初三中考復(fù)習(xí)二次函數(shù)最值問題

1、二次函數(shù)之最值問題基本解題步驟:1 .審題.讀懂問題，分析問題各個量之間的關(guān)系；2 .列數(shù)學(xué)表達(dá)式.用數(shù)學(xué)方法表示它們之間的關(guān)系，即寫出變量與常量之間的二次函數(shù)關(guān)系式；23 .求值.利用二次函數(shù)關(guān)系式的頂點坐標(biāo)公式,4ac b或配方法求得最值；2a 4a配方法：將二次函數(shù) y ax2 bx c轉(zhuǎn)化為y a（x h）2 k的形式，頂點坐標(biāo)為h,k ,對稱軸為x h.當(dāng)a 。時，y有最小值，即當(dāng)x h時，y最小值=k ;當(dāng)a 。時，y有最大值，即當(dāng)x h時，y最大值二k .4 .檢驗.檢驗結(jié)果的合理性.（函數(shù)求最值需考慮實際問題的自變量的取值范圍）解題策略 實際問題轉(zhuǎn)化 數(shù)學(xué)問題解 檢驗 問題答案

2、關(guān)鍵在如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題利潤最值問題：此類問題一般先是運(yùn)用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=每件商品的利潤銷售數(shù)量”建立利潤與價格之間的函數(shù)關(guān)系式，再求出這個函數(shù)關(guān)系式的頂點坐標(biāo)，頂點的縱坐標(biāo)即為最大利潤.特殊地，這里要考慮實際問題中自變量的取值范圍，數(shù)形結(jié)合求最值.例1例2線段和或差（或三角形周長）最值問題：此類問題一般是利用軸對稱的性質(zhì)和 兩點之間線段最短確定最短距離，這個距離一般用勾股定理或兩點之間距離公 式求解.特殊地，也可以利用平移和軸對稱的知識求解固定線段長問題.最短距離和找法：以動點所在的直線為對稱軸，作一個已知點的對稱點，連結(jié) 另一個已知點和對稱點的線段，與對稱軸

3、交一點，這一點即為所求點.線段 長即為最短距離和.口訣：“大”同“小”異求最值.“大”同：求差的最大值，把點移動到直線的同側(cè).“小”異：求和的最小值，把點移動到直線的兩側(cè).（幾何最值較多）例3例4例5線段長最值問題：根據(jù)兩點間距離公式|xi xz|把線段長用二次函數(shù)關(guān)系式表示 出來求最值.幾何面積最值問題：此類問題一般是先運(yùn)用三角形相似，對應(yīng)線段成比例等性質(zhì)或者用“割補(bǔ)法”或者利用平行線得到三角形同底等高進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化寫出圖形的面積y與邊長x之間的二次函數(shù)關(guān)系，其頂點的縱坐標(biāo)即為面積最值.例6例7例8動點產(chǎn)生的最值問題：數(shù)形結(jié)合求解，把路程和轉(zhuǎn)化成時間和，當(dāng)三點共線時 有取值.例9例10利潤最值

4、問題例1、一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具，成本為 10元/件，出廠價為12元/件，年銷售量為2萬件.今年計劃通過適當(dāng)增加成本來提高產(chǎn)品的檔次，以拓展市場.若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應(yīng)提高0.5x倍，則預(yù)計今后年銷售量將比去年年銷售量增加x倍(本題中0 x 1).(1)用含x的代數(shù)式表示：今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為 元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出 廠價為 元.(2)求今年這種玩具每件的利潤 y元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元，求當(dāng)x為何值時，今年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少萬元？注：年銷售利潤=

5、(每件玩具的出廠價一每件玩具的成本)x年銷售量.解：(1) 10+7x ; 12+6x ;(2) y= (12+6x ) - (10+7x ), y=2 -x ( 0< x< 11);(3) w=2 ( 1+x) ?y=2 ( 1+x ) ( 2-x )=-2x 2+2x+4 , w=-2 ( x-0.5 ) 2+4.5. , -2 < 0 , 0Vx< 11, w有最大值，當(dāng)x=0.5 時，w最大=4.5 (萬元).答：當(dāng)x為0.5時，今年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是4.5萬元.例2、新星電子科技公司積極應(yīng)對2008年世界金融危機(jī)，及時調(diào)整投資方向，瞄準(zhǔn)光伏產(chǎn)業(yè)

