第一章數(shù)值計算方法

1、曹黨生數(shù)值計算方法-與計算機(jī)相結(jié)合的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目的學(xué)習(xí)目的 現(xiàn)代計算機(jī)的出現(xiàn)，研究適用于計算機(jī)的數(shù)值現(xiàn)代計算機(jī)的出現(xiàn)，研究適用于計算機(jī)的數(shù)值計算方法。計算方法。 數(shù)值計算方法揭示了包含在多種多樣的數(shù)值方數(shù)值計算方法揭示了包含在多種多樣的數(shù)值方法之間的結(jié)構(gòu)和原理。法之間的結(jié)構(gòu)和原理。 數(shù)值計算方法成為進(jìn)行科學(xué)計算必不可缺少的數(shù)值計算方法成為進(jìn)行科學(xué)計算必不可缺少的起碼常識。起碼常識。 如行列式解法的如行列式解法的Cramer法則可用來求解線性方法則可用來求解線性方程組程組,用這種方法解一個用這種方法解一個n元方程組元方程組,要算要算n+1個個階行列式的值階行列式的值,總共需要總共需要n!(n-1)

2、(n+1)次乘法；次乘法； 當(dāng)當(dāng)n=20時時,其乘除法運(yùn)算次數(shù)約其乘除法運(yùn)算次數(shù)約1021次方次方,即使用即使用每秒千億次的計算機(jī)也得需要上百年每秒千億次的計算機(jī)也得需要上百年,而用高而用高斯（斯（Guass）消去法約需消去法約需2660次乘除法運(yùn)算次乘除法運(yùn)算,并并且愈大且愈大,相差就愈大。相差就愈大。研究和選擇好的算法是非常重要的研究和選擇好的算法是非常重要的p本課程的基本要求本課程的基本要求n 掌握數(shù)值方法的基本原理掌握數(shù)值方法的基本原理n 掌握常用的科學(xué)與工程計算的基本方法掌握常用的科學(xué)與工程計算的基本方法n 能用所學(xué)方法在計算機(jī)上算出正確結(jié)果能用所學(xué)方法在計算機(jī)上算出正確結(jié)果 本章內(nèi)

3、容本章內(nèi)容1 引言引言2 誤差的來源及分類誤差的來源及分類 3 誤差的度量誤差的度量 4 誤差的傳播誤差的傳播 5 減少運(yùn)算誤差的原則減少運(yùn)算誤差的原則 第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差要求掌握的內(nèi)容要求掌握的內(nèi)容第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差p概念概念 包括有效數(shù)字、絕對誤差包括有效數(shù)字、絕對誤差、絕對誤差絕對誤差限限、相對誤差、相對誤差相對誤差、相對誤差限等限等p誤差誤差截斷誤差、舍入誤差的詳細(xì)內(nèi)容，誤差種截斷誤差

4、、舍入誤差的詳細(xì)內(nèi)容，誤差種類等類等p分析運(yùn)算誤差的方法和減少運(yùn)算誤差的若分析運(yùn)算誤差的方法和減少運(yùn)算誤差的若干原則干原則1.1 引言引言 數(shù)值分析又稱計算方法數(shù)值分析又稱計算方法, 它是研究各種數(shù)它是研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法及其理論的一門學(xué)科。學(xué)問題的數(shù)值解法及其理論的一門學(xué)科。p數(shù)值分析的任務(wù)實(shí)際問題實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法程序設(shè)計程序設(shè)計上機(jī)計算上機(jī)計算數(shù)值結(jié)果數(shù)值結(jié)果任務(wù)根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計算方法直到編出程序上機(jī)算出結(jié)果1. 1. 對于要解決的問題建立數(shù)學(xué)模型對于要解決的問題建立數(shù)學(xué)模型2. 2. 研究用于求解該數(shù)學(xué)問題近似解的算法研究用于求解該數(shù)學(xué)問

