2020年各地中考解析版分類匯編(第1期)直角三角形與勾股定理

1、直角三角形與勾股定理一、選擇題1. （2020 四川達(dá)州 3分）如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，從在格點(diǎn)上的點(diǎn)A, B, C, D中任取三點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為（）【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.【分析】從點(diǎn)A, B, C, D中任取三點(diǎn)，找出所有的可能，以及能構(gòu)成直角三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率.【解答】解：二.從點(diǎn)A, B,C, D中任取三點(diǎn)能組成三角形的一共有4種可能，其中UBD,ADC , 小BC是直角三角形，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為§.4故選D.2. （2020 廣東廣州）如圖 2,已知三角形 ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC

2、的垂直平分線， DE交 AB 于 D,連接 CQ CD=（）A、3 B 、4 C 、4.8D、5難易中等考點(diǎn)勾股定理及逆定理，中位線定理，中垂線的性質(zhì)解析因?yàn)锳B=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC為直角三角形，因?yàn)镈E為AC邊的中垂線，所以 DE與AC垂直，AE=CE=4所以DE為三角形ABC的中位線,一,1 、, ,一 、,所以DE=BC=3,再根據(jù)勾股定理求出 CD=5 2參考答案D3. （2020年浙江省臺(tái)州市） 如圖，數(shù)軸上點(diǎn) A, B分別對(duì)應(yīng)1, 2,過(guò)點(diǎn)B作PQLAB,以 點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交 PQ于點(diǎn)C,以原點(diǎn)。為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交

3、 數(shù)軸于點(diǎn)M ,則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）【分析】 直接利用勾股定理得出 OC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案.【解答】解：如圖所示：連接 OC,由題意可得：OB=2, BC=1 ,則AC=2=姓,故點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是：訴.故選：B.4. （2020 山東煙臺(tái)）如圖，RtAABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合， B點(diǎn)與0刻 度線的一端重合，/ ABC=40 °,射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，與量角器外沿交于點(diǎn) D,若射線CD將 ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點(diǎn) D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)是（）A. 40° B, 70° C, 70°或 80° D. 80°或 1

4、40°【考點(diǎn)】角的計(jì)算.【分析】如圖，點(diǎn)。是AB中點(diǎn)，連接DO，易知點(diǎn)D在量角器上應(yīng)的度數(shù) =/ DOB=2 / BCD , 只要求出/BCD的度數(shù)即可解決問(wèn)題.【解答】 解：如圖，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連接DO.點(diǎn)D在量角器上應(yīng)的度數(shù) =/ DOB=2 / BCD ,當(dāng)射線CD將 ABC分割出以BC為邊的等腰三角形時(shí)，Z BCD=40 或 70 °,，點(diǎn)D在量角器上應(yīng)的度數(shù) =/DOB=2 /BCD=80 °或140°,故選D.8C5. （2020.山東省威海市，3分）如圖，在矩形 ABCD中，AB=4 , BC=6 ,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將AABE沿AE折疊

5、，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF,則CF的長(zhǎng)為（）3CA.B.125C.D.185矩形的性質(zhì);翻折變換（折疊問(wèn)題）連接BF,根據(jù)三角形的面積公式求出BH,得到BF,根據(jù)直角三角形的判定得到/BFC=90°,根據(jù)勾股定理求出答案. 【解答】解：連接BF,. BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，.BE=3 ,又 AB=4 ,.AEy小中產(chǎn)5,.BH=則BF=125，24. FE=BE=EC , / BFC=90 °,.CF=J6C24故選：D.2 18二56. （ 2020 江蘇連云港）如圖1,分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為Si、S2、S3；如圖2,分別以直角三

6、角形三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，三邊長(zhǎng)為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為S4、S5、S6.其中Si=16 ,S2=45,S5=11,S6=14 ,則S3+S4=()A. 86C. 54D. 48【分析】分別用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3,然后根據(jù)AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的關(guān)系.同理,得出 S4、S5、S6的關(guān)系.Si【解答】解：如圖1,2, S2BC2,S3多B2. AB 2=AC 2+BC2,S1+S2=AC2+BC2=AB 2=S3,如圖 2, S4=S5+S6,.S3+S4=16+45+11+14=86 .故選A .3S-mi【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、圖二等

