D62二重積分的計算第一部分ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二節(jié)二、直角坐標系下二重積分的計算法二、直角坐標系下二重積分的計算法 三、極坐標系下二重積分的計算法三、極坐標系下二重積分的計算法 二重積分的計算 第六章 一、二重積分的幾何意義一、二重積分的幾何意義 四、曲線坐標下二重積分的計算法四、曲線坐標下二重積分的計算法 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義:),(yxf設(shè)將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域),2,1(nkk任取一點,),(kkk若存在一個常數(shù) I , 使nkkkkfI10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱Dyxfd),(),(yxfI為稱在D上的二重積分.稱為積分變量yx,積分和Dyxfd),

2、(積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 2.1 二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 DyxfVd),(曲頂柱體體積:DyxMd),(平面薄板的質(zhì)量:假如 在D上可積,),(yxf元素d也常記作,ddyx二重積分記作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 這時分區(qū)域 D , 因此面積 可用平行坐標軸的直線來劃 Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(yxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求體積求體積: 類似定積分解決問題的思想類似定積分解決問題的思想:設(shè)設(shè) 0),(yxfz底：底： xOy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲

3、面連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂詡?cè)面：以D的邊界為準線的邊界為準線 , 母線平母線平行于 z 軸的柱面.“分, 勻, 合, 精” D),(yxfz 2(),fC DDR（有界閉區(qū)域）（有界閉區(qū)域） 二重積分：二重積分： 01()( , )lim(,)nkkkdkDf x y df 其幾何意義就是曲頂柱體的體積其幾何意義就是曲頂柱體的體積 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 曲頂柱體體積的計算曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱的底為12( )( )( , )xyxDx yaxb任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為( , )dDVf x yyyxfxAxxd),

4、()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱體的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO記作記作 （ X - 型區(qū)域 ）目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy記作記作 （ Y- 型區(qū)域 ）目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 且在且在D上連續(xù)時上連續(xù)時, 0),(yxf當被積函數(shù)bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfx

5、xd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計算可知由曲頂柱體體積的計算可知, 若若D為為 X - 型區(qū)域型區(qū)域 那么那么O)(1xy)(2xyxbyDax若若D為為Y - 型區(qū)域型區(qū)域dycyxyD)()(:21xyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(那那么么二、直角坐標系下二重積分的計算法二、直角坐標系下二重積分的計算法Oydcx)(2yx)(1yxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當被積函數(shù)當被積函數(shù)),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負均非負DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在在D

6、上變號時上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于由于Dyxyxfdd),(2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyOxyDO說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是 X - 型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y - 型區(qū)域型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計算方便為計算方便,可選擇積分序可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序必要時還可以交換積分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc則有則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干可將它分成若干2D1D3

7、DX - 型域或型域或Y - 型域型域 , 321DDDD那么那么 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 121221d y例例1. 計算計算,dDyxI其中其中D 是直線是直線 y1, x2, 及及yx 所圍的閉區(qū)域所圍的閉區(qū)域. 解法解法1. 將將D看作看作X - 型區(qū)域型區(qū)域, 那那么么:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將將D看作看作Y - 型區(qū)域型區(qū)域, 那那么么:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 計算計算,dDyx

8、其中其中D 是拋物線是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便為計算簡便, 先對先對 x 后對后對 y 積分積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線及直線那么那么 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 計算計算,ddsinDyxxx其中其中D 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.OxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,因此取因此取D 為為X - 型域型域 :00:xxyDDyx

9、xxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對先對 x 積分不行積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序還需交換積分順序.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2例例4. 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD將:D視為視為Y - 型區(qū)域型區(qū)域 , 那么那么282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 計算計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如下圖)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R 的直交圓柱面所圍的體積的直交圓柱面所圍的體積.解解: 設(shè)兩個直圓柱方程為設(shè)兩個直圓柱方