5、題近似解的算法和過程和過程3. 3. 按照按照2 2進(jìn)行計算，得到計算結(jié)果進(jìn)行計算，得到計算結(jié)果建立數(shù)建立數(shù)學(xué)模型學(xué)模型轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為數(shù)值公式數(shù)值公式進(jìn)行計算進(jìn)行計算數(shù)值方法解題的一般過程數(shù)值方法解題的一般過程 數(shù)值計算以及計算機(jī)模擬，已經(jīng)是數(shù)值計算以及計算機(jī)模擬，已經(jīng)是在工程技術(shù)研究和經(jīng)濟(jì)、社會科學(xué)中廣泛應(yīng)在工程技術(shù)研究和經(jīng)濟(jì)、社會科學(xué)中廣泛應(yīng)用的方法。用的方法。天氣預(yù)報與億次計算機(jī)天氣預(yù)報與億次計算機(jī)波音波音777777的無紙設(shè)計的無紙設(shè)計、核磁共振核磁共振計算流體力學(xué)與爆炸工程計算流體力學(xué)與爆炸工程能源問題與大型計算能源問題與大型計算第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與

6、誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差計算作為計算作為工程技術(shù)工程技術(shù)研究方法研究方法p計算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模計算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，型近似解的算法，p算法的數(shù)學(xué)原理、算法的數(shù)學(xué)原理、p誤差和復(fù)雜性，誤差和復(fù)雜性，p配合程序設(shè)計進(jìn)行計算試驗(yàn)配合程序設(shè)計進(jìn)行計算試驗(yàn)p并分析試驗(yàn)結(jié)果。并分析試驗(yàn)結(jié)果。第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值計算方法所與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值計算方法所求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者準(zhǔn)

7、確的解求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些近似值或近似析表達(dá)式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。曲線。 例如方程例如方程 x x2 2=2sinx=2sinx，在區(qū)間在區(qū)間(1,2)(1,2)內(nèi)有唯一內(nèi)有唯一根根, , 但找不出求根的解析式但找不出求根的解析式, , 只能用數(shù)值計算只能用數(shù)值計算方法求其近似解。方法求其近似解。第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差1.2 1.2 誤差的來源及分類誤差的來源及分類 在做熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，從溫度計在做熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，從溫度計上讀出的溫度是

8、上讀出的溫度是23.423.4度，就不是一度，就不是一個精確的值，而是含有誤差的近似個精確的值，而是含有誤差的近似值。如量體裁衣，量與裁的結(jié)果都值。如量體裁衣，量與裁的結(jié)果都不是精確無誤的，都含有誤差。不是精確無誤的，都含有誤差。p在用數(shù)值方法解題過程中可能產(chǎn)生的誤差在用數(shù)值方法解題過程中可能產(chǎn)生的誤差歸納起來有如下幾類：歸納起來有如下幾類：n1. 1. 模型誤差模型誤差n2. 2. 觀測誤差觀測誤差n3. 3. 截斷誤差截斷誤差n4. 4. 舍入誤差舍入誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差p用數(shù)學(xué)方法解決

9、一個具體的實(shí)際問題，首用數(shù)學(xué)方法解決一個具體的實(shí)際問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要對實(shí)際問題進(jìn)先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要對實(shí)際問題進(jìn)行行抽象抽象、簡化簡化，因而數(shù)學(xué)模型本身總含有，因而數(shù)學(xué)模型本身總含有誤差，這種誤差叫做模型誤差誤差，這種誤差叫做模型誤差p數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)而建立起來的有關(guān)量的描述而建立起來的有關(guān)量的描述p數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與實(shí)際問題的真解不同數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與實(shí)際問題的真解不同1. 模型誤差模型誤差區(qū)別區(qū)別實(shí)際問題的真實(shí)際問題的真解解數(shù)學(xué)模型的真數(shù)學(xué)模型的真解解為減化模型忽略次要因素為減化模型忽略次要因素定理在特定條件下建立與

