廣東省揭陽市2010—2011學(xué)年度高三數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題 理

1、揭陽市20102011學(xué)年度高中三年級(jí)學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題(理科)本試卷共4頁，21小題，滿分150分考試用時(shí)l20分鐘注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆在答題卷的選擇題答題區(qū)上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效4考生必須保持答題卷的整潔,考試結(jié)束后，將

2、試卷和答題卷一并交回參考公式：球的體積公式,其中表示球的半徑一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合，則 A B C D2已知復(fù)數(shù)z滿足，則z為A B. C. D. 3已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為A. B. C.2 D.24直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為A. B. C. D. 5已知?jiǎng)t.A. B. C. D. 6定積分的值為A. B. C. D.7若（）且，則展開式的各項(xiàng)中系數(shù)的最大值為A. 15 B. 20 C. 56 D. 708從一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，則以這3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的

3、概率為A. B. C. D. 二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（913題）9命題P：“”的否定為： 、的真假為 .10某路口的機(jī)動(dòng)車隔離墩的三視圖如下圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形組成，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）可求得隔離墩的體積為 .S=0，K=1 第10題圖 第11題圖 11如果執(zhí)行上面的框圖，輸入，則輸出的數(shù)S= . 12不論k為何實(shí)數(shù)，直線恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為 、若該直線與圓恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 13已知，根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是 （二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做

4、題)已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,則過曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程為 . 15(幾何證明選講選做題) 已知圓的半徑為，從圓外一點(diǎn)引切線和割線，圓心到的距離為，則切線的長(zhǎng)為 三解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本題滿分12分）已知函數(shù), .(1)求函數(shù)的最大值和最小值；(2)設(shè)函數(shù)在上的圖象與軸的交點(diǎn)從左到右分別為M、N，圖象的最高點(diǎn)為P, 求與的夾角的余弦.17（本題滿分14分）為了解高中一年級(jí)學(xué)生身高情況，某校按10%的比例對(duì)全校700名高中一年級(jí)學(xué)生按性別進(jìn)行抽樣檢查，測(cè)得身高頻數(shù)分布表如下表1、表2.表1:男生身高頻數(shù)分布表表2:女生身

5、高頻數(shù)分布表（1）求該校男生的人數(shù)并完成下面頻率分布直方圖；（2）估計(jì)該校學(xué)生身高（單位：cm）在的概率；（3）在男生樣本中，從身高（單位：cm）在的男生中任選3人，設(shè)表示所選3人中身高（單位：cm）在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18. （本題滿分12分）已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，是它的左，右焦點(diǎn)（1）若，且，求、的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，過動(dòng)點(diǎn)作以為圓心、以1為半徑的圓的切線（是切點(diǎn)），且使，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程19（本題滿分14分）如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn).（1）求證：

6、DC平面ABC；圖乙圖甲在（2）求BF與平面ABC所成角的正弦；（3）求二面角BEFA的余弦.20（本題滿分14分）在數(shù)列中，已知（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21（本題滿分14分）設(shè)函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若，試確定的單調(diào)性；（3）記，且在上的最大值為M，證明：揭陽市20102011學(xué)年度高中三年級(jí)學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題(理科)參考答案及評(píng)分說明一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則二、對(duì)計(jì)算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定

7、給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)一選擇題：BDAA CCBD解析：2，選D.3由冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)得,故選A.4直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（2，0），（0，1），依題意得，選A.5，選C.6由定積分的幾何意義知是由曲線，直線圍成的封閉圖形的面積，故，選C.7由得，故各項(xiàng)中系數(shù)的最大值為,選B.8.解法1：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)有種取法，可構(gòu)成的三角形有56種可能，正方體有6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面，它們都是矩形（包括正方形），每一個(gè)矩形中的任意3個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成4個(gè)直角三角形

8、，共有個(gè)直角三角形，故所求的概率：,選D.解法2：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)有種取法，可構(gòu)成的三角形有56種可能，所有可能的三角形分為直角三角形和正三角形兩類，其中正三角形有8種可能（每一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)），故所求的概率：,選D.二填空題：9. 、真；10. ；11. ；12. （0，1）、；13. ， 14. ；15. .解析：10該幾何體為圓柱上面疊一半球，其體積11根據(jù)框圖所體現(xiàn)的算法可知此算法為求和：.12題設(shè)條件等價(jià)于點(diǎn)（0，1）在圓內(nèi)或圓上，等價(jià)于點(diǎn)（0，1）到圓的圓心的距離不超過半徑，解得.14曲線C普通方程為，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，由得切線斜率，故所求的切線方程為.15依題意，=2，5

9、，由=15，得=三解題題：16解：（1）= =-4分 ，函數(shù)的最大值和最小值分別為2，-2.-6分（2）解法1：令得, 或 -8分由，且得 -9分從而.-12分解法2：過點(diǎn)P作軸于,則由三角函數(shù)的性質(zhì)知,-8分,-9分由余弦定理得=.-12分解法3：過點(diǎn)P作軸于,則由三角函數(shù)的性質(zhì)知,-8分-9分在中，-11分PA平分 .-12分17.解（1）樣本中男生人數(shù)為40 ，由分層抽樣比例為10%可得全校男生人數(shù)為400. -2分頻率分布直方圖如右圖示：-6分（2）由表1、表2知，樣本中身高在的學(xué)生人數(shù)為：5+14+13+6+3+1=42，樣本容量為70 ，所以樣本中學(xué)生身高在的頻率-8分故由估計(jì)該校

10、學(xué)生身高在的概率.-9分（3）依題意知的可能取值為：1,2,3,-12分的分布列為： -13分的數(shù)學(xué)期望.-14分18解：（1）依題意知-1分 ， -2分又，由橢圓定義可知，-4分由得 、-6分（2）由已知，即是的切線 -8分-9分設(shè)，則即（或）-11分綜上所述，所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：-12分19（1）證明：在圖甲中且 ,即-2分在圖乙中，平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDCBDAB底面BDC，ABCD.-4分又，DCBC,且DC平面ABC. -5分（2）解法1：E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)EF/CD，又由（1）知，DC平面ABC，EF平面ABC，垂足為點(diǎn)EFBE是BF與平面ABC

11、所成的角-7分在圖甲中，, ,設(shè)則,-9分在RtFEB中，即BF與平面ABC所成角的正弦值為.-10分解法2：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖示， 設(shè)，則，-6分可得,，,-8分設(shè)BF與平面ABC所成的角為由（1）知DC平面ABC-10分（3）由（2）知 FE平面ABC，又BE平面ABC，AE平面ABC，F(xiàn)EBE，F(xiàn)EAE，AEB為二面角BEFA的平面角-12分在AEB中，即所求二面角BEFA的余弦為.-14分 (其他解法請(qǐng)參照給分)20.解：（1）解法1：由可得，-3分?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1等差數(shù)列， -6分?jǐn)?shù)列的通項(xiàng)公式為-7分解法2：由可得-2分令，則-3分當(dāng)時(shí)-5分-6分-7分解法3：，-1分，-2分-3分由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為-4分以下用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，等式成立假設(shè)當(dāng)（）時(shí)等式成立，即，那么-6分這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立根據(jù)和可知，等式對(duì)任何都成立-7分（2）令，-8分-9分式減去式得：，-10分-12分?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和-14分21解：（1）若，則有令得,-1分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),