CH3冪級(jí)數(shù)展開(kāi)ppt課件

1、1l第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)l第二節(jié)第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)l第三節(jié)第三節(jié) TaylorTaylor級(jí)數(shù)表示級(jí)數(shù)表示l第四節(jié)第四節(jié) 解析延拓解析延拓l第五節(jié)第五節(jié) LaurentLaurent級(jí)數(shù)表示級(jí)數(shù)表示l第六節(jié)第六節(jié) 孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類2l復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念形如 的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn是復(fù)數(shù)。121nnnwwww收斂與發(fā)散假設(shè) 的前n項(xiàng)和 有極限(n),則稱該級(jí)數(shù)收斂，且稱此極限值為該無(wú)窮級(jí)數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。1nnwnjjnwS13收斂的充分必要條件設(shè) ，則級(jí)數(shù) 收斂的充分必要條件是 和 都收斂，其中un和 vn皆為實(shí)數(shù)。), 2 , 1(invuwnnn1n

2、nw1nnu1nnv絕對(duì)收斂與條件收斂稱級(jí)數(shù) 是絕對(duì)收斂的，假設(shè) 是收斂的1nnw1|nnw稱級(jí)數(shù) 是條件收斂的，假設(shè) 是發(fā)散，而 是收斂的1nnw1|nnw1nnw4舉例考察級(jí)數(shù) 的斂散性1/11nnien考察級(jí)數(shù) 的斂散性1nnz考察級(jí)數(shù) 的斂散性12) 1(nnnin5l復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念收斂與發(fā)散形如 的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中wn(z)是復(fù)變函數(shù)。121)()()()(nnnzwzwzwzw點(diǎn)收斂：域收斂：收斂稱之10)(nnzw收斂，zB，稱之1)(nnzw收斂的充分必要條件級(jí)數(shù) 收斂的充分必要條件是 和 都收斂，其中), 2 , 1(),(i),()(nyxvyxuzwnnn)

3、(1zwnn),(1yxunn),(1yxvnn柯西收斂判據(jù)1 ( )npkk nw z 對(duì)于 ，假設(shè) 0，存在 N，當(dāng)nN 時(shí)，有 其中p為任意正數(shù))(1zwnn7性質(zhì)連續(xù)性級(jí)數(shù) 在B內(nèi)一致收斂，且wn(z)延續(xù)，則該級(jí)數(shù)在B內(nèi)連續(xù))(1zwnn可積性級(jí)數(shù) 在C上一致收斂，且wn(z)在C上連續(xù)，那么)(1zwnn11)()(nCnCnndzzwdzzw解析性級(jí)數(shù) 在B內(nèi)一致收斂于f(z)，且wn(z)在B內(nèi)解析，則f(z)在B內(nèi)解析，且)(1zwnn1)()()()(nknkzwzf8概念收斂半徑與收斂圓形如 的級(jí)數(shù)被稱為以z0為中心的冪級(jí)數(shù)，其中an是復(fù)常數(shù)。10)(nnnzza若存在正

4、數(shù)R，使得當(dāng)|z-z0|R時(shí)，級(jí)數(shù) 發(fā)散，則稱R為級(jí)數(shù) 的收斂半徑，其中|z-z0|R被稱為收斂圓。10)(nnnzza10)(nnnzza10)(nnnzza9收斂半徑的求法1limnnnaaRnnnaR1limDAlembert公式Cauchy (根式) 公式10舉例求級(jí)數(shù) 的斂散半徑及收斂圓1nnz11求級(jí)數(shù) 的斂散半徑收斂圓12(1)1( 1)nnnz1lim1kkkaaR12)1(2111) 1(nnnzz12內(nèi)閉一致收斂?jī)缂?jí)數(shù)的性質(zhì)在收斂園內(nèi)冪級(jí)數(shù)具有連續(xù)性、可積性和解析性冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)內(nèi)閉一致收斂13可積性14第三節(jié) Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)15lTaylor定理設(shè)函數(shù) f(z)以

5、z0為圓心的圓周CR內(nèi)解析，則對(duì)于圓內(nèi)任一點(diǎn)z，函數(shù)f(z)可寫成00)()(kkkzzazf10( )01( )2i()1()!RkkCkfadzfzk其中z0zCRCRRR2：收斂半徑：收斂半徑：R=LL：展開(kāi)中心到被展函數(shù)離：展開(kāi)中心到被展函數(shù)離z0最近的奇點(diǎn)的距離最近的奇點(diǎn)的距離【例】【例】111kk ozzzX X展開(kāi)的三要素：展開(kāi)中心，收斂半徑，展開(kāi)系數(shù)展開(kāi)的三要素：展開(kāi)中心，收斂半徑，展開(kāi)系數(shù)1 ：展開(kāi)中心：題目中給定。：展開(kāi)中心：題目中給定。3：展開(kāi)系數(shù)由不同的展開(kāi)方法求出。：展開(kāi)系數(shù)由不同的展開(kāi)方法求出。收斂半徑收斂半徑R10到到1的距離）的距離）泰勒展開(kāi)的唯一性定理：泰勒展