10、實(shí)際條定理在特定條件下建立與實(shí)際條件有別件有別p在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種參變量，如溫度、在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種參變量，如溫度、長度、電壓等，這些參數(shù)是通過觀測得到的，長度、電壓等，這些參數(shù)是通過觀測得到的，因此帶來了誤差，這種誤差叫觀測誤差因此帶來了誤差，這種誤差叫觀測誤差p模型中的參數(shù)和數(shù)據(jù)，是由觀測和試驗(yàn)得到；模型中的參數(shù)和數(shù)據(jù)，是由觀測和試驗(yàn)得到；p由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制限制,使數(shù)據(jù)含有誤差使數(shù)據(jù)含有誤差,這類誤差叫做這類誤差叫做觀測誤差；觀測誤差；p根據(jù)實(shí)際情況可以得到誤差上下界；根據(jù)實(shí)際情況可以得到誤差上下界；p需了解觀

11、測誤差需了解觀測誤差,以便選擇合理的數(shù)值方法以便選擇合理的數(shù)值方法2. 觀測誤差觀測誤差p 精確公式用近似公式代替時精確公式用近似公式代替時,所產(chǎn)生的誤差叫所產(chǎn)生的誤差叫截斷截斷誤差誤差 例如例如, 函數(shù)函數(shù)f(x)用泰勒用泰勒(Taylor)多項式多項式3. 截斷誤差截斷誤差nnnxnfxfxffxp!)0(! 2)0(! 1)0()0()()(2 1) 1()!1()()()()(nnnnxnfxpxfxR（介于0與x之間）近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差是近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差是p 截斷誤差的大小直接影響計算結(jié)果的精度和計算截斷誤差的大小直接影響計算結(jié)果的精度和計算 工作量，是數(shù)值

12、計算中必須考慮的一類誤差工作量，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差p 在數(shù)值計算中只能對有限位字長的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算在數(shù)值計算中只能對有限位字長的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算p 需要對參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果作有限位字長需要對參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果作有限位字長的處理工作，這種處理工作稱作舍入處理的處理工作，這種處理工作稱作舍入處理p 用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做舍入誤舍入誤差差，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差4. 舍入誤差舍入誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方法與誤差第一章計算方

13、法與誤差 例例如在計算時用如在計算時用3.141593.14159近似代替近似代替 ，產(chǎn)生的誤差產(chǎn)生的誤差R= R= -3.14159=0.0000026-3.14159=0.0000026就是舍入誤差。就是舍入誤差。 上述種種誤差都會影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確上述種種誤差都會影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計算性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計算中將著重研究截斷誤差、舍入誤差，并對它中將著重研究截斷誤差、舍入誤差，并對它們的傳播與積累作出分析們的傳播與積累作出分析誤差的度量誤差的度量 絕對誤差和絕對誤差限絕對誤差和絕對誤差限 定義定義1.1 1.1 設(shè)精確值設(shè)精確值x x的近似

14、值的近似值 x x* * ，稱差稱差 e(xe(x* *) ) = =x-xx-x* * 近似值近似值x x* *的的絕對誤差絕對誤差，簡稱，簡稱誤差誤差。 e(xe(x* *) )又記為又記為e e* * 當(dāng)當(dāng)e e* *00時，時，x x* *稱為弱近似值，當(dāng)稱為弱近似值，當(dāng)e e* *00時，時，x x* *稱稱為強(qiáng)近似值為強(qiáng)近似值| |e e* *| |越小，越小， x x* *的精度越高的精度越高誤差限由于精確值一般是未知的,因而e* 不能求出來, 但可以根據(jù)測量誤差或計算情況設(shè)法估計出它的取值范圍，即誤差絕對值的一個上界或稱誤差限。二、誤差的度量二、誤差的度量 定義定義1.2 設(shè)存

