2020年高考數(shù)學(xué)(理)總復(fù)習(xí)：解三角形(解析版)

1、2020年高考數(shù)學(xué)(理)總復(fù)習(xí)：解三角形題型一利用正、余弦定理解三角形【題型要點(diǎn)解析】關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意三統(tǒng)一”即統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”這是使問(wèn)題獲得解決的突破口.【例1】 ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分另IJ為a, b, c,已知sin(A+ C) = 8sin求cos B；(2)若a+ c= 6, ABC的面積為2,求b.B【解析】(1)由題設(shè)及 A+ B+ C= n, sin B = 8siM3 4?，故 sin B= 4(1 cos B).上式兩邊平方，整理得17cos2B

2、32cos B+ 15= 0,COS D 一哥解得cos B= 1(舍去)，b-君158由 cosB= 17 得 Sin B ,山14依 Saabc = ?acsi n B =：A5 67又 AABC 二貝 U ac二 T . 2由余弦定理及 a+ c= 6 得：b17=(a + c)2 2ac(1 + cos B)= 36 2AA' 1=4.所以 b= 2.題組訓(xùn)練一利用正、余弦定理解三角形1.在銳角 ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,若sinA=2A2, a= 2, S8c= a2+ c2 2accos B=2,則b的值為()3.2B. 2C. 2 .2【解析

3、】-在銳角/ABC中，si nA二乎，Saabc， 3cosA= p 1 sin 2a= 3, AbcsinA =,bc= 3，由余弦定理得a2= b2+ c2- 2bccosA,22(1 1(b + c)2= a2+ 2bc(1 + cosA) = 4+ 6X 1 + = 1213 J b+ c=23.由得b二c二，3,故選A.【答案】A2. 在A ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知sin As inB + sin Bsi n C+ cos 2B =1 .若 C=今，貝 Ua =. 3b【解析】T sin As in B+ sin Bsi n C+ cos 2B= 1

4、, sin Asi n B+ sin Bs in C = 2si n2B.由正弦定理可得ab+ be=2b2,即pi a+ c=2b ,-c= 2b- a, TC = 2n,由余弦定理可得(2b a)?二 a?+ b? 2abeos2n,可得 5a = 3b , 33b=3=5.【答案】33. 已知 ABC是斜三角形，內(nèi)角A , B , C所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為a , b , c.若csin A二.3acos C.(1)求角C；若 c= .21，且 sinC+ sin(B- A)= 5sin 2A，求A ABC 的面積.【解析】 根據(jù)一八二一，可得csin A二asin C, sin A sin

5、C又；csin A = 3acos C,. asin C= 3acos C, sin C = 3cos C, tan C二 亞6cos Cn-C (0,n, C = 3.(2) / sin C+ sin(B A) = 5sin 2A, sin C= sin (A+ B), si n (A+ B) + si n (B A) = 5sin 2A, 2sin Bcos A= 2X5s in AcosA. ABC為斜三角形， cos AMO sin B= 5sin A.由正弦定理可知b= 5a， 222 / c = a + b 2abcos C, 21 = a + b 2abA1 = a + b ab

6、,(2)由解得a=1, b= 5,.©11 亞衣3 6八 abc= ?absin C = ?X1 X5= 4 .題型二正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用【題型要點(diǎn)解析】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題一般分為下列四步：(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰 角、俯角、視角、方位角等；(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；(3)將所求的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有 關(guān)知識(shí)正 確求解；(4)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案.例2某學(xué)校的平面示意圖如圖中的五邊形區(qū)域ABCDE，其中

7、三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū)，AB, BC, CD , DE , EA, BE,為學(xué)校的主要道路(不考慮寬度)./ BCD二2 nn9/ CDE 二一» / BAE =,DE = 3BC= 3CD= km3310(1)求道路BE的長(zhǎng)度；(2)求生活區(qū)a ABE面積的最大值.【解析】如圖，連接BD，在 BCD中,22227BD2= BC2+ CD2 - 2BC CD cos/ BCD =100.BD = io km. / BC = CD,n6,CBD =2 nnCDEBDE又/ =§，/ =n 在 RtA BDE 中，BE= BD2+ DE2二嚴(yán)).故