6、開(kāi)的唯一性定理：對(duì)于給定的一個(gè)圓內(nèi)解析的函數(shù)，它的泰勒展開(kāi)對(duì)于給定的一個(gè)圓內(nèi)解析的函數(shù)，它的泰勒展開(kāi)是唯一的。即若：是唯一的。即若： 0000 , kkkkkkf zazzf zbzz則定有：則定有：kkab有唯一性定理作保障，同一道題目可以使用不同有唯一性定理作保障，同一道題目可以使用不同的展開(kāi)方法。的展開(kāi)方法。(證明過(guò)程見(jiàn)課本證明過(guò)程見(jiàn)課本 P39)1、直接展開(kāi)法、直接展開(kāi)法 利用：利用： 0 !kkfzak【例【例1】在】在z0=0點(diǎn)鄰域，將點(diǎn)鄰域，將f(z)=ez展為泰勒級(jí)數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)【例【例2】在】在z0=0點(diǎn)鄰域，將點(diǎn)鄰域，將f(z)=sinz展為泰勒級(jí)數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)【例【例3】

7、在】在z0=1點(diǎn)鄰域，將點(diǎn)鄰域，將f(z)=lnz展為泰勒級(jí)數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù) 泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)方法泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)方法展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。例：在例：在z0=0鄰域上將鄰域上將zezf)(解：解：! 212kzzzkzkk lim!)(0)(kzfakk01 d! dkzkzekz!1kze1limkkkaaR0!kkkz展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。例：在例：在z0=0鄰域上將鄰域上將zzfsin)( f (z)=sinz f (z)=sinz 在全平面解析在全平面解析 0 sin kkk za zz 012223334440sin 00 00!1cos 01 11!0sin 00 02!1c

8、os 01 3!sin 00 0fzzfafzzfafzzfafzzfafzzfa 22100 0,1,21!21 !nknknafankan2101 sin z21 !nnnzzn 201cos z2!nnnzzn 級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，等號(hào)左右的奇偶性是一致的。同理可證：例：在例：在z0=1鄰域上把鄰域上把zzfln)(解：解：zzfln)(1ln) 1 (fin2zzf1)( 2! 1)( zzf3)3(! 2)(zzf( )1(1)!( )( 1)kkkkfzz 1) 1 ( f1) 1 ( f! 2) 1 ()3(f( )1(1)( 1)(1)!kkfk zln1211!( 1)(1)!2(

9、1)(1)(1)1!2!kkknizzzk 展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。lnz12121111!( 1)(1)!2(1)(1)(1)1!2!1( 1)2(1)(1)(1)2121 1 1kkkkkkkknizzzknizzzknizzk 例：在例：在z0=0鄰域上將鄰域上將zzf11)(解：解：1z21zzz110kkz展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)。111ln21 11kkkznizzk2101sin z21 !nnnzzn 201cos z2!nnnzzn 01 !zkkezzk 01 z11kkzz基基 本本 展展 式式2、間接展開(kāi)法、間接展開(kāi)法理論依據(jù)：泰勒展開(kāi)的唯一性理論依據(jù)：泰勒展開(kāi)的

10、唯一性 出發(fā)點(diǎn)：基本展式出發(fā)點(diǎn)：基本展式方法一、變量變換方法一、變量變換【例【例1】在】在z0=0點(diǎn)，將點(diǎn)，將f(z)=1/(2-z)展為泰勒級(jí)數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)【例【例2】在】在z0=1點(diǎn)，將點(diǎn)，將f(z)=ez展為泰勒級(jí)數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)【例【例3】在】在z0=0點(diǎn)，將點(diǎn)，將f(z)=ln(1+z)展為泰勒級(jí)數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)【例【例4】在】在z0=0點(diǎn)，將點(diǎn)，將f(z)=1/(z-1)(z-2)展為泰勒級(jí)數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)方法一、變量變換方法一、變量變換【例【例1】 1 02f zzzX X0 解：解： f(z)在在z0=0點(diǎn)及其鄰域解析點(diǎn)及其鄰域解析 0 2kkk fza zz111112221120

