產(chǎn)品建模中NURBS曲線的連續(xù)性研究

1、產(chǎn)品建模中NURBS曲線的連續(xù)性研究摘要：優(yōu)秀的產(chǎn)品數(shù)據(jù)模型能夠大大地提高設(shè)計(jì)生產(chǎn)各個環(huán)節(jié)的工作效率，本文以Rhino為例，探討了建立NURBS數(shù)據(jù)模型中最基礎(chǔ)而最重要的工作調(diào)整曲線的連續(xù)性，提出了調(diào)整曲線從G0連續(xù)到G3以上連續(xù)性的幾種方法。關(guān)鍵詞：NURBS，曲線連續(xù)，產(chǎn)品建模一、 曲線的幾何連續(xù)性 連續(xù)性在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)領(lǐng)域是一個非常重要的概念，大多數(shù)情況下因?yàn)闊o法用一條曲線（曲面）來完整地描述產(chǎn)品，需要多條曲線（曲面）拼接才能實(shí)現(xiàn)，那么無論從產(chǎn)品的外觀設(shè)計(jì)需要、力學(xué)結(jié)構(gòu)需要、加工需要等方面，都要求各個拼接曲線（曲面）之間保持良好的光滑和統(tǒng)一性，這種統(tǒng)一性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)上就要用曲線（曲面）的

2、連續(xù)性來保證。在建立數(shù)據(jù)模型的時候，曲面都是在曲線的基礎(chǔ)上建立起來的，曲線的質(zhì)量直接決定了曲面的質(zhì)量，因此本文以Rhino為例著重探討建模中NURBS曲線的連續(xù)性問題。 在數(shù)學(xué)上，常用參數(shù)連續(xù)的概念C0、C1、C2來描述兩端曲線曲面之間的連續(xù)性關(guān)系，“如果曲線在連接處具有直到n階連續(xù)導(dǎo)矢，即n次連續(xù)可微，這類光滑度稱之為或n階參數(shù)連續(xù)性” 1，也就是說如果兩段曲線在連接點(diǎn)具有對參數(shù)u的相同的n階導(dǎo)數(shù)，那么就稱它們?yōu)樵谶B接點(diǎn)n階參數(shù)連續(xù)。例如連續(xù)是指兩段曲線在連接點(diǎn)處2階導(dǎo)數(shù)相等，這對于兩段拼接曲線的參數(shù)提出了嚴(yán)格的要求。在工程應(yīng)用上，人們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的參數(shù)連續(xù)性并不能保證兩段曲線曲面的光滑，

3、因此采用了相對寬松的幾何連續(xù)性 (Geometric Continuity)概念，幾何連續(xù)性延續(xù)了參數(shù)連續(xù)的部分要求，但主要著眼于工程產(chǎn)品的表面視覺特征。 G0連續(xù)（位置連續(xù)）：兩條曲線的端點(diǎn)位于同一位置，即第一條曲線的末端點(diǎn)與第二條曲線的首端點(diǎn)重合，位置連續(xù)是兩條曲線擺脫不連續(xù)狀態(tài)的最低條件。G1連續(xù)（相切連續(xù)）：兩條曲線符合G0連續(xù)，而且在端點(diǎn)重合的地方切線方向相同。 G2連續(xù)（曲率連續(xù)）：兩條曲線滿足G1連續(xù)條件，而且在端點(diǎn)重合的地方曲率半徑相同。G3連續(xù)：如果兩條曲線在連接點(diǎn)對各自弧長的3階導(dǎo)數(shù)相等，則兩條曲線在連接點(diǎn)具有3階連續(xù)性，它的幾何意義是兩條曲線的曲率變化率相等。G4連續(xù)：可

4、以理解為兩條曲線在連接點(diǎn)曲率變化率的變化率相等，更高階的連續(xù)性可以計(jì)算，但很難有直觀的幾何意義。 在產(chǎn)品設(shè)計(jì)實(shí)踐中，應(yīng)用比較普遍地是G0、G1和G2連續(xù)，對曲面要求比較高的產(chǎn)品如汽車外殼、飛機(jī)外殼等則要求更高的曲線曲面間的連續(xù)性。 二、 調(diào)整兩條曲線連續(xù)性 在Rhino中所建的Nurbs曲線可以是單條曲線，也可以是多條曲線拼接而成，相應(yīng)地曲線連續(xù)性問題就分為單條曲線連續(xù)性和多條曲線間連續(xù)性兩種情況。單條曲線分為單跨距曲線和多跨距曲線兩種，曲線內(nèi)是處處連續(xù)的，曲線內(nèi)不同跨距間連續(xù)性階數(shù)是曲線的階數(shù)減一，比如多跨距3階曲線，其跨距間可達(dá)到2階連續(xù)；多跨距5階曲線，其跨距間可達(dá)到4階連續(xù)，依次類推。

