隨機變量及分布ppt課件

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容2學(xué)時學(xué)時一、一維隨機變量函數(shù)一、一維隨機變量函數(shù)Y=g(X)Y=g(X)的分布。的分布。 1 1、離散型、離散型Y=g(X)Y=g(X)； 2 2、延續(xù)型、延續(xù)型Y=g(X)(Y=g(X)(重點重點二、二維二、二維 (X, Y)(X, Y)函數(shù)的分布函數(shù)的分布 1 1、離散型、離散型Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)的分布的分布 2 2、Z=X+YZ=X+Y的分布的分布( (重點重點 3 3、M=Max(X, Y)M=Max(X, Y)和和N=Min(X,Y)N=Min(X,Y)的分布重點的分布重點第九節(jié)第九節(jié) 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布問題的提出問題的提出實踐中，人

2、們經(jīng)常對隨機變量的函數(shù)很感興趣實踐中，人們經(jīng)常對隨機變量的函數(shù)很感興趣.1、知圓的直徑、知圓的直徑 d 的分布，求園的面積的分布，求園的面積S= d 2 的分布的分布.例如：例如：2、變速直線運動質(zhì)點的速度、變速直線運動質(zhì)點的速度v、時間、時間t結(jié)合分布知，求結(jié)合分布知，求 位移位移S=vt的分布的分布.歸納：歸納：1、隨機變量、隨機變量X 的分布知，的分布知，Y=g (X) ，求，求 Y 的分布？的分布？2、設(shè)隨機變量、設(shè)隨機變量(X,Y)的結(jié)合分布知，的結(jié)合分布知，Z=g (X,Y) , 如何如何 由由 (X,Y) 的分布求的分布求 Z的分布？的分布？一、一維隨機變量函數(shù)一、一維隨機變量函

3、數(shù)Y=G(X)的分布的分布解：當(dāng)解：當(dāng) X 取值取值 1，2，5 時，時，Y 取對應(yīng)值取對應(yīng)值 5，7，133013502075.YX=a與與Y=2a+3兩事件同時發(fā)生，兩者具有一樣的概率兩事件同時發(fā)生，兩者具有一樣的概率.故故1 1、離散型、離散型Y=g(X)Y=g(X)125 ,23.0.20.5 0.3XYX例1.設(shè)隨機變量求的分布律2(P611) X2 -1 0 1 2 P| 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 2 2 例例類類似似例例離離散散型型隨隨機機變變量量X X的的分分布布律律為為: :求求: :Y Y= =X X + +X X的的分分布布律律. .X -2 -1 0 1

4、2Y 2 0 0 2 6 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.32 2解解: :( (1 1) ) Y Y= =X X + +X X的的分分布布律律Y 0 2 6P0.2 0.5 0.3再對等值合并再對等值合并2 2( (2 2) ) Y Y= =X X + +X X的的所所0 0有有可可能能取取值值 , ,2 2, ,6 62 2X X + +X X= =0 0( (X X= =- -1 1) ) ( (X X= =0 0) )P P( (Y Y= =0 0) )= =P P( () )= =P P = =0 0. .1 1+ +0 0. .1 1= =0 0. .2 22 2X X +

5、 +X X= =P P( (Y Y= =6 6) )= =P P( () )= =6 6X X= =2 2P P = =0 0. .3 3解：設(shè)解：設(shè)X，U的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 FX (x) , FU(u) X XU U 例例3 3( (P P6 61 1- -例例2 2) ) 一一煉煉純純糖糖機機器器一一天天可可生生產(chǎn)產(chǎn)純純糖糖1 1噸噸, ,但但由由于于機機器器損損壞壞和和減減速速, ,一一天天實實際際產(chǎn)產(chǎn)量量X X是是一一隨隨機機變變量量, ,設(shè)設(shè)X X的的概概率率密密度度為為2 2x x 0 0 x x1 1f f( (x x) )= =一一天天的的利利潤潤U U= =3

