光波場的復(fù)振幅描述

1、.第第1章章 現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)現(xiàn)代光學(xué)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ) Scalar Angle-Spectrum Theory of Diffraction光場隨時(shí)間的變化關(guān)系光場隨時(shí)間的變化關(guān)系: 由頻率由頻率n n表征表征.單色光場中某點(diǎn)單色光場中某點(diǎn) P(x,y,z)在時(shí)刻在時(shí)刻 t 的光振動(dòng)可表為的光振動(dòng)可表為:u(P,t) = a(P)cos2pnpnt - j j(P)振幅振幅頻率頻率 初位相初位相可見光可見光: n n 1014Hz嚴(yán)格單色光嚴(yán)格單色光: n n為常數(shù)為常數(shù)光場隨空間的變化關(guān)系體現(xiàn)在光場隨空間的變化關(guān)系體現(xiàn)在: (1) 空間各點(diǎn)的振幅可能不同空間各點(diǎn)的振幅可能不同(2) 空

2、間各點(diǎn)的初位相可能不同空間各點(diǎn)的初位相可能不同, 由傳播引起由傳播引起.光場變化的空間周期為光場變化的空間周期為l l. .光場變化的時(shí)間周期為光場變化的時(shí)間周期為1/ n. n.由于由于u(P,t) 必須滿足波動(dòng)方程，必須滿足波動(dòng)方程，可以導(dǎo)出可以導(dǎo)出a(P)、n n、 j j(P)必須滿足的關(guān)系必須滿足的關(guān)系1-1 光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述1、光振動(dòng)的復(fù)振幅和亥姆霍茲方程、光振動(dòng)的復(fù)振幅和亥姆霍茲方程.1-1光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述光振動(dòng)的復(fù)振幅表示光振動(dòng)的復(fù)振幅表示光場隨時(shí)間的變化光場隨時(shí)間的變化e -j2pnpnt不重要不重要: u(P,t) = a(P)cos

3、2pnpnt - j j(P) = ea(P)e-j2pnpnt -j j(P) n n 1014Hz, 無法探測無法探測n n為常數(shù)為常數(shù),線性運(yùn)算后亦不變線性運(yùn)算后亦不變對于攜帶信息的光波對于攜帶信息的光波, 感興趣的是其空間變化部分感興趣的是其空間變化部分.故引入復(fù)振幅故引入復(fù)振幅U(P):為了導(dǎo)出為了導(dǎo)出a(P)、n n、 j j(P)必須滿足的關(guān)系，將光場用復(fù)數(shù)表必須滿足的關(guān)系，將光場用復(fù)數(shù)表示示,以利于簡化運(yùn)算以利于簡化運(yùn)算= ea(P) e jj j(P). e -j2pnpnt 復(fù)數(shù)表示有利于復(fù)數(shù)表示有利于將時(shí)空變量分開將時(shí)空變量分開U(P) = a(P) e jj(P)則則

4、u(P,t)= e U(P) e -j2pnpnt .1-1光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述亥姆霍茲（亥姆霍茲（Helmholtz)方程方程可導(dǎo)出復(fù)振幅滿足的方程為：可導(dǎo)出復(fù)振幅滿足的方程為：將將U(P)exp(j2pn pn t)代入波動(dòng)方程代入波動(dòng)方程012222utvu0)(22Uk即亥姆霍茲（即亥姆霍茲（Helmholtz)方程方程 -不含時(shí)間的波動(dòng)方程不含時(shí)間的波動(dòng)方程 稱為波數(shù)或傳播常數(shù)，稱為波數(shù)或傳播常數(shù)，表示單位長度上產(chǎn)生的相位變化表示單位長度上產(chǎn)生的相位變化lp2k 在自由空間傳播的任何單色光擾動(dòng)的復(fù)振幅都必須滿足在自由空間傳播的任何單色光擾動(dòng)的復(fù)振幅都必須滿足亥姆霍茲亥