5、在現(xiàn)實(shí)設(shè)計(jì)和生產(chǎn)中，產(chǎn)品形狀千變?nèi)f化，很多時候用單條曲線很難表達(dá)產(chǎn)品形狀，轉(zhuǎn)而用多條曲線拼接來表達(dá)形態(tài)。所以目前在生產(chǎn)中遇到最多的就是如何拼接多條曲線，使之達(dá)到更好的連續(xù)性。下面我們以兩條曲線為例，討論如何使之連續(xù)。 在Rhino中，調(diào)整拼接曲線的連續(xù)性有自動和手動兩種方法。對于自動調(diào)整的方法，程序提供了調(diào)節(jié)曲線間連續(xù)性的工具（銜接曲線），可以進(jìn)行位置連續(xù)、切線連續(xù)、曲率連續(xù)等三種連續(xù)性操作。這個工具可以把一條曲線變形從而與另一條曲線形成特定的連續(xù)性關(guān)系，變形的曲線節(jié)點(diǎn)只改變了控制點(diǎn)的位置，若銜接成位置連續(xù)，曲線2移動一個控制點(diǎn)；若銜接成切線連續(xù)，則曲線2要移動兩個控制點(diǎn)到新位置；若銜接成曲率

6、連續(xù)，曲線2要移動3個控制點(diǎn)到新位置。 對于手動調(diào)整連續(xù)性的方法，則情況比較復(fù)雜，我們在這里簡單地討論下其方法。 (一）、手動調(diào)整拼接曲線到G1連續(xù)：如圖1左圖所示，兩條3階曲線1和2首尾連接，是位置連續(xù)的關(guān)系，我們手動移動曲線2的第二個控制點(diǎn)b2，使之與曲線1端點(diǎn)的前兩個控制點(diǎn)a1、b1共線，則曲線1、2在連接點(diǎn)切線方向相同，達(dá)到G1連續(xù)，如圖1右圖所示。b2的位置比較靈活，只要它滿足前述共線條件，曲線1、2始終達(dá)到G1連續(xù)。圖1 調(diào)整兩條曲線至G1連續(xù) 具體手動調(diào)整到G1連續(xù)的方法有很多種，可以以a1、a2的重合點(diǎn)為中心點(diǎn)，畫出一段直線，然后分別移動控制點(diǎn)b1和b2，使它們都位于此直線上，

7、從而可以使a1、b1、a2、b2這四點(diǎn)共線。也可以用工具沿著a1、b1繪出一條直線，然后把b2移動到這條直線上，也可以實(shí)現(xiàn)相同的目的。（二）、 手動調(diào)整拼接曲線到G2連續(xù)：既然手動移動b2的位置可以很容易地使曲線2與曲線1達(dá)到切線連續(xù)，那么依此類推，有沒有方法我們可以手動移動控制點(diǎn)，使a2、b2、c2同a1、b1、c1保持特定的位置關(guān)系，從而使曲線2與曲線1達(dá)到曲率連續(xù)呢? 我們下面來討論一下。 兩條曲線達(dá)到曲率連續(xù)的時候，它們連接點(diǎn)必須首先達(dá)到G0和G1連續(xù)，在此基礎(chǔ)上兩條曲線方程在連接點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)也相等。B樣條曲線的k階導(dǎo)數(shù)的一般方程為 Les Piegl & Wayne Till

8、er , The NURBS Book , Springer , 2nd. ed., 1997,p97：其中 （1）式中，表示曲線上第i個控制點(diǎn)，是曲線階數(shù)，k是導(dǎo)數(shù)階數(shù)，是節(jié)點(diǎn)。這表明，B樣條曲線的導(dǎo)數(shù)與曲線控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)有特定的函數(shù)關(guān)系。這個公式比較復(fù)雜，我們只例舉特殊情況下的特例，看看它的幾何意義。如圖2一條3階單跨距曲線，我們利用公式（1）求它在端點(diǎn)的切向量和曲率向量。 圖2 一條3階單跨距曲線 圖3 兩條3階單跨距曲線曲線端點(diǎn)的切向量就是曲線方程在端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，曲率向量就是曲線在端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)，由已知條件可知，3階單跨距曲線的節(jié)點(diǎn)矢量為0,0,0,1,1,1,進(jìn)而可由式（1）計(jì)

