第六講 幾何知識(shí)與三角形

1、第六講 幾何知識(shí)與三角形徐 燕一、幾何初步考點(diǎn)梳理：1會(huì)比較角的大小，能估計(jì)一個(gè)角的大小，會(huì)計(jì)算角度的和與差，認(rèn)識(shí)度、分、秒，會(huì)進(jìn)行簡單換算2相交線與平行線了解補(bǔ)角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等、對頂角相等. 了解垂線、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質(zhì)，體會(huì)點(diǎn)到直線距離的意義 知道過一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線，會(huì)用三角尺或量角器過一點(diǎn)畫一條直線的垂線. 知道兩直線平行同位角相等，進(jìn)一步探索平行線的性質(zhì)知道過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線，會(huì)用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線體會(huì)兩條平行線之間距離的意義，會(huì)度量兩條平行線之間的距離.基礎(chǔ)概要考

2、點(diǎn)1.計(jì)算幾何圖形的數(shù)量考點(diǎn)2.兩角互補(bǔ)、互余定義及其性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)3.角的有關(guān)運(yùn)算考點(diǎn)4.圖形的轉(zhuǎn)化考點(diǎn)5.方位角二、三角形(基本認(rèn)識(shí))考點(diǎn)梳理：1了解三角形有關(guān)概念(內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線)，會(huì)畫出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性2探索并掌握三角形中位線的性質(zhì).基礎(chǔ)概要：考點(diǎn)1.三角形的三條重要線段三角形的中線、角平分線和高是三角形的三條重要線段，它們具有十分重要的性質(zhì)，三角形的高構(gòu)造了垂直的條件，三角形的中線隱含線段相等，通過三角形的中線可以把三角形的面積分成相等的兩部分，三角形的角平分線提供了角相等的條件掌握這些概念，對解與三角形有關(guān)的問題十分重要考點(diǎn)2.三角

3、形的相關(guān)定理(1)三角形的內(nèi)角和等于_. (2)三角形的外角和為360(3)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和 (4)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角180三、等腰三角形考點(diǎn)梳理：1了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是等腰三角形的條件2了解等邊三角形的概念并探索及其性質(zhì).知識(shí)概要：考點(diǎn)1.等腰三角形的定義和性質(zhì)(1)等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形(2)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩條腰相等；等邊對等角：等腰三角形的兩底角相等(3)三線合一：等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的角平分形三線合一(4)等腰三角形是軸對稱

4、圖形，對稱軸是底邊上的高(中線、或角平分線)所在的直線考點(diǎn)2.等腰三角形的識(shí)別方法(判定)(1)定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形(2)等角對等邊：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形考點(diǎn)3. 等邊三角形1識(shí)別方法(判定)(1)定義：三邊相等的三角形是等邊三角形(2)三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形(或有兩個(gè)角分別為60的三角形)(3)有一個(gè)角為60的等腰三角形2特征(性質(zhì))(具有等腰三角形的性質(zhì)，除此之外的性質(zhì)還有)：(1)等邊三角形三條邊相等；(2)等邊三角形三個(gè)角相等都等于60.四、直角三角形考點(diǎn)梳理：1了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是直角三角形的條件2體驗(yàn)勾股

5、定理的探索過程，會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡單問題；會(huì)用勾股定理的逆定理判斷直角三角形.基礎(chǔ)概要：考點(diǎn)1.直角三角形的性質(zhì)及其判定1性質(zhì)：(1)直角三角形的兩銳角互余(即它們的和為90)(2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半(3)直角三角形中30的角所對的直角邊等于斜邊的一半2判定：(1)有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形(2)如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半那么這個(gè)三角形是直角三角形考點(diǎn)2.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用(1)勾股定理：直角三角形中，兩邊的平方和等于斜邊的平方(2)逆定理：如果一個(gè)三角形有兩邊的平方等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形要證明以三條線段(或線段所在的直線)

