整理微積分與矩形面積

1、精品文檔精品文檔Y4f(x)積分i問題的提出一一求曲邊梯形的面積圖二中用四個小矩形逼近圖二圖三中用九個小矩形逼近曲邊梯形面積的近似值為:加27即i-1當(dāng)?shù)确珠g隔無窮多時：圖四2定積分的定義a,b積分區(qū)I可上式的這個極限稱為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,記為:被積表達(dá)式積分變量/W3定積分的幾何意義曲邊梯形的面積：/丸J/必二乂曲邊梯形的面積的負(fù)值：圖五 圖五中曲線與坐標(biāo)軸所圍區(qū)域的面積為：Cfxdx 二 -時 +4 覽 fl.4定積分的性質(zhì)當(dāng)a 二 b時,f(x)(lx 0；oIIIivq T o當(dāng)a >b時,£y(x)fZr 二一f(x)fZv. £/Cv) 士 g(x)(

2、lx f(x)(lx+gx)dx. kf (x)dx =/<£/(x)(tx (k 為常數(shù). 假設(shè)"<c <br r(.v)心=£7(工)於+/(對侃5原函數(shù)與不定積分的概念定義：如果在區(qū)間/內(nèi),可導(dǎo)函數(shù) 陀 的導(dǎo)函數(shù)為-:,即：一:,都有八二/' 或 那么函數(shù)匸就稱為"J或J 匚在區(qū)間.內(nèi)的原函數(shù).例：r二是一 |一的原函數(shù).(sinx) =cosx(lux)-x > Q-,in x是工在區(qū)間(0,他)內(nèi)的原函數(shù).原函數(shù)并非唯一,如：r-'"-,C為任意常數(shù)不定積分的定義：在區(qū)間內(nèi),函數(shù)；工的帶有任意常

3、數(shù)項的原函數(shù)稱為；工在區(qū)間內(nèi)的不定積分, 記為;任意常數(shù)積分變量被積表達(dá)式 被積函數(shù) h積分號6積分的根本計算i.由不定積分的定義可知,尋找原函數(shù)是計算的關(guān)鍵例如:微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是 互逆的,因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式 .如:(1)韌x二氐+U常數(shù);兀屮1疋必二+031);"1lnx + C;ii.定積分是特殊條件下的不定積分"MX陀"彳但況這稱為牛頓一萊布尼茨公式例1：求(arcten1i+?f片 dx = arctan x + CJl + ?例3:求:(2 cos x +sin x-1)必.解：原 5=2siiixc5sx-xV = 3-L J

4、0 2結(jié)束語:開展獨立思考和獨立創(chuàng)新的一般水平,應(yīng)當(dāng)始終放在首位,而不應(yīng)當(dāng)把知識放在首位.如果一個人掌握了他 的學(xué)科的根底理論,并且學(xué)會了獨立思考與工作,他必定會找到自己的道路.而且比起那些主要以獲取細(xì)節(jié)知識為其 練習(xí)內(nèi)容的人來,他一定會更好適應(yīng)進(jìn)步和變化.愛因斯坦7.定積分的根本思想是化整為零、以不變代變,積零為整,再取極限四個局部.1也八 ' 的幾何意義是由-：,一 ,丁 一靑,：一圍成的曲邊梯形的面積代數(shù)和.矩形方法就是用小矩形面 積代替小曲邊梯形的面積,然后求和以獲得定積分的近似值見圖.試選擇一個簡單的定積分題目利用 定積分近似計算的矩形公式計算之,觀察后者隨著節(jié)點的增多,計算

5、值與準(zhǔn)確值的誤差變化.圖1定積分的幾何意義3.3.3應(yīng)用實驗本實驗研究轉(zhuǎn)售機(jī)器的最正確時間問題.1.定積分定義面積問題資料在極限局部我們已經(jīng)討論拋物線下的面積問題.現(xiàn)在我們討論一個更一般的面積問題.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上是連續(xù)的,且是非負(fù)的,如圖1所示.如何求由曲線y = f(x) 與直線x =a,x =b與x軸所圍成的區(qū)域的面積呢？我們現(xiàn)在有兩個問題要解決,一是給出面積的定義,一是找出計算面積的方法.微積分 的巨大功績就在于用干凈利落的方法同時解決了這兩問題.由圖1所示的圖形稱為曲邊梯形.求曲邊梯形的面積的方法與求拋物線下的面積的方法是一樣的.建I啊辿薦氐圖1曲邊梯形把區(qū)間a,b】分成