6、，建成了太陽能光伏電池生產(chǎn)線.由于新產(chǎn)品開發(fā)初期成本高，且市場占有率不高等因素的影響，產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來，公司經(jīng)歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程（公司對經(jīng)營的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次）.公司累積獲得的利潤y （萬元）與銷售時間第 x （月）之間的函數(shù)關(guān)系式（即前x個月的利潤總和y與x之間的關(guān)系）對應(yīng)的點都在如下圖所示的圖象上.該圖象從左至右，依次是線段OA曲線AB和曲線BC,其中曲線AB為拋物線的一部分，點 A為該拋物線的頂點，曲線 BC為另一拋物線y 5x2 205x 1230的一部分，且 點A, B, C的橫坐標(biāo)分別為 4, 10, 12.（1）求該公司累積獲得的利潤 y （萬元）

7、與時間第 x （月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）直接寫出第x個月所獲得S （萬元）與時間x （月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出計算過程）；（3）前12個月中，第幾個月該公司所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？解：(1)設(shè)直線OA的解析式為y=kx , 點 0(0, 0), A (4, -40)在該直線上，. -40=4k ,解得k=-10 ,y=-10x ；二點 B 在拋物線 y=-5x 2+205x-1230 上，設(shè) B (10, m),則 m=320 . 點B的坐標(biāo)為( 10, 320 ).二點A為拋物線的頂點， 設(shè)曲線AB所在的拋物線的解析式為y=a ( x-4 ) 2 -40 ,320=

8、a ( 10-4 ) 2-40 ,解得a=10 ,即 y=10 (x-4 ) 2-40=10x 2-80x+120 .-y=<IOl-= 5、6、7 x 0、9) ?-5h二+2D5l123O(h= 10、11> 12)（2）利用第x個月的利潤應(yīng)該是前x個月的利潤之和減去前x-1個月的利潤之和：T0.l-10CtT)(工二 1、2、3、4)5=J 10.T 2 -80x-L20-10C-r-l I2 -S0(x-1)-1?0(jc = 5 .鼠 7、&、9)-5x 2 -i-2O5r-123O-(-5(x-l)2-h2O5(,T-l)-123O)(x-lO. 11、12)

9、f-10gL 23 3. 4)即£=* 20父一90(父二三：6： 7r 9)；、TQH(x=10? 11； 12)(3)由(2)知當(dāng)x=1 , 2, 3, 4時，s的值均為-10 ,當(dāng) x=5 , 6, 7, 8, 9 時，s=20x-90 ,即當(dāng)x=9時s有最大值90,而在 x=10 , 11, 12 時，s=-10x+210 ,當(dāng)x=10時，s有最大值110 ,因此第10月公司所獲利潤最大，它是110萬元.試試：1、某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價為40元的的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少

10、銷售 3箱.（1）求平均每天銷售量 y （箱）與銷售價x （元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）求該批發(fā)商平均每天銷售利潤w （元）與銷售價x （元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式.（3）當(dāng)每箱蘋果的售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：(1)設(shè) y=kx+b ,把已知（ 45, 105）, （ 50, 90）代入得，解得;際二一3故平均每天銷售量y （箱）與銷售價x （元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-3x+240 ;(2) 水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價為40元的蘋果，銷售價x元/箱，.該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w (元)與銷售價x (元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式為：W= (x-40 ) (-3x+

