中考數(shù)學專題復習 利用三角形的角平分線構造全等三角形課件

1、一、倍長中線一、倍長中線法法 遇到中線遇到中線可以利用可以利用倍長中線，倍長中線，構造構造X全等全等，即把中線延長一倍，來，即把中線延長一倍，來構造全等三角形。構造全等三角形。 如圖，若如圖，若AD為為ABC的中線，的中線， 結論結論：ABCDE12 延長延長AD到到E，使，使DE=AD，連結連結BE（也可連結（也可連結CE）。）。ABD ECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。 可以利用角平分線所在直線可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構造全作對稱軸，翻折三角形來構造全等三角形。等三角形。二、角平分線對稱全等二、角平分線對稱全等 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平分B

2、AC。方法一：方法一：ABCDE必有結論：必有結論：在在AB上截取上截取AE=AC，連結連結DE。ADE ADC。ED=CD，3 3* *2 21 1AED=C，ADE=ADC。方法二：方法二：ABCDF延 長延 長 A C 到到 F ， 使， 使AF=AB，連結，連結DF。必有結論：必有結論：ABD AFD。BD=FD，3 3* *2 21 1 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分線所在直可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來線作對稱軸，翻折三角形來構造全等三角形。構造全等三角形。B=F，ADB=ADF。ABCDMN方法三：方法三：作作DMAB于于 M

3、，DNAC于于N。必有結論：必有結論：AMD AND。DM=DN，3 3* *2 21 1 如圖，在如圖，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分線所在直可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來線作對稱軸，翻折三角形來構造全等三角形。構造全等三角形。AM=AN，ADM=AND。 （還可以用（還可以用“角平分線上的點到角的兩角平分線上的點到角的兩邊距離相等邊距離相等”來證來證DM=DN）證明證明：例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=18

4、0DABCE在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，連結，連結DE。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）ABD EBD（S.A.S）1243 3+ 4180（平角定義），（平角定義），A3（已證）（已證）A+ C180 （等量代換）（等量代換）3 32 21 1* * A3（全等三角形的對應角相等）（全等三角形的對應角相等） AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已證）（已證）DE=DC（等量代換）（等量代換）4=C（等邊對等

5、角）（等邊對等角）AD=DE（全等三角形的對應邊相等）（全等三角形的對應邊相等）證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCF延長延長BA到到F，使，使BF=BC，連結，連結DF。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）BFD BCD（S.A.S）1243 FC（已證）（已證）

6、4=C（等量代換）（等量代換）3 32 21 1* * FC（全等三角形的對應角相等）（全等三角形的對應角相等） AD=CD（已知），（已知），DF=DC（已證）（已證）DF=AD（等量代換）（等量代換）4=F（等邊對等角）（等邊對等角） 3+ 4180 （平角定義）（平角定義）A+ C180 （等量代換）（等量代換）DF=DC（全等三角形的對應邊相等）（全等三角形的對應邊相等）證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCM作作DM

7、BC于于M，DNBA交交BA的延長線于的延長線于N。 BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） DNBA，DMBC（已知）（已知）N=DMB=90（垂直的定義）（垂直的定義）在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已證）（已證） 1=2（已證）（已證） BD=BD（公共邊）（公共邊）NBD MBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的對應角相等）（全等三角形的對應角相等） N433 32 21 1* * ND=MD（全等三角形的對應邊相等）（全等三角形的對應邊相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和R

8、tMCD中中 ND=MD （已證）（已證） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定義），（平角定義）， A3（已證）（已證）A+ C180（等量代換）（等量代換）證明證明: :例例1 1已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分線，角平分線，AD=CDAD=CD，求證：，求證：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延長線于的延長線于N。12N433 32 21 1* * BD是是ABC的角平分線（已知）的角平分線（已知） DNBA，DMBC（已知）（已知）

