行測立體折疊學(xué)習(xí)筆記

1、圖形推理之立方體拆疊一、基礎(chǔ)知識(shí)（1）正方體性質(zhì)正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，12條邊，6個(gè)面。每個(gè)面有且有一個(gè)相對面，有4個(gè)相鄰面。每3個(gè)相鄰面有一個(gè)公共頂點(diǎn)，每2個(gè)相鄰面有一條公共邊。即每個(gè)頂點(diǎn)都必然為3個(gè)相鄰面共居，每條邊都必然為2個(gè)相鄰面共居。每個(gè)頂點(diǎn)有3條邊從該點(diǎn)出發(fā)。（2）拆開、疊起正方體的拆開是指正方體沿著邊剪開而使六個(gè)面由立體組合變?yōu)槠矫娼M合，從而形成一個(gè)由六個(gè)正方形組成的平面圖。疊起即將這個(gè)過程復(fù)原的操作。公務(wù)員考試中疊起的方向是從外向內(nèi)疊起，拆開的方式從外向內(nèi)平鋪（即立體視圖中的表面為外表面）。由于拆開是沿著邊剪開，并且保證六個(gè)面始終連接（而不是把六個(gè)面分別剪開，再隨意組合在一起的）

2、，所以不管如何拆疊，正方體還是那個(gè)正方體，所以，正方體的根本性質(zhì)不會(huì)改變，即：在立體圖和展開圖中相對面依舊是相對面，相鄰面依舊是相鄰面；每條邊所共居的兩個(gè)面不會(huì)改變；每個(gè)頂點(diǎn)共居的三個(gè)面不會(huì)改變；各面上圖案指向公共邊、公共頂點(diǎn)的方向，與公共邊、公共頂點(diǎn)的相對位置，與公共邊、公共頂點(diǎn)形成的角度，與其他面上圖案的關(guān)系不會(huì)改變；從每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條邊不會(huì)改變。 由于正方體有多種拆疊方式，并且在拆開、疊起的過程有可能會(huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn)，所以有些表面現(xiàn)象可能會(huì)變化，即：立體圖的邊有可能被剪開成為2條邊，分開到2個(gè)正方形；頂點(diǎn)有可能被剪開分開到2個(gè)、3個(gè)正方形；面的左右、上下位置可能會(huì)改變；面上圖案的方向可能會(huì)改

3、變。但是這些變化是規(guī)律的改變，這就是做題的關(guān)鍵： 被剪開的邊必然分布在它原本的2個(gè)相鄰面上，在疊起的過程中重合； 被剪開的頂點(diǎn)必然分布在它原本的2個(gè)、3個(gè)相鄰面上，在疊起的過程中重合；（立方體的疊起就是一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)、線與線重合的過程）由于立方體、平面圖都可以旋轉(zhuǎn)，所以上下、左右關(guān)系只是一種膚淺、錯(cuò)誤的空間認(rèn)知方式，但無論如何剪開、如何旋轉(zhuǎn)，不可能改變的是面與面之間旋轉(zhuǎn)方向，即3個(gè)面，沿著面1、面2、面3劃箭頭的順時(shí)針、逆時(shí)針性質(zhì)不會(huì)改變。（兩個(gè)面很難判定是順逆時(shí)針，而在立方體的一個(gè)視圖中只能看見3個(gè)面）。面上圖案的旋轉(zhuǎn)是由于立方體的旋轉(zhuǎn)造成的，圖案本身不可能旋轉(zhuǎn)，面也不可能單獨(dú)旋轉(zhuǎn)，所以圖案和公

4、共頂點(diǎn)、公共邊的關(guān)系，圖案和其他面上圖案的關(guān)系都不可能改變。（這要在首先復(fù)原公共頂點(diǎn)、公共邊，或確定其他面的前提下來應(yīng)用）（3）視圖（考試所用） 一個(gè)立體視圖可以看到正方形的3個(gè)面，包含上頂面、左側(cè)面、右側(cè)面。例如：1、任意三個(gè)非相對面都可以構(gòu)成1個(gè)視圖； 2、A、B、C面內(nèi)不能有相對面； 3、A、B、C面共享1個(gè)公共頂點(diǎn)；4、沿著A、B、C三個(gè)面畫箭頭的順、逆時(shí)針性質(zhì)與平面圖一致（具體應(yīng)用下面說明）；5、從4可以推出，3個(gè)確定的面只能構(gòu)成3種視圖，例如：（圖中A-B-C的順序都是逆時(shí)針。從A、B面考慮，它們在視圖中的分布方式可以有C(3，1)*C（2,1）=6種方式，但是另外三種方式不可能和