11、240 ) =-3x n_ X C 60-6(1) +41 =SC (萬人)所以x=50時，P值最大，即這兩年的獲利最大為后三年：設(shè)每年獲利y,設(shè)當(dāng)?shù)赝顿Y額為a,則外地投資額為100-a ,99o 29499 弓 294Q=-10 0- <10 Q-a ) 100- C 1 0 (J- a ) +1 50-a4-l 60 '1005100515W 2949 <a-60) 2+41 4-a2+160=-a2+60a+l 65- (a-30> 2 + 1 065100100 口當(dāng)a=30時，y最大且為1065 ,這三年的獲利最大為1065X3=3195 ( 萬元)，.5年

12、所獲利潤(扣除修路后)的最大值是：80+3195- 50X2=3175 (萬元).+360x-9600 .1( 3) W=-3x2+360x-9600=-3( x-60 ) 2 + 1200 , a=-3 < 0 ,:拋物線開口向下.又對稱軸為x=60 , .,當(dāng)x < 60 , W隨x的增大而增大，由于50< x< 55, 當(dāng)x=55時，W的最大值為1125元.當(dāng)每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得最大利潤，為1125元.2、我市 某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運(yùn)輸原因，長期只能在當(dāng)?shù)劁N售.當(dāng)?shù)卣畬υ撎禺a(chǎn)的銷售投資收益為：每12投入x萬兀，可狄得利潤 P 一 x 6041 (萬

13、兀).當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在“十二五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特100產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售.在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，992 294可狄利潤 Q 100 x 100 x 160 (萬兀). 1005(1)若不進(jìn)行開發(fā)，求 5年所獲利潤的最大值是多少？(2)若按規(guī)劃實施，求 5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是多少？(3)根據(jù)(1), (2),該方案是否具有實施價值？解：(1) ,

14、每投入x萬元，可獲得利潤100當(dāng)x=60時，所獲利潤最大，最大值為41萬元，若不進(jìn)行開發(fā)，5年所獲利潤的最大值是：41X5=205 (萬元)；(2)前兩年：0< x< 50,此時因為P隨x的增大而增大，拋物線的對稱軸上有P解得對稱軸H二H美于.對稱油對稱連接BD與時稱輪的交點即為斯尿F點過口作DF _L工牯于F(1)求拋物線的解析式如圖，正方形ABC曲邊長為B 1,0線段和(或三角形周長)最值問題代人尸父+匕宣+(7PA PD的最小值.c的圖象過點A 3,0橫坐標(biāo)是 24,點P在DCfe上且DP=1,點Q是AC上一動點，則DQ+PQJ最小值為PA=PB， pa+pd=bd=iJ7.

15、 故PA+PD聃最小信為解： m :直線六一叱工一與玄軸、/輪分別交于 3例2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線y 蟲x 2分別交x軸、y軸于C、A兩點.將射線 AM曉著 3點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線 AN.點D為AM上的動點，點B為AN上的動點，點 C在/ MAN勺內(nèi)部.(1)求線段AC的長；(2)當(dāng)AM/ x軸，且四邊形 ABCM梯形時，求 BCD的面積；(3)求 BCW長的最小值；(4)當(dāng) BCD勺周長取得最小值，且 BD 還時， BCD的面積為3,“二4 (2)當(dāng)AD#BC時，依題意，可知ND前=45”ZAB0-45c .QB=0A=2 d，BC-21T-2 .當(dāng)AH

16、獷DC時，RJSASCD=SAACD 設(shè)射線AN交k軸于點E，v ADxte j'*四邊電AECD為平行四邊超.''*SAAEC=SAACD'M 日GD=S昌EG=/E3=2p-2 -（3）作點C關(guān)于射線AM的對稱點J，點C關(guān)于射線AN的對稱點C2.由軸對稱的性質(zhì)，可知CD=QD，CB=C2B.CB+BD+CDX2B+BD+C1D=C1C2連接AC1、AC2，可得 HAD=NCAD，ZC2AB=ZCAB，ACi=AC2=AC=4 . NDAB=45°， ZCiAC2=90° .連接CK2. 兩點之間線段最短， 當(dāng)B、D兩點與C、C2在同一條直

