )XX 1 2 3 xX=X ( 1)0 0X=X ( 2)第6頁(yè)/共61頁(yè)第六頁(yè)，共61頁(yè)。. .第7頁(yè)/共61頁(yè)第七頁(yè)，共61頁(yè)。第8頁(yè)/共61頁(yè)第八頁(yè)，共61頁(yè)。

4、通過引進(jìn)通過引進(jìn)(y(ynjn)njn)隨機(jī)變量的概念，能夠把不隨機(jī)變量的概念，能夠把不同的樣本空間抽象化為一些定量的實(shí)數(shù)，由此就同的樣本空間抽象化為一些定量的實(shí)數(shù)，由此就可以利用高等數(shù)學(xué)的有關(guān)方法來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象?？梢岳酶叩葦?shù)學(xué)的有關(guān)方法來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象。第9頁(yè)/共61頁(yè)第九頁(yè)，共61頁(yè)。例例1 1：在擲骰子試驗(yàn)：在擲骰子試驗(yàn)(shyn)(shyn)中，中，例例2 2 觀察一個(gè)觀察一個(gè)(y (y )電話交換臺(tái)在一段時(shí)間（電話交換臺(tái)在一段時(shí)間（0 0，T T）內(nèi)接到的呼叫次數(shù)。）內(nèi)接到的呼叫次數(shù)。用隨機(jī)變量表示用隨機(jī)變量表示(biosh)(biosh)事件事件X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)用隨機(jī)

5、變量用隨機(jī)變量X表示事件表示事件出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于4X=2 X=4 X=6X 4或或X 3X表示呼叫次數(shù)表示呼叫次數(shù)用隨機(jī)變量用隨機(jī)變量X表示事件表示事件接到的呼叫次數(shù)接到的呼叫次數(shù)k次次收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 (0,1,2,)Xkk 1X 第10頁(yè)/共61頁(yè)第十頁(yè)，共61頁(yè)。一般一般(ybn)地，隨機(jī)變量地，隨機(jī)變量X取值的概取值的概率率稱為該隨機(jī)變量稱為該隨機(jī)變量X的概率分布的概率分布第11頁(yè)/共61頁(yè)第十一頁(yè)，共61頁(yè)。 X表示取得表示取得的的紅球數(shù)紅球數(shù)0P,1210C21028CC,82210C 第12頁(yè)/共61頁(yè)第十二頁(yè)，共61頁(yè)。3.使我

6、們用分析使我們用分析(fnx)的方法來(lái)研究隨機(jī)試驗(yàn)成為可能的方法來(lái)研究隨機(jī)試驗(yàn)成為可能隨機(jī)變量是研究隨機(jī)試驗(yàn)的有效工具隨機(jī)變量是研究隨機(jī)試驗(yàn)的有效工具引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量(su j bin (su j bin lin)lin)的意義的意義 1. 隨機(jī)事件隨機(jī)事件(shjin)的發(fā)生可以用隨機(jī)變量的取值表示的發(fā)生可以用隨機(jī)變量的取值表示2.可以用隨機(jī)變量取值的概率來(lái)研究隨機(jī)事件發(fā)生的概率，從而將隨機(jī)事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量取值概率的研究可以用隨機(jī)變量取值的概率來(lái)研究隨機(jī)事件發(fā)生的概率，從而將隨機(jī)事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量取值概率的研究.第13頁(yè)/共61頁(yè)第十三頁(yè)，共61頁(yè)。隨即變量隨即

7、變量(binling)的取值有無(wú)窮多個(gè)，且不可列的取值有無(wú)窮多個(gè)，且不可列其中其中(qzhng)(qzhng)連續(xù)型隨機(jī)變量是一種重要類型連續(xù)型隨機(jī)變量是一種重要類型 離散型離散型非離散型非離散型隨機(jī)變量的所有取值是隨機(jī)變量的所有取值是有限個(gè)或可列個(gè)有限個(gè)或可列個(gè)第14頁(yè)/共61頁(yè)第十四頁(yè)，共61頁(yè)。 稱此式為稱此式為X的分布的分布(fnb)律（列）或概率分布律（列）或概率分布(fnb)（Probability distribution) 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而取值，而取值 的概率為的概率為12,nxxxkxkp即即 如果如果(rgu)隨機(jī)變量