15、在一個正數(shù)，使設(shè)存在一個正數(shù)，使則稱為近似值的絕對誤差限，簡稱誤差限或精度。則稱為近似值的絕對誤差限，簡稱誤差限或精度。 實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用這個量來衡量誤差限實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用這個量來衡量誤差限, 這這就是說就是說, 如果近似數(shù)如果近似數(shù) 的誤差限為的誤差限為 , 則則表明準(zhǔn)確值表明準(zhǔn)確值 x 必落在必落在 上上, 常采用下面的寫常采用下面的寫法法*xxe*x*xxx*,xx* xx來表示近似值的精度或準(zhǔn)確值來表示近似值的精度或準(zhǔn)確值x所在的范圍。所在的范圍。（電壓、電流表示）（電壓、電流表示）四舍五入的誤差限是多少？四舍五入的誤差限是多少？a-a-a+a+a aA例例1 1 設(shè)x =3.14

16、15926 近似值x* =3.14,它的絕 對誤差是 0.001 592 6，有 x-x*=0.0015926 0.002=0.210-2例例2 又近似值x* =3.1416，它的絕對誤差是 0.0000074，有 x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5例例3 3 而近似值x* =3.1415，它的絕對誤差是 0.0000926，有 x-x*=0.0000926 0.0001=0.110-3可見，可見，絕對誤差限絕對誤差限 * *不是唯一的，但不是唯一的，但 * *越小越好越小越好相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限 只用絕對誤差還不能說明數(shù)的近似程度只用絕對誤差還

17、不能說明數(shù)的近似程度, ,例如甲打字每例如甲打字每100100個錯一個個錯一個, ,乙打字每乙打字每10001000個個錯一個錯一個, ,他們的誤差都是錯一個他們的誤差都是錯一個, ,但顯然乙要但顯然乙要準(zhǔn)確些準(zhǔn)確些, ,這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差外這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差外, ,還必須顧及量的本身。還必須顧及量的本身。定義定義1.3 1.3 絕對誤差與精確值絕對誤差與精確值x的比值的比值 xxxxexer*)(稱為相對誤差。稱為相對誤差。 簡記為簡記為*re)(*xer相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限 相對誤差越小相對誤差越小, ,精度就越高精度就越高, ,實(shí)際計算時實(shí)際計算時

18、, ,x通常是不知道的通常是不知道的, ,因此可用下列公式計算相因此可用下列公式計算相對誤差對誤差*xxxxeer定義定義1.4 1.4 設(shè)存在一個正數(shù)設(shè)存在一個正數(shù) ，使，使 )(*xr)(*xxxxxxeerr則稱則稱 為近似值為近似值 的相對誤差限。的相對誤差限。 簡記為簡記為 )(*xr*x)(*xr*r相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限例例4.4. 甲打字每甲打字每100100個錯一個，乙打字每個錯一個，乙打字每10001000個個 錯一個，求其相對誤差錯一個，求其相對誤差解：解： 根椐定義根椐定義: :甲打字時的相對誤差甲打字時的相對誤差 乙打字時的相對誤差乙打字時的相對誤差

19、 00*11001re00*1.010001re有效數(shù)字有效數(shù)字定義定義1.5 1.5 設(shè)設(shè)x的近似值的近似值 *120 .1 0mnxx xx 其中其中 是是0 0到到9 9之間的任一個數(shù)之間的任一個數(shù), ,但但n是正整數(shù)是正整數(shù), , m是整數(shù)是整數(shù), ,若若 ixnix, 3 , 2 , 1, 01nmxx1021*則稱則稱 為為x的具有的具有n位有效數(shù)字的近似值，位有效數(shù)字的近似值， 準(zhǔn)確到準(zhǔn)確到第第n位，位， 是是 的有效數(shù)字。的有效數(shù)字。 *x*xnxxx21.*x有效數(shù)字有效數(shù)字例例5. 3.1425. 3.142作為作為的近似值時有幾位有效數(shù)字的近似值時有幾位有效數(shù)字解：解：

20、3.141592 3.141592= 0.3141592= 0.3141592 3.142 = 0.3142 3.142 = 0.3142 m = 1 = 1 | |-3.142 |=|0.3141592-3.142 |=|0.3141592 -0.3142 -0.3142 | | 0.000041 0.000041 0.0005= 0.0005= m n =1=1n =-3 =-3 所以所以 n =4=4，具有具有4 4位有效數(shù)字位有效數(shù)字11011011011011021310例例6. 6. 當(dāng)取當(dāng)取3.1413.141作為作為 的近似值時的近似值時 - -3.1413.141= = 0.