6、3X X- -1 1, ,求求U U的的概概率率密密度度f f( (u u) ). .0 0 其其它它2 2、延續(xù)型、延續(xù)型Y=g(X)Y=g(X)1( )XgyP1( ) ( ) ()YFyP YyP g Xy1( )XFgy12( ) ( )( )( )YYXfyFyFgy設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Y=g(X)Y=g(X)嚴(yán)厲單調(diào)嚴(yán)厲單調(diào)( (遞增遞增) )Y=g(X)Y=g(X)非嚴(yán)厲單調(diào)時，分段單調(diào)，分段求反函數(shù)即可。非嚴(yán)厲單調(diào)時，分段單調(diào)，分段求反函數(shù)即可。11( )( )Xfgygy( )11( )() ()33UUXudFuuufufdu U 的概率密度的概率密度1 112013330. (

7、) Uuufu其其它它211290() ( ) Uuufu即即其其它它31( )UFuP UuPXu 13uP X13)XuF()yPyX 當(dāng)當(dāng) y0 時時,)()(yYPyFY)(2yXP 留意到留意到 Y=X2 0，故當(dāng)，故當(dāng) y 0時，時，0)(yFY)(xFX)(yFY解：解： 設(shè)設(shè)Y和和X的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 ， )()(yFyFXX X X2 2X X2 2Y Y 例例4 4( (P P6 62 2- -例例3 3) ) 設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量X X的的概概率率密密度度為為f f( (x x) )( (x xR R) ), ,求求: :x x+ +1 1 - -1 1x

8、x1 1( (1 1) )隨隨機機變變量量Y Y= =X X 的的概概率率密密度度. .( (2 2) )設(shè)設(shè)概概密密f f( (x x) )= =2 20 0 其其它它求求Y Y= =X X 的的概概率率密密度度f f( (y y) ). .那么那么 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為：10200XXYYf (y )f (y ) ,ydF ( y )yf ( y )dy,y 1 ()20 01 Xyyfy其其它它 1()20 1 0 Xyyfy其其它它 111() ()2220 0 1 Yyyyfyy其其 它它 啟示：從例啟示：從例3-4中看到，在求中看到，在求F(y)=P(Yy) 過程中

9、，過程中，關(guān)鍵就是設(shè)法從關(guān)鍵就是設(shè)法從 g(X) y 中解出中解出X，從而得到與，從而得到與 g(X) y 等價的等價的X的不等式的不等式 .目的：為了利用目的：為了利用X X的分布，從而求出的分布，從而求出Y=g(X)Y=g(X)的概率的概率. . 1313uXXu如如例例3 3: : 用用 代代替替 X 2 2例例4 4: : 用用 - - y yy y 代代替替 X Xy y 求延續(xù)型隨機變量求延續(xù)型隨機變量F(x)F(x)或或f(x)f(x)的通用做法。的通用做法。 例例5P63,例例4 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X在在(0,1)上服從均勻分布。上服從均勻分布。求：求：1(略略).2Y=-2

10、lnX的概率密度的概率密度. ()y y2 2- -Y Y1 1e e y y 0 0f f ( (y y) )= =即即 = =2 2的的指指數(shù)數(shù)分分布布2 20 0 其其它它 :(0,1), 2ln0XUYX解解 2( )lnYFyP YyPXy2/yP Xe2211 /()yyXP XeFe22/( )( )()()yyYYXfyFyfee212/ye000, ( ) ( )YYyFyfy二、二維二、二維(X,Y)函數(shù)的分布函數(shù)的分布P=P (,)kkZzg X Yz(X,Y) , Zg( X,Y ) i ij ji ij jP P X X= =x x , ,Y Y= =聯(lián)聯(lián)合合分分布布

11、律律: :p p y y = =ijkg(x ,y ) zij=pijkg(x ,y )=zi ij jk k即即P P Z Z= =z z 等等于于所所有有p p滿滿足足之之和和. .(,), (,). .X YZg X YZ分分布布已已知知如如何何求求 的的分分布布 1 1、離散型、離散型Z=g(X,Y)Z=g(X,Y) 例例6 6( (類類似似P P7 72 2- -習(xí)習(xí)3 34 4) ) 設(shè)設(shè)離離散散型型( (X X, ,Y Y) )聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律如如下下表表, ,求求: :( (1 1) )Z Z= =X X+ +Y Y. . ( (2 2) )W W= =X X- -Y Y.