5、C面組成，只能和C面的相對面組成）6、從三個(gè)面組成的一個(gè)視圖可以旋轉(zhuǎn)得到另外兩個(gè)視圖（正方體是唯一且確定的，三個(gè)視圖是旋轉(zhuǎn)形成的不同視覺效果）。7、正方體不可能有2個(gè)相同的視圖（一個(gè)視圖的全部信息應(yīng)包括視圖所包含的3個(gè)面、3個(gè)面在視圖中的位置、面上圖案的方向、視圖的1公共頂點(diǎn)、3條公共邊）。8、實(shí)際上，一個(gè)面就可以確定一個(gè)視圖（一個(gè)面的全部信息應(yīng)包括面、面在視圖中的位置、面上圖案的方向、面上的4個(gè)點(diǎn)（4條邊）的位置）。設(shè)A的對面為D，B的對面為E，C的對面?zhèn)€為F，則A可以和BC，BF，EC，EF分別組成3個(gè)視圖，計(jì)12個(gè)視圖。A在上頂面可以和BC，BF，CE，EF分別組成1個(gè)視圖，計(jì)4個(gè)視圖（

6、A在左側(cè)面、右側(cè)面相同）。A面上圖案的方向是否會(huì)改變要根據(jù)具體圖案來定。A面上的4個(gè)點(diǎn)（4條邊）的位置在每個(gè)視圖中都不同。9、根據(jù)以上規(guī)律，可以得出，在解題中，判斷一個(gè)視圖是否可以有平面圖得到的方法為（按照從易到難的邏輯順序排列）：（1）三個(gè)面是否可能構(gòu)成視圖 三個(gè)面中不能有相對面；（2）三個(gè)面是否可以構(gòu)成指定視圖（面在視圖中的位置是否正確） 根據(jù)時(shí)針法，沿著三個(gè)面畫箭頭的順、逆時(shí)針性質(zhì)與平面圖一致。 （3）面上圖案的方向是否錯(cuò)誤 面上圖案與公共頂點(diǎn)、公共邊的關(guān)系，面上圖案與和其他面上圖案的關(guān)系與平面圖一致（例如上例中，字母A的尖端始終指向AB面的公共邊，B的上頂點(diǎn)始終指向BC面的公共邊，C的

7、開口始終指向CA面的公共邊，A的尖端始終指向C的下端，C的開口始終指向B的上端，B的豎直線始終與A字母平行）。（4）點(diǎn)（邊）的位置是否正確由于點(diǎn)（邊）本身都長一樣，所以通過面上圖案和點(diǎn)（邊）的關(guān)系來判斷。 三個(gè)面的公共頂點(diǎn)的性質(zhì)在視圖和平面圖中應(yīng)該一致。 兩面之間的公共邊的性質(zhì)在視圖和平面圖中應(yīng)該一致。即：公共邊為黑邊的，仍為黑邊；公共頂點(diǎn)有m根對角線穿過的，仍有m根對角線。10、視圖中首先要確定的組成這個(gè)視圖的三個(gè)面，然后才是面上圖案的方向。在解題時(shí)，不要為擔(dān)心圖案的旋轉(zhuǎn)而牽絆住。二、解題策略總體思路為排除法，即找出選項(xiàng)中答案是否有不符合的部分。注意：下述方法按照解題從易到難的順序排列，同時(shí)

8、，解題時(shí)必須遵守的思路，即必須先判斷是否出現(xiàn)相對面，而后使用時(shí)針法來判斷位置是否正確，進(jìn)而確定構(gòu)成視圖的三個(gè)面。在確定面之后，利用圖案之間，圖案和公共頂點(diǎn)、公共邊的關(guān)系來判斷圖案是否錯(cuò)誤。而描點(diǎn)法可以用來確定公共邊、公共頂點(diǎn)的，從而來判斷圖案是否正確，也可以作為殺手锏單獨(dú)使用（通常用于線條類或者圖案多有重復(fù)的題目）。根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí)-視圖-9的知識(shí)，按照以下方法來操作：（1）相對面排除法-判斷三個(gè)面是否可能構(gòu)成視圖 平面圖中的相對面變?yōu)橄噜徝妫瑒t錯(cuò)誤。 1、相對面的判斷方法以上4個(gè)平面圖中，陰影面在正方體中都是相對面。即：I型圖，即兩個(gè)面在同1列或同1行，中間隔1個(gè)面，則兩個(gè)面相對（如果中間隔2個(gè)

