高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第五版(下)微分方程

1、.微分方程 第十二章yxfy求已知, )( 積分問題積分問題 yy求及其若干階導(dǎo)數(shù)的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推廣 一階微分方程高階微分方程.微分方程的基本概念 第一節(jié)引例引例 第十二章 .引例引例1. 一曲線通過點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的解解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲線方程為21xy由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 . .引例引例2. 列車在平直路上以sm20的速度行駛, 制動時(shí)獲得加速度,sm4 . 02a求制動后列車的運(yùn)動規(guī)律.解解:

2、 設(shè)列車在制動后 t 秒行駛了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式兩次積分, 可得2122 . 0CtCts利用后兩式可得0,2021CC因此所求運(yùn)動規(guī)律為tts202 . 02即求 s = s (t) .常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 階顯式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 階常微分方程的形式是的階階.分類或.,00ts200ddtts引例24 . 022ddxy 使方程成為

3、恒等式的函數(shù).通解通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件初始條件( (或初值條件或初值條件) ):的階數(shù)相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線. .(4)410125sinyyyyyx2()20 x yyyxsinxdyxyedxcos1dyxydx線性：未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的。.第二節(jié) 第十二章 一階微分方程一

4、、可分離變量微分方程二、齊次方程三、全微分方程（數(shù)一）四、一階線性微分方程.一、可分離變量微分方程 轉(zhuǎn)化 解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22.分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設(shè) y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(則有恒等式 )(yG)(xF當(dāng)G(y) 與F(x) 可微且 G(y) g(y)0 時(shí), 說明由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解. 則有稱為方程的隱

5、式通解, 或通積分.同樣,當(dāng)F(x)= f (x)0 時(shí),上述過程可逆,由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. .例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為任意常數(shù) )或說明說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 ).例例2. 解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C

6、 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y.例例3. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu則yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù) )所求通解:.練習(xí)練習(xí):.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分離變量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0內(nèi)滿足拉普拉斯方程內(nèi)滿足拉普拉斯方程, 0222222zuyuxu)(rf其中二階可導(dǎo)二階可導(dǎo), 且且,1) 1 () 1 ( ff試將方程化為以試將方程化為以 r 為自變?yōu)樽宰兞康某Ｎ⒎址匠塘康某Ｎ⒎址匠?, 并求并求 f (r) .提示提示:r

7、xrfxu)( 2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用對稱性利用對稱性, 0)(2)( rfrrf即即0)(2)(2 rfrrfr( 歐拉方程歐拉方程 )原方程可化為原方程可化為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .0)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令1) 1 () 1 ( ff.12)(rrf解初值問題:,ddtD 記則原方程化為則原方程化為 02) 1(fDDD02fDD即通解通解: teCCrf21)(rCC121利用初始條件得特解利用初始條件得特解: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .xxCxCysincos21特征根特征根 :,2 , 1ir例例1. 求微分方

8、程2, xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2時(shí)當(dāng)x故通解為故通解為)(sin2xxxy2,04 xyy滿足條件滿足條件2x在解滿足解滿足xyy ,00 xy00 xy處連續(xù)且可微的解處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解設(shè)特解 :,BAxy代入方程定代入方程定 A, B, 得得xy , 0, 000 xxyy利用得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .2x由處的銜接條件可知處的銜接條件可知,2時(shí)當(dāng)x04 yy,122xy12xy解滿足解滿足故所求解為故所求解為y,sinxx 2221,2cos)1 (2sinxxx2xxCxCy2cos2sin21其通解其通解:定解問題的解定解問題的解:2221,

9、2cos)1 (2sinxxxy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .例例2.,)(二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)設(shè)xf且滿足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf則xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx問題化為解初值問題問題化為解初值問題:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得最后求得xxxxfcos2sin21)(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .思考思考: 設(shè), 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示: 對積分換元對積分換元 ,ux

10、t 令則有xxttex0d)()()()(xexx 解初值問題解初值問題: xexx )()(,0)0(1)0(答案答案:xxexex41) 12(41)(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .的解的解. 例3.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),()(在xyy,)()(, 0的函數(shù)是xyyyxxy內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 試將試將 xx( y) 所滿足的微分方程所滿足的微分方程 變換為變換為 yy(x) 所滿足的微分方程所滿足的微分方程 ;(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(

11、y數(shù), 且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式兩端對上式兩端對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得: (1) 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(03考研考研).機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin (2) 方程方程的對應(yīng)齊次方程的通解為的對應(yīng)齊次方程的通解為 xxeCeCY21設(shè)設(shè)的特解為的特解為 ,sincosxBxAy代入代入得得 A0,21B,sin21xy故從而得從而得的通解的通解: .題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xeCeCyxxsin212

12、1由初始條件由初始條件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值問題的解為故所求初值問題的解為 xeeyxxsin21.例例4. 解解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星, 為使其擺脫地球?yàn)槭蛊鋽[脫地球 引力引力, 初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度, 試計(jì)算此速度試計(jì)算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為地球質(zhì)量為 M , 衛(wèi)星衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為的質(zhì)心到地心的距離為 h , 由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得: 222ddhmMGthm00dd,vthRht,0v為(G 為引力系數(shù)為引力系數(shù))則有初值問題