5、姆霍茲方程。也就是說，可以用不含時(shí)間變量的復(fù)振幅分方程。也就是說，可以用不含時(shí)間變量的復(fù)振幅分布完善地描述單色光波場。布完善地描述單色光波場。 .1-1光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述光振動(dòng)的復(fù)振幅表示光振動(dòng)的復(fù)振幅表示: 說明說明 U(P)是空間點(diǎn)的復(fù)函數(shù)是空間點(diǎn)的復(fù)函數(shù), 描寫光場的空間分布描寫光場的空間分布, 與時(shí)間無關(guān)與時(shí)間無關(guān);U(P) = a(P) e jj j(P) U(P)同時(shí)表征了空間各點(diǎn)的振幅同時(shí)表征了空間各點(diǎn)的振幅 |U(P)| = |a(P)|和相對位相和相對位相arg(U)= j j(P) 方便運(yùn)算方便運(yùn)算, 滿足疊加原理滿足疊加原理 實(shí)際物理量是實(shí)量實(shí)際物理量是

6、實(shí)量. 要恢復(fù)為真實(shí)光振動(dòng)要恢復(fù)為真實(shí)光振動(dòng): 光強(qiáng)分布光強(qiáng)分布: I = UU* 光強(qiáng)是波印廷矢量的時(shí)間平均值光強(qiáng)是波印廷矢量的時(shí)間平均值, 正比于電場振幅的平方正比于電場振幅的平方 u(P,t)= eU(P)exp(-j2pnpnt) 即可即可.1-1光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述2、球面波的復(fù)振幅表示、球面波的復(fù)振幅表示點(diǎn)光源或會(huì)聚中心點(diǎn)光源或會(huì)聚中心球面波球面波: 等相面為球面等相面為球面, 且所有等相面有共同中心的波且所有等相面有共同中心的波k = | k |=2p p /l l , 為波數(shù)為波數(shù). 表表示由于波傳播示由于波傳播, 在單位長度在單位長度上引起的位相變化上引起的位

7、相變化, 也表明也表明了光場變化的了光場變化的“空間頻率空間頻率”(P(x,y,z)0zyx源點(diǎn)源點(diǎn)S(rk設(shè)觀察點(diǎn)設(shè)觀察點(diǎn)P(x, y, z)與發(fā)散球面波中心的距離為與發(fā)散球面波中心的距離為r, k: 傳播矢量傳播矢量球面波的等位相面球面波的等位相面: kr=c 為球面為球面jkreraPU0)(則則P點(diǎn)處的復(fù)振幅點(diǎn)處的復(fù)振幅:j j(P) = k . rk : 傳播矢量傳播矢量球面波球面波: k/ra0: 單位距離單位距離處的光振幅處的光振幅.1-1光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述會(huì)聚球面波會(huì)聚球面波會(huì)聚球面波會(huì)聚球面波jkreraPU0)(P(x,y,z)會(huì)聚點(diǎn)S(r0zyxk.1-

8、1光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述球面波球面波 : 空間分布空間分布距離距離 r 的表達(dá)的表達(dá)若球面波中心在原點(diǎn)若球面波中心在原點(diǎn): 222zyxr若球面波中心在若球面波中心在 S (x0, y0, z0): 202020)()()(zzyyxxrjkreraPU0)(P點(diǎn)處的復(fù)振幅點(diǎn)處的復(fù)振幅:取決于取決于k與與r是平行是平行還是反平行還是反平行.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述球面波球面波 : 在給定平面的分布在給定平面的分布以系統(tǒng)的光軸為以系統(tǒng)的光軸為z軸軸,光沿光沿 z 軸正方向傳播軸正方向傳播.所考察的平面垂直于所考察的平面垂直于z 軸軸令點(diǎn)光源位于令點(diǎn)光源位于z = 0的平

9、面上坐標(biāo)的平面上坐標(biāo)(x0, y0)處處. 考察與其考察與其距離為距離為z的的x - y平面上的光分布平面上的光分布2/ 1220202/ 122020)()(1 )()(zyyxxzzyyxxr需要作近軸近似需要作近軸近似z.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述球面波球面波 : 近軸近似近軸近似只考慮只考慮 x - y平面上對源點(diǎn)平面上對源點(diǎn) S 張角不大的范圍張角不大的范圍, 即即1)()(22020zyyxxzyyxxzr2)()(2020可以作泰勒展開可以作泰勒展開(1+D D)1/2 1+ D D /2一級(jí)近似一級(jí)近似二級(jí)近似二級(jí)近似對振幅中對振幅中r 的可作一級(jí)近似的可作一級(jí)近似.

