【2019最新】精選高三數(shù)學(xué)(理)人教版一輪訓(xùn)練：第八篇第6節(jié)曲線與方程

1、【 2019 最新】精選高三數(shù)學(xué)（理）人教版一輪訓(xùn)練：第八篇第 6 節(jié)曲線與方程【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)曲線與方程、直接法求軌跡方程1,10定義法、待定系數(shù)法求軌跡方程4,6,8,11,13,15相關(guān)點(diǎn)法 ( 代入法 ) 求軌跡方程3,7,9,12,14向量法、參數(shù)法求軌跡方程2,5基礎(chǔ)鞏固 ( 時(shí)間 :30 分鐘 )1. 方程 (x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲線是 (C)(A) 一條直線和一條雙曲線(B) 兩條雙曲線(C) 兩個(gè)點(diǎn)(D) 以上答案都不對(duì)解析 : 由(x-y)2+(xy-1)2=0?解得或故選 C.2. 已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),動(dòng)點(diǎn) P 滿足 |+|=2

2、, 則 P 點(diǎn)的軌跡方程是(A)(A)4x2+4y2-4x-8y+1=0(B)4x2+4y2-4x-8y-1=0歡迎下載。(C)8x2+8y2+2x+4y-5=0(D)8x2+8y2-2x+4y-5=0解析 : 設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x,y),則=(x,y),=(x-1,y-2),+=(2x-1,2y-2).所以 (2x-1)2+(2y-2)2=4,整理得 4x2+4y2-4x-8y+1=0. 故選 A.3.(2017 ·二模 ) 動(dòng)點(diǎn) P 在拋物線 y=2x2+1 上移動(dòng) , 若 P 與點(diǎn) Q(0,-1)連線的中點(diǎn)為 M,則動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程為 (B)(A)y=2x2 (B)y=4

3、x2(C)y=6x2 (D)y=8x2解析 : 設(shè) PQ中點(diǎn) M為 (x,y), 則 P(2x,2y+1) 在拋物線 y=2x2+1 上, 即 (2y+1)=2(2x)2+1, 所以 y=4x2. 故選 B.4. 設(shè)圓 (x+1)2+y2=25 的圓心為 C,A(1,0) 是圓內(nèi)一定點(diǎn) ,Q 為圓周上任一點(diǎn) . 線段 AQ的垂直平分線與 CQ的連線交于點(diǎn) M,則 M的軌跡方程為(D)(A)-=1(B)+=1(C)-=1(D)+=1解析 : 因?yàn)?M為 AQ垂直平分線上一點(diǎn) , 則|AM|=|MQ|, 所以 |MC|+|MA| =|MC|+|MQ|=|CQ|=5, 故 M的軌跡是以定點(diǎn) C,A

4、為焦點(diǎn)的橢圓 .所以 a=,c=1, 則 b2=a2-c2=,【2019最新】精選高三數(shù)學(xué)（理）人教版一輪訓(xùn)練：第八篇第節(jié)曲線與方程所以橢圓的方程為 +=1. 故選 D.5. 設(shè)過(guò)點(diǎn) P(x,y) 的直線分別與 x 軸的正半軸和 y 軸的正半軸交于 A,B兩點(diǎn) , 點(diǎn) Q與點(diǎn) P 關(guān)于 y 軸對(duì)稱 , O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . 若=2, 且· =1, 則點(diǎn) P的軌跡方程是 (A)(A) x2+3y2=1(x>0,y>0)(B) x2-3y2=1(x>0,y>0) (C)3x2-y2=1(x>0,y>0) (D)3x2+y2=1(x>0,y>0

5、)解析 : 設(shè) A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),所以即 a=x>0,b=3y>0. 點(diǎn) Q(-x,y),故由· =1, 得(-x,y)·(-a,b)=1,即 ax+by=1. 將 a,b 代入 ax+by=1 得所求的軌跡方程為 x2+3y2=1(x>0,y>0). 故選 A.6.(2017 ·安徽二模 ) 在 ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),給出 ABC滿足的條件 , 就能得到動(dòng)點(diǎn) A的軌跡方程 .下表給出了一些條件及方程 :條件方程 ABC周長(zhǎng)為

6、 102C:y =251 ABC面積為 10C2:x 2+y2=4(y 0) ABC中, A=90°C3: +=1(y 0)3/113/11則滿足條件 , , 的軌跡方程依次為 (A)(A)C3,C1,C2 (B)C1,C2,C3(C)C3,C2,C1 (D)C1,C3,C2解析 : ABC的周長(zhǎng)為 10, 即 AB+AC+BC=10,又 BC=4,所以 AB+AC=6>BC,此時(shí)動(dòng)點(diǎn) A 的軌跡為橢圓 , 與 C3對(duì)應(yīng) ; ABC的面積為 10,所以 BC·|y|=10,即|y|=5, 與 C1對(duì)應(yīng) ;因?yàn)?A=90°,所以· =(-2-x,-y

