行測立體折疊學習筆記

1、圖形推理之立方體拆疊一、基礎(chǔ)知識（1）正方體性質(zhì)正方體共有8個頂點，12條邊，6個面。每個面有且有一個相對面，有4個相鄰面。每3個相鄰面有一個公共頂點，每2個相鄰面有一條公共邊。即每個頂點都必然為3個相鄰面共居，每條邊都必然為2個相鄰面共居。每個頂點有3條邊從該點出發(fā)。（2）拆開、疊起正方體的拆開是指正方體沿著邊剪開而使六個面由立體組合變?yōu)槠矫娼M合，從而形成一個由六個正方形組成的平面圖。疊起即將這個過程復(fù)原的操作。公務(wù)員考試中疊起的方向是從外向內(nèi)疊起，拆開的方式從外向內(nèi)平鋪（即立體視圖中的表面為外表面）。由于拆開是沿著邊剪開，并且保證六個面始終連接（而不是把六個面分別剪開，再隨意組合在一起的）

2、，所以不管如何拆疊，正方體還是那個正方體，所以，正方體的根本性質(zhì)不會改變，即：在立體圖和展開圖中相對面依舊是相對面，相鄰面依舊是相鄰面；每條邊所共居的兩個面不會改變；每個頂點共居的三個面不會改變；各面上圖案指向公共邊、公共頂點的方向，與公共邊、公共頂點的相對位置，與公共邊、公共頂點形成的角度，與其他面上圖案的關(guān)系不會改變；從每個頂點出發(fā)的三條邊不會改變。 由于正方體有多種拆疊方式，并且在拆開、疊起的過程有可能會發(fā)生旋轉(zhuǎn)，所以有些表面現(xiàn)象可能會變化，即：立體圖的邊有可能被剪開成為2條邊，分開到2個正方形；頂點有可能被剪開分開到2個、3個正方形；面的左右、上下位置可能會改變；面上圖案的方向可能會改

3、變。但是這些變化是規(guī)律的改變，這就是做題的關(guān)鍵： 被剪開的邊必然分布在它原本的2個相鄰面上，在疊起的過程中重合； 被剪開的頂點必然分布在它原本的2個、3個相鄰面上，在疊起的過程中重合；（立方體的疊起就是一個點與點、線與線重合的過程）由于立方體、平面圖都可以旋轉(zhuǎn)，所以上下、左右關(guān)系只是一種膚淺、錯誤的空間認知方式，但無論如何剪開、如何旋轉(zhuǎn)，不可能改變的是面與面之間旋轉(zhuǎn)方向，即3個面，沿著面1、面2、面3劃箭頭的順時針、逆時針性質(zhì)不會改變。（兩個面很難判定是順逆時針，而在立方體的一個視圖中只能看見3個面）。面上圖案的旋轉(zhuǎn)是由于立方體的旋轉(zhuǎn)造成的，圖案本身不可能旋轉(zhuǎn)，面也不可能單獨旋轉(zhuǎn)，所以圖案和公

4、共頂點、公共邊的關(guān)系，圖案和其他面上圖案的關(guān)系都不可能改變。（這要在首先復(fù)原公共頂點、公共邊，或確定其他面的前提下來應(yīng)用）（3）視圖（考試所用） 一個立體視圖可以看到正方形的3個面，包含上頂面、左側(cè)面、右側(cè)面。例如：1、任意三個非相對面都可以構(gòu)成1個視圖； 2、A、B、C面內(nèi)不能有相對面； 3、A、B、C面共享1個公共頂點；4、沿著A、B、C三個面畫箭頭的順、逆時針性質(zhì)與平面圖一致（具體應(yīng)用下面說明）；5、從4可以推出，3個確定的面只能構(gòu)成3種視圖，例如：（圖中A-B-C的順序都是逆時針。從A、B面考慮，它們在視圖中的分布方式可以有C(3，1)*C（2,1）=6種方式，但是另外三種方式不可能和