7、邊三角形的性質(zhì).勾股定理：如果直角三角形的兩條直角7. （2020 江蘇南京）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成鈍角三角形的是A. 3, 4, 4 B. 3, 4, 5 C. 3, 4, 6 D. 3, 4, 7答案：C 考點(diǎn)：構(gòu)成三角形的條件，勾股定理的應(yīng)用，鈍角三角形的判斷。解析：由兩邊之和大于第三邊，可排除 D；由勾股定理：a2 b2 c2,當(dāng)最長(zhǎng)邊比斜邊c更長(zhǎng)時(shí)，最大角為鈍角,即滿足a2 b2 c2,所以，選C。8. （2020 江蘇省揚(yáng)州）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4 , BC=6 .將該矩形紙片剪去 3個(gè)等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面積的最小值是（）A D沙CA. 6 B. 3

8、C. 2.5 D. 2【考點(diǎn)】幾何問(wèn)題的最值.【分析】以BC為邊作等腰直角三角形4 EBC,延長(zhǎng)BE交AD于F,得 ABF是等腰直角 三角形，作EG LCD于G,得 EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去 ABF , BCE , ECG得到四邊形EFDG,此時(shí)剩余部分面積的最小【解答】解：如圖以BC為邊作等腰直角三角形4 EBC,延長(zhǎng)BE交AD于F,得 ABF是 等腰直角三角形，作EG，CD于G,得 EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去 ABF, BCE, ECG得到四邊形EFDG ,此時(shí)剩余部分面積的最小=4 X6-：X6-、MX3=25 乙乙故選C.9. （2020斷江省舟山

9、）如圖，矩形 ABCD中，AD=2 , AB=3 ,過(guò)點(diǎn)A, C作相距為2的平行線段AE , CF,分別交CD, AB于點(diǎn)E, F,則DE的長(zhǎng)是（）【考點(diǎn)】 矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.【分析】過(guò)F作FH ±AE于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 AB=CD , AB / CD,推出四邊形AECFAE AD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AF=CE ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 年不,Ar r H于是得到AE=AF ,列方程即可得到結(jié)論.【解答】解：過(guò)F作FH，AE于H ,四邊形ABCD是矩形，.AB=CD , AB / CD,. AE / CF,四邊形AECF是平行四邊

10、形，AF=CE , .DE=BF , .AF=3 - DE, -AE= / FHA= /D=/DAF=90 °, / AFH+ / HAF= / DAE+ / FAH=90 °, . / DAE= / AFH , .ADEAAFH ,AE _AD- _ r.AE=AF ,H4+DEZ3-DE,二、填空題1. （2020 湖北黃岡） 將矩形沿直線EF折疊,如圖，在矩形ABCD43,點(diǎn)E, F分別在邊 CD BC上，且DC=3DE=3a使點(diǎn)AC恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，則FP=【考點(diǎn)】定理.【分析】（第13題）矩形的性質(zhì)、圖形的變換（折疊）、30。度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

11、、勾股根據(jù)折疊的性質(zhì)，知 EC=EF 2a=2DE;則/ DPE=30 , / DEP=60 ,得出/ PEF=/1CEF=2 (180 ° -60 ° )= 60° ,從而/ PFE=30° ,彳#出 EF=2EP=4a 再勾股定理，得 出 FP 的長(zhǎng).【解答】解：DC=3DE=3a，DE=a, EC=2a.根據(jù)折疊的性質(zhì)， EC=Ef 2a； / PEF=/ CER / EPF=Z C=90°根據(jù)矩形的性質(zhì)，/ D=90° ,在 RtDPE中，EP=2DE=2aDPE=30 , / DEP=60 .1/ PEF=/ CEF=2 (

12、180 ° -60 ° )= 60在 RtEPF中，/ PFE=30° .EF=2EP=4a在 RtEPF中，/ EPF=90° , EP= 2a, EF= 4a,根據(jù)勾股定理，得FP= EF2 EP： 3a.故答案為：-3a2. （2020 四川 資陽(yáng)）如圖，在等腰直角 ABC中，/ ACB=90 °, CO ± AB于點(diǎn) O,點(diǎn)D、E分別在邊 AC、BC上，且AD=CE ,連結(jié)DE交CO于點(diǎn)P,給出 以下結(jié)論： DOE是等腰直角三角形；/ CDE= / COE ;若AC=1，則四邊形CEOD 的面積為"AD 2+BE 2

13、 - 2OP 2=2DP ?PE ,其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是【分析】 正確.由ADO 色 CEO ,推出 DO=OE , / AOD= / COE ,由此即 可判斷.正確.由D、C、E、O四點(diǎn)共圓，即可證明. 正確.由Sz ABC=X1 *1 =二7， S四邊形DC EO=S A DOC +S CEO=S C DO+S AD O=S AOC =-S AAB C 即可解決問(wèn)題正確.由D、C、E、O四點(diǎn)共圓，得OP?PC=DP ?PE,所以2OP 2 + 2DP ?PE=2OP 2+2OP ? PC=2OP ( OP+PC ) =2OP ?OC ,由 OPE s OEC ,得到若二鬻，即可得至1J