8、道路BE的長(zhǎng)度為 km.5n2 n(2)設(shè)/ ABE = a, V/ BAE =八，八Z AEB 二虧一a.在A ABE中，易得AB = BE=顯3二6勿得 sin/AEB = sin / BAE= n= 5，59»?uisS=aviuisgSaBE= 2AB AEsin-a isin a11鷲知2七喈W/ 0< a<23n n 7 n6V2a 6V 石.- 當(dāng)2 a 6=2，即a=時(shí)，abe取得最大值，最大值為了。：加2，故生活區(qū)，ABE面積的最大值為題組訓(xùn)練二正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用1 如圖，為了估測(cè)某塔的高度，在同一水平面的A，B兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量，在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂C在西

9、偏北20的方向上，仰角為60,在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂C在東偏北40御方 向上，仰角為30。.若A，B兩點(diǎn)相距130 m，則塔的高度CD【解析】設(shè) CD二 h,貝 U AD= §, BD= .3h，ADB 中，/ ADB = 180° 20° 40=120°,由余弦定理 AB2= BD2+ AD2- 2BD AD cos 120 °可得 1302=3h2+-J,解得h= 10 39,故塔的高度為10 39 m.【答案】10 392.如圖，在第一條海防警戒線上的點(diǎn)A, B, C處各有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，B, C兩點(diǎn)到A的距離分別為20千米和50千米，某時(shí)刻，

10、B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào)，8秒后A, C同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，已知聲波在水中的傳播速度 是1.5千米/秒.(1)設(shè)A到P的距離為x千米，用x表示B, C到P的距離，并求x的值;(2)求P到海防警戒線AC的距離.【解析】依題意，有FA二FC二X,PB= x 1.5 8= x12.在 A PAB 中，AB = 20,cos/ FABFA2 + AB2- FB22FA ABX2+ 202(X 12 2 = 3x+32 2x 205x=2同理，F(xiàn)AC 中，AC= 50,2 . A 22,LC2 2-FA + AC FC x + 50 x 2 5 cos/ FAC =2PA AC = 2x 5

11、0 =二 / cos/ FAB= cos/ FAC,A土生二生，解得x=31.5x x(2 M、FD_LAC 于點(diǎn) D，在 ADF 中，由cos/ FAD = 25得 sin/ FAD= 1- cos2 / FAD = 4A , 3 1 FD = FAsin/ FAD =彳仆" 4 21.故靜止目標(biāo)F到海防警戒線AC的距離為4 21千米.題型三三角函數(shù)與解三角形問(wèn)題【題型要點(diǎn)】解三角形與三角函數(shù)的綜合題，其中，解決與三角恒等變換有關(guān)的問(wèn)題，角之 優(yōu)先考慮角與 間的關(guān)系；解決與三角形有關(guān)的問(wèn)題，優(yōu)先考慮正弦、余弦定理.si nA si nC sinA sinBa+ c例3在A ABC中

12、，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,且滿足(I)求 C；1(H)若 cosA= 7,求 cos(2A - C)的值.【解析】(I)由si"：, si汕A一新目及正弦定理得a2 c2= ab- b2,O I c2 22整理得a2+ b2- c2= ab,由余弦定理得cosC二-1，又OvCv n,所以C二立-2ab(n)由 cosA=7 知 A 為銳角，又 sin2A+ cos2A= 1,所以 sinA =12，故 cos2Acco A cos(2A-C)_cost2A(二2cos2A l，49 ' sin2A二2sinAcosA=2 呼孕嚅，所以2398CA n .

13、 CA c 47 1 斗敘 3 顯 3cos2Acos + si n2As in£= 八,49A2 + 49 *2”題組訓(xùn)練三三角函數(shù)與解三角形問(wèn)題已知函數(shù) f(x)= sin 2x 十二 i'+ cos 2x.I6 J(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；在 ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊為a, b, c,已知咻)二于產(chǎn)二2, B二才，求A ABC 的面積.【解析】(1)f(x)= sin 2x+二+ cos 2x<6 J nn_sin 2xcosg_|.cos 2xsin6 + COS 2X二寺 " 2x + os 2x= . 3兀、=.3sin i2x

14、 + 令一桿 2k n<x!+2k-芳+ kn<，兀+公卜© Z.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:5k, kz.由 f（A）= 3,2 1 乂 0<A<3 ,3<2A+ 3vT，1因?yàn)槿?二帑解得：A二na bsin A sin B又由A=：，BJ可得：sin C二逅乎.43413+ ,3abc =?absin C 2題型四轉(zhuǎn)化與化歸思想在解三角形中的應(yīng)用【題型要點(diǎn)】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意圖如下:梳理已知條件，找出三角形申巳知的邊、角關(guān)系及持求問(wèn)題,然后依據(jù)三角區(qū)等變換的進(jìn)程囑定轉(zhuǎn)化的方向如步驟 幣豁己知條件和麗求廚題合理透擇轉(zhuǎn)7E的定理*進(jìn)行邊

