例析拋物線在生活中的應(yīng)用

1、高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥：例析拋物線在生活 中的應(yīng)用 例析拋物線在生活中的應(yīng)用 山東陳聰聰 武振 拋物線的幾何特性在實(shí)際中應(yīng)用廣泛，解決此類問題的關(guān)鍵 是建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出拋物線方程，充分利用拋物 線的幾何性質(zhì)，通過方程解決實(shí)際問題 . . 例 1 1 一條隧道的橫斷面由拋物線弧及一個(gè)矩形的兩邊圍成， 尺寸如圖（單位：m m，一輛卡車空車時(shí)能通過此隧道，現(xiàn)載 一集裝箱，箱寬 3m3m 車與箱共高 4.5m4.5m，此車能否通過隧道？ 說明理由 . . 分析：先由題意建立坐標(biāo)系 . . 求出拋物線方程，將實(shí)際問題 轉(zhuǎn)化為拋物線的相關(guān)問題來解決 . . 解：建立坐標(biāo)系如圖 1 1,設(shè)矩形與拋物線的

2、接點(diǎn)為 A A、B,B,則. . 設(shè)拋物線方程為，將 B B 點(diǎn)坐標(biāo)代入得. . 拋物線方程為。 車與箱共高 4.5m4.5m,.集裝箱上表面距拋物線型隧道拱頂 0.5m 0.5m . . 設(shè)拋物線上點(diǎn) D D 的坐標(biāo)為. . , , 故此車不能通過隧道 . . 點(diǎn)評(píng): : 涉及到與拋物線有關(guān)的橋的跨度、隧道高低問題，通 常建立直角坐標(biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決，注意建系 后坐標(biāo)的正負(fù)與其實(shí)際意義。 例 2 2 一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線的一段弧， 它的口寬是的， 杯深 2020，在杯內(nèi)放一玻璃球，玻璃球的半徑 r r 取何值時(shí)，才 能使玻璃球觸及杯底 ? ? 分析：解決要點(diǎn)就是建立恰當(dāng)坐標(biāo)系

3、，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為拋 物線問題，再轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題 . . 解：在酒杯軸截面內(nèi)，玻璃球成了位于拋物線內(nèi)的一個(gè)圓， 以拋物線的頂點(diǎn) 為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為 y y 軸建立直角坐標(biāo)系如圖 2 2， 則拋物線方程可設(shè)為，依題意得點(diǎn)在拋物線上， 故拋物線的方程為， 若玻璃球觸及杯底，圓與 x x 軸切于原點(diǎn)，這時(shí)圓心坐標(biāo)為， 在拋物線上任取一點(diǎn) , , 則，。故當(dāng)玻璃球的半徑 r r 取值范圍 為時(shí)，才能使玻璃球觸及杯底 . . 點(diǎn)評(píng)： 本題關(guān)鍵將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為拋物線問題， 再轉(zhuǎn)化為代 數(shù)問題，利用二次函數(shù)求最值的方法使問題獲解。 例 3 3 已知探照燈的軸截面是拋物線，如圖所示，表示平行于 對(duì)稱軸軸的光線于拋物線上的點(diǎn) P P、Q Q 的反射情況，設(shè)點(diǎn) P P 的 縱坐標(biāo)為，取何值時(shí)，從入射點(diǎn) P P 到反射點(diǎn) Q Q 的光線的路程最 短？ 分析：關(guān)鍵就是利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)建立目標(biāo)函數(shù) . . 解：由拋物線的光學(xué)性質(zhì)，知光線 PQPQ 必過拋物線的焦點(diǎn) 設(shè) P P 點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線 PQPQ 的方程為：， 即聯(lián)立，解得， 由圖 3 3 可知， 根據(jù)拋物線的定義得， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立 . . 二當(dāng)從入射點(diǎn) P P 到反射點(diǎn) Q Q 的光線的路程 PQPQ 最短. . 點(diǎn)評(píng)：從拋物線的焦點(diǎn)處發(fā)出的光線照到拋物線上，