14、 2OP 2+2DP ?PE=2OE 2=DE 2=CD 2+CE 2,由此即可證明 UH. UL【解答】解： 正確.如圖，- z ACB=90 °, AC=BC , CO，ABAO=OB=OC , / A= / B= / ACO= / BCO=45 °,在 ADO和 CEO中，OAOCZA=ZEC0,AD=CE ADO ACEO ,DO=OE , / AOD= / COE ,/ AOC= / DOE=90 DOE是等腰直角三角形.故正確. 正確. Z DCE+ / DOE=180 °, D、C、E、O四點(diǎn)共圓，/ CDE= / COE ,故 正確.正確. AC=

15、BC=1 , 1 Saab c=_xi xi = -, S 四邊形 dceo=S doc +S a ceo=S acdo +S ado =S aoc JSAAB C- q ,故正確.正確. D、C、E、O四點(diǎn)共圓，OP?PC=DP ?PE ,2OP2 + 2DP ?PE=2OP 2+2OP ?PC=2OP ( OP+PC ) =2OP ?OC , / OEP= / DCO= / OCE=45 °, / POE= / COE ,. AOPE s AOEC ,OP OE=OE DC， . OP?OC=OE 2 ,2OP2 + 2DP ?PE=2OE 2=DE 2=CD 2+CE 2 ,C

16、D=BE , CE=AD , AD 2+BE 2=2OP 2+2DP ?PE , AD 2+BE 2 - 2OP 2=2DP ?PE .故正確.3. (2020 廣東梅州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將 ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 ABiCi 的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)Bi、Ci處，點(diǎn)Bi在x軸上，再將 ABiCi繞點(diǎn)Bi順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 到AiBiCz的位置，點(diǎn)C2在x軸上，將AiBiC2繞點(diǎn)C2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 A2B2c2的位置，點(diǎn) A2在x軸上，依次進(jìn)行下去 .若點(diǎn)A(3,0),B (0,2),則點(diǎn)B 2020的坐標(biāo)為.2答案：(6048, 2)考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形的變換 一旋轉(zhuǎn)，規(guī)律探索，勾股定理。解

17、析：OA= 3 , OB = 2,由勾股定理，得： AB = 5 ,所以，OC2=2+ 5 + E =6,2222所以，B2 （6,2）,同理可得：B4 （12,2）, B6（18,2）,所以，B2020 的橫坐標(biāo)為：1008 6=6048,所以，B2020 （6048,2）4. （2020年浙江省溫州市） 七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為東方魔板”，小明利用七巧板（如圖1所示）中各板塊的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系拼成一個(gè)凸六邊形（如圖 2所示）， 則該凸六邊形的周長(zhǎng)是（32 +16） cm.圖1鄴【考點(diǎn)】七巧板.【分析】由正方形的性質(zhì)和勾股定理求出各板塊的邊長(zhǎng)，即可求出凸六邊形的周長(zhǎng).【解答】 解

18、：如圖所示：圖形 1：邊長(zhǎng)分別是：16, 8匹，8匹；圖形2:邊長(zhǎng)分別是：16, 8尼,80；圖形3：邊長(zhǎng)分別是：8, 4應(yīng),4存,圖形4：邊長(zhǎng)是：4/2；圖形5:邊長(zhǎng)分別是：8, 4叵,4/2;圖形6：邊長(zhǎng)分別是：4/2, 8；圖形7:邊長(zhǎng)分別是：8, 8, 8匹;，凸六邊形的周長(zhǎng) =8+2 >872+8+4/2 >4=32+16 （cm）；故答案為：32+16.5. （ 2020.山東省臨沂市，3分）如圖， 點(diǎn)A, C重合，折痕為FG.若AB=4 ,將一矩形紙片ABCD折疊，使兩個(gè)頂BC=8 ,則4ABF的面積為 6.【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）.【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)求出AF

19、=CF ,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于CF的方程，求出CF,求出BF,根據(jù)面積公式求出即可.【解答】解：二.將一矩形紙片ABCD 折疊，使兩個(gè)頂點(diǎn)A, C重合，折痕為FG ,，F(xiàn)G是AC的垂直平分線，AF=CF ,設(shè) AF=FC=x ,在Rt ABF中，有勾股定理得：42+ (8 - x) 2=x2,解得：x=5 ,即 CF=5 , BF=8 5=3 ,AB 2+BF 2=AF 2, ABF的面積為二不4=6故答案為：6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能得出關(guān) 于x的方程是解此題的關(guān)鍵.6. （ 2020 江蘇連云港）如圖1,將正方形紙片 ABCD對(duì)折，使AB與CD重合，折