5、C面組成，只能和C面的相對面組成）6、從三個面組成的一個視圖可以旋轉(zhuǎn)得到另外兩個視圖（正方體是唯一且確定的，三個視圖是旋轉(zhuǎn)形成的不同視覺效果）。7、正方體不可能有2個相同的視圖（一個視圖的全部信息應(yīng)包括視圖所包含的3個面、3個面在視圖中的位置、面上圖案的方向、視圖的1公共頂點、3條公共邊）。8、實際上，一個面就可以確定一個視圖（一個面的全部信息應(yīng)包括面、面在視圖中的位置、面上圖案的方向、面上的4個點（4條邊）的位置）。設(shè)A的對面為D，B的對面為E，C的對面?zhèn)€為F，則A可以和BC，BF，EC，EF分別組成3個視圖，計12個視圖。A在上頂面可以和BC，BF，CE，EF分別組成1個視圖，計4個視圖（

6、A在左側(cè)面、右側(cè)面相同）。A面上圖案的方向是否會改變要根據(jù)具體圖案來定。A面上的4個點（4條邊）的位置在每個視圖中都不同。9、根據(jù)以上規(guī)律，可以得出，在解題中，判斷一個視圖是否可以有平面圖得到的方法為（按照從易到難的邏輯順序排列）：（1）三個面是否可能構(gòu)成視圖 三個面中不能有相對面；（2）三個面是否可以構(gòu)成指定視圖（面在視圖中的位置是否正確） 根據(jù)時針法，沿著三個面畫箭頭的順、逆時針性質(zhì)與平面圖一致。 （3）面上圖案的方向是否錯誤 面上圖案與公共頂點、公共邊的關(guān)系，面上圖案與和其他面上圖案的關(guān)系與平面圖一致（例如上例中，字母A的尖端始終指向AB面的公共邊，B的上頂點始終指向BC面的公共邊，C的

7、開口始終指向CA面的公共邊，A的尖端始終指向C的下端，C的開口始終指向B的上端，B的豎直線始終與A字母平行）。（4）點（邊）的位置是否正確由于點（邊）本身都長一樣，所以通過面上圖案和點（邊）的關(guān)系來判斷。 三個面的公共頂點的性質(zhì)在視圖和平面圖中應(yīng)該一致。 兩面之間的公共邊的性質(zhì)在視圖和平面圖中應(yīng)該一致。即：公共邊為黑邊的，仍為黑邊；公共頂點有m根對角線穿過的，仍有m根對角線。10、視圖中首先要確定的組成這個視圖的三個面，然后才是面上圖案的方向。在解題時，不要為擔心圖案的旋轉(zhuǎn)而牽絆住。二、解題策略總體思路為排除法，即找出選項中答案是否有不符合的部分。注意：下述方法按照解題從易到難的順序排列，同時

8、，解題時必須遵守的思路，即必須先判斷是否出現(xiàn)相對面，而后使用時針法來判斷位置是否正確，進而確定構(gòu)成視圖的三個面。在確定面之后，利用圖案之間，圖案和公共頂點、公共邊的關(guān)系來判斷圖案是否錯誤。而描點法可以用來確定公共邊、公共頂點的，從而來判斷圖案是否正確，也可以作為殺手锏單獨使用（通常用于線條類或者圖案多有重復(fù)的題目）。根據(jù)基礎(chǔ)知識-視圖-9的知識，按照以下方法來操作：（1）相對面排除法-判斷三個面是否可能構(gòu)成視圖 平面圖中的相對面變?yōu)橄噜徝?，則錯誤。 1、相對面的判斷方法以上4個平面圖中，陰影面在正方體中都是相對面。即：I型圖，即兩個面在同1列或同1行，中間隔1個面，則兩個面相對（如果中間隔2個

9、面，則為相鄰）。Z型圖，即兩個面之間相隔1列，且劃線可以構(gòu)成Z字型，則兩個面相對。注意：左圖中的兩個黑面不是相對面，因為Z字明顯一長一短，應(yīng)該如右圖所示。2、相鄰面的判斷方法平面圖中相鄰的面必然相鄰，有公共頂點的面必然相鄰；在同1列或同1行中間隔2個面的相鄰（它們的相對面在平面圖中相鄰的）。注意：立體圖中相鄰的面在平面圖中不一定相鄰，這是因為疊是一個重合的過程，而拆是一個剪開的過程?？偨Y(jié)起來就是：相對必然不相鄰，平面相鄰立體必相鄰，立體相鄰需分析。（2）時針法-判斷三個面是否可以構(gòu)成該視圖沿著三個面畫箭頭，平面圖和立體圖的順、逆時針應(yīng)該一致。使用條件：1、三個面沒有相對面；2、平面圖中，三個面