9、算出曲線在首端點(diǎn)P0（）點(diǎn)和末端點(diǎn)P3（）點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)（切向量）分別為： 二階導(dǎo)數(shù)（曲率向量）為： 由計(jì)算結(jié)果我們可以看出，曲線在起點(diǎn)的切向量與前兩個控制點(diǎn)有關(guān)，曲率向量與前三個控制點(diǎn)有關(guān)；曲線在末點(diǎn)的切向量與最后兩個控制點(diǎn)有關(guān)，曲率向量與最后三個控制點(diǎn)有關(guān)。 如圖3所示兩條3階B樣條曲線，曲線1的4個控制點(diǎn)是、，曲線2的4個控制點(diǎn)是、，其中點(diǎn)和重合，兩條曲線達(dá)到位置連續(xù)關(guān)系。如果兩條曲線要達(dá)到G1連續(xù)，則它們的連續(xù)性條件可以寫成 莫蓉.吳英.常智勇. 計(jì)算機(jī)輔助幾何造型技術(shù). 科學(xué)出版社.2004年2月第一版.第66頁參考文獻(xiàn)（1） 莫蓉.吳英.常智勇. 計(jì)算機(jī)輔助幾何造型技術(shù). M. 科學(xué)

10、出版社.2004年2月第一版.（2） Les Piegl & Wayne Tiller , The NURBS Book . M. Springer , 2nd. ed （3） 王國瑾.汪國昭.鄭建民.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì). M. 高等教育出版社.施普林格出版社2001年7月第一版（4） David F.Rogers. An Introduction to NURBS With Historical Perspective . M. MORGAN KAUFMANN PUBLISHERS.2001（5） 孫漠舟. 非流形表面轉(zhuǎn)化算法研究 . 中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 . 2007年5月.（6）

11、 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué). M. 高等教育出版社. 2003年8月第（7） 楊開富.NURBS造型理論及其在產(chǎn)品造型設(shè)計(jì)中的應(yīng)用. J. 包裝工程.2003年6月（8） 王仁宏.李崇君. 朱春鋼.計(jì)算幾何教程. M. 科學(xué)出版社. 2008年6月： （2）是一個正的常數(shù)，等于兩條線段的長度比。 若要兩條曲線曲率連續(xù)，它們在重合點(diǎn)的曲率向量應(yīng)該相等，結(jié)合切線連續(xù)的條件，G2連續(xù)的條件可以寫成= （3）此處就是切線連續(xù)的兩段線段長度比。 圖4 兩條3階單跨距曲線 圖5 兩條曲線曲率連續(xù)如圖4所示，使=1，也就是線段與長度相等，再使用（銜接曲線）使它們達(dá)到曲率連續(xù)，則=可知線段平行于線段。 因

12、此，如果要手動調(diào)整控制點(diǎn)使兩條曲線達(dá)到曲率連續(xù)，可以先使和共線并使之長度相等，然后過點(diǎn)畫直線平行于，再將曲線2的第三個控制點(diǎn)移動到這個直線上，則兩條曲線達(dá)到曲率連續(xù)。當(dāng)然這只是一個特例，我們再考慮更普遍的也就是線段與長度不相等的情況，使=0.5，如圖5所示，則有= （4） 上式的幾何意義為，在線段上取一點(diǎn)，使=0.25，過畫一條直線平行于，則點(diǎn)位于這條直線上時，可以滿足式（4）的連續(xù)性條件，則兩條曲線達(dá)到曲率連續(xù)。 由此，我們可總結(jié)出手工銜接曲線至曲率連續(xù)的方法和適用條件：1、若采用手工調(diào)整控制點(diǎn)使上述兩條曲線達(dá)到曲率連續(xù)，首先使、共線達(dá)到切線連續(xù)，并確定二者長度比值，然后在（或延長線）上選一