11、 Z0 z2 122zzZzzZzZ令令021001111221211 z2222kkkkkkkZzZzz【例【例2】在】在z0=1點(diǎn)鄰域，將點(diǎn)鄰域，將f(z)=ez展為泰勒級(jí)數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)1 11zzzeeee z-1Z 1 Z0z-1 Zz 01!ZkkeeeZk011 z-1!kzkeezk 解：解： f(z)在在z0=1點(diǎn)及其鄰域解析點(diǎn)及其鄰域解析 0 1 1kkk fzazz 【例【例3】在】在z0=0點(diǎn)，將點(diǎn)，將f(z)=ln(1+z)展為泰勒級(jí)數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)解：解： f(z)在在z0=0點(diǎn)及其鄰域解析點(diǎn)及其鄰域解析 0 ln 1 1kkk za zzln 1z令令1+zZ 0Z1

12、z1Z-11z 11111ln21 1 21 1 kkkkkkZniZknizk 111ln 12 z1kkkznizkX X0 【例【例4】在】在z0=0點(diǎn)鄰域，將點(diǎn)鄰域，將f(z)=1/(z-1)(z-2)展為泰勒級(jí)數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù) 11111122121f zzzzzzz10011111 z222 12222kkkkkzzzz 01 z11kkzz其中：其中：X X0 X X 10111 z1122kkkf zzzz【例【例5】 201 0zf zez 21 zezf在在z=0點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解析點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解析 22001 11 211 1-221 22 zzzzkkkkkkkf zeeez

13、zk!k!zk! 方法二、算術(shù)運(yùn)算法方法二、算術(shù)運(yùn)算法微分法：微分法： dddf zf zzz適用于被展函數(shù)的原函數(shù)易展開(kāi)的情況。適用于被展函數(shù)的原函數(shù)易展開(kāi)的情況。【例】【例】 021 z01f zz0 X Xf(z)f(z)的奇點(diǎn)是的奇點(diǎn)是 z=1z=1 f(z) f(z)在在z=0z=0點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解析點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解析201 11kkk a zzz方法三、分析運(yùn)算法方法三、分析運(yùn)算法12001d1dd 1d1kkkkzkzzzzz1201 z11kkkzz積分法：積分法： dddf zf zzCz適用于被展函數(shù)的導(dǎo)數(shù)易展開(kāi)的情況。適用于被展函數(shù)的導(dǎo)數(shù)易展開(kāi)的情況。 0ln 1 0fzzz

14、0 ln 1 1kkk za zz【例】【例】f(z)f(z)的奇點(diǎn)是的奇點(diǎn)是 z=1z=1 f(z) f(z)在在z=0z=0點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解析析0 X X010dln 1ln 1dd1 d1 d1 1kkkkzzzCzzCzzzCzCk 0C 01110010Czkzlnzkkz101ln 1 01kkzzzk 37l解析函數(shù)的一個(gè)等價(jià)命題函數(shù) f(z)在B內(nèi)解析的充分必要條件為 f(z)在B內(nèi)任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展成冪級(jí)數(shù)38第四節(jié) 解析延拓211 (| | 1)1kttttt 246211 (| 1)1zzzzz解析延拓：已給某個(gè)區(qū)域b上的解析函數(shù)f(z),能否找到另一個(gè)函數(shù)F

15、(z),它在含有區(qū)域b的一個(gè)較大的區(qū)域B上是解析函數(shù)，而且在區(qū)域b上等同于f(z)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，解析延拓就是解析函數(shù)定義域的擴(kuò)大！)(zf)(zF39原則上講，解析延拓都可以利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行。具體地說(shuō)，選取區(qū)域b的任一內(nèi)點(diǎn)z0，在z0的領(lǐng)域上把解析函數(shù)f(z)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，如果這個(gè)泰勒級(jí)數(shù)的收斂圓有一部分超出b之外，解析函數(shù)f(z)的定義域就擴(kuò)大了一步。這樣一步又一步，定義域逐步擴(kuò)大。解析延拓是唯一的！ 40l問(wèn)題的提出已知結(jié)果：當(dāng) f(z)在圓|z-z0|R內(nèi)解析，Taylor定理告訴我們，f(z)必可展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。問(wèn)題是：當(dāng) f(z)在圓|z-z0|R2外收斂。如果R2R1，那么雙邊冪級(jí)數(shù)