12、 . ( (3 3) )M M= =m ma ax x( (X X, ,Y Y) ). .( (4 4) )N N= =m mi in n( (X X, ,Y Y) )的的分分布布律律. .X Y - 1 1 2-12 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20（X，Y）(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2) P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 解解: 將將(X,Y)及各函數(shù)值列表如下：及各函數(shù)值列表如下：2 0 1 1 3 4 0 -2 -3 3 1 0ZXY WXY 1 1 2 2 2 2 Mmax(X,

13、Y ) 1 -1 -1 -1 1 2 Nmin( X ,Y ) 合并后可得各變量的分布律如下：合并后可得各變量的分布律如下：Z=X+Y - 2 0 1 3 4P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20W=X-Y - 3 -2 0 1 3P 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20M=max(X,Y) - 1 1 2P 5/20 2/20 13/20 N=min(X,Y) - 1 1 2P 16/20 3/20 1/20 設(shè)設(shè)(X，Y)的結(jié)合概率密度為的結(jié)合概率密度為 f (x,y)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度. 分析分析: Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是Ddxd

14、yyxf),(積分區(qū)域積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線是直線x+y =z 左下方半平面左下方半平面2 2、Z=X+YZ=X+Y的分布的分布( (重點重點 FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)( )( , )zZxyFzf x y dxdy ( , )zyf x y dx dy Z=X+Y的概率密度為的概率密度為 由對稱性由對稱性( )( ,)Zfzf x zx dx特別特別: 當(dāng)當(dāng)X和和Y獨立時，設(shè)獨立時，設(shè)(X,Y) 的邊沿密度為的邊沿密度為fX(x) , fY(y)( )()( )ZXYfzfzy fy dy( )()XYfx fzx dx卷積公式卷積公式 ()(, )zf

15、yyyzdyz ( )(, )Zfzf zy y dy( )( )ZZfzF z ( , )zzyf x y dx dydxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷積公式由卷積公式0110zxx積積分分區(qū)區(qū)域域101zxxz 即即1 0 x10 f ( x ) 例例7 7 設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量X X, ,Y Y相相互互獨獨立立, , 且且具具有有相相同同的的概概率率密密度度. . 求求Z Z= =X X+ +Y Y的的概概率率密密度度. .其其它它011,01( )2,120,zzZdxzzfzdxzz其其它它( )()( )ZXYfzfzy fy dy解解: 由卷積公式由卷積公式001z

16、yy積積分分區(qū)區(qū)域域 01zyzy即即1 01 0 0 0 yXYZXY,xeyf ( x )f ( y )ZXYf (z ) 例例8(P64-8(P64-例例5) 5) 設(shè)設(shè) 和和 是是兩兩個個相相互互獨獨立立的的隨隨機機變變量量 其其概概率率密密度度分分別別為為,.,.求求隨隨機機變變量量其其它它其其它它的的概概率率密密度度. . 0101( ) 10 zzyyzZe dyzfze dyz其其它它 101(1) 10 zzezeez其其它它01()( ) 01( )()( ) 10 XYZXYzzzfzy fy dyzfzfzy fy dyz其其它它( )( )() ( 6566)ZXYf

17、zfx fzx dxP或或 設(shè)設(shè)X、Y是兩相互獨立的隨機變量，分布函數(shù)分別為是兩相互獨立的隨機變量，分布函數(shù)分別為FX(x)和和FY(y)，求，求M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù).3 3、 M=max(X,Y)M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)N=min(X,Y)的分布重點的分布重點FM(z) =P(Mz)=P(max(X,Y) z)=P(Xz,Yz)=P(Xz)P(Yz) = FX(z)FY(z) 即即 FM(z)= FX(z)FY(z) FN(z) =P(Nz)=P(min(X,Y) z)=1-P(min(X,Y) z)=1-P(Xz,Yz) =1-