7、)·(2-x,-y)=x2+y2-4=0,與 C2對(duì)應(yīng) .故選 A.7. 直線 +=1 與 x,y 軸交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡方程是解析 : 直線 +=1 與 x,y 軸的交點(diǎn)為 A(a,0),B(0,2-a),.設(shè) AB 的中點(diǎn)為M(x,y), 則 x=,y=1-, 消去 a, 得 x+y=1. 因?yàn)?a0 且 a2, 所以 x0 且x1.答案 :x+y=1(x 0 且 x1)8. 已知圓的方程為x2+y2=4, 若拋物線過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)且以圓的切線為準(zhǔn)線, 則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程是.解析 :設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F, 過(guò)A,B,O作準(zhǔn)線的垂線AA1,BB1,OO1,則|AA1|+

8、|BB1|=2|OO1|=4,由拋物線定義得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故 F 點(diǎn)的軌跡是以 A,B 為焦點(diǎn) , 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 4 的橢圓 ( 去【2019最新】精選高三數(shù)學(xué)（理）人教版一輪訓(xùn)練：第八篇第節(jié)曲線與方程掉長(zhǎng)軸兩端點(diǎn) ).答案 :+=1(y0)能力提升( 時(shí)間 :15分鐘 )9. 如圖所示 , 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),f 將 xOy平面上的點(diǎn) P(x,y) 對(duì)應(yīng)到另一個(gè)平面直角坐標(biāo)系uOv映射上的點(diǎn) P(2xy,x2-y2), 則當(dāng)點(diǎn) P 沿著折線 ABC 運(yùn)動(dòng)時(shí) , 在映射 f 的作用下 , 動(dòng)

9、點(diǎn) P的軌跡是 ( D )解析 : 當(dāng) P 沿 AB運(yùn)動(dòng)時(shí) ,x=1.設(shè) P(x ,y ), 則(0 y1),所以 y=1-(0 x 2,0 y 1).當(dāng) P 沿 BC運(yùn)動(dòng)時(shí) ,y=1, 則(0 x1),所以 y=-1(0 x 2,-1 y 0),由此可知 P的軌跡如 D所示 . 故選 D.10.(2017 ·湖南聯(lián)考 ) 設(shè)點(diǎn) P(x,y) 是曲線 a|x|+b|y|=1(a>0,b>0)上 的 動(dòng) 點(diǎn) , 且 滿 足 + 2, 則a+b 的 取 值 范 圍 為(A)(A)2,+ )(B)1,2(C)1,+ )(D)(0,2解析 : 設(shè) F1(0,-1),F2(0,1)

10、,則滿足 +=2 的點(diǎn) P 的軌跡是以 F1(0,-1),F2(0,1)為焦點(diǎn)的橢圓 , 其方5/115/11程 為 +=1. 曲 線a|x|+b|y|=1(a>0,b>0)為 如 圖 所 示 的 菱 形ABCD,C(,0),D(0,).由于 +2,所以菱形 ABCD在橢圓上或其內(nèi)部 ,所以 1, ,即 a1,b .所以a+b1+×=2. 故選A.11.(2017·江蘇鹽城模擬) ABC的頂點(diǎn)A(-5,0),B(5,0),ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上, 則頂點(diǎn)C的軌跡方程是.解析 :如圖 ,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,

11、所以 |CA|-|CB|=8-2=6.根據(jù)雙曲線定義 , 所求軌跡是以 A,B 為焦點(diǎn) , 實(shí)軸長(zhǎng)為 6 的雙曲線的右支, 故方程為 -=1(x>3).答案 :-= 1(x>3)12. 已知點(diǎn) A,B 分別是射線l1:y=x(x0),l2:y=-x(x0) 上的動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn), 且 OAB的面積為定值2,則線段AB 中點(diǎn)M的軌跡方程為.解析 :由題意可設(shè)A(x1,x1),B(x2,-x2),M(x,y),其中x1>0,x2>0,【2019最新】精選高三數(shù)學(xué)（理）人教版一輪訓(xùn)練：第八篇第節(jié)曲線與方程則因?yàn)?OAB的面積為定值 2,所以 SOAB=OA·OB=

12、 (x1)(x2)=x1x2=2. 2- 2 得 x2-y2=x1x2, 而 x1x2=2, 所以 x2-y2=2.由于 x1>0,x2>0, 所以 x>0,即所求點(diǎn) M的軌跡方程為 x2-y2=2(x>0).答案 :x2-y2=2(x>0)13.(2017 ·一模 ) 已知定圓 M:(x-3)2+y2=16 和圓 M所在平面內(nèi)一定點(diǎn) A, 點(diǎn) P 是圓 M上一動(dòng)點(diǎn) , 線段 PA的垂直平分線 l 交直線 PM于點(diǎn) Q.(1) 討論 Q 點(diǎn)的軌跡可能是下面的情形中的哪幾種 : 橢圓 ; 雙曲線 ;拋物線 ; 圓 ; 直線 ; 一個(gè)點(diǎn) .(2) 若定點(diǎn) A