10、 但因?yàn)榈驗(yàn)?k 很大很大, 對位相中的對位相中的 r 須作二級(jí)近似須作二級(jí)近似.1-1光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述二、球面波二、球面波 : 近軸近似近軸近似已將球面波中心取在已將球面波中心取在 z = 0的平面的平面, 且光波沿且光波沿 z 軸正方向傳播軸正方向傳播.如果如果 z 0, 上式代表從上式代表從 S 發(fā)散的球面波發(fā)散的球面波.如果如果 z 0, 上式代表向上式代表向 S 會(huì)聚的球面波會(huì)聚的球面波.20200)()(2exp)exp(),()(yyxxzkjjkzzayxUPU對給定平面對給定平面是常量是常量隨隨x, y變化的二次位相因子變化的二次位相因子球面波特征位相球

11、面波特征位相)(2exp)exp(),(220yxzkjjkzzayxU球面波中心球面波中心在原點(diǎn)在原點(diǎn):Cyyxxx-y 平面上等位相線方程為平面上等位相線方程為 :.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述3、 平面波的復(fù)振幅表示平面波的復(fù)振幅表示等相面為平面等相面為平面,且且這些平面垂直于這些平面垂直于光波傳播矢量光波傳播矢量 k.等相平面的法線方向等相平面的法線方向k (kcosa a, kcosb b, kcosg g)k 的方向余弦的方向余弦 均均為常量為常量.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述3、 平面波的復(fù)振幅表示平面波的復(fù)振幅表示等相面為平面等相面為平面,且這些平面垂直于光波傳

12、播矢量且這些平面垂直于光波傳播矢量 k.等相平面的法線方向等相平面的法線方向 k (kcosa a, kcosb b, kcosg g)k 的方向余弦的方向余弦, 均為常量均為常量以以 k 表示的等相平面方程為表示的等相平面方程為 k .r = const.故平面波復(fù)振幅表達(dá)式為故平面波復(fù)振幅表達(dá)式為:)coscoscos(exp )exp(),(gbazyxjkajazyxUrk線性位相因子線性位相因子常量振幅常量振幅.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述3、平面波、平面波: 在給定平面的分布在給定平面的分布在在x-y平面上的等位相線平面上的等位相線 xcosa a + ycosb b =

13、const為平行直線族為平行直線族)coscos(exp ),(bayxjkAyxU在與原點(diǎn)相距為在與原點(diǎn)相距為 z 的平面上考察平面波的復(fù)振幅的平面上考察平面波的復(fù)振幅:bag22coscos1cos )coscos(exp)coscos1exp(),( 22zyxjkjkzazyxUbaba隨隨x,y線性變化的線性變化的位相因子位相因子常數(shù)幅相因子常數(shù)幅相因子, A.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述4、平面波的空間頻率、平面波的空間頻率在與原點(diǎn)相距為在與原點(diǎn)相距為 z 的平面上考察平面波的位相分布的平面上考察平面波的位相分布.等位相等位相線是平行直線族線是平行直線族. 為簡單計(jì)為簡單計(jì)

14、, 先看先看k在在x-z平面內(nèi)平面內(nèi): cosb b =0等位相面是平行于等位相面是平行于y 軸的一系列平面軸的一系列平面, 間隔為間隔為l lz等位相面與等位相面與x-z平面相交平面相交形成平行直線形成平行直線等位相面與等位相面與x-y平面相交平面相交形成平行于形成平行于y軸的直線軸的直線)cosexp( ),(ajkxAyxU復(fù)振幅分布復(fù)振幅分布:沿沿x方向的等相線方向的等相線間距間距:alapcoscos2kX.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述四、平面波的空間頻率四、平面波的空間頻率)cosexp( ),(ajkxAyxU復(fù)振幅分布復(fù)振幅分布:定義定義 復(fù)振幅分布在復(fù)振幅分布在x方向