18、 P(Xz)P(Yz)即即 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) 特例特例: 當(dāng)當(dāng)X1,Xn相互獨立且具有一樣分布函數(shù)相互獨立且具有一樣分布函數(shù)F(x)時時N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: FN(z)=1-1-F(z) n 12( )1 1( )1( ).1( )nNXXXFzFzFzFz12( )( )( ).( )nMXXXFzFz FzFz推行推行:設(shè)設(shè)X1,Xn是是n個相互獨立的隨機變量個相互獨立的隨機變量,它們的分它們的分布函數(shù)分別為布函數(shù)分別為 (i =0,1，, n) ，那么，那么( )iXFxFM(z)

19、=F(z) n( )( )xXXFxfx dx解解1串聯(lián)方式：串聯(lián)方式： 系統(tǒng)系統(tǒng)L的壽命的壽命 Z=min(X,Y) x0 y0 000 0 xyXYeef ( x)f ( y), 1 12 21 12 21 12 2 例例9 9( (P P6 67 7- -例例6 6) ) 設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng)L L由由兩兩個個相相互互獨獨立立的的子子系系統(tǒng)統(tǒng)L L , ,L L 聯(lián)聯(lián)接接而而成成, ,聯(lián)聯(lián)接接的的方方式式分分別別為為: :( (1 1) )串串聯(lián)聯(lián). .( (2 2) )并并聯(lián)聯(lián). .( (3 3) )備備用用( (當(dāng)當(dāng)系系統(tǒng)統(tǒng)L L損損壞壞時時, ,系系統(tǒng)統(tǒng)L L 開開始始工工作作) )( (

20、補補充充) ). .設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng)L L , ,L L 的的壽壽命命分分別別為為, , ( (且且) ). .x x0 0y y0 0試試分分別別就就以以上上三三種種聯(lián)聯(lián)接接方方式式求求系系統(tǒng)統(tǒng)L L的的壽壽命命Z Z的的概概率率密密度度. .0 x0 0 x10 xxxxeed y0: ( )( ) 0 01yyYYyeFyfy dy 同同理理可可得得min(,):ZX Y的的分分布布函函數(shù)數(shù)1 1( )( )1( )ZXYFzFzFz() z0 0 z01 ze min(,): ZX Y概概率率密密度度() z0 0 ( z0)ze ( )( )ZZfzFzmax(,):ZX Y的的分分布布

21、函函數(shù)數(shù)( )()(XYZFFz Fzz z0 0 (1) z0(1)zzee max(,): ZX Y概概率率密密度度() z0 0 ) ( z0zzzeee 2并聯(lián)方式：并聯(lián)方式： 系統(tǒng)系統(tǒng)L的壽命的壽命 Z=max(X,Y)( )( )ZZfzFz0()( )zZxz xeefzdx () z0( ) 0 z0zzZeefz 即即Z Z= =X X+ +Y Y概概率率密密度度: : 3備用方式：備用方式： 系統(tǒng)系統(tǒng)L的壽命的壽命 Z=X+Y( )( )()ZXYfzfx fzx dx0 0 0 xzzxx 積積分分區(qū)區(qū)域域即即0()zzxexed ()zzee 本節(jié)重點總結(jié)本節(jié)重點總結(jié)一

22、、延續(xù)型隨機變量函數(shù)一、延續(xù)型隨機變量函數(shù)Y=g(X)的分布的分布二、二維延續(xù)型二、二維延續(xù)型(X, Y)函數(shù)的分布函數(shù)的分布 1、Z=X+Y的分布。的分布。 2、M=Max(X, Y)和和N=Min(X,Y)的分布。的分布。1 1、分布律、概率密度、分布函數(shù)的定義、性質(zhì)及計算；、分布律、概率密度、分布函數(shù)的定義、性質(zhì)及計算；2 2、二項分布、均勻分布、指數(shù)分布的定義、計算；、二項分布、均勻分布、指數(shù)分布的定義、計算；3 3、利用分布律、概率密度、分布函數(shù)計算事件的概率；、利用分布律、概率密度、分布函數(shù)計算事件的概率；4 4、邊沿分布律、邊沿概率密度；、邊沿分布律、邊沿概率密度；4 4、隨機變