13、(5,0), 試求 QMA的面積的最大值 .解:(1) 由題意知 |QP|=|QA|,當(dāng) A 在圓 M外時(shí) ,|MA|>4, 且|QA|-|QM|=|PM|=4<|MA|,所以 Q點(diǎn)的軌跡是以 M,A 為焦點(diǎn)的雙曲線 , 見(jiàn)圖 (1).當(dāng)A在圓M內(nèi),且與M不重合時(shí),|MA|<4,且|QA|+|QM|=|MP|=4>|MA|,所以 Q點(diǎn)的軌跡是以 M,A 為焦點(diǎn)的橢圓 , 見(jiàn)圖 (2).當(dāng) A 在圓 M上時(shí) ,l 過(guò)定點(diǎn) M,l 與 PM的交點(diǎn) Q就是點(diǎn) M,所以點(diǎn) Q的軌跡就是一個(gè)點(diǎn) , 見(jiàn)圖 (3).7/117/11當(dāng) A與 M重合時(shí) ,l與 PM的交點(diǎn) Q就是 PM

14、的中點(diǎn) , 所以點(diǎn) Q的軌跡就是圓 , 見(jiàn)圖 (4).綜上所述 ,Q 點(diǎn)的軌跡可能是四種.(2) 因?yàn)?A(5,0) 在圓 M內(nèi),由(1) 知, 點(diǎn) Q的軌跡是以 M,A為焦點(diǎn)的橢圓 ,且|MA|=2=2c,|MP|=4=2a,所以 b=,由橢圓的幾何性質(zhì)可知,Q 為短軸端點(diǎn)時(shí) , 最大 ,所以 SMQA的最大值為· 2c·b=.14.(2017 ·二模 ) 如圖 , 拋物線 E:y2=2px(p>0) 與圓 O:x2+y2=8 相交于 A,B 兩點(diǎn) , 且點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 2. 過(guò)劣弧 AB上的動(dòng)點(diǎn) P(x0,y0) 作圓 O 的切線交拋物線 E 于 C

15、,D 兩點(diǎn) , 分別以 C,D 為切點(diǎn)作拋物線 E 的切線 l1,l2,l1 與 l2 相交于點(diǎn) M.(1) 求 p 的值 ;(2) 求動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程 .解:(1) 由點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 2, 可得點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (2,2),代入 y2=2px, 解得 p=1.(2) 設(shè) C(,y1),D(,y2),y10,y2 0.切線 l1:y-y1=k(x-),代入 y2=2x 得 ky2-2y+2y1-k=0,由=0 解得 k=,【2019最新】精選高三數(shù)學(xué)（理）人教版一輪訓(xùn)練：第八篇第節(jié)曲線與方程所以 l1 方程為 y=x+, 同理 l2 方程為 y=x+.聯(lián)立解得因?yàn)?CD方程為 x0x+y

16、0y=8, 其中 x0,y0 滿足 +=8,x0 2,2,聯(lián)立方程得 x0y2+2y0y-16=0, 則代入可知 M(x,y) 滿足所以代入 +=8 得-y2=1,考慮到 x02,2,知 x-4,-2.所以動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程為 -y2=1,x -4,-2.15.(2018 ·一模 ) ABC中,O 是 BC的中點(diǎn) ,|BC|=3, 其周長(zhǎng)為 6+3, 若點(diǎn) T 在線段 AO上, 且|AT|=2|TO|.(1) 建立合適的平面直角坐標(biāo)系 , 求點(diǎn) T 的軌跡 E 的方程 ;(2) 若 M,N是射線 OC上不同的兩點(diǎn) ,|OM| ·|ON|=1, 過(guò)點(diǎn) M的直線與 E交于 P,

17、Q兩點(diǎn) , 直線 QN與 E交于另一點(diǎn) R,證明 : MPR是等腰三角形 .(1) 解: 以 BC所在直線為 x 軸,O 為坐標(biāo)原點(diǎn) , 建立平面直角坐標(biāo)系 , 則9/119/11|AB|+|AC|=6>|BC|,所以點(diǎn) A 的軌跡是以 B,C 為焦點(diǎn)的橢圓 ,所以 2a=6,2c=3,所以 a=3,c=,所以 b2=a2-c2=,所以點(diǎn) A 的軌跡方程為 + =1(y 0).設(shè) T(x,y), 點(diǎn) T 在線段 AO上, 且|AT|=2|TO|,所以 A(3x,3y),代入軌跡方程 ,整理可得點(diǎn) T 的軌跡 E 的方程是 x2+2y2 =1(y 0).(2) 證明 : 根據(jù)題意 , 設(shè) M(m,0),(m>0), 由|OM|·|ON|=1,得 N