6、n份,分點為=b,a = x0 : X! :：:：xn4 : xn小區(qū)間的長度分別為Xo= Xi -Xo, Xi 二 X2 - Xi,"：Xi=Xi 1 Xi,Xnj = Xn Xn_|.過各分點作平行于 y軸的直線,這些直線把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形,設(shè)第i個小曲邊梯形的面積為Si (i - 0,1,2, -1).在每個小區(qū)間Xi,Xi1 1上,任取一點i,即Xi 一 i -Xi1.過點i引平行于y軸的直線, 交曲線y = f(x)于點pi,點pi的縱坐標(biāo)為f( i).過pi作平行于x軸的直線,與直線 x =人,x = Xi 1交成一個小矩形,如圖2中的陰影局部所示,這個小矩形的

7、面積為f( i). 'Xi,即坷勺4iXM b.x圖2小矩形面積fi)UXiS f( i)*i把n個小矩形的面積加起來,就得到曲邊梯形面積S的一個近似值：S ： ff( J* f ( n)n AA f ( i) %=i =°n 4令S 二爲(wèi) f( i)X符號“ V 為希臘字母,念作“西格瑪,它表示一種求和運(yùn)算.當(dāng)分點無限增多,即 n無限增大,而小區(qū)間的長度,Xi無限縮小時,如果和 Sn的極限存在,我們就很自然地定義曲邊梯形的面積為和的極限：心S = lim i - f ( i) xi .XjrO i =°由此我們提出的問題也就解決了.由于我們已經(jīng)給出了曲邊梯形面積的

8、定義,并且給出了計算面積的方法, 但是在一般情況下,用求極限的方法去計算面積是太困難了,我們還需要找出更為簡便的方法,這將在后面給出.定積分概念的起源與應(yīng)用定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他一些實際問題.定積分的思想在古代數(shù)學(xué)家的工作中,就已經(jīng)有了萌芽.比如古希臘時期阿基米德在公元前 240年左右,就曾用求和的方法計算過拋物線弓形及其他圖形的面積.公元263年我國劉徽提出的割圓術(shù),也是同一思想.在歷史上,積分觀念的形成比微分要早.但是直到牛頓和萊布尼茨的工作出現(xiàn)之前(17世紀(jì)下半葉),有關(guān)定積分的種種結(jié)果還是孤立零散的,比擬完整的定積分理論還未能形成,直到牛頓-萊布尼茨公式建立以后,計算

9、問題得以解決,定積分才迅速建立開展起來.牛頓和萊布尼茨對微積分的創(chuàng)立都作出了巨大的奉獻(xiàn),但兩人的方法和途徑是不同的.牛頓是在力學(xué)研究的根底上,運(yùn)用 幾何方法研究微積分的；萊布尼茲主要是在研究曲線的切線和面積的問題上,運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分要領(lǐng)的.牛頓在微積 分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動學(xué),造詣精深；但萊布尼茲的表達(dá)形式簡潔準(zhǔn)確,勝過牛頓.在對微積分具體內(nèi)容的研究上,牛頓先有導(dǎo)數(shù)概念,后有積分概念；萊布尼茲那么先有積分概念,后有導(dǎo)數(shù)概念.雖然牛頓和萊布尼茲研究微積分的方法各異,但 殊途同歸.各自獨立地完成了創(chuàng)立微積分的盛業(yè),榮耀應(yīng)由他們兩人共享.定積分概念的理論根底是極限.人類得到比擬明晰的極限

10、概念,花了大約2000年的時間.在牛頓和萊布尼茨的時代,極限概念仍不明確.因此牛頓和萊布尼茨建立的微積分的理論根底還不十分牢靠,有些概念還比擬模糊,由此引起了數(shù)學(xué)界甚至哲 學(xué)界長達(dá)一個半世紀(jì)的爭論,并引發(fā)了 “第二次數(shù)學(xué)危機(jī).經(jīng)過十八、十九世紀(jì)一大批數(shù)學(xué)家的努力,特別是柯西首先成功地建立了極限理論,魏爾斯特拉斯進(jìn)一步給出了現(xiàn)在通用的極限的定義,極限概念才完全確立,微積分才有了堅實的根底,也才有了我們今天在教材中所見到的微積分.現(xiàn)代教科書中有關(guān)定積分的定義是由黎曼給出的.一、從阿基米德的窮竭法談起【引例】從曲線°所圍圖形的面積如圖：在區(qū)間0,2個等分點丿.,得曲線上點 <過這些點

