控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析課件

1、第五章第五章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性的基本概念系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件Routh穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) Bode穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性的基本概念 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界或內(nèi)部一些因素的擾動，例際運行過程中，總會受到外界或內(nèi)部一些因素的擾動，例如負載波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化等。因此如負載波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化等。因此,如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施是控制

2、理論的基本任務(wù)之定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施是控制理論的基本任務(wù)之一。一。 定義定義 如果系統(tǒng)受到有界擾動，不論擾動引起的初始偏差有多如果系統(tǒng)受到有界擾動，不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統(tǒng)都能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這種大，當擾動取消后，系統(tǒng)都能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為大范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；的系統(tǒng)； 如果只有當擾動引起的初始偏差小于某一范圍時，系統(tǒng)如果只有當擾動引起的初始偏差小于某一范圍時，系統(tǒng)才能在取消擾動后恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，否則就不能恢復(fù)到才能在取消擾動后恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，否則就不能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這樣的系統(tǒng)稱為初始平衡狀態(tài)，則這樣的系統(tǒng)稱為

3、小范圍穩(wěn)定小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；的系統(tǒng)；大范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定小范圍穩(wěn)定小范圍穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性的基本概念理解理解注意注意對于線性系統(tǒng)而言：對于線性系統(tǒng)而言：1 1、若穩(wěn)定、若穩(wěn)定, ,它必然在大范圍內(nèi)和小范圍內(nèi)都穩(wěn)定。只有非它必然在大范圍內(nèi)和小范圍內(nèi)都穩(wěn)定。只有非 線性系統(tǒng)才可能存在小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定情況。線性系統(tǒng)才可能存在小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定情況。 2 2、在有界輸入作用下、在有界輸入作用下, ,其輸出響應(yīng)也是有界的。其輸出響應(yīng)也是有界的。3 3、穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)本身的、穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始狀

4、態(tài)和外作用無關(guān)。結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始狀態(tài)和外作用無關(guān)。臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在若系統(tǒng)在擾動消失擾動消失后，輸出后，輸出與原始的與原始的平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)間存在恒間存在恒定的偏差定的偏差或輸出維或輸出維持等幅振持等幅振蕩，則系蕩，則系統(tǒng)處于臨統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀界穩(wěn)定狀態(tài)。態(tài)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義：線性控制系統(tǒng)處于某一平衡狀態(tài)下受到擾動作用而偏離線性控制系統(tǒng)處于某一平衡狀態(tài)下受到擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，在干擾消失后系統(tǒng)又能夠回到原來了原來的平衡狀態(tài)，在干擾消失后系統(tǒng)又能夠回到原來的平衡狀態(tài)或者回到原平衡點附近，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)或者

5、回到原平衡點附近，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。的，否則，該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 不穩(wěn)定穩(wěn)定R(S)C(S)系統(tǒng)系統(tǒng)G(S)( )( )r tt 設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 122112()miiqrkkkjkjKszsssp 1111011110.( )( )( ).mmmmnnnnb SbSbSbC sG sR sa SaSa Sa 輸入:( )( )r tt 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件則系統(tǒng)輸出為 1221112()( )( )miiqrkkkjkjKszC sG ssssp 222111qrjkkkjjkkkkdb S cSpS 22211111( )cossinjkk

6、qrttkkkkkkkkkjkjkkpcbc tebttd e 則前一章分析可得 總結(jié)總結(jié): 如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點均位于左半如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點均位于左半s平平面，則瞬態(tài)響應(yīng)的暫態(tài)分量將隨時間而面，則瞬態(tài)響應(yīng)的暫態(tài)分量將隨時間而衰減，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個極點衰減，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個極點位于右半位于右半s平面，則對應(yīng)的響應(yīng)將是發(fā)散平面，則對應(yīng)的響應(yīng)將是發(fā)散的，系統(tǒng)就不能正常穩(wěn)定工作。的，系統(tǒng)就不能正常穩(wěn)定工作。q系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點）系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點）全部具有負實部。或者說，特征方程的全部具有負實部?；蛘哒f，特征方程的