23、量獨立的定義與性質(zhì)；、隨機變量獨立的定義與性質(zhì)；5 5、延續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布計算、延續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布計算 Y=g(X) Y=g(X) 、相互獨立隨機變量的和、最大最小值的分布。、相互獨立隨機變量的和、最大最小值的分布。本章重點總結(jié)本章重點總結(jié)備選備選1：假設(shè)：假設(shè)X、Y獨立，獨立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由獨立性由獨立性此即離散此即離散卷積公式卷積公式r=0,1,2, 解

24、一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n)nkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn1111211(2)nnnpqqq記記1-p=q 備選備選2：設(shè)隨機變量：設(shè)隨機變量X1,X2相互獨立相互獨立,并且有一樣的并且有一樣的幾何分布幾何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的分布的分布 .n=0,1,2,解二解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)211nkkpq=P(max(X1,X2) n )-P(max(X

25、1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1)2111nkkpq2211qqpn2)1 (nq21211qqpn21)1 (nq11(2)nnnpqqqn=0,1,2, 1 YXybYaXb: f ( y )f ()( yR)aa的的概概率率密密度度 1 ybxh( y), h( y)aayaxb嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)可可導(dǎo)導(dǎo), ,反反函函數(shù)數(shù) 222 (xR),2 2( (x x- - ) )- -X X1 1證證明明: :X XN N( () ), , 故故 f f( (x x) )= =e e2 2 22 (a),b, 備備選選3 3 設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量

26、X XN N( () ), ,證證明明隨隨機機變變量量Y Y= =a aX X+ +b bN N( (a a) ). . ( (a a0 0) )2222 (yR)1y b()baaaa2 22 2( (- - ) ) y y- -( () ) - - -a aY Y1 11 1f f( (y y) )= =e ee e2 22 2 2 (a)b,Y Y= =a aX X+ +b bN N( (a a) )從從而而 122 -2 20 ,解解:(1) U(-), :(1) U(-), 概概率率密密度度為為f( )=f( )=其其它它 02 2U,U, 備備選選4 4 設(shè)設(shè)電電壓壓V V= =A

27、 As si in n , , A A為為正正常常數(shù)數(shù). .相相角角 為為一一隨隨機機變變量量, ,在在下下列列兩兩種種情情況況下下: : ( (1 1) ) ( (- -) ); ; ( (2 2) ) ( () ). .求求電電壓壓V V的的概概率率密密度度. .2 2VAsin,vh(v)arcsinA在在( (- -) )嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)可可導(dǎo)導(dǎo), ,反反函函數(shù)數(shù) 221vvarcsinh (v )AAv反反函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) - 220 Vvvf (arcsin) h (v )arcsinf (v )AA概概率率密密度度其其它它 1 000 ,( (2 2) ) U U( () )

28、, , 概概率率密密度度為為f f( ( ) )= =其其它它 0VAsin,在在( () )非非單單調(diào)調(diào), ,因因而而反反函函數(shù)數(shù)不不存存在在. . 221 - 0 VAvAf ( v )Av其其 它它 211221 0 vh (v)arcsin,h (v)AAv,( () )時時, , 反反函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 222221 vh (v)arcsin,h (v)AAv( ( , , ) )時時, , 反反函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 222211+ 0 0 vAAvAv其其 它它 112212 0 0 Vf h(v) h(v)f h (v) h (v)h(v),h (v)f (v)VAsin 的的概概率率

29、密密度度: :其其它它 222 0 00 Vv AVA sin ()f (v )Av概概率率密密度度其其它它 )()(yYPyFY)(sinyXP =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X 當(dāng)當(dāng)0y1時時, 22 0 X ()0Y=sinXxxfx 備備選選5 5隨隨機機變變量量概概率率密密度度其其它它求求的的概概率率密密度度. . 0y=sinx1,解解: : 當(dāng)當(dāng)0 0 x x 時時 YYF (y)=0. F1 (y)=,因因此此, , 當(dāng)當(dāng)y y0 0時時當(dāng)當(dāng)y y1 1時時 arcsin202yxdx 2arcsin2yxdx 2arcsin()y 2arcsin1()y =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X dyydFyfYY)()(而而22, 01: ( )10,