8、隨機(jī)變量X的所有取值是有限個(gè)或可列個(gè)的所有取值是有限個(gè)或可列個(gè),則稱則稱X為離散型隨機(jī)變量。為離散型隨機(jī)變量。定義定義2.1.2, 2 , 1, kpxXPkk第15頁(yè)/共61頁(yè)第十五頁(yè)，共61頁(yè)。要研究離散型隨機(jī)變量要研究離散型隨機(jī)變量X的分布律，的分布律，就要就要(ji yo)完成如下兩件事：完成如下兩件事：1隨機(jī)變量隨機(jī)變量(su j bin lin)的取值及其范圍是什么？的取值及其范圍是什么？2它取每個(gè)值或在某個(gè)它取每個(gè)值或在某個(gè)(mu )范圍內(nèi)取值的概率是多少？范圍內(nèi)取值的概率是多少？第16頁(yè)/共61頁(yè)第十六頁(yè)，共61頁(yè)。 p1 ， p2 ， p K P x1， x2 ， xk X離

9、散離散(lsn)隨機(jī)變量分布律的表示隨機(jī)變量分布律的表示法法1.公式公式(gngsh)法法 kkP Xxp 2.表格法表格法隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的的概率分布特征：概率分布特征：第17頁(yè)/共61頁(yè)第十七頁(yè)，共61頁(yè)。12)1kkp , 2 , 1 , 00)1 kpk第18頁(yè)/共61頁(yè)第十八頁(yè)，共61頁(yè)。第19頁(yè)/共61頁(yè)第十九頁(yè)，共61頁(yè)。. 一袋中有一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為只乒乓球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取在其中同時(shí)取3只，以只，以X表示取出的表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量寫出隨機(jī)變量(su j bin lin)X的分布律的分布律.X345P0.1

10、0.30.6例例1 求分布求分布(fnb)律律【解解】P(X=3)P(X=4)P(X=5)1 . 0135 C3 . 0335 C6 . 03524 CCX=3、4、5第20頁(yè)/共61頁(yè)第二十頁(yè)，共61頁(yè)。設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin(su j bin lin)X)X的分布律為的分布律為 2( ) ,1,2,3,3kP Xkbk試確定試確定(qudng)(qudng)常數(shù)常數(shù)b.b.解解11223()( )2313kkkbP Xkb 例例2232113bb1.2b 第21頁(yè)/共61頁(yè)第二十一頁(yè)，共61頁(yè)。設(shè)設(shè)X的分布的分布(fnb)律為律為求求 P(0X2)P(0X2)例例3

11、：由分布：由分布(fnb)律確律確定概率定概率解解 =1/2+1/6=2/3=P（X=1）+P（X=2）第22頁(yè)/共61頁(yè)第二十二頁(yè)，共61頁(yè)。 例例4 某系統(tǒng)有兩臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立某系統(tǒng)有兩臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立(dl)地運(yùn)轉(zhuǎn)。設(shè)第一臺(tái)與第二臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概率分別為地運(yùn)轉(zhuǎn)。設(shè)第一臺(tái)與第二臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概率分別為0.1，0.2，以，以X表示系統(tǒng)中發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)，求表示系統(tǒng)中發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)，求X 的分布律的分布律 2 , 1 iiAi臺(tái)臺(tái)機(jī)機(jī)器器發(fā)發(fā)生生故故障障”，表表示示事事件件“第第設(shè)設(shè)解解故所求概率分布為：故所求概率分布為： X210kp02. 026. 072. 0X=0、1、2PX=0=P

12、X=1=PX=2=)(21AAP 8 . 09 . 0 2 . 09 . 08 . 01 . 0 )()(2121AAPAAP )(21AAP2 . 01 . 0 第23頁(yè)/共61頁(yè)第二十三頁(yè)，共61頁(yè)。X的可能的可能(knng)取值為取值為 0，1，2解解PX=0PX=1PX=2217220CC 11317220C CC 23220CC 故故 X X的分布的分布(fnb)(fnb)律為律為kp190136190511903第24頁(yè)/共61頁(yè)第二十四頁(yè)，共61頁(yè)。kp190136190511903P“至少至少(zhsho)抽得一件次品抽得一件次品”=513542719019019095=PX=

