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1、第二節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第一型對面積曲面積分第一型對面積曲面積分 第四章 oxyz一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質(zhì) “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者). 機動
2、 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 SzyxMd),(定義定義:“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為SSd設(shè)f (x, y, z) 是定義在有界光滑曲面 上的 有界函數(shù),記作或第一型曲面積分.若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點, 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面積函數(shù), 叫做積分曲面.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 則對面積的曲面積分存在. 對積分域的可加性.,21則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzy
3、xfkd),(),(21 線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性. 假設(shè) 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法 則曲面積分證明證明: 由定義知由定
4、義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似
5、的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達式 , 也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 計算計算,dSzyx其中 是由平面坐標面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設(shè)設(shè)上的部分, 那么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 yxD例例2. 計算曲面積分計算曲面積分,dzS其中是球面222zy
6、x被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xozy例例3. 設(shè)2222:azyx),(zyxf計算.d),(SzyxfI解解: 錐面錐面22yxz的222yxaz22212.xya1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ,022yxz當22yxz當與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域為1yxD那么
7、 1d)(22SyxI機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 考慮考慮: 若例若例3 中被積函數(shù)改為中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ,022yxz當22yxz當計算結(jié)果如何 ? zzd例例4. 計算計算,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后若將曲面分為前后(或左右或左右)zRSd2d那么HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面積元素取曲面面
8、積元素兩片, 則計算較繁. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 P151 1.(3)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz那么Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性簡化計算的技巧. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 oyxz2 在 xoy 面上的投影域為2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(412222d14() d dx yDSxyxyrrrd41d20220313這是 的面
9、積 !2xyD)(2:22yxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 dS計算求拋物面殼 yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令o21yxDzyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 221()(01)2zxyz的質(zhì)量,此殼的密度的大小為. z解解作業(yè) P151 1(1) . 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例 設(shè)),0(:2222zazyx在第為1一卦限中的部分, 則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )機動 目錄
10、上頁 下頁 返回 完畢 考慮考慮:假設(shè) 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa那么hhoxzy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 求半徑為求半徑為R 的均勻半球殼的均勻半球殼 的重心的重心.解解: 設(shè)設(shè) 的方程為的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對稱性可知重心的坐標,0 yx而 z 223RRR用球坐標cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考題思考題: 例例 3 是否可用球面坐標計算是否可用球面坐標計算 ?例3 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 計算計
11、算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐標系取球面坐標系, 那么那么,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例6. 計算計算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用對稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 oyxzL例例8. 求橢圓柱面求橢圓柱
12、面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例9. 設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km,機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑 R = 6400 km )解解: yzxohR R建立坐標系如圖, 覆蓋曲面 的半頂角為 ,利
13、用球坐標系, 那么ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積, 故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. 說明說明: 此題也可用二重積分求此題也可用二重積分求 A (見下冊見下冊P109 例例2) . yzxohR R思考與練習(xí)思考與練習(xí)P158 題1;3;4(1) ; 7 解答提示解答提示:P158 題1.SzyxzyIxd),()(22P158 題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設(shè)那么0P184 題2機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 備用題備用題 1. 已知曲面已知曲面殼殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面 z1以上部分 的的面密度質(zhì)量 M . 解解: 在在 xoy 面上的投影為面上的投影為 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 設(shè)設(shè) 是四面體是四面體的表0,0,0,1zyxzyx面,
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