20、痕為EF.如圖2,展開(kāi)后再折疊一次，使點(diǎn) C與點(diǎn)E重合，折痕為 GH,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) M,EM 交 AB 于 N .若 AD=2 ,則 MN=【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 2a, DH=x,表示出CH,再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)表示出DE、EH ,然后利用勾股定理列出方程求出x,再根據(jù)相似三角形的判定性質(zhì)，可得 NE的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答案.【解答】解：設(shè) DH=x , CH=2 x,由翻折的性質(zhì)，DE=1 ,EH=CH=2 -x,在 RtDEH 中，DE2+DH2=EH2,即 12+x2= (2 - x) 2,35解得 x=-d, EH=2 -x=. / MEH= / C=90 °,

21、 / AEN+ / DEH=90 / ANE+ / AEN=90/ ANE= / DEH ,又/ A=/D, .ANEADEH ,AE=DHEH'I 二4I =ENT4nrSA-解得EN=-|,JMN=ME - BC=2 -|=-,故答案為：言.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)，設(shè)出 DH的長(zhǎng)，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).三、解答題1.(2020 云 南)如圖，菱形 ABCD的對(duì)角線 AC與BD交于點(diǎn)O, /ABC : / BAD=1 : 2, BE / AC, CE / BD .(1)求 tan/ DBC 的值；(2)求證：四邊

22、形OBEC是矩形.【考點(diǎn)】矩形的判定；菱形的性質(zhì)；解直角三角形.【專題】計(jì)算題；矩形 菱形正方形.【分析】(1)由四邊形ABCD是菱形，得到對(duì)邊平行，且 BD為角平分線，利用兩直線平行得到一對(duì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)已知角之比求出相應(yīng)度數(shù)，進(jìn)而求出/BDC度數(shù)，即可求出tan/DBC的值；(2)由四邊形ABCD是菱形，得到對(duì)角線互相垂直，利用兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形，再利用有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形即可得證.【解答】(1)解：.四邊形ABCD是菱形， .AD/BC, /DBC=/ABC, / ABC+ / BAD=180 °, / ABC : / BAD=1 : 2,/ AB

23、C=60 °,/ BDC=ABC=30°貝U tan/DBC=tan30(2)證明：二四邊形ABCD是菱形, AC XBD ,即 / BOC=90 °, BE / AC , CE / BD , .BE / OC, CE/ OB,四邊形OBEC是平行四邊形, 則四邊形OBEC是矩形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，以及解直角三角形，熟練掌握判定與性質(zhì)是 解本題的關(guān)鍵.2. (2020 四川達(dá)州 8分)如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，連接 AC, BC,過(guò)點(diǎn)O作ODLAC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)A作半圓O的切線交 OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,連 接BD并延長(zhǎng)交

24、AE于點(diǎn)F.(1)求證：AE?BC=AD ?AB ；百求AF的長(zhǎng).【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；切線的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.【分析】(1)只要證明EADsabc即可解決問(wèn)題.(2)作DM，AB于M,利用DM / AE ,得邈型，求出DM、BM即可解決問(wèn)題.AF BA【解答】(1)證明：.AB為半圓O的直徑， / 0=90 °, . ODXAC ,/ 0AB+ / AOE=90 °, / ADE= / 0=90°,. AE是切線， OA XAE ,. / E+/AOE=90 °,. E=/CAB , . EADA ABC ,.AE： AB=

25、AD : BC, .AE?BC=AD ?AB .(2)解：作 DM ±AB 于 M, 半圓O的直徑為10, sinZ BAC=-, 5BC=AB ?sinZ BAC=6 , AC= Vab2 -bc2=8. . OEXAC , .AD=aC=4, OD=BC=3, . sinZ MAD=g,BM=AB AM=34AD 5 .DM= am=a/aD2 -DJ!2=j42 -1. DM / AE ,AF .AF=80U3. （2020 廣東梅州） 如圖，在平行四邊形 ABCD中，以點(diǎn)A為 圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交 AD于點(diǎn)F,再分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于1 BF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧， 兩弧交于一點(diǎn)P,連 2接AP并延長(zhǎng)交bc于點(diǎn)e ,連接ef .（1） 四邊形ABEF是;（選填矩形、菱形、正方形、無(wú)法確定）（直接填寫(xiě)結(jié)果）（2） AE, BF相交于點(diǎn)O,若四邊形ABEF的周長(zhǎng)為40, BF=10,則AE的長(zhǎng)為ZABC=° ,（直接填寫(xiě)結(jié)果）考點(diǎn)：角平分線的畫(huà)法，菱形的判定及其性質(zhì)，勾股定理。解析：