7、根全部位于左半根全部位于左半s平面。平面。n 特征根的三種情況及所對應(yīng)時域解：特征根的三種情況及所對應(yīng)時域解：sin,cos;sin,cosatatatsjttsajesaet et ; ; 深入理解深入理解系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件n s平面上實極點及穩(wěn)定性平面上實極點及穩(wěn)定性 j 0 j 0 j 0tc(t)0tc(t)0tc(t)0 j 0 j 0 j 0ty(t)0ty(t)0ty(t)0系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件n s平面上復(fù)極點及穩(wěn)定性平面上復(fù)極點及穩(wěn)定性 j 0ty(t)0 j 0ty(t)0n S S平面虛軸上重極點及穩(wěn)定性平面虛軸上重極點及穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定的

8、充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件19401940年年11 11月月7 7日，一陣風(fēng)日，一陣風(fēng)引起了橋的晃動，而且引起了橋的晃動，而且晃動越來越大，直到整晃動越來越大，直到整座橋斷裂座橋斷裂. 221s22s222sintts j 0共振現(xiàn)象的解釋共振現(xiàn)象的解釋ty(t)0跨越華盛頓州塔科馬峽跨越華盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開通于谷的首座大橋，開通于19401940年年7 7月月1 1日。只要有風(fēng)日。只要有風(fēng)，這座大橋就會晃動。，這座大橋就會晃動。Routh穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)穩(wěn)定的充要條件根據(jù)穩(wěn)定的充要條件, ,求得特征方程的根就可判定系統(tǒng)求得特征方程的根就可判定系統(tǒng)的

9、穩(wěn)定性的穩(wěn)定性. .但對于高階系統(tǒng)求解方程的根比較困難。但對于高階系統(tǒng)求解方程的根比較困難。希希望能夠不求解系統(tǒng)特征方程，僅根據(jù)特征方程的系數(shù)得望能夠不求解系統(tǒng)特征方程，僅根據(jù)特征方程的系數(shù)得到對系統(tǒng)穩(wěn)定性的正確判斷。到對系統(tǒng)穩(wěn)定性的正確判斷。RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)就是根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式的各項閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式的各項系數(shù)系數(shù), ,按一定的規(guī)則排列成按一定的規(guī)則排列成RouthRouth表表，根據(jù)，根據(jù)表中第一列系表中第一列系數(shù)正負符號的變化情況數(shù)正負符號的變化情況來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 11100nnnnD sa sasa sa 系統(tǒng)穩(wěn)定（特

10、征方程的根都位于復(fù)平面的左半平面）系統(tǒng)穩(wěn)定（特征方程的根都位于復(fù)平面的左半平面）的的必要條件必要條件為：為：特征方程的系數(shù)不等于零且具有相同特征方程的系數(shù)不等于零且具有相同的符號的符號。 閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程Routh穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程為設(shè)系統(tǒng)的特征方程為111100( ).nnnnD Sa SaSa Sa 根據(jù)特征方程的各項系數(shù)排列成根據(jù)特征方程的各項系數(shù)排列成RouthRouth表表(n=5 (n=5 為例為例) )：5531Saaa 4204Saaa 1320Sbb12Sc2 2c c 0S1 1 e e435412ba aa aa 415420ba aa aa 11Sd0 0

11、 124112cbab ab 0214010baaabc 1 21112dc bc bc 2111210d cccde RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)：穩(wěn)定判據(jù)：RouthRouth表第一列元素符號一致且不等于表第一列元素符號一致且不等于0 0。第一列元素第一列元素符號變化的次數(shù)就是正實部符號變化的次數(shù)就是正實部根的數(shù)目根的數(shù)目。Routh穩(wěn)定判據(jù)例：已知系統(tǒng)的特征方程，試判斷該系統(tǒng)穩(wěn)定性。例：已知系統(tǒng)的特征方程，試判斷該系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：解： D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0RouthRouth表如下：表如下： 1 3 5 s1 s0 s4 s3 s2 b1 b2 c1 d1 2 4