13、點(diǎn)A,使=，再過A做平行線，然后結(jié)合捕捉工具將控制點(diǎn)移動到此平行線上，則可使兩條曲線達(dá)到曲率連續(xù)。2、由式（1）可知，曲線導(dǎo)數(shù)值與曲線控制點(diǎn)以及節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)有函數(shù)關(guān)系，上述手工調(diào)整控制點(diǎn)的方法推導(dǎo)，是建立在兩條曲線端點(diǎn)節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)相同的基礎(chǔ)上，如果兩條曲線端點(diǎn)節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)不同，會推導(dǎo)出不同的結(jié)果，則此方法不適用。在端點(diǎn)位置節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)相同的曲線包括：（1）兩條曲線都是單跨距曲線，階數(shù)相同，如兩條5階單跨距曲線；（2）兩條曲線都是多跨距曲線，階數(shù)相同，節(jié)點(diǎn)均勻；（3）兩條曲線階數(shù)相同，如果是非均勻節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)矢量應(yīng)該是首尾對稱結(jié)構(gòu)，例如結(jié)構(gòu)為的節(jié)點(diǎn)矢量滿足要求，觀察節(jié)點(diǎn)矢量中下標(biāo)標(biāo)出的節(jié)點(diǎn)間距，相對于中間的節(jié)點(diǎn)

14、5前后對稱，這樣就保證了曲線在起始點(diǎn)和終點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)相同。3、在建模應(yīng)用中，應(yīng)用（銜接曲線）結(jié)合（調(diào)節(jié)曲線端點(diǎn)轉(zhuǎn)折）指令來調(diào)節(jié)曲線連續(xù)性和曲線形態(tài)比較高效，我們可以把計(jì)算工作交給計(jì)算機(jī)來完成。手工調(diào)曲率連續(xù)可應(yīng)用在一些特殊的情況下，譬如想把一條曲線的起始端和末尾端連接并調(diào)整成曲率連續(xù)，從而把曲線調(diào)成曲率連續(xù)的環(huán)形，如圖6。圖6 把一條曲線調(diào)整首尾曲率連續(xù)三、更高階的連續(xù)性 如果曲面的質(zhì)量要求高于連續(xù)，就需要創(chuàng)造更高階的曲線連續(xù)性，但是在Rhino中沒有提供G2以上的連續(xù)性工具，無法把兩條曲線匹配成G3或G4連續(xù)性，只能通過間接的方法來建立G2以上的曲線。最有效的辦法就是創(chuàng)建高階的單條曲線，這條

15、曲線可以有多個節(jié)點(diǎn)跨距，曲線形態(tài)越復(fù)雜，就增加越多的節(jié)點(diǎn)跨距來實(shí)現(xiàn)，這種多跨距曲線的連續(xù)性是（階數(shù)-1），譬如多跨距的3階曲線，它在節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性是G2連續(xù)，這是NURBS曲線的基本性質(zhì)。 如圖7所示，3階B樣條曲線的基函數(shù)由跨4個跨距的4段不同的函數(shù)組合而成，函數(shù)表達(dá)式已在圖中示出，我們可以算出，這4個函數(shù)在節(jié)點(diǎn)的位置具有相同的2階導(dǎo)數(shù)，也就是曲率連續(xù)的關(guān)系，這就決定了3階NURBS曲線各個分段曲線在節(jié)點(diǎn)是G2連續(xù)的關(guān)系。依此類推，如果我們要創(chuàng)建一條處處具有最低G3連續(xù)的曲線，那么可 圖7 3階B樣條基函數(shù) 圖8 4階和5階曲線的曲率圖以創(chuàng)建一條4階曲線，如果需要一條處處G4連續(xù)的曲線，那么就

16、需要創(chuàng)建5階曲線，如圖8所示4階和5階曲線曲率圖，4階分段曲線在節(jié)點(diǎn)不僅曲率相同，曲率變化率也相同，5階曲線的曲率圖形與4階曲線相比已看不出區(qū)別了，曲率圖最高只能檢測曲率的差異，更高階的連續(xù)性就需要更高階的連續(xù)性檢測工具才能看出不同。 如果現(xiàn)有兩條已經(jīng)建好的曲線，我們?nèi)绻氚堰@兩條曲線匹配成G3連續(xù)的關(guān)系，該如何操作呢？在Rhino中沒有現(xiàn)成的工具能夠?qū)崿F(xiàn)這個控能，但我們也可以通過間接的方法來實(shí)現(xiàn)：我們先把這兩條3階曲線升為4階，再把它們調(diào)整成曲率連續(xù)并合并成一條曲線，然后再把曲線內(nèi)的重復(fù)節(jié)點(diǎn)刪除，那么這條曲線基本維持了原有的形狀，并且在曲線內(nèi)處處達(dá)到G3連續(xù)。依此類推，更高階的連續(xù)性也可以通

