EMF16分離變量法ppt課件

1、第第1616講講 分離變量法分離變量法 例16.1 圖示長(zhǎng)直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長(zhǎng)為2b的正方形，鉛皮半徑為a，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為 ，并且在兩導(dǎo)體之間接有電源 U0，試寫出該電纜中靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。 解：根據(jù)場(chǎng)分布對(duì)稱性，確定場(chǎng)域。0yx22222（陰影區(qū)域）場(chǎng)的邊值問(wèn)題0bx0byby0bxU),(及00y0 xayx222),(0 xayb0 x),(0yaxb0y),(圖1.4.4 纜心為正方形的同軸電纜橫截面012212drdrdrdr1)()0 (ar0drdrdrdr122222)()(ra邊界條件積分之，得通解43221021CrC)r(Cr1C6r)r

2、( 例16.2 設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為 ，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。解: 采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程ar2ar1ar20ar10rr有限值0r1參考點(diǎn)電位0r2圖1.4.5 體電荷分布的球形域電場(chǎng) 解得 032023413aC2aC0C0C,電場(chǎng)強(qiáng)度球坐標(biāo)梯度公式）：ar03rrr0r111eerE)(rar3arr202r22eerE)(2 對(duì)于一維場(chǎng)場(chǎng)量?jī)H僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對(duì)二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由 得到電場(chǎng)強(qiáng)度E的分布。E電位：rar3arar0ra36r03

3、22201)()()(16.1 分離變量法 分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問(wèn)題 。一般情況下,采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動(dòng)方程的通解，而只有當(dāng)場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問(wèn)題的解。16.1.1 解題的一般步驟： 根據(jù)邊界的幾何形狀和場(chǎng)的分布特征選定坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)的邊值 問(wèn)題微分方程和邊界條件）； 分離變量，將一個(gè)偏微分方程，分離成幾個(gè)常微分方程； 解常微分方程，并疊加各特解得到通解； 利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。16.1.2 應(yīng)用實(shí)例1. 直角坐標(biāo)系中的分離變量法二

4、維場(chǎng)） 例16.3 圖示一無(wú)限長(zhǎng)金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為 ，金屬槽截面為正方形邊長(zhǎng)為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。 xasin100解：選定直角坐標(biāo)系0 xa100000yxay0axax0ayax00yay00 x22222),(),(),(),(sin（D域內(nèi)）（1）（2）（3）（4）(5）邊值問(wèn)題圖11.5.1 接地金屬槽的截面2) 分離變量)()(),(yxyx21)6(00dyd10dxd122222121 22222121dyd1dxd1代入式1有根據(jù) 可能的取值，可有6個(gè)常微分方程：2222dyd1，2121dxd1設(shè))7(0KKdyd1Kdxd12n2n

5、22222n2122 )8(0KKdyd1Kdxd12n2n22222n2121 稱為分離常數(shù),可以取值000和,3解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。)()()(yDCxBAyx000021)(sincos()sincos)(yshKDychKCxKBxKAyKDyKCxshKBxchKAnnnnnnn1nnnnnnnnn1nn4利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。 0B0Bn00aKFaKDBnnnnnsinsin),( 321nanKn0A0A0A0ay00 xy)ann0軸0C0C0C0ax00yx)bnn0軸0ay0ax)c 圖1.5.2 雙曲函數(shù)yanshxanF

6、yx1nn)sin(),(yanshxanFyx1nn)sin(),(d） ay ax100ax0sin xanaanshFax1001nnsin)(sinxanF1nnsin 比較系數(shù)法：當(dāng) 時(shí)，1n 0F0Fnn yaxsh)asin(sh100)y,x(（D域內(nèi)）當(dāng) 時(shí)，1n 100shFF11 sh100F1 滿足拉普拉斯方程的通解有無(wú)數(shù)個(gè)，但滿足給定邊界條件的解是唯一的。 假設(shè) ， V1001nnaxnF100sin shnFFnn 0n400),( 531nyanxshannshn1400yx1nsin),(),( 642n),( 531n 利用 sin 函數(shù)的正交性來(lái)確定 。等式

7、兩端同乘 ，然后從 0到 a對(duì) x積分 nFxamsinxdxamxanFxdxam1001na0na0sinsin sin圖1.5.3 接地金屬槽內(nèi)的等位線分布Procedure of Separation of VariablesChoose an appropriate coordinate system for the given geometryFind the solution of ODE , Bessels or Legendres equation, according to the specified boundary conditionsEvaluate the coef

8、ficients using orthogonal of Fourier-seriesThe boundary-value problem can be specified 20 gi ven boundary probl emVunder= PDEODEthe product form of VPoissons Equation?1選定圓柱坐標(biāo),列出邊值問(wèn)題01101122222222122112)()(（1）（2）（3）（4）(5）（6）aa0 例16.4 在均勻電場(chǎng) 中，放置一根半徑為a，介電常數(shù)為 的無(wú)限長(zhǎng)均勻介質(zhì)圓柱棒，它的軸線與 垂直。柱外是自由空間 。試求圓柱內(nèi)外電位函數(shù) 和電場(chǎng)

9、強(qiáng)度 的分布。 0EEEa2a10a2a1102EEx0cos根據(jù)場(chǎng)分布的對(duì)稱性02),(),(),(及01),(P122圖1.5.4 均勻電場(chǎng)中的介質(zhì)圓柱棒2 2、圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法二維場(chǎng)）、圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法二維場(chǎng)）0ndd0RnddRdRd22222223解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。當(dāng) 時(shí)，0n 000000DCBAR)(ln)(當(dāng) 時(shí)，0n nDnCBARnnnnnnnnsincos)()()(ln(),(0000DCBA)sincos( )(nDnCBAnn1nnnnn2分離變量, 設(shè) 代入式1得)()(),(R222222ndd1ddRRdRdR或nBABA1

10、nnnnn00cos)() ln(),(根據(jù)根據(jù) ， 比較系數(shù)得cos01E當(dāng) 時(shí)，1n ，EA0B0A100，nBE1nnn1coscos),(0B0B0A0n0002，1nnn2nAcos),(4利用給定邊界條件確定積分常數(shù)。根據(jù)場(chǎng)分布對(duì)稱性02 )/,(),(),(及當(dāng) 時(shí)，1n ，0ABAno0通解中不含 的奇函數(shù)項(xiàng)，通解為所以,0D0Cn0EaBE1A2001001)(，解之，得比較系數(shù)法：)(121011AaBEaAaBEa當(dāng) 時(shí)，得1n 當(dāng) 時(shí)， ， 則最終解1n 0BAnncoscos)(),(cos)()(cos),(E2E1EaE000020201aa01n1nn1n1nn01nnn1nnnnanAnaBEnaAnaBEacos)coscos(coscoscosc由分界面 的銜接條件，得a 介質(zhì)柱內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的，且與外加電場(chǎng)E0平行。 因