（整理版）高考中數(shù)列和不等式證明的交叉

1、高考中數(shù)列和不等式證明的交叉數(shù)列和不等式是高考的兩大熱點(diǎn)也是難點(diǎn)，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)也有很重要的地位，不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個(gè)突出的內(nèi)容，它可以表達(dá)數(shù)學(xué)思維中的很多方法，當(dāng)兩者結(jié)合在一起的時(shí)候，問(wèn)題會(huì)變得非常的靈活。所以在復(fù)習(xí)時(shí)，我們?cè)诜謩e復(fù)習(xí)好兩類知識(shí)的同時(shí)，一定要注意它們的相互滲透和交叉，培養(yǎng)靈活的思維能力。 數(shù)列和證明不等式的交叉，是這兩大塊知識(shí)的主要交叉點(diǎn)，它在數(shù)列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的證明，它所涉及的問(wèn)題往往是靈活的應(yīng)用了數(shù)列和不等式的知識(shí)，把這兩者完美的結(jié)合在了一起。例1 設(shè)和分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，且，假設(shè)，試比擬和的大小。分析

2、：這兩個(gè)通項(xiàng)大小的比擬，它們的未知量比擬多，比容易直接完成。因通過(guò)它們的項(xiàng)數(shù)把他們組合在一起。設(shè)的公差為，的公比為。顯然，因?yàn)?，所以有，即。又因?yàn)?，所以。假設(shè)時(shí)，=。因?yàn)?，所以有：。假設(shè)時(shí)，所以也有：。綜上所述，當(dāng)，且時(shí)，。在證明過(guò)程，對(duì)等比數(shù)列求和公式的逆用，是此題證明的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，它防止了一些不必要的分類討論，時(shí)問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。例2 遞增的等比數(shù)列前三項(xiàng)之積為，且這三項(xiàng)分別減去，后成等差數(shù)列，求證：。分析：要想證明這個(gè)不等式，首先要求出左邊的和式。根據(jù)題意，是等比數(shù)列，所以左邊的和式可以利用錯(cuò)位相減法來(lái)求和。先確定這個(gè)等比數(shù)列。由可得，所以。再設(shè)等比數(shù)列的公比為。那么根據(jù)條件可得：，解得，或

3、舍去。所以，因此，。令=-，那么-，由-得，即，=例3 在某兩個(gè)正數(shù)，之間，假設(shè)插入一個(gè)數(shù)，使，成等差數(shù)列；假設(shè)另插入兩個(gè)數(shù)，使，成等比數(shù)列，求證：分析：不等式左邊有字母，右邊有不同字母、，要比擬兩邊的大小，必須尋找、三者之間的聯(lián)系，利用數(shù)列的關(guān)系可得：，。為計(jì)算方便，我們?cè)倭?，那么，那么?，得。例4 設(shè)，且，求證：對(duì)一切自然數(shù)，都有。分析：因?yàn)?，所以，由，所以有，即。又因?yàn)椋敲从?，所以。在上式中取，得個(gè)不等式，把它們相加得，于是，因此，。在此題的證明過(guò)程中，我們巧妙的利用了數(shù)列求和的累加法，時(shí)問(wèn)題的解決有一種全新的感覺(jué)。此題由于和自然數(shù)有關(guān)，也可以利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。例5 設(shè)，給定數(shù)列

4、，其中，且滿足。求證：且。分析：這是1984年的高考題，當(dāng)時(shí)難倒了絕大局部的學(xué)生，大家覺(jué)得無(wú)從著手。它給定的是數(shù)列，求證的是不等式，而且都是和通項(xiàng)有關(guān)，所以我們可以考慮求出數(shù)列的通項(xiàng)再來(lái)觀察。 因?yàn)?，又因?yàn)?，所以有，那么。而，那么有，所以，那么，因此，且。? 求證：。分析：。令，那么=。所以，從而有，。因此原不等式得證。例7 設(shè)是正項(xiàng)的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)的和.證明：。分析：這是在數(shù)列情景下的不等式證明，所以要交叉使用數(shù)列的性質(zhì)和不等式的證明技巧。要證不等式等價(jià)于，因?yàn)?，所以。由等比?shù)列的定義可得：。再用等比定理得：，因此有：。例8 數(shù)列和都是正項(xiàng)數(shù)列，對(duì)任意的自然數(shù)都有，成等差數(shù)列，成等比數(shù)

5、列。(1)問(wèn)：是不是等差數(shù)列？為什么？(2)求證：對(duì)任意的自然數(shù)和，。分析：對(duì)于第(1)題，我們不難證明它一定是等差數(shù)列。問(wèn)題(2)的證明方法很多，我們可以直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)作差比擬來(lái)完成。但是假設(shè)我們仔細(xì)分析題意，觀察，的特點(diǎn)，我們不難發(fā)現(xiàn)它們?nèi)咧g有等量關(guān)系： ，所以。此題充分表達(dá)了數(shù)列和不等式知識(shí)的交叉運(yùn)用。例9 數(shù)列中，前項(xiàng)之和為，其中和為常數(shù)，且，。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；并證明。(2)假設(shè)，試判斷數(shù)列中任意兩項(xiàng)的大小。分析：此題的條件，前項(xiàng)之和為 告訴我們，數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，要證明成立，只要證明該數(shù)列是一個(gè)遞增的數(shù)列，且即可。 (1)由可知，所以，即數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列，那么。 (2)由(1)可知，數(shù)列各項(xiàng)都為正。那么=，所以.例10 數(shù)列中，對(duì)一切自然數(shù)，都有且。求證：(1)； (2)假設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，那么。分析：從題目的結(jié)構(gòu)可以看出，條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，必須從中找出和 的關(guān)系。(1)由，可得，又因?yàn)?，所以有?因此，即。(2)由結(jié)論(1)可知， ，即，于是有，即。 從上面的一