17、過同樣的方法來實(shí)現(xiàn)。具體方法如下： 曲線升階的基本算法是要計(jì)算升階后的曲線新控制點(diǎn)位置。Les Piegl & Wayne Tiller介紹了一種非常簡便的曲線升階的算法。如圖9所示一條3階曲線（圖中黑色虛線），為簡便起見，我們先討論單跨距曲線，它沒有內(nèi)節(jié)點(diǎn)，有6個端節(jié)點(diǎn)和4個控制點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)矢量為0,0,0,1,1,1,把它升級到4階曲線以后（圖中紅色線條），它仍然是單跨距曲線，但是它必須增加到8個節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)矢量變?yōu)?,0,0,0,1,1,1,1，控制點(diǎn)數(shù)必然增加到5個。知道了升階以后的節(jié)點(diǎn)矢量，剩下的就是要計(jì)算出升階后的各個新控制點(diǎn)位置，然后就可以繪出升階后的曲線。圖9 3階曲線升階到

18、4階假設(shè)原3階曲線控制點(diǎn)為、，升階到4階后控制點(diǎn)變?yōu)?、，按照Les Piegl & Wayne Tiller的算法，升階后各個新控制點(diǎn)為其中 式中是控制點(diǎn)序號，是曲線階數(shù)，在此例中=3，我們可以算出各個新控制點(diǎn)為至此，升階后的節(jié)點(diǎn)矢量以及控制點(diǎn)都已算出，升階后曲線的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)已經(jīng)非常明確了。在幾何外觀上，升階后的曲線與原曲線完全一樣，但在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上則不一樣。 剛才討論了單跨距曲線的升階，如果曲線是一條有內(nèi)節(jié)點(diǎn)、多跨距的曲線呢？Prautzsch、Cohen等對這種情況給出了簡便算法。如圖10所示，一條有內(nèi)節(jié)點(diǎn)a的3階曲線，首先在內(nèi)節(jié)點(diǎn)a處插入2次節(jié)點(diǎn)，使a處變成全復(fù)節(jié)點(diǎn)，這樣就把整條曲線

19、分成1和2兩段單跨距曲線，再分別對這兩段曲線應(yīng)用上述升階計(jì)算過程，計(jì)算出新的控制點(diǎn)，然后再把剛才插入a處的節(jié)點(diǎn)刪掉2次，完成整條曲線的升階計(jì)算。圖10 多跨距3階曲線升階到4階 注意，升階后曲線的節(jié)點(diǎn)重復(fù)度會增加，相應(yīng)地控制點(diǎn)數(shù)量也會增加， 3階曲線升到4階后，端節(jié)點(diǎn)由3重節(jié)點(diǎn)增加到4重節(jié)點(diǎn)，圖10所示的內(nèi)節(jié)點(diǎn)a也會變成復(fù)節(jié)點(diǎn)。計(jì)算過程中，原來a處是一個單節(jié)點(diǎn)，在此處插入兩個節(jié)點(diǎn)把曲線分成兩個單跨距曲線后，a點(diǎn)增加到3個節(jié)點(diǎn)，升階到4階后，a點(diǎn)又升成4個節(jié)點(diǎn)，為保證曲線不變形，完成升階后再刪除插入的2個節(jié)點(diǎn)，則a點(diǎn)還剩下2個節(jié)點(diǎn)。因此原先曲線節(jié)點(diǎn)矢量是0,0,0,1,2,2,2,升階以后節(jié)點(diǎn)矢量改變?yōu)?,0,0,0,1,1,2,2,2,2，節(jié)點(diǎn)數(shù)量增加到10個，因?yàn)椤肮?jié)點(diǎn)數(shù)=控制點(diǎn)數(shù)+階數(shù)-1”，所以升階以后控制點(diǎn)數(shù)量增加到7個。因此曲線升階后所有節(jié)點(diǎn)都會增加，增加的節(jié)點(diǎn)數(shù)等于增加的階數(shù)，假如把10中的3階曲線升階到5階，增加了2階，那么a點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)數(shù)將從1個增加到3個，a點(diǎn)將變成3重節(jié)點(diǎn)。 剛才討論的算法是保證升階后的曲線與原曲線完全一致，不會產(chǎn)生形變，如果我們不希望內(nèi)節(jié)點(diǎn)在升階后變成重節(jié)點(diǎn)，當(dāng)然可以把重復(fù)的節(jié)點(diǎn)刪掉，但是曲線會產(chǎn)生形變而與原曲線不完全一致。 對于設(shè)計(jì)師來說，如果