9、面，則為相鄰）。Z型圖，即兩個(gè)面之間相隔1列，且劃線可以構(gòu)成Z字型，則兩個(gè)面相對。注意：左圖中的兩個(gè)黑面不是相對面，因?yàn)閆字明顯一長一短，應(yīng)該如右圖所示。2、相鄰面的判斷方法平面圖中相鄰的面必然相鄰，有公共頂點(diǎn)的面必然相鄰；在同1列或同1行中間隔2個(gè)面的相鄰（它們的相對面在平面圖中相鄰的）。注意：立體圖中相鄰的面在平面圖中不一定相鄰，這是因?yàn)榀B是一個(gè)重合的過程，而拆是一個(gè)剪開的過程?？偨Y(jié)起來就是：相對必然不相鄰，平面相鄰立體必相鄰，立體相鄰需分析。（2）時(shí)針法-判斷三個(gè)面是否可以構(gòu)成該視圖沿著三個(gè)面畫箭頭，平面圖和立體圖的順、逆時(shí)針應(yīng)該一致。使用條件：1、三個(gè)面沒有相對面；2、平面圖中，三個(gè)面

10、應(yīng)該至少形成兩對面相鄰（有公共邊或者公共頂點(diǎn)）。3、不適用于面上圖案發(fā)生旋轉(zhuǎn)的題目（注意：這里的不適用是指使用時(shí)針法無法判斷圖形是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)，即無法真正實(shí)現(xiàn)解題，但并不是說時(shí)針法就無法參與解題。在圖形十分簡單或者圖案出現(xiàn)重復(fù)的題目中，使用時(shí)針法可以幫助確定構(gòu)成視圖的面，從而促進(jìn)解題）。例題解析：利用相對面排除法，可以排除選項(xiàng)C，選項(xiàng)A中1-4-6的順序?yàn)槟鏁r(shí)針，和平面圖中不相同，故排除。選項(xiàng)D中2-4-6的順序?yàn)槟鏁r(shí)針，和平面圖中不相同，故排除。選項(xiàng)B中，1-3-4的順序?yàn)槟鏁r(shí)針，和平面圖中相同，故選擇B。注意：如果三個(gè)面無法構(gòu)成條件2，則可以尋找其中一個(gè)面的相對面，它往往和另兩個(gè)面能夠構(gòu)成條

11、件2，而它和另兩個(gè)面畫箭頭的順、逆順序和原來的面相反。如果，相對面仍然無法構(gòu)成條件2，則可以選擇將較遠(yuǎn)面翻轉(zhuǎn)到另兩個(gè)面旁邊，即將該面翻轉(zhuǎn)到自己的相對面的相對面（即平面圖中該面的相對面的其他相對面位置），前提是翻轉(zhuǎn)后的平面圖依舊能夠構(gòu)成立方體。（3） 圖案關(guān)系法-判斷面上的圖案是否正確 立體圖中，指定面上圖案與公共頂點(diǎn)、公共邊的關(guān)系，面上圖案與和其他面上圖案的關(guān)系與平面圖一致。例題解析：相對面排除法：平面圖中，1點(diǎn)面和4點(diǎn)面相對，故排除B。時(shí)針法：平面圖中，1點(diǎn)面-3點(diǎn)面-2點(diǎn)面為順時(shí)針，故1點(diǎn)面-3點(diǎn)面-6點(diǎn)面為逆時(shí)針，A項(xiàng)符合。4點(diǎn)面-5點(diǎn)面-6點(diǎn)面為逆時(shí)針，故1點(diǎn)面-5點(diǎn)面-6點(diǎn)面為順時(shí)針