11、分別向軸,軸引垂線,得到階梯形.它們的面積分別為:-0 2 -1 2 -2 2 -(«-1? 2衛(wèi)皆卜 二咅冷 +總川* + e-K + -+ e.一nnnn=(e)° 4-(£%)1 + 2%尸 *(£%)"打 n2 1 - 2 (1 - 2)3 * _n 1- n (1 - e 角lim n -e n) 令？ = f lim = -2i-+»打i- 0+0t心2土?(mth)故可得到面積值為為了便于理解阿基米德的思想,我們先引入曲邊梯形的概念所謂曲邊梯形是指這樣的圖形,它有三條邊是直線段,其中兩條是平行的,第三條與前兩條垂直叫做

12、條曲線弧叫做曲邊,這條曲邊與任意一條垂直于底邊的直線至多只交于一點.底邊,第四條邊是一根據(jù)這一定義,引例所求圖形的面積便是一個曲邊梯形的面積.運(yùn)行程序gs0501.m,可更深刻地了解阿基米德窮竭法思想.阿基米德的做法豁曲邊梯形的面枳計算化歸為 由多個燉形狀的階梯形的面積之和. BI著小矩影的個數(shù)的無限塔多.最 終得到曲邊梯形的面積押借助計算機(jī),能更好地展示阿 奴氷德的這一思拒的重要鳩.由圖犧可看岀,Z料衣是用的單 調(diào)下降函數(shù)而心卜是耳的單調(diào) 王升函數(shù)它們同吋迢近某個面積屋20、曲邊梯形的面積計算及：軸設(shè)連續(xù)函數(shù)/20(X偽切) ,求由曲邊 y=f(x) ,直線.,:如圖,在區(qū)間上任意地插入-

13、- 1個分點a.b(2 二呵 <迥 <£ <_ 5 j <屯 <_ <X滬 1 J區(qū)間分劃成個小區(qū)間且記小區(qū)間的長度為Ax?二占-石_ ©二 12/)過每個分點作平行于軸的直線段,這些直線段將曲邊梯形分劃成'.個窄小的曲邊梯形,用個窄小的曲邊梯形的面積.由于曲邊梯形的高在上是連續(xù)變化的,在很短小的一段區(qū)間上它的變化也很小,即可近似地視為不變.因此,在 每個小區(qū)間上,可用其中某一點的高來近似代替該小區(qū)間上小曲邊梯形的變化高,用相應(yīng)的小矩形面積來近似小曲邊梯形的面 積.具體地對第個窄小曲邊梯形在其對應(yīng)區(qū)間作為近似高,以矩形面積m近似a

14、】即恥少舒即酗于是,一一:-.很明顯地_的長度八越小,近似程度就越好；要使得.=】近似程度越好,只需i：都越來越小.因此,為了得到面積的精確值,我們只需將區(qū)間無限地細(xì)分,使得每個小區(qū)間的長度都趨向于零假設(shè)記從而max Al, Ax2<* ,Axw 那么每個小區(qū)間的長度趨向于零價于A->04 二 lim L/()AxjKb 二 1i三、變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動,速度是時間間隔上的連續(xù)函數(shù),且v(f)>0,求物體在時間間隔內(nèi)所經(jīng)過的路程.在時間間隔 恥 內(nèi)任意地插入 1個分點將分劃成個時間區(qū)間由冷血切【m忙山各時間區(qū)間的長度依次為記各時間區(qū)間內(nèi)物體運(yùn)動所經(jīng)過的路程依次為人沖Aj3 *A必在時間間隔,物體所經(jīng)過的路程A二的近似值為箱日百-1山$二1,2,/即：將物體在ft-b y上的速度視為不變的,以h;來近似代替.很自然地,當(dāng)這一時間間隔段很短時,這種近似是合理的.于是可給出的近似值s二為山嚴(yán)堵Mgi=l i=l為得到1的精確值, 只