13、1+PX=2PX1第25頁(yè)/共61頁(yè)第二十五頁(yè)，共61頁(yè)。X的所有的所有(suyu)可能取值為可能取值為 1，2，3， ,k, )(121kkAAAAPX=k =121kkA AAA 例例6第26頁(yè)/共61頁(yè)第二十六頁(yè)，共61頁(yè)。pX0123pp(1-p)(1-p)2p (1-p)3 解：設(shè)解：設(shè)Ai=第第i個(gè)燈為紅燈個(gè)燈為紅燈，則則P(Ai)=p，i=1,2,3 且且A1,A2,A3相互相互(xingh)獨(dú)立。獨(dú)立。PX=0=PX=1=PX=2=PX=3= pAP 1 ppAAP 121 ppAAAP23211 33211pAAAP 第27頁(yè)/共61頁(yè)第二十七頁(yè)，共61頁(yè)。1p p P 0

14、1 X 則稱則稱X服從參數(shù)服從參數(shù)(cnsh)為為p 的二點(diǎn)分布或的二點(diǎn)分布或(0-1)分布分布, 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X X的分布律為的分布律為: :第28頁(yè)/共61頁(yè)第二十八頁(yè)，共61頁(yè)。(1)0,1,2., ;kkn knP XknkC pp 其中其中0 p 0, 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布的泊松分布XP( )n定義定義(dngy)2.1.5(dngy)2.1.5), 2 , 1 , 0(,! kekkXPk 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為:記為記為第37頁(yè)/共61頁(yè)第三十七頁(yè)，共61頁(yè)。泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)的圖形的圖形第38頁(yè)/共61頁(yè)第三

15、十八頁(yè)，共61頁(yè)。泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)的圖形的圖形第39頁(yè)/共61頁(yè)第三十九頁(yè)，共61頁(yè)。泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)的圖形的圖形第40頁(yè)/共61頁(yè)第四十頁(yè)，共61頁(yè)。泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)的圖形的圖形第41頁(yè)/共61頁(yè)第四十一頁(yè)，共61頁(yè)。第42頁(yè)/共61頁(yè)第四十二頁(yè)，共61頁(yè)。泊松分布的背景泊松分布的背景(bijng)及應(yīng)用及應(yīng)用二十世紀(jì)初二十世紀(jì)初羅瑟福羅瑟福和和蓋克蓋克兩位科學(xué)家在觀察兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的與分析放射性物質(zhì)放出的 粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí)粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí), ,他們做了他們做了2608 次觀察次觀察( (每次時(shí)間為每次時(shí)間為7

16、.5 秒秒) )發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi), , 其放射的粒子其放射的粒子數(shù)數(shù)X 服從服從泊松分布泊松分布. . 第43頁(yè)/共61頁(yè)第四十三頁(yè)，共61頁(yè)。體積相對(duì)體積相對(duì)(xingdu)(xingdu)小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布, ,其參數(shù)其參數(shù) 可以由觀測(cè)值的平均值求出。可以由觀測(cè)值的平均值求出。 實(shí)際問題中若干實(shí)際問題中若干(rugn)隨機(jī)變量服隨機(jī)變量服從或近似服從從或近似服從 Poisson分布的情形分布的情形：第44頁(yè)/共61頁(yè)第四十四頁(yè)，共61頁(yè)。), 2 , 1 ,

17、 0(0. 1 kkXP 1. 2000 kkkkkeekekekXP ！第45頁(yè)/共61頁(yè)第四十五頁(yè)，共61頁(yè)。 例例1 1：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的分布律為的分布律為其中其中k=0，1，2，0為常數(shù)，試確定常數(shù)為常數(shù)，試確定常數(shù)a. ！kakXPk 【解】由分布【解】由分布(fnb)律的性質(zhì)知律的性質(zhì)知 001kkkaekakXP ！ ea故故第46頁(yè)/共61頁(yè)第四十六頁(yè)，共61頁(yè)。例例: : 已知某已知某電話電話交交換換臺(tái)每分臺(tái)每分鐘鐘接到的呼接到的呼喚喚(h(h hun)hun)次次數(shù)數(shù)X X服服從從=4=4的泊松分布，分的泊松分布，分別別 求求（1 1）每分）每分鐘內(nèi)鐘內(nèi)恰好接到

