中考數(shù)學(xué)高分沖刺 沖刺一數(shù)與式的三項(xiàng)要點(diǎn)

1、中考高分沖刺沖刺一數(shù)與式的三項(xiàng)要點(diǎn) 第一編 核心知識的再提升n 任何教學(xué)問題的解決都必以核心知識為基礎(chǔ)。n 對知識的掌握是有層次高低之別的，只有上升到“原理”層次的知識掌握，才能和心應(yīng)手發(fā)揮作用。 關(guān)節(jié)一 數(shù)與式的三項(xiàng)要點(diǎn)“數(shù)與式”是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，不公在各中考試卷中占有相當(dāng)比重，更重要的是它的作用體現(xiàn)與融合在諸多知識運(yùn)用之中，其中三項(xiàng)要點(diǎn)，尤望同學(xué)們掌握與用好。 要點(diǎn)一、準(zhǔn)確與靈活是“運(yùn)算”之魂； 要點(diǎn)二、深入把握“教”、“式”的性質(zhì)；要點(diǎn)三、善于將情景中的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系抽象為代數(shù)式；一、 準(zhǔn)確與靈活是“運(yùn)算”之魂1、 靈活運(yùn)用運(yùn)算法則，運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)對以個幾道中考試題，我們給出新

2、的解法，請同學(xué)們感悟“靈活”的意義和作用。例1 化簡： 解：原式（先把除法轉(zhuǎn)換成乘法，再用分配律乘入括號內(nèi)） 2 中考數(shù)學(xué)高分的十八個關(guān)節(jié)例2 計(jì)算： 解：原式（先從括號內(nèi)提出“公因式”而后約分） 例3 已知是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式的值。 解：原式（除式和被除式同乘以 以上三題是中考題，也都是較容易的題，從每一道題的解法可以看出：越是能適時而恰當(dāng)運(yùn)用“運(yùn)算律”，“公式”“性質(zhì)”等，則越可使運(yùn)算步驟減少，過程簡化。所以，越是善于將算法、算律、公式、性質(zhì)聯(lián)合運(yùn)用，越能提高運(yùn) 算的準(zhǔn)確性和過程的簡約性。2、善于把“非標(biāo)準(zhǔn)”算式轉(zhuǎn)化為“標(biāo)準(zhǔn)”算式中考試題中不少數(shù)、式運(yùn)算問題以“非標(biāo)準(zhǔn)”形式給出

3、，解決的基本過程是先將其轉(zhuǎn)化為“標(biāo)準(zhǔn)”算式，然后計(jì)算。而這個“轉(zhuǎn)化”就提高了對靈活性和準(zhǔn)確性的要求。例4 在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則基礎(chǔ)上我們又定義運(yùn)算“”如下： 當(dāng).則當(dāng)時，的值為 （“.”和“一”仍為實(shí)數(shù)運(yùn)算中的乘號和減號） 觀察與思考根據(jù)對新運(yùn)算的規(guī)定，當(dāng)時有 解：-2 可以看出，不管新運(yùn)算規(guī)定得多么新奇，它總是通過 原有的運(yùn)算來表達(dá)的。因此，解這類問題的基本過程是：先按新運(yùn)算的規(guī)定轉(zhuǎn)化成原來的運(yùn)算，再按原來的運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果。這“兩步走”檢驗(yàn)著我們是否很好地理解和掌握了“算法”的意義例5 按下列程序計(jì)算，把答案寫在表格內(nèi)：平方答案 （1）填寫答案：輸入3-2-3輸出答案11(2)請將題中計(jì)算程