15、角間的轉(zhuǎn)化邊瀚互化時(shí)，應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的方向，一殷有兩種思路*-是全部蔽化為角之間的關(guān)系*如步驟岸二是全部轉(zhuǎn)化為邊之間的羌系,如 出驟與步麋 將已知條件中的數(shù)據(jù)代人所選用的定理并求出相應(yīng)的結(jié)論，如 選定理步驟定結(jié)果【例4】 在AABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若acos?C+ ccos2a = |b.求證：a, b, c成等差數(shù)列；(2)若/ B= 60 0 b= 4,求A ABC 的面積.【解析】 證明：acoSbCC+ ccos2A1 + cos Ca+ c21 + cos A 3即 a(1 + cos C) + c(1 + cos A)= 3b.由正弦定理得：sin A+

16、 sin Acos C + sin C+ cos As in C= 3si n B, :艮sin A+ sin C+ sin(A+ C)= 3sin B, / sin A + sin C= 2si nB.由正弦定理得，a+ c= 2b,故a, b, c成等差數(shù)列.由/ B= 60 ° , b=4及余弦定理得：4?= a? + c? 2accos 60(a+ c)2 3ac= 16,又由知a+ c=2b，代入上式得4b2- 3ac=16.又b=4,所以ac=16 ,1 1 ABC 的面積 S= ?acsin B = Aacsin 60 =4 3.題組訓(xùn)練四轉(zhuǎn)化與化歸思想在解三角形中的應(yīng)

17、用如圖，在平面四邊形ABCD中，AD= 1 , CD=2 , AC二，7.求cos / CAD的值；(2)若 cos / BAD 二一荷,sin / CBA =求 BC 的長(zhǎng)【解析】 在A ADC中，由余弦定理.得 cos/ CAD =AC2+ AD2. CD22AC AD217設(shè)/ BAC= a,貝 Ua=/BAD./ CAD.因?yàn)?cos / CAD 二一，cos / BAD =- F,所以 sin / CAD =yj 1 - cos2/ CAD 二弓，sin/ BAD 二寸 Leos?/ BAD = 3Al.于是 sin/ BAC= sin (/ BAD-/ CAD)7號(hào)216在A AB

18、C中，由正弦定理得,bc二 AC sin / BAC二sin / CBA【專題訓(xùn)練】、選擇題 22nr, t1 .在 ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c,且b=a + be, A=$,則內(nèi)角C等于()AhpA . nB,43nCG【解析】 在A ABC中，由余弦定理得a2= b2+ c2- 2bccosA，即a?. b2= c2- 2bccos A,由已知，得 a? b?= be,則 c? 2bccos6二一 be,即 c二(J3 1)b > 由正弦定理，得 sin C 二(.3- 1)sin B = ( 3- 1)sin 5 C ,16 )化簡(jiǎn)，得sin C -

19、cos C=0,解得C= 4，故選B.【答案】B2 .在 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別是a, b, c,已知b=2, c=2 2,且C二亍，則AABC的面積為（）A. .3+1B. 3- 1 C. 4 D, 2【解析】 法一由余弦定理可得（2羽十二22+ a?-2X2X38八，即a2.2Q2a 4=0,4AA解得 a=J2+ 典或 a二述一6（舍去）, ABC 的面積 S= gabsin C = X2 XW2 + 6）s=2XXX6+ 2） = ,3+1,選 A.法二 由正弦定理 出=一八；，得sin B二bsm.j £又c>b，且B （0, n）所以B=sin B s

20、in C c 2 n 所以 A= g 所以 ABC 的面積 S= 2bcsin A= |x2 X2 .2 sin£=£X2X2 2X6+a2= .3 + 1.【答案】A3.在 ABC中，內(nèi)角A , B , C的對(duì)邊分別為a , b , c，若A ABC的面積為S,且2S 二（a+ b ） 2 ,貝 UtanC 等于（）44A.4B.3 c,- 3【解析】 因?yàn)?s=（a+ bR c2=a2+ b2- c2+ 2ab，則結(jié)合面積公式與余弦定理，得2absin C= 2abcos C+ 2ab，即 sin C 2cos C= 2，所以（sin C- 2cos C）二 4 ,si