12、，所以排除C。2點(diǎn)面-3點(diǎn)面-4點(diǎn)面為順時(shí)針，D項(xiàng)符合。圖案關(guān)系法：平面圖中，2點(diǎn)面、3點(diǎn)面、4點(diǎn)面相鄰，優(yōu)先判斷D項(xiàng)。發(fā)現(xiàn)平面圖中2點(diǎn)與2點(diǎn)面、3點(diǎn)面的公共邊平行，垂直于2點(diǎn)面、4點(diǎn)面的公共邊，而D中2點(diǎn)與2點(diǎn)面、3點(diǎn)面的公共邊垂直，平行于2點(diǎn)面、4點(diǎn)面的公共邊，故排除D，答案為A。（4） 標(biāo)點(diǎn)法-判斷公共頂點(diǎn)、公共邊是否正確 立體圖中三個(gè)面的公共頂點(diǎn)，兩個(gè)面的公共邊的性質(zhì)應(yīng)該與平面圖中一致。 立方體的疊起就是一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)、邊與邊復(fù)合的過程。1個(gè)點(diǎn)攜帶有且只有3個(gè)面，1條邊攜帶有且只有2個(gè)面，相對面不能共享點(diǎn)、面。所以標(biāo)點(diǎn)法，就是要將平面圖中的各個(gè)點(diǎn)、邊找到自己的“下家”。 1、平面圖會(huì)出現(xiàn)1

13、4個(gè)點(diǎn)，部分點(diǎn)攜帶3個(gè)面（L型的三個(gè)面的公共點(diǎn)），如圖中的N點(diǎn)，G點(diǎn)。部分點(diǎn)攜帶2個(gè)面，如圖中的C點(diǎn)、E點(diǎn)、F點(diǎn)、J點(diǎn)、M點(diǎn)、L點(diǎn)。部分點(diǎn)攜帶1個(gè)面，如圖中的A點(diǎn)、B點(diǎn)、D點(diǎn)、H點(diǎn)、I點(diǎn)、K點(diǎn)。2、 3面點(diǎn)即是它所攜帶的3個(gè)面的公共頂點(diǎn)，如N（1,2,3）、G（4,5,6）。3、2面點(diǎn)會(huì)和1面點(diǎn)重合，成了2個(gè)點(diǎn)原本分別攜帶的3個(gè)面的公共頂點(diǎn)。如A點(diǎn)和M點(diǎn)重合（1,3,4），B點(diǎn)和L點(diǎn)重合（1,4,5），C點(diǎn)和K點(diǎn)重合（1,2,5）D點(diǎn)和J點(diǎn)重合（2,5,6），E點(diǎn)和I點(diǎn)重合（2,3,6），F(xiàn)點(diǎn)和H點(diǎn)重合（3,4,6）。4、3個(gè)1面點(diǎn)重合，成了3個(gè)點(diǎn)原本分別攜帶的3個(gè)面的公共頂點(diǎn)（圖中未出現(xiàn)此種

14、情況）。5、隨著點(diǎn)的重合，邊也重合成為面的公共邊。如AN和MN重合成為1和3的公共邊，AB和ML重合成為1和4的公共邊，BC和LK重合成為1和5的公共邊，CD和KJ重合成為2和5的公共邊，DE和JI重合成為2和6的公共邊，EF和IH重合成為3和6的公共邊，F(xiàn)G和HG重合成為4和6的公共邊。（原本就攜帶兩個(gè)面的邊不變，CN(1，2),NE(2，3)，MF(3，4),LG(4，5),GJ(5,6)）。6、注意：邊是相互重合，而不能生出新的邊。如B、L重合，平面圖上通過B、L的邊有AB,BC,LG, ML,LK,共5條邊。AB和ML重合，成為1和4公共邊，BC和LK重合，成為1和5的公共邊，LG是4

15、，5的公共邊，即從B（L）點(diǎn)出發(fā)了3條邊，不存在LC(因?yàn)橛辛薆C)，不存在BG（因?yàn)橛辛薒G）,不存在BK（因?yàn)橛辛薒K）,不存在LA（因?yàn)橛辛薆A）。根據(jù)以上的判斷，可以看出：選項(xiàng)A由3和1或4、5或6組成，但是3和5是相對面，排除5。1和6是相對面，排除。那么只有3、4、6。平面圖中，3-4-6為順時(shí)針，立體圖中符合。3-4-6的公共頂點(diǎn)為F（H），平面圖中3上的對角線沒有通過F點(diǎn)，而立體圖中通過了，所以為錯(cuò)誤。（另一種思路：先確定右側(cè)面為3，根據(jù)前面判斷的點(diǎn)重合情況，確定公共頂點(diǎn)為A（M）,可得出頂面為4，正面為1，由此得出A項(xiàng)不正確，如右上角圖。）選項(xiàng)B應(yīng)該有3和2、5或6組成，但是