21、31415920.3141592 10101 1 - -0.31410.3141 10101 1 0.0000592 0.0000592 10101 1 0.0005=1/2 0.0005=1/2 10 10-2-2 m- -n=1-=1-n=-2 =-2 所以所以n=3=3具具有有3 3位位有效數(shù)字有效數(shù)字推論推論 如果如果近似數(shù)近似數(shù)x* *誤差限是某一位的半個單位誤差限是某一位的半個單位, , 由該位到由該位到x* *的第一位非零數(shù)字一共有的第一位非零數(shù)字一共有n位位 x* *就有就有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字, ,也就是說準(zhǔn)確到該位也就是說準(zhǔn)確到該位再如再如3.14163.1416作為作為

22、 的近似值時的近似值時 - -3.1416 3.1416 = = 0.3141592 0.3141592 10101 1- -0.314160.31416 10101 1 0.00000074 0.00000074 10101 1 0.00000740.00005 0.00000740.00005 0.5 0.5 10 10-4-4 m- -n=1-=1-n=-4 =-4 所以所以 n=5=5x* *= = 3.14163.1416有有5 5位有效數(shù)字位有效數(shù)字關(guān)于有效數(shù)字說明關(guān)于有效數(shù)字說明 用用四舍五入取準(zhǔn)確值的前四舍五入取準(zhǔn)確值的前n n位位x x* *作為近似值作為近似值, ,則則 x

23、* *必有必有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字。如。如3.1423.142作為作為 的近似值的近似值 有有4 4位有效數(shù)字，而位有效數(shù)字，而3.1413.141為為3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 有效數(shù)字相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差不一定有效數(shù)字相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差不一定 相同。例如，設(shè)相同。例如，設(shè)x1 1* *=12345,=12345,設(shè)設(shè)x2 2* *=12.345,=12.345,兩者兩者 均有均有5 5位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣 x- - x1 1* * = =x- 12345- 12345 0.5= 0.5= 1/2 1/2 10 100 0 x- - x2 2*

24、 * = =x- 12.345- 12.3450.0005=0.0005=1/21/2 1010-3-3 把任何數(shù)乘以把任何數(shù)乘以1010p( (p=0,=0, 1,1,) )不影響有效位數(shù)不影響有效位數(shù) 準(zhǔn)確值具有無窮多位有效數(shù)字準(zhǔn)確值具有無窮多位有效數(shù)字, ,如三角形面積如三角形面積 S=1/2 S=1/2ah=0.5=0.5ah 因?yàn)橐驗(yàn)?.50.5是真值是真值, ,沒有誤差沒有誤差 * *=0,=0,因此因此n n, ,準(zhǔn)確值具有無窮位有效數(shù)字準(zhǔn)確值具有無窮位有效數(shù)字 注意注意: : 已知有效數(shù)字已知有效數(shù)字, ,求相對誤差用公式求相對誤差用公式 已知相對誤差已知相對誤差, ,求具有幾

25、位有效數(shù)字公式求具有幾位有效數(shù)字公式)1(1*10)1(21nrxe)1(1*1021nrxe有效數(shù)字越多，相對誤差就越小有效數(shù)字越多，相對誤差就越小 1.4.1 函數(shù)運(yùn)算誤差函數(shù)運(yùn)算誤差 函數(shù)運(yùn)算誤差可用泰勒展開式來分析函數(shù)運(yùn)算誤差可用泰勒展開式來分析 設(shè)一元函數(shù)設(shè)一元函數(shù)f(x)，自變量自變量x的近似值的近似值x*，f(x)的近似值的近似值f(x*)，其誤差限記為其誤差限記為 f(x*) ，對，對f(x) 在近似值在近似值x* 附近泰勒展開附近泰勒展開1.4 1.4 誤差的傳播2*2*)(! 2)()()()()(! 2)()()()(fxfxfxfxxfxxxfxfxf 介于介于x,xx