12、 b1= 2*3 -1*4 2 =11 b2= 2*5 -1*0 2 = 55 c1= 1*4 -2*5 1 =-6-6 d1= -6*5 -1*0 -6 = 55特征方程有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。特征方程有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例例: : 系統(tǒng)如圖所示系統(tǒng)如圖所示, ,試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時放大倍數(shù)試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時放大倍數(shù)K K的取值范圍。的取值范圍。閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程特征方程: :D(s)=s3+14s2+40s+40K=0解：解： Routh穩(wěn)定判據(jù))(sR)(sC( )E s0 11 0 251( .)( .)KSSS 011 0251( .( .)()BKSSGSKs

13、RouthRouth表表: : 1 40 s3 s2 14 40K s1 b1 b1= 14*40 -1*40K 14 s0 c1 40K 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件系統(tǒng)穩(wěn)定的條件: :0560-40K040K014K0試判斷有幾個特征方程根位于試判斷有幾個特征方程根位于S=-1S=-1之右？之右？令令 s=z-1Routh穩(wěn)定判據(jù)1 1、首列中有首列中有1個元素為零，但所在行中存在非零元素。個元素為零，但所在行中存在非零元素。 如特征方程：如特征方程：前面分析的為首列中沒有元素是零的情況。前面分析的為首列中沒有元素是零的情況。 RouthRouth判據(jù)表判據(jù)表在分析中存在兩種特殊情形。在分析中存在兩種特

14、殊情形。 54322241110D ssssss 542103121 12410060ssssss這時可以用這時可以用無窮小正數(shù)無窮小正數(shù) 代替代替0 0，繼續(xù)運算。，繼續(xù)運算。 RouthRouth表表: :4-12/ 10610 本例Routh表首列首列符號變化兩次符號變化兩次，表示系統(tǒng)中有2個帶正實部的根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。 若用用 替代后符號沒有變化表示替代后符號沒有變化表示系統(tǒng)中有純虛根存在。如特征方程：如特征方程：D(s)=s3+2s2+s+2=0321011202ssssRouthRouth表表: :用用無窮小正數(shù)無窮小正數(shù) 代替代替0 0 2首列用首列用 替代后符號沒有變化替代后符號

15、沒有變化表明表明系統(tǒng)中有一對純虛根。系統(tǒng)中有一對純虛根。 s1=-2s2.3=j2 2、首列中有零元素且所在行其他元素均為零首列中有零元素且所在行其他元素均為零。說明特。說明特征根中可能存在共軛虛根或共軛復(fù)根或符號相異的實根。征根中可能存在共軛虛根或共軛復(fù)根或符號相異的實根。如特征方程：如特征方程： 5432424363D ssssss 543210143124632060021630ssssss這時可以由上這時可以由上一行元素為系數(shù)一行元素為系數(shù)構(gòu)成輔助構(gòu)成輔助多項式多項式：RouthRouth表表: :42Routh表首列首列符號變化兩次符號變化兩次，表示系統(tǒng)中有2個帶正實部的根,由輔助多

16、項式可解得存在1對共軛虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 Routh穩(wěn)定判據(jù) 22163F ss 42Fss 63 5432232424363321D ssssssssss 多項式對多項式對s求導(dǎo)：求導(dǎo)：所得系數(shù)取代全零行。所得系數(shù)取代全零行。如特征方程：如特征方程：RouthRouth表表: : 54323322D ssssss 54321013102032ssssss上上一行元素為系數(shù)一行元素為系數(shù)構(gòu)成輔助構(gòu)成輔助多項式多項式： 4232F sss 346Fsss 多項式對多項式對s求導(dǎo)：求導(dǎo)：所得系數(shù)取代全零行。所得系數(shù)取代全零行。463/222/32Routh表首列符號沒有變化,表示系統(tǒng)中不存在帶正實