15、的空間頻率方向的空間頻率: lacos1Xfx復(fù)振幅分布可改寫為復(fù)振幅分布可改寫為:)2exp( ),(xfjAyxUxpY = , fy=0對于在對于在x-z平面內(nèi)傳播的平面波平面內(nèi)傳播的平面波, 在在y方向上有方向上有:.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述平面波的空間頻率平面波的空間頻率: 一般情形一般情形定義定義:復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為平面波的空間頻率復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為平面波的空間頻率平面波在平面波在x和和y方向的空間頻率分別為方向的空間頻率分別為:lblacos1 ;cos1YfXfyxcosa a, cosb b 為波為波矢的方向余弦矢的方向余弦若波矢在若波矢在x-

16、z平面或平面或y-z平面中平面中, a a b b 又常用它又常用它們的余角們的余角q qx (q qy)表示表示,故故:lqlqyyxxYfXfsin1 ;sin1)coscos(exp ),(bayxjkAyxU引入空間頻率概念后引入空間頻率概念后, 單色平面波單色平面波在在xy 平面的復(fù)振幅分布可以表示為平面的復(fù)振幅分布可以表示為 )(2exp ),(yfxfjAyxUyxp.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述平面波的空間頻率平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念信息光學(xué)中最基本的概念單位振幅的單色平面波單位振幅的單色平面波, 波矢量波矢量k與與x軸夾軸夾角為角為30 , 與與y軸夾

17、角為軸夾角為60 .(1)畫出畫出z = z1平面上間隔為平面上間隔為2p p的等相線族的等相線族, , 并求出并求出Tx、 Ty、T 和和fx 、fy和和 f。(2)畫出畫出y = y1平面上間隔為平面上間隔為2p p的等相線族的等相線族, , 并求出并求出Tx、 Tz 和和fx 、fz.練習(xí)練習(xí) 1.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述平面波的空間頻率平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念信息光學(xué)中最基本的概念如果平面波傳播方向在如果平面波傳播方向在xz平面平面(或或yz平面平面), 與與z軸夾角為軸夾角為q q, 則此平面波復(fù)振幅沿則此平面波復(fù)振幅沿x方向方向(或或y方向方向)的空間頻

18、率為的空間頻率為: lqsin.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述平面波的空間頻率平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念信息光學(xué)中最基本的概念對于傳播方向與對于傳播方向與z軸夾角為軸夾角為-30 的情況的情況,再再解上題解上題.練習(xí)練習(xí) 3lqsin振幅為振幅為1, 波長為波長為l l 55nm 的單色平面波的單色平面波, 傳播方向在傳播方向在xz平面內(nèi)平面內(nèi), 并與并與z軸夾角為軸夾角為30 . 寫出其復(fù)振幅表達(dá)式寫出其復(fù)振幅表達(dá)式, 并求出并求出z = z1平面上平面上復(fù)振幅在復(fù)振幅在x方向和方向和y方向的空間周期方向的空間周期Tx和和Ty, 以及相應(yīng)的空間頻率以及相應(yīng)的空間頻率 fx

19、 和和 fy.練習(xí)練習(xí) 2.光波場的復(fù)振幅描述光波場的復(fù)振幅描述平面波的空間頻率平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念信息光學(xué)中最基本的概念空間頻率的單位空間頻率的單位: cm-1, mm-1, 周周/mm, 條數(shù)條數(shù)/mm 等等空間頻率的正負(fù)空間頻率的正負(fù):表示傳播方向與表示傳播方向與x(或或y)軸的夾角小于或大于軸的夾角小于或大于90 在給定的座標(biāo)系在給定的座標(biāo)系, 任意單色平面波有一組對應(yīng)的任意單色平面波有一組對應(yīng)的fx和和fy,它僅決定于光波的波長和傳播方向它僅決定于光波的波長和傳播方向.反之反之, 給定一組給定一組fx和和fy, 對于給定波長的單色平面波就能對于給定波長的單色平面波就能確定其傳播方向確定其傳播方向cosa a =l,l,fx , , cosb b =l,l,fy 要