6、為邊的三角形是直角三角形，應(yīng)設(shè)法求出三邊的長或關(guān)系式，利用勾股定理的逆定理證明考點(diǎn)4.利用面積關(guān)系解決問題利用勾股定理求出直角三角形的邊長，進(jìn)而求出面積，再利用面積的關(guān)系列出方程，從而解決問題考點(diǎn)3.利用勾股定理解決折疊問題折疊問題與軸對稱和圖形全等是密不可分的做題時(shí)一定要抓住這一點(diǎn)，以免有無從下手之感考點(diǎn)5.實(shí)際問題運(yùn)用能運(yùn)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立直角三角形的模型，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思想，通過建模解決問題五、全等三角形考點(diǎn)梳理：了解全等三角形的概念、性質(zhì)，探索并掌握判斷三角形全等的條件.知識(shí)概要：考點(diǎn)1.三角形全等的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 1.全等三角形的性質(zhì)

7、：(1)全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等；(2)全等三角形的對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的中線、對應(yīng)邊上的高相等；(3)全等三角形的周長相等、面積相等2全等三角形的判定：(1)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)；(2)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)；(3)有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)；(4)有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (SSS)；(5)有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 (HL). 三角形的全等的判定要根據(jù)題目的具體情況確定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪個(gè)定理，而且這幾個(gè)判定方法往往要結(jié)合其性質(zhì)綜合解題

8、考點(diǎn)2. 三角形全等在平移，折疊、旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用對于幾何圖形的運(yùn)動(dòng)問題(如平移、旋轉(zhuǎn)等)以及一些規(guī)律探究題，常常會(huì)出現(xiàn)一個(gè)基本圖形，無論從圖形上還是從解題方法上都比較簡單，而其他的較復(fù)雜的圖形，都是由基本圖形通過變化得到的，它和基本圖形有很多類似的條件和結(jié)論類比基本圖形，可以解決復(fù)雜圖形的問題，主要考查觀察能力和推理、猜測能力六、銳角三角函數(shù)1通過實(shí)例認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA )，知道30、45、60角的三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角2運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實(shí)際問題.考點(diǎn)1.銳角三角函數(shù)的定義1三角函數(shù)的定

9、義：如圖，ABC 中，C90 ， (1)把銳角A 的對邊與斜邊的比叫做A 的正弦，記作 sin A . (2)把銳角A 的鄰邊與斜邊的比叫做A 的余弦，記作 cos A. (3) 把銳角A 的對邊與鄰邊的比叫做A 的正切，記作 tan A. (4) 把銳角A 的鄰邊與對邊的比叫做A 的余切，記作 cot A. 2銳角三角函數(shù)中幾個(gè)重要的等式 ： sin2Acos2A1，(2)tanAcotA1，(3)sin Acos Atan A，(4)cos Asin Acot A 考點(diǎn)2.特殊角的三角函數(shù)值考點(diǎn)3.銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用銳角三角函數(shù)常與其他知識(shí)綜合起來運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問

10、題的能力七、解直角三角形運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實(shí)際問題.考點(diǎn)1.解直角三角形，仰角、俯角、坡度1解直角三角形：只要知道直角三角形中除直角以外的任意兩個(gè)元素(至少有一條邊)，就可以求出其它的所有元素由直角三角形中已知的元素求出另外未知的元素的過程叫做解直角三角形2朝上看時(shí)，視線與水平線所成的角叫做仰角；朝下看時(shí)，視線與水平面夾角為俯角3坡度是地表單元陡緩的程度，通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(或叫做坡比)用字母i表示，表示坡度最為常用的方法，即兩點(diǎn)的高程差與其水平距離的百分比，其計(jì)算公式如下：坡度高程差水平距離小明在看書時(shí)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)問題：在一次聚會(huì)中，共有6人參