18、恰好接到3 3次呼次呼喚喚(h(h hun) hun)的的概概率；率；（2 2）每分）每分鐘鐘不超不超過過4 4次的次的概概率率解解 ！kekXPk 3, 4 k 432104)2( XPXPXPXPXPXP344(1)33!eP X 第47頁(yè)/共61頁(yè)第四十七頁(yè)，共61頁(yè)。(1)!kkkn knC ppek 二項(xiàng)分布的泊松近似二項(xiàng)分布的泊松近似(jn s)The Poisson Approximation to the Binomial Distributionnp 第48頁(yè)/共61頁(yè)第四十八頁(yè)，共61頁(yè)。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布)(nnp 第49頁(yè)/共61頁(yè)第四十九頁(yè)，共61頁(yè)。

19、例例 某人某人(mu rn)騎摩托車上街騎摩托車上街,出事故率為出事故率為0.02，獨(dú)立重復(fù)上街，獨(dú)立重復(fù)上街400次，求出事故至少兩次的概率次，求出事故至少兩次的概率.解解結(jié)果表明，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，結(jié)果表明，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，小概率事件總會(huì)發(fā)生的！小概率事件總會(huì)發(fā)生的！ 4004000.020.98kkkP xkC )02. 0 ,400( BX802. 0400 np 第50頁(yè)/共61頁(yè)第五十頁(yè)，共61頁(yè)。若某人若某人(m(mu rn)u rn)做某事的成功率為做某事的成功率為1%1%，他重復(fù)努力，他重復(fù)努力400400次，次，成功成功(chnggng)(chnggng)次數(shù)服從二項(xiàng)

20、概率次數(shù)服從二項(xiàng)概率 有百分之一的希望，就要有百分之一的希望，就要(ji yo)(ji yo)做百分做百分之百的努力之百的努力 )01. 0 ,400(B011 XPXP40099. 01 則至少成功一次的概率為則至少成功一次的概率為982. 0 第51頁(yè)/共61頁(yè)第五十一頁(yè)，共61頁(yè)。例例2.1.8 有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，通過，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率(gil)為為0.0001,在在某天的該時(shí)段內(nèi)有某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故輛汽車通過，問出事故的次數(shù)的次數(shù)不小于不小于2的概率的概率(

21、gil)是多少（利用泊松定理是多少（利用泊松定理）？）？【解法一】設(shè)【解法一】設(shè)X表示出事故表示出事故(shg)的次數(shù)，的次數(shù)， 則則XB（1000，0.0001）004678801011010. ee1012 XPXPXP10000101000. np 999999110009999099990000101. C第52頁(yè)/共61頁(yè)第五十二頁(yè)，共61頁(yè)。 2XP查泊松表：查泊松表：P196解法解法(ji f)二：二：0046788. 0 21010kkke！.第53頁(yè)/共61頁(yè)第五十三頁(yè)，共61頁(yè)。例例2.1.9 有有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的

22、人壽保險(xiǎn)參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡在一年中每個(gè)人死亡的概率為的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月月1日須交日須交12元元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金元賠償金.求：（求：（1） 保險(xiǎn)公司虧本保險(xiǎn)公司虧本(ku bn)的概率的概率;（2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元的概元的概率率.（1 1）保險(xiǎn)公司）保險(xiǎn)公司(b(bo xio xin n nn s) s)總收入為總收入為2500250012=3000012=30000元元. .【解】以【解】以“年年”為單位為單位(dnwi)(dnwi)來(lái)考慮來(lái)考慮. .設(shè)設(shè)1年中死亡人數(shù)為年中死亡人數(shù)為X，則，則XB(2500,0.002)，則則保險(xiǎn)公司虧本的保險(xiǎn)公司虧本的概率為概率XPXP第54頁(yè)/共61頁(yè)第五十四頁(yè)，共61頁(yè)。由于由于(yuy)n很大，很大，p很小，很小，=np=5，故用泊松近似，有，故用泊松近似，有(2) P(保險(xiǎn)公司保險(xiǎn)公司(bo xin n s)獲利不少于獲利不少于10000) 即保險(xiǎn)公司即保險(xiǎn)公司(bo xin n s)獲利不少于獲利不少于10000元的概率在元的概