2020全國(guó)二理科第15題解法賞析

1、2020全國(guó)卷n數(shù)學(xué)（理科）第 15題解法賞析題目：設(shè)復(fù)數(shù)乙,Z2滿足|zl=ZI=2 , z z,虛i，則|Z Z2 |=解法一：2222設(shè) Z! a bi Z2 c di，則 a b 4 ，c d 4 ij-又*乙Z23 ia c .3 ，b d 1 由®解，得a3或0,當(dāng) a -E 時(shí)，b=-1，當(dāng)a時(shí)，b=2，乙、3 i 時(shí)，Z2 2i， Z1 2i 時(shí)，Z2 3-izi z 2A/3實(shí)際上解法還可以改進(jìn)由（2解，得ac bdZi-z 2 J a- c $ b- da2 b2 c2 d2 ac bd4-.12.3【點(diǎn)評(píng)】該法利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，由已知條件列出方程組，解方程組得

2、解，運(yùn)算量有些大。改進(jìn)后根 據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式整體代入，顯然運(yùn)算量減小。但是不管怎樣，雖然解題思路清晰，但是運(yùn)算量大，運(yùn)算 繁瑣，不整體代人，就很難解答出來(lái)。解法二：* 乙 Z2 2，可設(shè) 乙 2cos 2isin， Z2 2cos 2isin，乙 Z2 2 cos cos 2sin sin i2 cos cos，兩式平方作和得：4 2 2cos cos2 sin sin '2sin sin4,化簡(jiǎn)得：COScos sin sinZi Z2 2 cos cos2 sin sin icos cos 4 sinsin 28 cos cos sin sin【點(diǎn)評(píng)】該法根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)設(shè)出了復(fù)數(shù)的

3、三角形式，把復(fù)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的運(yùn)算，運(yùn)算量小，運(yùn)算簡(jiǎn)單，但是對(duì)于一些學(xué)生來(lái)說(shuō)，三角運(yùn)算還是有些繁瑣。解;去三:則 loz/|設(shè)復(fù)數(shù)乙，乙2對(duì)應(yīng)的向量分別是二 QZozj,oz3=2，貝【J Z： +Z2對(duì)應(yīng)的向量為OZ，則OZ=2，oZ=ozAOjToZ= Oz ' +oziOZT +20Z1 Oz7+Oz2=.4+2OZ： OzA + 44+ 2OZ：oz2+4=2Oz： oz2=2Zi-Z =、4-22O乙 OZ2+OZ22+4【點(diǎn)評(píng)】使用該法通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義，把復(fù)數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成向量的運(yùn)算，顯然運(yùn)算量小，運(yùn)算簡(jiǎn)單， 比較而言，是一種好的解法。解法四：f Zi = Z2 =

4、Zi + Z2 = 2ZZZ+Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在半徑為2的圓上，如圖，由復(fù)數(shù)的幾何意義知，Z1+Z2對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)OZ=.3,1，不妨設(shè)Zi,Z2對(duì)應(yīng)的向量分別為Oz1 = .3, 1 ,0Z = 0,2，則 ZZ2對(duì)應(yīng)的向量為目二*3, 3Zi Z2 = Z2 Zl1 V °【點(diǎn)評(píng)】該法利用復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合題目條件，作出圖形，借助圖形，很 容易就 得到了所求結(jié)果。顯然思路清晰，運(yùn)算更為簡(jiǎn)單，相比較前三種方法技高一籌。主要原 因是使用了數(shù)和形的有機(jī)結(jié)合，變代數(shù)運(yùn)算為圖形運(yùn)算，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算。從中可以看 出數(shù)形結(jié)合思想的巨大優(yōu)勢(shì)。解后反思：此題用了四種方法，考查了復(fù)數(shù)的幾種形式和復(fù)數(shù)的幾何意義，以及相關(guān) 運(yùn)算和數(shù)學(xué)思想，方法靈活多樣，通過(guò)一題多解，對(duì)于鍛煉學(xué)生的解題 思維