16、就在環(huán)狀域 R2|z-z0|R1 內(nèi)收斂，所以 R2|z-z0|R1給出了雙邊冪級(jí)數(shù)的環(huán)狀收斂域，稱為收斂環(huán)。雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對(duì)一致收斂。4300)(nnnzza正冪部分10)(nnnzza負(fù)冪部分R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|R2R1z0收斂環(huán)R2|z-z0|R101zz 44l雙邊冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)R2R1z0B定理設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù) 的收斂環(huán)B為R2|z-z0|R1，那么nnnzza)(0nnnzzazf)()(0(1) 在B內(nèi)連續(xù)；(2) 在B內(nèi)解析，且于B內(nèi)可逐項(xiàng)可導(dǎo)；(3) 在B內(nèi)可逐項(xiàng)積分。45lLaurent定理設(shè)函數(shù) f(z) 在環(huán)狀域 R2|z-z0|R1 的內(nèi)

17、部單值解析，則對(duì)于環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z， f(z)可展開(kāi)成nnnzzazf)()(0Ckkdzfa10)()(i21其中zCR1CR2R2R1z0C46(3) Laurent級(jí)數(shù)中的z0點(diǎn)可能是f(z)的奇點(diǎn)，也可能不是f(z)的奇點(diǎn)闡明(2) Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性)(!10)(zfnann(1)與泰勒展開(kāi)系數(shù)不同(4) 與泰勒級(jí)數(shù)定理不一樣，我們一般不利用洛朗級(jí)數(shù)定理計(jì)算洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)怎么樣求解洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)呢？47例1在z0=0的鄰域上把(sin z)/z 展開(kāi)解：函數(shù) f(z) = (sin z)/z 在z0=0點(diǎn)沒(méi)有定義， z0=0 為奇點(diǎn)。為避開(kāi)奇點(diǎn)，從復(fù)數(shù)平面挖去原點(diǎn).知357sin

18、 (|)1!3!5!7!zzzzzz 在挖去原點(diǎn)的復(fù)平面上用z遍除sin z即得 246sin1 (|)3!5!7!zzzzzz 0sin (0)( )sinlim1 (0)zzzzf zzzz定義f(z)解析延拓48函數(shù) f(z)=1/(1-z2) 分別在1|z| 和 0|z-1|2內(nèi)的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)11-11|z| 例22222246021111111111kkzzzzzzzz z1中心為z=0，因此是要將f(z)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù)1z的定義域是211)(zzf（11|z|21-10|z-1|2211 21 2111zzz220111111 1212 (0 |1| 2)kkkkzzz

19、z210 z中心為z=1，因此是要將f(z)展開(kāi)成(z1)的冪級(jí)數(shù)?011112141 (1) 211142kkkzzz負(fù)冪項(xiàng)（20|z-1|250在z=0的鄰域上把 f(z)=e1/z 展開(kāi)例3將z全換成1/z即得013201!111! 311! 211! 1111!1kkzkkzzkezzzzzke即zzzzzkekkz320! 31! 21! 111!1知51zzzzzkekkz320! 31! 21! 111!1357sin (|)1!3!5!7!zzzzzz zzzzz642! 61! 41! 211cos111132zzzzzl概念若函數(shù) f(z) 在某點(diǎn)z0不可導(dǎo)，而在z0的任意

20、鄰域內(nèi)除z0外連續(xù)可導(dǎo)，則稱z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)；若在z0的無(wú)論多小的鄰域內(nèi)總可以找到z0以外的不可導(dǎo)點(diǎn)，則稱z0為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。舉例孤立奇點(diǎn)的例子2/111 , ,1zezz非孤立奇點(diǎn)的例子)/1sin(1z1 ,21 , ,0, ,21 ,153l孤立奇點(diǎn)的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)在區(qū)域 0|z-z0|R 內(nèi)的單值解析函數(shù) f(z) 可展開(kāi)成nnnzzazf)()(0其中正冪部分00)(nnnzza是該級(jí)數(shù)的解析部分10)(nnnzza是該級(jí)數(shù)的主要部分負(fù)冪部分這里a-1具有特殊的作用，被稱為f(z)在點(diǎn)z=z0處的留數(shù)54l孤立奇點(diǎn)的分類主要部分不存在即沒(méi)有負(fù)冪項(xiàng)主要部分有m項(xiàng)即有m項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng)主要部分有無(wú)窮多項(xiàng)即有無(wú)窮多項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng)nnnzzazf)()(0可去奇點(diǎn)：m階極點(diǎn)：本性奇點(diǎn)：55l孤立奇點(diǎn)的等價(jià)命題內(nèi)有界在可去奇點(diǎn)|z-|0)(lim00zlzfzz)(lim )0()()(lim 0)z ()(),()(1)(00000zfaazfzzzzzzzfmzzmzzm解析且階極點(diǎn)不存在且不為無(wú)窮