4、序用代數(shù)式表達(dá)出來,并給予化簡.觀察與思考經(jīng)過審題之后,我們會發(fā)現(xiàn),可以先解答第(2)問,因?yàn)閷⑾鄳?yīng)代數(shù)式得出化簡之后,就使(1)變成已熟悉的代數(shù)式求值問題了.解: (1)在輸出答案的各欄中均填1.(2)對應(yīng)的代數(shù)式應(yīng)為: ,化簡后為1.例6 如圖1-1, D , E分別是的邊BC和AB上的點(diǎn),的周長相等,設(shè)(1) 求AE和BD的長;(2) 若ABDEC觀察與思考本題表面上是圖形形問題,但實(shí)質(zhì)是式的運(yùn)算.解: (1); 同理.(2)由(1)知 .即.由以上幾例可以看出: 數(shù)與式的運(yùn)算能力,更體現(xiàn)于把”非標(biāo)準(zhǔn)”算式轉(zhuǎn)化為”標(biāo)準(zhǔn)”算式,這就要求我們對運(yùn)算的意義和作用,有更深刻的認(rèn)識二、 深入把握“

5、數(shù)”、“式”的性質(zhì)1、 用活數(shù)的構(gòu)成和表示 例1 計(jì)算：歸納各計(jì)算結(jié)果中的個位數(shù)字規(guī)律，猜測的個位數(shù)是 （ ） A、1 B、3 C、 7 D、5觀察與思考 這實(shí)際是考查的個位數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律，因?yàn)橛校旱膫€位數(shù)是2；的個位數(shù)是4；的個位數(shù)字是8；的個位數(shù)字是16；的個位數(shù)字是2，可見， （其中是非負(fù)整數(shù)且）時，的個位數(shù)字與的個位數(shù)字是一樣的?，F(xiàn)在，即的個位數(shù)字等于的個位數(shù)字，即6，當(dāng)然的個位數(shù)字就是5。解：選D【說明】 本題的解答是以對 的個位數(shù)字及循環(huán)情況分類認(rèn)識與把握為基礎(chǔ)的。例2 如果一個數(shù)等于它的不包括自身的所有因數(shù)之和，那么這個數(shù)就叫完全數(shù)。例如，6的不包括自身的所有因數(shù)為1，2，3.而且

6、6=1+2+3，所以6是完全數(shù)。大約2200多年前，歐幾里德提出：如果是一個完全數(shù)，請你根據(jù)這個結(jié)論寫出6之后的下一個完全數(shù) ?！居^察與思考】 設(shè)是質(zhì)數(shù)3，。，則時，時，;解：28【說明】因數(shù)、質(zhì)數(shù)等的概念的掌握和運(yùn)用是本題獲解的基礎(chǔ)。例3： 老師在黑板上寫出三個算式：王華接著又寫了兩個具有同樣規(guī)律的算式：1（1） 請你再寫出兩個（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的算式；（2） 用文字寫出反映上述算式的規(guī)律：（3） 證明這個規(guī)律的正確性?！居^察與思考】由題目條件提供的5個等式，根據(jù)我們對整數(shù)性質(zhì)的掌握，可以知道本題要揭示的就是“任意兩個奇數(shù)的平方差，都說8的倍數(shù)”。那么，任意兩個奇數(shù)該如何用式子表

7、示，就是解決本題的基礎(chǔ)準(zhǔn)備。解：（1）如等等（2）規(guī)律為：任意兩個奇數(shù)的平方差都等于8的倍數(shù)。（3）證明：兩個奇數(shù)可表示為（其中都是非負(fù)整數(shù)），則。當(dāng)同是奇數(shù)或偶數(shù)時，一定為偶數(shù)，所以一定是8的倍數(shù)。當(dāng)一奇一偶時，則一定為偶數(shù)，所以一定是8的倍數(shù)。所以，任意兩個奇數(shù)的平方差都是8的倍數(shù)?！菊f明】本題的順利獲解是基于這樣兩點(diǎn)：第一，能從提供的五個等式中歸納概括出規(guī)律，而這必須對整數(shù)及其性質(zhì)有深刻的認(rèn)識；第二，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“式子”表示出“任意兩個奇數(shù)”。2、 用活“數(shù)”、“式”的大小關(guān)系例4 估算的值（ ）A、在5和6之間 B、在6和7之間 C、在7和8之間 D、在8和9之間【觀察與思考】本題實(shí)際上