11、加，如果每兩人都握一次手，共握幾次手呢？小明通過認(rèn)真思考得出了答案為了解決一般問題，小明設(shè)計(jì)了下列圖表進(jìn)行探究：請你根據(jù)上面圖表歸納出參加人數(shù)與握手次數(shù)之間關(guān)系的一般結(jié)論 【分析】 本題研究的是握手次數(shù)問題， 但可以將此問題轉(zhuǎn)化成研究平面上的點(diǎn)構(gòu)成線段的條數(shù)問題這里把每個(gè)人看作一個(gè)點(diǎn)，根據(jù)圖表中的信息，通過探究推理可得到問題的答案 615【解答】若有人參加，則共握手次 【結(jié)論】若有 n(n2，且 n 為整數(shù))人參加，則共握手(n1)(n2)(n3)4321n(n1)2 (次) 如圖所示，將標(biāo)號(hào)為A、B、C、D的正方形沿圖中虛線剪開后，得到標(biāo)號(hào)為P、Q、M、N的四組圖形，試按照“哪個(gè)正方形剪開后

12、得到哪組圖形”的對應(yīng)關(guān)系填空：A與_對應(yīng)；B與_對應(yīng)；C與_對應(yīng)；D與_對應(yīng)【分析】按照剪開的形狀，找出對應(yīng)的圖形. 【答案】M，P，Q，N如圖1所示，我海軍的兩艘軍艦(分別在A、B兩處)同時(shí)發(fā)現(xiàn)了一艘敵艦，其中A艦發(fā)現(xiàn)它在北偏東15的方向上，B艦發(fā)現(xiàn)它在東北方向上，試畫出這艘敵艦的位置(用字母C表示)【分析】如圖2所示，分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為中心建立方位圖，表示東北方向的射線 BE與表示北偏東15方向的射線AD的交點(diǎn)C即為這艘敵艦的位置【解析】利用角度來描述方位，以正北、正南的方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，先確定是北還是南，然后確定東、西方向，最后確定偏東(或西)的角度，注意東北方向是北偏東45. 如圖所示，D為

13、ABC中AC邊上一點(diǎn)，AD1，DC2，AB4，E是AB上一點(diǎn)，且DEC的面積等于ABC的面積的一半，求EB.【分析】已知DEC的面積等于ABC的面積的一半，在圖形中， DEC與ABC既不同底也不等高，因此需尋找橋梁AEC來建立二者之間的關(guān)系，因?yàn)锳EC既與DEC等高也與ABC等高【解答】作 EFAC 于 F，則SDECSAEC12DCEF12ACEFDCAC23，作 CGAB 于點(diǎn) G，則SAECSABC12AECG12ABCGAEABAE4， SDECSAECSAECSABC23AE4，即S DECSABC AE6. 又S DECSABC 12，AE612，AE3， BEABAE1，即 BE

14、 的長為 1. 【分析】 等高的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊長的比，它是面積問題中常用的解題策略 (2012呼和浩特)如圖，在ABC中，B47，三角形的外角DAC和ACF的平分線交于點(diǎn)E，則AEC_.分析】B47，BACBCA180 47133，CADACF360133227.又AE和CE是角平分線，CAEACE113.5，E180113.566.5【答案】66.5【解析】本題考查了三角形的內(nèi)角和以及角平分線的性質(zhì)(2012廣東)如圖， ABC中，ABAC，A36，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連結(jié)EC.(1)求ECD的度數(shù)；(2)若CE5，求BC長【解答】DE垂直平分AC，ADCD，A

15、DECDE90，又DE DE，ADECDE，ECDA36.(2)ABAC，A36，BACB72，ECD36，BCEACBECD36，BEC72B， BCEC5.(2011江蘇)已知：如圖，銳角ABC的兩條高BE、CD相交于點(diǎn)O，且OBOC，(1)求證：ABC是等腰三角形；(2)判斷點(diǎn)O是否在BAC的角平分線上，并說明理由【解答】(1)證明：OBOC，OBCOCB.BD、CE是兩條高，BDCCEB90.又BCCB, BDCCEB(AAS)DBCECB ，ABAC.ABC是等腰三角形(2)點(diǎn)O是在BAC的角平分線上連結(jié)AO. BDCCEB, DCEB.OBOC， ODOE.又BDCCEB90，AO