10、應(yīng)該至少形成兩對面相鄰（有公共邊或者公共頂點）。3、不適用于面上圖案發(fā)生旋轉(zhuǎn)的題目（注意：這里的不適用是指使用時針法無法判斷圖形是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)，即無法真正實現(xiàn)解題，但并不是說時針法就無法參與解題。在圖形十分簡單或者圖案出現(xiàn)重復(fù)的題目中，使用時針法可以幫助確定構(gòu)成視圖的面，從而促進解題）。例題解析：利用相對面排除法，可以排除選項C，選項A中1-4-6的順序為逆時針，和平面圖中不相同，故排除。選項D中2-4-6的順序為逆時針，和平面圖中不相同，故排除。選項B中，1-3-4的順序為逆時針，和平面圖中相同，故選擇B。注意：如果三個面無法構(gòu)成條件2，則可以尋找其中一個面的相對面，它往往和另兩個面能夠構(gòu)成條

11、件2，而它和另兩個面畫箭頭的順、逆順序和原來的面相反。如果，相對面仍然無法構(gòu)成條件2，則可以選擇將較遠面翻轉(zhuǎn)到另兩個面旁邊，即將該面翻轉(zhuǎn)到自己的相對面的相對面（即平面圖中該面的相對面的其他相對面位置），前提是翻轉(zhuǎn)后的平面圖依舊能夠構(gòu)成立方體。（3） 圖案關(guān)系法-判斷面上的圖案是否正確 立體圖中，指定面上圖案與公共頂點、公共邊的關(guān)系，面上圖案與和其他面上圖案的關(guān)系與平面圖一致。例題解析：相對面排除法：平面圖中，1點面和4點面相對，故排除B。時針法：平面圖中，1點面-3點面-2點面為順時針，故1點面-3點面-6點面為逆時針，A項符合。4點面-5點面-6點面為逆時針，故1點面-5點面-6點面為順時針

12、，所以排除C。2點面-3點面-4點面為順時針，D項符合。圖案關(guān)系法：平面圖中，2點面、3點面、4點面相鄰，優(yōu)先判斷D項。發(fā)現(xiàn)平面圖中2點與2點面、3點面的公共邊平行，垂直于2點面、4點面的公共邊，而D中2點與2點面、3點面的公共邊垂直，平行于2點面、4點面的公共邊，故排除D，答案為A。（4） 標點法-判斷公共頂點、公共邊是否正確 立體圖中三個面的公共頂點，兩個面的公共邊的性質(zhì)應(yīng)該與平面圖中一致。 立方體的疊起就是一個點與點、邊與邊復(fù)合的過程。1個點攜帶有且只有3個面，1條邊攜帶有且只有2個面，相對面不能共享點、面。所以標點法，就是要將平面圖中的各個點、邊找到自己的“下家”。 1、平面圖會出現(xiàn)1

13、4個點，部分點攜帶3個面（L型的三個面的公共點），如圖中的N點，G點。部分點攜帶2個面，如圖中的C點、E點、F點、J點、M點、L點。部分點攜帶1個面，如圖中的A點、B點、D點、H點、I點、K點。2、 3面點即是它所攜帶的3個面的公共頂點，如N（1,2,3）、G（4,5,6）。3、2面點會和1面點重合，成了2個點原本分別攜帶的3個面的公共頂點。如A點和M點重合（1,3,4），B點和L點重合（1,4,5），C點和K點重合（1,2,5）D點和J點重合（2,5,6），E點和I點重合（2,3,6），F(xiàn)點和H點重合（3,4,6）。4、3個1面點重合，成了3個點原本分別攜帶的3個面的公共頂點（圖中未出現(xiàn)此種

14、情況）。5、隨著點的重合，邊也重合成為面的公共邊。如AN和MN重合成為1和3的公共邊，AB和ML重合成為1和4的公共邊，BC和LK重合成為1和5的公共邊，CD和KJ重合成為2和5的公共邊，DE和JI重合成為2和6的公共邊，EF和IH重合成為3和6的公共邊，F(xiàn)G和HG重合成為4和6的公共邊。（原本就攜帶兩個面的邊不變，CN(1，2),NE(2，3)，MF(3，4),LG(4，5),GJ(5,6)）。6、注意：邊是相互重合，而不能生出新的邊。如B、L重合，平面圖上通過B、L的邊有AB,BC,LG, ML,LK,共5條邊。AB和ML重合，成為1和4公共邊，BC和LK重合，成為1和5的公共邊，LG是4