26、,x* *之間之間多元函數(shù)亦類似，用泰勒展開即可推導(dǎo)出來多元函數(shù)亦類似，用泰勒展開即可推導(dǎo)出來*)()()()()(xfxfxfxfxfr一元函數(shù)誤差限的傳播：一元函數(shù)誤差限的傳播：三、誤差傳播規(guī)律三、誤差傳播規(guī)律例例11 11 已測得某場地長已測得某場地長L L的值的值L L* *=110m,=110m,寬寬d d的值的值 d d* *=80m,=80m,已知已知 L-LL-L* * 0.2m, 0.2m, d-dd-d* * 0.1m0.1m 求場地面積求場地面積S=Ld S=Ld 的的絕對誤差限和相對誤差限絕對誤差限和相對誤差限解：解：mldsmdlsddsllssldsdlslds11

27、0,80)()()(,*%31. 0880027)()()(*dlssssr其中其中 (d*)=0.1m , (L*)=0.2m絕對誤差限絕對誤差限 (s*)(800.2+110 0.1)m2=27m2相對誤差限相對誤差限算術(shù)運(yùn)算誤差算術(shù)運(yùn)算誤差 計算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算主要是加、減、乘、除四計算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算主要是加、減、乘、除四則運(yùn)算，帶有誤差的數(shù)在多次運(yùn)算過程中會進(jìn)則運(yùn)算，帶有誤差的數(shù)在多次運(yùn)算過程中會進(jìn)行傳播。使計算結(jié)果產(chǎn)生誤差。行傳播。使計算結(jié)果產(chǎn)生誤差。 誤差的變化可以用微分簡單描述。注意到準(zhǔn)誤差的變化可以用微分簡單描述。注意到準(zhǔn)確值確值x x與其近似值通常很接近，其差可認(rèn)為是較與其近似值通

28、常很接近，其差可認(rèn)為是較小的增量，即可以把差看作微分，由此可得誤小的增量，即可以把差看作微分，由此可得誤差的微分近似關(guān)系式。差的微分近似關(guān)系式。xdxdxxxxxexedxxxxerln)()(* 即即x x的微分表示的微分表示x x的絕對誤差，的微分表示的絕對誤差，的微分表示x x的相對誤差，利用這兩個關(guān)系式及微分運(yùn)算的相對誤差，利用這兩個關(guān)系式及微分運(yùn)算可以得到一系列有關(guān)四則運(yùn)算的誤差結(jié)果?？梢缘玫揭幌盗杏嘘P(guān)四則運(yùn)算的誤差結(jié)果。 算術(shù)運(yùn)算誤差算術(shù)運(yùn)算誤差 由由d( xd( xy)=y)=dxdxdydy 可得兩數(shù)之和可得兩數(shù)之和( (差）的差）的誤差等于兩數(shù)的誤差之和（差）；誤差等于兩數(shù)的

29、誤差之和（差）； 由由 可得兩數(shù)之積可得兩數(shù)之積的相對誤差等于兩數(shù)的相對誤差之和；的相對誤差等于兩數(shù)的相對誤差之和； 由由 可得兩數(shù)商的相可得兩數(shù)商的相對誤差可看作是被除數(shù)與除數(shù)的相對誤差之差對誤差可看作是被除數(shù)與除數(shù)的相對誤差之差。 ydxdyxdlnln)ln(ydxdyxdlnlnln例例12 12 正方形的邊長約為正方形的邊長約為100100cm,cm,怎樣測量才能使其怎樣測量才能使其 面積誤差不超過面積誤差不超過1 1cmcm2 2 ? ?解：解： 設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為x cm, cm,測量值為測量值為x* *cm,cm,面積面積 y= =f( (x)=)=x2 2 由于由于