8、是考查在哪兩個整數(shù)之間，思考過程可以是這樣的：解：應(yīng)選C ?！菊f明】這里的估算依據(jù)是正整數(shù)間的大小關(guān)系經(jīng)開方運(yùn)算所導(dǎo)致的實(shí)數(shù)間的小大關(guān)系。例5 設(shè)是大于1的實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別標(biāo)為A，B，C，則A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上自左自右的順序是（ ） A、 C，B，A B、 B，C，A C、 A，B，C D、 C，A，B【觀察與思考】方法一（性質(zhì)推導(dǎo)法）數(shù)軸上的點(diǎn)自左自右應(yīng)為B，C，A。方法二（特?cái)?shù)值法）可設(shè)，則A，B，C表示的數(shù)為當(dāng)然有解：應(yīng)選B?！菊f明】由本題可以看出，數(shù)與式的大小問題，都是以實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為基礎(chǔ)的，所以，掌握實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，是非常重要的。 啟示：掌握數(shù)，式的構(gòu)成（即用其他需要的

9、方法表示它）和掌握數(shù)，式的大小關(guān)系（基本不等關(guān)系和在此基礎(chǔ)上再經(jīng)運(yùn)算的不等關(guān)系），是進(jìn)一步研究和運(yùn)用數(shù)與式的重要根據(jù)。三、 善于將情景中的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系抽象為代數(shù)式列式，即將某一情景中蘊(yùn)含的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，用式表示出來，這是用數(shù)學(xué)研究該情景問題的基礎(chǔ)，也是用式，方程（不等式）、函數(shù)解決實(shí)際問題的起始步驟，其作用的重要性言而喻，學(xué)習(xí)好“數(shù)與式”，應(yīng)把善于列式放在第一位。1、 圖示化情景的列式 例1 如圖，表中的數(shù)據(jù)是按一定規(guī)律排列的，從中任意框出 五個數(shù)字，請你用含其中一個字母的代數(shù)式表示這五個數(shù)字和為 1234591011121317181920212526272829333435363741

10、42434445【觀察與思考】選C最好，因可知有 解： 【說明】本題可有多種表示法。例2 生活中，有人喜歡把傳送的便條折成形狀，折疊過程是這樣的（陰影部分表示紙條的反面）： 如果由信紙折成的長方形紙條（圖）長為26，寬為，分別回答下列問題：（1）為了保證能折成圖的形狀（即將紙條兩端均超過點(diǎn)P），試求的取值范圍。（2）如果不但要折成圖的形狀，而且為了美觀，希望紙條兩端超過點(diǎn)P的長度相等，即最終圖形是軸對稱圖形，試求在開始折疊時起點(diǎn)與點(diǎn)A的距離（用表示）【觀察與思考】關(guān)鍵是看到疊成的五邊形，每邊的長都為原紙條的寬。解：（1）由折紙過程知（2）要圖為軸對稱圖形，則應(yīng)。即點(diǎn) 可以看出：圖示化情景的列式

11、，要從圖示的特征（如例1中每列，每行相鄰兩數(shù)的關(guān)系，例2的等邊五邊形等）出發(fā)，再結(jié)合要求才容易列出相應(yīng)的代數(shù)式。2、 文字語言情景的列式對于較為復(fù)雜的文字語言情景的列式，可采用“逐步抽象法”。例3 一種商品的成本為元，按成本增加25%作為銷售定價，后因庫存積壓減價，按定價的9折售出，這種商品可盈利多少元？【用“逐步抽象法”思考列式】第一步，從問題情景中，確定出“盈利數(shù)額”（所列出的表達(dá)對象）的基本表示法： 盈利數(shù)額=售出價成本價第二步，將表示法中的各項(xiàng)逐步用已知的數(shù)量取代，即 盈利數(shù)額售出價成本價 定價 逐步用已知的數(shù)量表示 第三步，整理合成，得“盈利數(shù)額”的代數(shù)式為： 所謂借助于“逐步抽象法