15、，5的公共邊，即從B（L）點出發(fā)了3條邊，不存在LC(因為有了BC)，不存在BG（因為有了LG）,不存在BK（因為有了LK）,不存在LA（因為有了BA）。根據(jù)以上的判斷，可以看出：選項A由3和1或4、5或6組成，但是3和5是相對面，排除5。1和6是相對面，排除。那么只有3、4、6。平面圖中，3-4-6為順時針，立體圖中符合。3-4-6的公共頂點為F（H），平面圖中3上的對角線沒有通過F點，而立體圖中通過了，所以為錯誤。（另一種思路：先確定右側(cè)面為3，根據(jù)前面判斷的點重合情況，確定公共頂點為A（M）,可得出頂面為4，正面為1，由此得出A項不正確，如右上角圖。）選項B應(yīng)該有3和2、5或6組成，但是

16、3和5相對，所以應(yīng)該為3、2、6。3-2-1為順時針，所以3-2-6為逆時針，B符合。3、2、6公共頂點為E（I），平面圖中6上的斜線沒有通過I，所以B錯誤。（另一種思路：先確定頂面為3，根據(jù)前面判斷的點重情況，確定公共頂點為E（I）,可得出正面為2（CDEN），右側(cè)面為6（HIJG），由此得出B項不正確。如左下角圖）選項C由2、5、6組成。根據(jù)時針法，4-5-6為順時針，所以2-5-6為逆時針，則判斷，左側(cè)面為5，右側(cè)面為6。2、5、6的公共頂點為D（J），平面圖中，5、6兩個面的斜線都沒有穿過J，C符合。5上的JK應(yīng)為直角三角形的一條邊（或者說J點在5上應(yīng)該為直角三角形的直角點），但是立體

17、圖中不符合，所以C錯誤。( 另一種思路：右側(cè)面和正面與平面圖形中的面和面對應(yīng)，分析發(fā)現(xiàn)向外無法折出C項所示的方位。如左上角圖)選項D由3、4、6組成。平面圖中3-4-6為順時針，D符合。3-4-6的公共頂點為F（H），各點、各邊均正確，故選擇D。（右下角圖）公共頂點、公共邊的判斷方法：1、 從易到難法。平面圖中構(gòu)成L字型的三個面上原本相互垂直的兩條邊會重合，邊上的2個點會重合。即圖中的A點和M點、F點和H點重合，AN和MN重合成為1和3的公共邊，F(xiàn)G和HG重合成為4和6的公共邊。這些關(guān)系的確立為尋找公共邊、公共頂點打下基礎(chǔ)。2、 相互配合法。公共頂點必然在公共邊上，公共邊必然從公共頂點出發(fā)。1

18、個面必然和它的4個非相對面都有公共邊。1個面上的4條邊都要有另一個面來分享，4個點都要有另2個面來分享。2條邊重合則邊上的頂點分對重合。如A點和M點重合，則1,4的公共邊必然分別從A點、M點出發(fā)，而AN（NM）已經(jīng)是1,3的公共邊，MF是3,4的公共邊，則1,4的公共邊必然是AB、ML，同時也推斷出B點和L點重合。3、 錯誤排除法。1個2面點和1個1面點重合。3個1面點重合。1個點已經(jīng)找個3個面，必然不再和別的點重合。1個邊已經(jīng)找到2個面，必然不再和別的點重合。知識補充：（1） 解題時要選擇特殊面來進行推理，如果所有面上都無特別的圖案來幫助判斷，可以選定一面，添上一個箭頭（或者在邊上畫箭頭），來人為加上一個圖案。前提是這個箭頭必須是唯一的，即在平面圖、立體圖中都可以確定的找到這個箭頭的起點。（2） 上述的方法，都可以應(yīng)用到非立方體的其他立體折疊中。即都遵循相對（或者不相鄰）必不相鄰，三個面畫箭頭順逆時針方向不變，圖案關(guān)系不改變等原則。描點法較為復(fù)雜，在多面體中難以應(yīng)用。在解題時要根據(jù)題目進行具體分析，雖不能直接硬搬立方體的規(guī)律，但是幾個基本原則的靈活運用可以有效促進解題。（3）正方體拆開可能情形 1、最長列為4個面，另2個面上下組合 （1） （2） （3） （4） （5） （6）2、5個面組成“三二相連”的基本圖形