30、 f ( (x)=2)=2x 記自變量和函數(shù)的絕對誤差分別是記自變量和函數(shù)的絕對誤差分別是e* *、e( (y* *),),則則 e* *= =x- -x* * e( (y* *)=)=y- -y* * f ( (x* *)()(x- -x* *)=2x)=2x* *e* *=200=200e* * 現(xiàn)要求現(xiàn)要求 e(e(y* *) ) 200e 200e* * 1 , 1 ,于是于是 e e* * （1/2001/200）cm=0.005cmcm=0.005cm 要使要使正方形面積誤差不超過正方形面積誤差不超過1 1cmcm2 2，測量邊長時測量邊長時絕對誤差應(yīng)不超過絕對誤差應(yīng)不超過0.00

31、50.005cmcm。四、減少運(yùn)算誤差原則四、減少運(yùn)算誤差原則 誤差是用來衡量數(shù)值方法好與壞的重要標(biāo)志誤差是用來衡量數(shù)值方法好與壞的重要標(biāo)志 為此對每一個算法都要進(jìn)行誤差分析為此對每一個算法都要進(jìn)行誤差分析(1)(1)兩個相近的數(shù)相減，會嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字兩個相近的數(shù)相減，會嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字 例如例如x =1958.75x =1958.75，y =1958.32y =1958.32都具有五位都具有五位 有效數(shù)字，但有效數(shù)字，但x-y=0.43x-y=0.43只有兩位有效數(shù)字只有兩位有效數(shù)字 通常采用的方法是改變計算公式通常采用的方法是改變計算公式, ,例如當(dāng)與例如當(dāng)與 很接近時很接近時, ,由于

32、由于2121lglglgxxxx用右端代替左端公式計算用右端代替左端公式計算, ,有效數(shù)字就不會損失有效數(shù)字就不會損失 四、減少運(yùn)算誤差原則四、減少運(yùn)算誤差原則當(dāng)當(dāng)x很大時可作相應(yīng)的變換很大時可作相應(yīng)的變換 xxxx111) 1(11) 1(xxarctgarctgxxarctg則用右端來代替左端。則用右端來代替左端。 減少運(yùn)算誤差若干原則減少運(yùn)算誤差若干原則當(dāng)當(dāng)x接近接近0 0時時 xxxxsin1sinsincos1一般情況，當(dāng)一般情況，當(dāng)f(x)f(xf(x)f(x* *) )時，可用泰勒展開時，可用泰勒展開 2*)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf取右端的有限項近似左端。

33、取右端的有限項近似左端。 如果計算公式不能改變，則可采用增加有效位如果計算公式不能改變，則可采用增加有效位數(shù)的方法保證精度數(shù)的方法保證精度 （2 2）防止大數(shù)）防止大數(shù)“吃掉吃掉”小數(shù)小數(shù)例例 求二次方程求二次方程x x2 2-10-105 5x+1=0 x+1=0的根的根 解：按二次方程求根公式解：按二次方程求根公式 x x1 1=(10=(105 5+(10+(101010-4)-4)1/21/2)/2)/2 x x2 2=(10=(105 5-(10-(101010-4)-4)1/21/2)/2)/2 在在8 8位浮點(diǎn)數(shù)計算得位浮點(diǎn)數(shù)計算得 x x1 1=(10=(105 5+10+10

34、5 5 )/2=10)/2=105 5 ( (正確）正確）, , x x2 2=(10=(105 5-10-105 5 )/2=0 ()/2=0 (錯誤）錯誤）p 產(chǎn)生錯誤的原因產(chǎn)生錯誤的原因 出現(xiàn)大數(shù)出現(xiàn)大數(shù)10101010吃掉小數(shù)吃掉小數(shù)4 4的情況的情況 分子部分出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減而喪失有分子部分出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減而喪失有 效數(shù)位常稱為災(zāi)難性的抵消效數(shù)位常稱為災(zāi)難性的抵消（3）絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù)）絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù)當(dāng)分母為兩個相近數(shù)相減時當(dāng)分母為兩個相近數(shù)相減時, ,會喪失有效數(shù)字會喪失有效數(shù)字)(100001. 0)(1455. 01456. 0)(4分子分子分子這里分子的