17、部的根,但由輔助多項式可解得存在2對共軛虛根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。 4222( )32 (1)(2)0F sssss Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有穩(wěn)定性判據(jù)的基礎(chǔ)。 Routh穩(wěn)定判據(jù)是時域中的有效判據(jù)。與此類似，Nyquist及Bode穩(wěn)定判據(jù)是常用的頻域穩(wěn)定性判據(jù)。頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點是根據(jù)“開環(huán)”系統(tǒng)頻率特性曲線，判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 s s js s平面平面 F F u s( )v sF(s)F(s)平面平面例例 F(s)=2s+1Sj01j-j-1jvu0j2-j2-13順時針方向定義為閉合曲線的正方向閉合曲線正方向右側(cè)區(qū)域為包圍區(qū)域.即:順時針,向右看。Nyqui

18、st穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)F(s)=s/(s+2) X X Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)CFjvu F sF(s) 110( )NiiNkkKszF ssp CsXXXXjsZiPkis p is z ZrPrPsPqrs p ks z qs p ss p 顯然如果閉合曲線Cs在s平面上包圍了F(s)的Z個零點和P個極點(但不經(jīng)過任何一個零點和極點)， Cs上任一點以順時針方向轉(zhuǎn)動一圈時，復(fù)變函數(shù)F (s) 的矢量相位增量為: ,那么對應(yīng)的映射曲線CF在F(s)平面上以順時針包圍原點N=Z-P圈。設(shè)222( )()() () ()F sZPZ P Cauchy幅角定理：幅角定理：若N=Z-P0表示

19、CF順時針包圍原點N圈；若N=Z-P=0表示CF順時針旋轉(zhuǎn)但不包圍原點；若N=Z-P1時，時，Nyquist曲線逆時針包圍曲線逆時針包圍(-1，j0)點一圈，即點一圈，即N=1，Z=N-P=0則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當K0L()0的部分；的部分；3、單位圓內(nèi)部單位圓內(nèi)部 L()0L()0)L() 0)正穿越正穿越6 6、 在在L() 0的范圍內(nèi)的范圍內(nèi)正穿越正穿越對應(yīng)于對數(shù)相頻特曲線當對應(yīng)于對數(shù)相頻特曲線當 增大時從下向上穿越增大時從下向上穿越 180180線線( (相位增大相位增大 ) )；負穿越負穿越對應(yīng)于對數(shù)相頻特曲線當對應(yīng)于對數(shù)相頻特曲線當 增大時從上向下穿越增大時從

20、上向下穿越 180180線線( (相位減小相位減小 ) )；Bode穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)當當由由0+0+變化時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線變化時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L L( ()0)0的頻段內(nèi)，若系統(tǒng)的頻段內(nèi)，若系統(tǒng)開環(huán)開環(huán)相頻特性曲線相頻特性曲線()對對-180-180線的線的正負正負穿越次數(shù)之差穿越次數(shù)之差為為P/2（P為系統(tǒng)開環(huán)在右半為系統(tǒng)開環(huán)在右半s平面的極點數(shù)），平面的極點數(shù)），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。nBode穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)例：例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) Bode圖，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定

21、性。2P解：解：由題意可知開環(huán)特征方程有由題意可知開環(huán)特征方程有兩個右根，即兩個右根，即P=2, P=2, 再再由由Bode圖可圖可知：知：正負穿越數(shù)之差為正負穿越數(shù)之差為-1 -1 ，所以，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。Bode穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)例：例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) Bode圖，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0P解：解：由題意可知開環(huán)特征方程有由題意可知開環(huán)特征方程有0 0個個右根，即右根，即P=0, P=0, 再再由由Bode圖可知：圖可知：正正負穿越數(shù)之差為負穿越數(shù)之差為0 0 ，所以，所以閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定。Bode