12、”列式，就是不急于一下子寫出列的列子，而是如上邊的例子那樣，先確定出所求式子的基本表示，如上例的盈利數(shù)額=售出價成本價（可用文字，數(shù)字，字母，混合的形式表示），然后對其中的每一項(xiàng)逐步拆解，依次用題目中提供的已知數(shù)量來替換，最后再以相反的過程“代入”，即得要求的式子?？梢钥闯?，用“逐步抽象法”列式，給出了一個可以依循的思考層次和步驟，有助于準(zhǔn)確，進(jìn)而迅速地列出式子。例4 某同學(xué)上學(xué)時步行，回家時乘車，路上共用90分鐘；若往返都乘車，則共用30分鐘，那么，如果往返都步行，需要的時間是多少呢？【用“逐步抽象法”思考列式】第一步，先找到“步行一個單程所需的時間”的基本表示法： 第二步，將上述表示法中的

13、各項(xiàng)用已知數(shù)量逐步替換： 90 第三步，整理合成，得一個單程步行所需要的時間為 所以，往返都步行所需的時間為分鐘，即150分鐘。方法二：第一步，根據(jù)題意有 第二步，將表示法中的各項(xiàng)用已知數(shù)量逐步替換： 90 30第三步，整理合成，得（分鐘）【說明】對于比較簡單的問題，或?qū)ι鲜龅乃伎歼^程已經(jīng)運(yùn)用的比較熟練和準(zhǔn)確后，則像例5中框中的部分，只在頭腦中運(yùn)用即可。 用“逐步抽象法”也可以幫助更好地列出方程（不等式）和函數(shù)關(guān)系式。例6 A，B兩地間的鐵路長為190千米，通過路的改造和機(jī)車的改進(jìn)，使兩地間客車行駛速度提高了50%，運(yùn)行時間比原來縮短了38分鐘，現(xiàn)在從A地天B地需要多少小時？【“用逐步抽象法”

14、思考列方程】 第一步，反映全局的相等關(guān)系是：“現(xiàn)在客車的行駛速度現(xiàn)在所需的行駛時間=全路程，”，而“欲求的數(shù)量”是“現(xiàn)在所需的行駛時間”。第二步， （現(xiàn)在客車的行駛速度）（現(xiàn)在需要的行駛時間）=全路程 將各項(xiàng)均由已知數(shù)量和“現(xiàn)在所需行駛時間”來表示 （原來的速度）（1+50%） 190 190 原來的行駛時間 190 現(xiàn)在所需的行駛時間+“相等關(guān)系”均用已知數(shù)量和“欲求的數(shù)量”（現(xiàn)在所需的行駛時間）來表示了出來。第三步，整理合成，設(shè)現(xiàn)在從A地到B地需要小時，得方程解得 （小時）用“逐步抽象法”的思考來列方程，可以歸結(jié)為如下的三大步驟：第一步，根據(jù)問題情景，確定出反映全局的相等關(guān)系和將要作為方程

15、未知數(shù)的“欲求數(shù)量”；第二步，由確定的相等關(guān)系出發(fā)，逐步將其中各項(xiàng)用已知數(shù)量和“欲求數(shù)量”所表示；第三步，整理合成，得到完整的方程。例6 為了防止水災(zāi)后的疫情發(fā)生，決定將甲、乙兩醫(yī)藥倉庫的某藥品的80箱和70箱，送給災(zāi)區(qū)A縣100箱，B縣50箱。從甲、乙兩倉庫運(yùn)往A縣和B縣的運(yùn)費(fèi)情況如下表： （1）若設(shè)甲倉庫運(yùn)往A縣的藥品箱數(shù)為，總運(yùn)費(fèi)為元，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式； （2）這150箱藥品如何調(diào)配運(yùn)送，既能按要求的數(shù)量配發(fā)，又能使總費(fèi)最低？到站費(fèi)用（元/桶）甲庫乙?guī)霢縣74B縣510【用“逐步抽象法”思考】我們用（甲A）表示由甲倉庫運(yùn)往A縣的藥品箱數(shù)（其他情況用類似的方式表示），本題就是以（甲 A