35、誤差被擴(kuò)大這里分子的誤差被擴(kuò)大104104倍倍, ,再如再如若將分母變?yōu)槿魧⒎帜缸優(yōu)?.0011,0.0011,即分母只有即分母只有0.00010.0001的變化的變化時時, ,計算結(jié)果卻有了很大變化計算結(jié)果卻有了很大變化 減少運(yùn)算誤差若干原則減少運(yùn)算誤差若干原則5 .3141001. 01415. 39 .28550011.01415.3例例1.8 1.8 計算計算0135. 00125. 00003. 00012. 00143. 00005. 0D 解解: 分子分母分別計算后相除分子分母分別計算后相除(取取9位小數(shù)位小數(shù))A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*

36、0.0012 =0.000000009(有舍入有舍入)B=0.0003*0.0125*0.0135=0.00000375*0.0135 =0.000000051(有舍入有舍入)D=A/B=0.17647真值為真值為0.16948148，所以所以D只準(zhǔn)確到小數(shù)后一位只準(zhǔn)確到小數(shù)后一位減少運(yùn)算誤差若干原則減少運(yùn)算誤差若干原則例：例： 計算計算 算法算法2。分成三組因子。每組只取六位小數(shù)計算。分成三組因子。每組只取六位小數(shù)計算 a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入有舍入) b=0.0143/0.0125=1.144000 c=0.0012/0.0135=0.088889 (有舍入

37、有舍入) D=a*b*c=1. 666667* 1.144000* 0.088889 =0.169482,準(zhǔn)確到小數(shù)后準(zhǔn)確到小數(shù)后5位。位。0135.00125.00003.00012.00143.00005.0Db bc ca a減少運(yùn)算誤差若干原則減少運(yùn)算誤差若干原則（4 4）簡化計算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)）簡化計算步驟，減少運(yùn)算次數(shù) x255255= =xx2 2x4 4x8 8x1616x3232x6464x128128 原先要做原先要做254254次乘法現(xiàn)只需次乘法現(xiàn)只需1414次即可次即可 又如計算多項式又如計算多項式 p( (x)=)=an nxn n an-1n-1xn-1 n-1

38、 a1 1x a0 0 的值的值 若直接計算若直接計算ak kxk k, ,再逐項相加，一共要做再逐項相加，一共要做 n+(+(n-1)+-1)+2+1=+2+1=n( (n+1)/2+1)/2次乘法和次乘法和n次加法次加法 減少運(yùn)算誤差若干原則減少運(yùn)算誤差若干原則如果將前如果將前n n項提出項提出x x，則有則有 p( (x)=)=（an nxn-1n-1 an-1n-1xn-2 n-2 a1 1 ）x a0 0 =(=(an nxn-2n-2 an-1n-1xn-3n-3 a2 2) )x a1 1）x a0 0 =(=( (an nx an-1n-1) )x a2 2) )x a1 1)

39、 )x a0 0寫成遞推公式寫成遞推公式 減少運(yùn)算誤差若干原則減少運(yùn)算誤差若干原則nknkkabnkaxbb01),2,1(于是于是 , ,這種多項式求值的算法稱為秦九這種多項式求值的算法稱為秦九韶算法韶算法, ,只做只做n次乘法和次乘法和n次加法次加法, ,程序?qū)崿F(xiàn)簡單程序?qū)崿F(xiàn)簡單 nbxP)(控制遞推公式中誤差的傳播控制遞推公式中誤差的傳播 對于一個數(shù)學(xué)問題的求解往往有多種數(shù)值方法對于一個數(shù)學(xué)問題的求解往往有多種數(shù)值方法在選擇數(shù)值方法時，要注意所用的數(shù)值方法不應(yīng)將在選擇數(shù)值方法時，要注意所用的數(shù)值方法不應(yīng)將計算過程中難以避免的誤差放大的較快，造成計算計算過程中難以避免的誤差放大的較快，造成計算結(jié)果完全失真。結(jié)果完全失真。例例13 1