13、則有初值問題: 222ddhMGth又設(shè)衛(wèi)星的初速度又設(shè)衛(wèi)星的初速度，已知地球半徑51063R機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .),(ddhvth設(shè),dddd22hvvth則代入原方程代入原方程, 得得2ddhMGhvvhhMGvvdd2兩邊積分得兩邊積分得ChMGv221利用初始條件利用初始條件, 得得RMGvC2021因此因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到注意到 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .為使為使,0v應(yīng)滿足0vRMGv20因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)h = R (在地面上在地面上) 時(shí)時(shí), 引力引力 = 重力重力, )sm81. 9(22ggmhm

14、MG即,2gRMG故代入代入即得即得81. 910632250gRv) s(m102 .113這說明第二宇宙速度為這說明第二宇宙速度為 skm2 .11機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)例例5. 上的力上的力 F 所作的功與經(jīng)過的時(shí)間所作的功與經(jīng)過的時(shí)間 t 成正比成正比 ( 比例系數(shù)比例系數(shù),00vs初始速度為初始位移為).(tss 律提示提示:,d0tksFss由題設(shè)兩邊對兩邊對 s 求導(dǎo)得求導(dǎo)得:stkFdd牛頓第二定律stktsmdddd22mktsts22ddddtdd2ddtsmk2 2ddts12 Ctmk為為 k), 開方如何定開方如何定 + ?

15、已知一質(zhì)量為已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動, 作用在質(zhì)點(diǎn)作用在質(zhì)點(diǎn)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .例例6. 一鏈條掛在一釘子上 , 啟動時(shí)一端離釘子 8 m ,另一端離釘子另一端離釘子 12 m , 如不計(jì)釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦如不計(jì)釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦 力力, 求鏈條滑下來所需的時(shí)間求鏈條滑下來所需的時(shí)間 .解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖. 設(shè)在時(shí)刻設(shè)在時(shí)刻 t , 鏈條較長一段鏈條較長一段xox下垂下垂 x m ,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù)又設(shè)鏈條線密度為常數(shù),此時(shí)鏈條受力此時(shí)鏈條受力Fgxgx)20(gx)10(2由牛頓第二定律由牛頓第二定律, 得得22dd2

16、0txgx)10(2,120tx0dd0ttxgxgtx10dd22機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .101 . 021 . 01tgtgeCeCx由初始條件得由初始條件得, 121CC故定解問題的解為故定解問題的解為解得解得24)10(1021 . 0 xxetg), 1(舍去另一根左端當(dāng) x = 20 m 時(shí),(s)625ln(10gt微分方程通解微分方程通解: 101 . 01 . 0tgtgeex思考思考: 若摩擦力為鏈條若摩擦力為鏈條 1 m 長的重量長的重量 , 定解問題的定解問題的數(shù)學(xué)模型是什么數(shù)學(xué)模型是什么 ?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .摩擦力為鏈條 1 m 長的

17、重量 時(shí)的數(shù)學(xué)模型為xox不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此時(shí)鏈條滑下來此時(shí)鏈條滑下來所需時(shí)間為所需時(shí)間為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .yoy練習(xí)題從船上向海中沉放某種探測儀器從船上向海中沉放某種探測儀器, 按探測按探測要求要求, 需確定儀器的下沉深度需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度與下沉速度 v 之間的函之間的函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系. 設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉, 在下沉

18、過程中還受到阻力和浮力作用在下沉過程中還受到阻力和浮力作用, 設(shè)儀器質(zhì)量為設(shè)儀器質(zhì)量為 m,體積為體積為B , 海水比重為海水比重為 ,儀器所受阻力與下沉速度成正儀器所受阻力與下沉速度成正 比比 , 比例系數(shù)為比例系數(shù)為 k ( k 0 ) , 試建立試建立 y 與與 v 所滿足的微分所滿足的微分方程方程, 并求出函數(shù)關(guān)系式并求出函數(shù)關(guān)系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量 m體積 B由牛頓第二定律由牛頓第二定律B22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意: 機(jī)動 目錄 上頁

19、下頁 返回 結(jié)束 .BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始條件為初始條件為00yv用分離變量法解上述初值問題得用分離變量法解上述初值問題得yoy質(zhì)量 m體積 B得得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 . )()(xfyxy 有特有特,1xy 解而對應(yīng)齊次方程有解而對應(yīng)齊次方程有解,2xy 及求)(, )(xfx微分方程的通解微分方程的通解 . 解解:, 0)(2 yxyxy代入將xx1)(得代入再將xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所給二階非齊次方程為故所給二階非齊次方程為331xyxy ),(xpy 令方程化為方程化為331xpxp1. 設(shè)二階非齊次方程設(shè)二階非齊次方程一階線性非齊次方程一階線性非齊次方程機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .331xpxp故py xxed1xCx121再積分得通解再積分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13