16、3和5相對，所以應(yīng)該為3、2、6。3-2-1為順時(shí)針，所以3-2-6為逆時(shí)針，B符合。3、2、6公共頂點(diǎn)為E（I），平面圖中6上的斜線沒有通過I，所以B錯(cuò)誤。（另一種思路：先確定頂面為3，根據(jù)前面判斷的點(diǎn)重情況，確定公共頂點(diǎn)為E（I）,可得出正面為2（CDEN），右側(cè)面為6（HIJG），由此得出B項(xiàng)不正確。如左下角圖）選項(xiàng)C由2、5、6組成。根據(jù)時(shí)針法，4-5-6為順時(shí)針，所以2-5-6為逆時(shí)針，則判斷，左側(cè)面為5，右側(cè)面為6。2、5、6的公共頂點(diǎn)為D（J），平面圖中，5、6兩個(gè)面的斜線都沒有穿過J，C符合。5上的JK應(yīng)為直角三角形的一條邊（或者說J點(diǎn)在5上應(yīng)該為直角三角形的直角點(diǎn)），但是立體

17、圖中不符合，所以C錯(cuò)誤。( 另一種思路：右側(cè)面和正面與平面圖形中的面和面對應(yīng)，分析發(fā)現(xiàn)向外無法折出C項(xiàng)所示的方位。如左上角圖)選項(xiàng)D由3、4、6組成。平面圖中3-4-6為順時(shí)針，D符合。3-4-6的公共頂點(diǎn)為F（H），各點(diǎn)、各邊均正確，故選擇D。（右下角圖）公共頂點(diǎn)、公共邊的判斷方法：1、 從易到難法。平面圖中構(gòu)成L字型的三個(gè)面上原本相互垂直的兩條邊會(huì)重合，邊上的2個(gè)點(diǎn)會(huì)重合。即圖中的A點(diǎn)和M點(diǎn)、F點(diǎn)和H點(diǎn)重合，AN和MN重合成為1和3的公共邊，F(xiàn)G和HG重合成為4和6的公共邊。這些關(guān)系的確立為尋找公共邊、公共頂點(diǎn)打下基礎(chǔ)。2、 相互配合法。公共頂點(diǎn)必然在公共邊上，公共邊必然從公共頂點(diǎn)出發(fā)。1

18、個(gè)面必然和它的4個(gè)非相對面都有公共邊。1個(gè)面上的4條邊都要有另一個(gè)面來分享，4個(gè)點(diǎn)都要有另2個(gè)面來分享。2條邊重合則邊上的頂點(diǎn)分對重合。如A點(diǎn)和M點(diǎn)重合，則1,4的公共邊必然分別從A點(diǎn)、M點(diǎn)出發(fā)，而AN（NM）已經(jīng)是1,3的公共邊，MF是3,4的公共邊，則1,4的公共邊必然是AB、ML，同時(shí)也推斷出B點(diǎn)和L點(diǎn)重合。3、 錯(cuò)誤排除法。1個(gè)2面點(diǎn)和1個(gè)1面點(diǎn)重合。3個(gè)1面點(diǎn)重合。1個(gè)點(diǎn)已經(jīng)找個(gè)3個(gè)面，必然不再和別的點(diǎn)重合。1個(gè)邊已經(jīng)找到2個(gè)面，必然不再和別的點(diǎn)重合。知識(shí)補(bǔ)充：（1） 解題時(shí)要選擇特殊面來進(jìn)行推理，如果所有面上都無特別的圖案來幫助判斷，可以選定一面，添上一個(gè)箭頭（或者在邊上畫箭頭），來人為加上一個(gè)圖案。前提是這個(gè)箭頭必須是唯一的，即在平面圖、立體圖中都可以確定的找到這個(gè)箭頭的起點(diǎn)。（2） 上述的方法，都可以應(yīng)用到非立方體的其他立體折疊中。即都遵循相對（或者不相鄰）必不相鄰，三個(gè)面畫箭頭順逆時(shí)針方向不變，圖案關(guān)系不改變等原則。描點(diǎn)法較為復(fù)雜，在多面體中難以應(yīng)用。在解題時(shí)要根據(jù)題目進(jìn)行具體分析，雖不能直接硬搬立方體的規(guī)律，但是幾個(gè)基本原則的靈活運(yùn)用可以有效促進(jìn)解題。（3）正方體拆開可能情形 1、最長列為4個(gè)面，另2個(gè)面上下組合 （1） （2） （3） （4） （5） （6）2、5個(gè)面組成“三二相連”的基本圖形