16、AO，ADOAEO(HL). DAOEAO .點(diǎn)O是在BAC的角平分線上(2012杭州)如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE.(1)求證：AFDE；(2)若BAD45，ABa，ABE和DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長【分析】(1)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明AEDDFA即可；(2)如圖作BHAD，CKAD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長(1)【證明】在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，BADCDA，而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中

17、，ABAE，DCDF，且BAECDF60，AEDF，EADFDA，ADDA，AEDDFA(SAS)，AFDE；(2)【解答】如圖作 BHAD，CKAD，則有 BCHK， BAD45 ， HABKDC45 ，AB 2BH 2AH， 同理：CD 2CK 2KD， S梯形ABCD(ADBC)HB2，ABa， S梯ABCD 2a222BC22a2a2 2aBC2， 而 SABESDCF34a2，a2 2aBC2234a2， BC6 22a. 【解析】 本題綜合性的考查了等腰梯形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)以及等于直角三角形的性質(zhì)和梯形、三角形的面積公式，屬于中檔題目 (

18、2012 梅州)一副三角尺如圖所示疊放在一起，若 AB14 cm，求陰影部分的面積. 【解答】因?yàn)镃AD45 ，易證ACF 是等腰直角三角形 ，B30 ， ACAB27，ACF 的面積為492. 【解析根據(jù)三角形中特殊角求出邊的關(guān)系，從而求出陰影的面積，這是解題中常用的思想方法 (2012 黑龍江)已知三角形相鄰兩邊長別為 20 cm 和 30 cm, 第三邊上的高為10 cm， 則此三角形的面積為_cm2. 【解析】 如圖(1)， 當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí) ， AB30， AC20， ADBC， AD10， BD AB2AD220 2，CD AC2AD210 3，BCBDCD20 210 3， S

19、ABC12BCAD100 250 3；如圖(2)，當(dāng)高在三角形外部時(shí) ，BCBDCD20 210 3，SABC12BCAD100 250 3. 圖 1圖 2【答案】(100 250 3)或(100 250 3) 【點(diǎn)評】本勾股定理的應(yīng)用及分類討論的數(shù)學(xué)思想，易錯(cuò)點(diǎn)是只考慮一種情況 難度較大 如圖所示，在三角形ABC中， C90，兩直角邊AC6，BC8，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，它到各邊的距離相等，則這個(gè)距離是()A1 B2 C3 D無法確定 【解析】 要想直接計(jì)算，需找出表示這個(gè)相等距離的線段 ，由角平分線的性質(zhì)可知，點(diǎn)P 應(yīng)是ABC 各角平分線的交點(diǎn)，再由面積關(guān)系列方程求解 設(shè) P 點(diǎn)到三邊的距離

20、為x，連接 PA，PB，PC. 在 RtABC 中，AC6，BC8， AB2AC2BC262823664100. AB10.又因?yàn)?SABCSPABSPACSPBC， 12681210 x126x128x. 即 4810 x6x8x.所以 x2. 【答案】B 【點(diǎn)評】 這是一道方程與幾何圖形相結(jié)合的數(shù)學(xué)題，在幾何圖形問題中經(jīng)常涉及解方程、求面積等相關(guān)計(jì)算本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用 一船在燈塔C的正東方向8海里的A處，以20海里/時(shí)的速度沿北偏西30方向行駛(1)多長時(shí)間后，船距燈塔最近？(2)多長時(shí)間后，船到燈塔的正北方向？此時(shí)船距燈塔有多遠(yuǎn)？(其中：1628213.92)【分析】 最近距離就是點(diǎn)C到船航線AB的垂線段的長度，所以構(gòu)造直角三角形，再運(yùn)用勾股定理及逆定理即可【解答】 (1)如圖所示，由題意可知，當(dāng)船航行到 D 點(diǎn)時(shí)，距燈塔最近，此時(shí)， CDAB.BAC90 30 60 ， ACD30. AD12AC1284(海里) 又420 0.2(小時(shí))12(分)， 12 分后，船