22、穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)例：例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試根據(jù)試根據(jù)Bode圖判斷閉環(huán)系圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)統(tǒng) 的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。221001251510021 00051( .)( )() ( .)( .)ksG ss sss 解：解：由開環(huán)傳遞函數(shù)可知開環(huán)特征方程無右根，由開環(huán)傳遞函數(shù)可知開環(huán)特征方程無右根，P=0 ，再由，再由Bode圖圖可知可知L( )0范圍內(nèi)范圍內(nèi) ( )和和- 線不相交即線不相交即正負穿越數(shù)之和為正負穿越數(shù)之和為0，所以，所以閉閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。Bode穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)例：例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試根據(jù)試根據(jù)Bod

23、e圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2101( )( )( )()kKG sG s H ss s 解：解：開環(huán)傳遞函數(shù)的開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖及圖及Bode圖如圖圖如圖所示，輔助圓如圖中虛線所示，輔助圓如圖中虛線所示。由開環(huán)傳遞函數(shù)可所示。由開環(huán)傳遞函數(shù)可知開環(huán)在右半知開環(huán)在右半s平面無極平面無極點，即點，即P=0，又由圖可知，又由圖可知開環(huán)相頻特性曲線正負穿開環(huán)相頻特性曲線正負穿越數(shù)越數(shù) N+-N-=-1，所以，所以閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定(實際實際閉環(huán)系統(tǒng)右極點個數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)右極點個數(shù) Z=P-N=2 )。且從圖中可以看出，且從圖中可以看出，不論不論K如何變化。開環(huán)

24、頻率特性上的穿越次數(shù)卻不變化，系統(tǒng)總是不穩(wěn)如何變化。開環(huán)頻率特性上的穿越次數(shù)卻不變化，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，表明系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。定的，表明系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。Bode穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)n最小相位系統(tǒng)的最小相位系統(tǒng)的Bode穩(wěn)定判據(jù)：穩(wěn)定判據(jù)：開環(huán)頻率特性開環(huán)頻率特性Gk(S)在在S S右半平面無零點和極點的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。右半平面無零點和極點的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡化為：最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡化為：NyquistNyquist圖圖( (開環(huán)頻率特性曲開環(huán)頻率特性曲線線) )不包圍不包圍(-1,j0)點點 ( (因為若因為若N=0,且且P=0

25、,所以所以Z=0)。1cg)(c)(gAcg)()(L0180 ()c gK090 幅值交界頻率幅值交界頻率 c(剪切頻率、幅值穿越頻率剪切頻率、幅值穿越頻率): Gk(j ) 軌跡與單位圓軌跡與單位圓 交交點處的頻率。點處的頻率。相位交界頻率相位交界頻率 g (相位穿越頻率相位穿越頻率): Gk(j )軌跡與負實軸交點處的頻率。軌跡與負實軸交點處的頻率。Nyquist圖幅值和相位關(guān)系為：當 時，1)(A180)(,cc當 時，180)(1)(gA當 時，0)(L180)(c當 時，180)(g0)(LBode圖幅值和相位關(guān)系為：控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性n控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性控

26、制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性1cg)(c)(gAcg)()(L0180 ()c gK090 1gK從從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面極點且閉環(huán)穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面極點且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則開環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist軌跡離軌跡離(-1,j0)點越遠點越遠, ,則閉環(huán)系統(tǒng)的則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高。反之，穩(wěn)定程度越高。反之，Nyquist軌跡離軌跡離(-1,j0)點越近點越近, ,則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。程度越低。通過通過Nyquist軌跡對點軌跡對點(-1,j0)的靠近程度的靠近程度來度量，其來度量，其定量表