21、n C. 4sin Ceos C+ 4cos Cta n2c 4ta n C + 二生解得 tan R二一一或 tan C 二4所以433 20 （舍去），故選c.【答案】C4 .如圖，在/ ABC 中，C 二 3 , BC = 4,點(diǎn) D 在邊 AC 上，AD 二 DB ,DE±AB , E 為垂足.若 DE = 2 2 ,貝 Ucos A等于（）/;62sin C + cos CA技2A-38 2B. 4c.46 D.亍【解 析】依題意得. BD 二 AD = sin A= sin A，/ BDC= ZABD+ ZA= 2/人.在A BCD 中,BC =_BP_= &2

22、乂 2 = 4 返sin/ BDC sin Cf sin 2A sin A 習(xí)習(xí) J3sin A即4二42，由此解得COS人=八，選C.2s in A cos A 3si n A4,【答案】C5.如圖所示，為測(cè)一建筑物的高度，在地面上選取B a, B兩點(diǎn)，從A, 兩點(diǎn)分別測(cè)得建筑物頂端的仰角為30 ° 45 °且A，60 m，B兩點(diǎn)間的距離為 則該建筑物的高度為（）A . (30+ 30 3) mC. (15+ 30 .3) mB. (30+1573) mD. (15+ 15.3) m【解析】設(shè)建筑物高度為h,則君弋聚二6°，即同心二6。，所以建筑物的高度為 h=

23、(30+ 30.3)m.【答案】A6.在三角形ABC中，角A, B,C的對(duì)邊分別是a, b, c,若 20aBC+ 15bCA+ 12cAB 二0,則三角形ABC中最小角的正弦值等于（【解析】/20aBC+ 15bCA + 12cAB = 0, 20a(AC - AB)+ 15bCA+ 12cAB= 0,(20a 15b)AC + (12c 20a)AB= 0.AC與AB不共線,20a 15b = 0,12c 20a = 04b=3a，5C= 2a，三角形ABC中最小角為角A,16 225 22b2+ c2- a2 -c0S A= 2bc =Va + 9a-a43= sinA二，故選 C.55

24、【答案】C二、填空題7.在 ABC 中，a,b,c 分別是角 A, B, C 的對(duì)邊，若(a + b c)(a+ b+ c)= ab, c= .3,當(dāng) ab 取得最大值時(shí)，Sa abc= .【解析】 因?yàn)?a+ b c)(a+ b + c)= ab, a2+ b2 c2= ab,所以 cos C = 2,所以 sin。二三3,由余弦定理得(.3)2=a2+ b2+ ab) 3b,即abwi,當(dāng)且僅當(dāng)a二b= 1時(shí)等號(hào)成立,所以sS以 aabc 4 .【答案】嚴(yán)4& 已知/ ABC 中 , AB= 1, sin A+ sin B = V2sin C, Saabc=in C,貝 U cos

25、 C=【解析】T sin A+ sin B= , 2sin C,由正弦定理可得a+ b=2c. / Saabc= n C, absin C二僉碧g窕機(jī)n C工0化為ab = 3.由余弦定理可得c2= a2+ b2 2abcos C (a+ b)22abcos C,. 1 二(，2)2 2X3(1 + cos C)，解得 cos C =8323【答案】I9.已知a, b, c分別為 ABC的三個(gè)內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，a=2,且(2+ b)(sin A - sin B)=(c- b) sin C,則/ABC面積的最大值為.【解析】由正弦定理得(2+ b)(a b)二(c b)c,即(a+ b)

26、 (a b)= (c b)c，即 b2 + c2 a2= be,所以 cos A=，又 A 。 n )所以 A二 2bc3乂 b2+ c2 a2= be) 2c 4, 即 bc<4 故 Sabc = -besin AM胄=小當(dāng)且僅當(dāng)b=c= 2時(shí)，等號(hào)成立，則/ ABC面積的最大值為3.【答案】，310.如圖，/ ABC 中，AB= 4, BC= 2，/ ABC = Z D = 60 ° 若 A ADC ° ' 是銳角三角形，則DA + DC的取值范圍是.,【解析】在/ ABC中，由余弦定理得ACJ AB2+ BC2- 2AB BCcosZ ABC = 12,即即 AC = 2.3.設(shè)/ ACD=0(30 ° 9<90°)，則在 ADC中，由正弦定理得是%二DAsin 60 sin 0 sin(120。 0則 DA + DC = 4s