16、） 作為自變量，用它的代數(shù)式把總運(yùn)費(fèi)表示出來，根據(jù)題意有（1）總運(yùn)費(fèi)（甲A）+10（乙A）+5（甲B）+4（乙B） （ ）現(xiàn)設(shè)（甲A）為，則（乙A）=100，（甲B）=80，（乙B）=70（100）代入（ ）式，即得因?yàn)榧讉}庫有藥品80箱，而B縣從中最多要50箱，所以，由甲倉庫運(yùn)往A縣的藥品箱數(shù)必須滿足總費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)為（2）由于中，項(xiàng)的系數(shù)為，可知的值隨的值的增大而減小，所以，當(dāng)在的范圍內(nèi)取最大值80時，取得最小值（元）這時的配送方法是：（甲A）=80，（甲B）=0，（乙A）=10080=20 ，（乙B）=70（10080）=50【說明】在這里，先確定出“總費(fèi)用”（即函數(shù)）的基本表達(dá)式（可結(jié)

17、合文字?jǐn)⑹鰜肀硎?），再逐步將其中的各項(xiàng)都用已知數(shù)量和“甲倉庫運(yùn)往A縣的箱數(shù)”（即）表示出來，這就是“逐步抽象法”在列函數(shù)關(guān)系式的基本運(yùn)用方式。 善于列式是數(shù)學(xué)能力高的重要標(biāo)志之一，我們介紹的“逐步抽象法”只是對列式思考的一種規(guī)范和指引，希望同學(xué)們能創(chuàng)造性的理解和運(yùn)用，以便更有效地提高列式的能力。 練習(xí)題1、請尋找最簡約的解法：（1）若，求值：（2）能將整除的是（ ） A、3 B、5 C、7 D、9（3）先化簡，再求值，其中2用“”定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)，有。例如，74=，那么53= ；當(dāng)為實(shí)數(shù)時，（2）= 。3、我們常用的數(shù)是十進(jìn)制的數(shù)，而計(jì)算機(jī)程序處理中使用的是只有數(shù)碼0和1的二進(jìn)制數(shù)。

18、這兩者可以相互換算，如將二進(jìn)制數(shù)1101換算成十進(jìn)制數(shù)應(yīng)為，按此方式，如將十進(jìn)制數(shù)25換算成二進(jìn)制數(shù)應(yīng)為 。4、任何一個正整數(shù)都可以進(jìn)行這樣的分解：，如果在的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱是的最佳分解，并規(guī)定：。例如18可以分解成這三種，這時就有F（18）=。給出下列關(guān)于的說法：（1） （2） （3）若是一個完全平方數(shù)，則。其中正確廉潔的個數(shù)是（ ）A、 1 B、 2 C、3 D、45、給定下面一列分式：（1）把任意一個分式除以前面一個分式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出給定的那列分式中的第7個分式。6、如下圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個圓（該圓的周

19、長為3個單位長，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字0，1，2）上：先讓原點(diǎn)與圓周上數(shù)字0所對應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上1，2，3，4所對應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上1，2，0，1，所對應(yīng)的點(diǎn)重合，這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對應(yīng)關(guān)系。02102101230123102102102345（1）圓周上的數(shù)字與數(shù)軸上的數(shù)5對應(yīng)，則= ；（2）數(shù)軸上的一個整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過圓周圈（為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字1所對應(yīng)的位置，這個整數(shù)是 （用含的代數(shù)式表示）7、每千克元的糖果千克與每千克元的糖果千克混合，成為雜拌糖，這種雜拌糖的每千克售價應(yīng)為多少元？8、鐵路旁有一與之