27、示定量表示為為相位裕量相位裕量和和幅值幅值( (增益增益) )裕量裕量Kg , ,這就是通常所說的這就是通常所說的相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性。當頻率特性曲線穿過當頻率特性曲線穿過(-1,j0)點時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這時點時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這時: :c=g, 1/()ggKA )(180c2020()lglg()gggKdBKA 幅值裕量幅值裕量相位裕量相位裕量0180gA() =1, ()c 幅值裕量物理意義幅值裕量物理意義: 穩(wěn)定系統(tǒng)在相位穿越頻率處將幅值增加穩(wěn)定系統(tǒng)在相位穿越頻率處將幅值增加Kg 倍（倍（Nyquist圖）或增加圖）或增加Kg 分貝（分貝（BodeBode圖系統(tǒng)圖系

28、統(tǒng)就就處于臨界處于臨界狀態(tài)。若增加的倍數(shù)大于狀態(tài)。若增加的倍數(shù)大于 Kg 倍或增加倍或增加Kg 分分貝貝，則，則系統(tǒng)變?yōu)橄到y(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。不穩(wěn)定。比如，若增加開環(huán)放大系數(shù)比如，若增加開環(huán)放大系數(shù)K，則對數(shù)幅頻特性曲，則對數(shù)幅頻特性曲線將上升，而相角特性曲線不變，即開環(huán)放大系數(shù)太大，容線將上升，而相角特性曲線不變，即開環(huán)放大系數(shù)太大，容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。相位裕量的物理意義相位裕量的物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)在幅值穿越頻率：穩(wěn)定系統(tǒng)在幅值穿越頻率c 處處將相角減小將相角減小度，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定；再減小就會變?yōu)槎龋瑒t系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定；再減小就會變?yōu)椴环€(wěn)定。不穩(wěn)定?？刂葡到y(tǒng)的相對穩(wěn)定性控

29、制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性1 cg)(c)(gA1gKcg)()(L0180 ()c gK090 1cg)(c)(gAcg)()(L0180 ()c gK090 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性例例設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示, ,當當k=10和和k=100時，試求系統(tǒng)的相位裕量和幅值裕量。時，試求系統(tǒng)的相位裕量和幅值裕量。15()()ks ss -( )R s( )C s解：解：當當k=10時，開環(huán)系統(tǒng)伯德圖如圖所示。時，開環(huán)系統(tǒng)伯德圖如圖所示。 相位裕量相位裕量5151 021/( )()()()( .)kkkG ss sss ss cg)()(L0180 gK090 0270 1

30、510204021451lglg.cc 0110180180900220().ccctgtg 幅值裕量幅值裕量Kg先求幅值穿越頻率先求幅值穿越頻率c 先求相位穿越頻率先求相位穿越頻率g ,相位穿越頻率相位穿越頻率g處的相位為：處的相位為：1111900218002905224().ggggggtgtgtgtg 222033216209611 004().()lg (). ().ggggggAK dBAdB 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性當當k=100時，開環(huán)系統(tǒng)伯德圖如圖所示。時，開環(huán)系統(tǒng)伯德圖如圖所示。cg)()(L0180 gK090 0270 1520dB-20dB/dec-4

31、0dB/dec-60dB/dec當當增益從增益從k=10k=10增大到增大到k=100k=100時，幅值特性時，幅值特性曲線上移曲線上移20dB20dB，相位特性曲線不變。，相位特性曲線不變。相位裕量相位裕量202040204471lglg.cc 0110180180900229().ccctgtg 幅值裕量幅值裕量Kg相位穿越頻率相位穿越頻率g處的相位為：處的相位為：1111900218002905224().ggggggtgtgtgtg 2220332162010511 004().lg (). ().ggggggAKAdB 因此系統(tǒng)在因此系統(tǒng)在k=10k=10時是穩(wěn)定的，在時是穩(wěn)定的，在k=100k=100時是不穩(wěn)定的時是不穩(wěn)定的