9、ND=MD（角平分線上的點到這（角平分線上的點到這 個角的兩邊距離相等）個角的兩邊距離相等） 4=C （全等三角形的對應角相等）（全等三角形的對應角相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已證）（已證） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定義）（平角定義） A3（已證）（已證）A+ C180（等量代換）（等量代換）練習練習1 1如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC+CD，求證：，求證：C=2BC=2

10、BABCDE122 21 1證明證明: :在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，連結，連結DE。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）（已知） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）（公共邊）AED ACD（S.A.S）3B=4（等邊對等角）（等邊對等角）4* * C3（全等三角形的對應角相等（全等三角形的對應角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=ED（等量代換）（等量代換） 3= B+4= 2B（三角形的一個外角等于（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個

11、內角和）和它不相鄰的兩個內角和）C=2B（等量代換）（等量代換）ED=CD（全等三角形的對應邊相等）（全等三角形的對應邊相等）練習練習1 1如圖，已知如圖，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分線，的角平分線，AB=AC+CDAB=AC+CD，求證：，求證：C=2BC=2BABCDF12證明證明: :延長延長AC到到F，使，使CF=CD，連結，連結DF。 AD是是BAC的角平分線（已知）的角平分線（已知）1=2（角平分線定義）（角平分線定義） AB=AC+CD，CF=CD（已知）（已知） AB=AC+CF=AF（等量代換）（等量代換） ACB= 2F（三角形（三角形的一個外角

12、等于和它不相的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和）鄰的兩個內角和）ACB=2B（等量代換）（等量代換）32 21 1* *在在ABD和和AFD中中 AB=AF（已證）（已證） 1=2（已證）（已證） AD=AD（公共邊）（公共邊）ABD AFD（S.A.S） FB（全等三角形的對應角相等）（全等三角形的對應角相等） CF=CD（已知）（已知）B=3（等邊對等角）（等邊對等角）練習練習2 2如圖，已知直線如圖，已知直線MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是過是過E E的任意線段，交的任意線段，交MNMN于點于點D D，交，交PQPQ于點于點

13、C C。求證：。求證：AD+AB=BCAD+AB=BC。證明證明: :延長延長AEAE，交直線，交直線PQPQ于點于點F F。* *3 30 0* * *22222121ABCDEMNPQ1234F5練習練習2 2如圖，已知直線如圖，已知直線MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是過是過E E的任意線段，交的任意線段，交MNMN于點于點D D，交，交PQPQ于點于點C C。求證：。求證：AD+AB=BCAD+AB=BC。證明證明: :延長延長BABA到點到點G G，使得，使得AG=ADAG=AD，連結，連結EGEG。* *3 30 0* *

14、 *22222121ABCDEMNPQ1234G練習練習2 2如圖，已知直線如圖，已知直線MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是過是過E E的任意線段，交的任意線段，交MNMN于點于點D D，交，交PQPQ于點于點C C。求證：。求證：AD+AB=BCAD+AB=BC。證明證明: :延長延長BABA到點到點G G，使得，使得AG=ADAG=AD，連結，連結EGEG。* *3 30 0* * *22222121ABCDEMNPQ1234G練習練習3 3 已知：如圖在已知：如圖在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90，AEBCA

15、EBC， BDBD是是ABCABC的角平分線，的角平分線， GFBC GFBC ，求證：，求證：AD=FCAD=FC。ABCDEH12證明證明: :過過D D作作DHBCDHBC，垂足為，垂足為H H。GF* *3 30 0* * *如何利用三角形的角平分線來構造全等三角形？如何利用三角形的角平分線來構造全等三角形？小結：小結：（ 3 ） 作） 作 D M A B 于于 M ，DNAC于于N。（1）在）在AB上截取上截取AE=AC，連結連結DE。（2）延長）延長AC到到F，使，使AF=AB，連結連結DF。ABCDEFMN必有結論：必有結論：ADE ADC。必有結論：必有結論：ABD AFD。必有結論：必有結論：AMD AND。 可以利用角平分線所在直線作對稱軸，可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構造全等三角形。翻折三角形來構造全等三角形