17、線上時，ABCD的周長最小，最小值為線段1：伍2的長. ECD的周長的最小值為4.（4）根據(jù)（3）的作圖可知四邊形AMCN的對角互補(bǔ)，其中NDAB = 45°，因此，ZC2C C1=135 V ZB CC2 + DCC1+ZBCD=135，ZBC2C+ZDCC+ZBCC2+-DCC1 + ZBCD= 1 80 °，NBC2c=4CC2,NDCJ = NDCQ ZBCD=90° *.CB2+CD2=BD2=（生）26 "B+CD = 4p-d，Y 62CB*CD= （13 2-（生）2：.CB，CD = "663114:s=5cbcd = =.2

18、 3HKOA例3、已知，如圖，二次函數(shù) y ax2 2ax 3a a 0圖像的頂點為 H,與x軸交于A、B兩點（B在A點右側(cè)），點H, B關(guān)于直線l : y £ x J3對稱.3證明；,亙線1； 3 =-口，當(dāng)工二-3時， = £4-3）-=0，二點2在直線1上，（2）,點H、曝于過喪點由直線對稱，（2）求二次函數(shù)解析式;（3）過點B作直線BK/ AH交直線l于K點，M N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接 HN NMMK求HN NM MK和的最小值.(1)求 AB兩點坐標(biāo)，并證明點A在直線l上;解； I ）蕉題意 ' 得二口（ a戶口），兩邊都除以為得:即產(chǎn)

19、+2%-3二。1解得* 1 = - 3 * 32= 1，二 E點在上點右隨，二A點坐標(biāo)為（-3 - 0），B點坐標(biāo)為1，。），答：兩點坐標(biāo)分別是"3, 0）（1，0）-,二 AH=AE=4，過頂點H作HC1AE交出于。點，-頂點對 一 1 r 2 JJ） »代入二次函數(shù)解析式，解伺出二一更，二二次函數(shù)解析式為 二 -W犬2 一聲羋 上X普工二次圖數(shù)紫析式刀丁二一,工2一呼一¥, XXBx<3)直線AH的解析式為=亞-33即K(3 , 2同則BK二q，B關(guān)于直線AK對稱，K (3，23)，HIHMN的最小值是MB,過K作KDJLx軸于D，作點K關(guān)于直線AH的對

20、稱點Q，連接QK，交直線由H于E，則QM=MK，0E=EK=2?，AEJLQK，e根據(jù)兩點之間線段最短得出EM十MK的最小值是BQ，即B Q的長是HN十NM十MK的最小值,VBK / AH，/- ZBKQ=ZHEQ = 90°，由勾殷定理得QB=廚二最" #_(2后22=二HN十NM十MK的最小值為8，試試：1、已知拋物線y ax2 bx 1經(jīng)過點A 1,3和點B 2,1 .(1)求此拋物線解析式；(2)點C D分別是x軸和y軸上的動點，求四邊形 ABCW長的最小值；(3)過點B作x軸的垂線，垂足為 E點.點P從拋物線的頂點出發(fā)，先沿拋物線的對稱軸到達(dá) F點，再沿 FE到達(dá)

21、E點，若P點在對稱軸上的運(yùn)動速度是它在直線 FE上運(yùn)動速度的 雙倍，試確定點F的位置，使得 點P按照上述要求到達(dá) E點所用的時間最短.(要求：簡述確定 F點位置的方法，但不要求證明)y A3 -9 b圖像上的兩2,則求SoAB二次函數(shù)中字母替換k4例1、如圖，已知 A (a, m)、B (2a, n)是反比例函數(shù) y (k 0)與一次函數(shù)y xx3個不同的交點，分別過A、B兩點作x軸的垂線，垂足分別為C、D。連結(jié)OA OB若已知1 a的取值范圍。(1)過點A做AM x軸，垂足為 M，連接BM，若AM BM ,求點B的坐標(biāo)(2)若點P在線段AB上，過點P做PE x軸，垂直為E,并交雙曲線y k2

22、- k2 0于點N,當(dāng) 里 取 xNE1 最大值時，有PN ,求此時雙曲線的解析式。2解：41 )加圖，也作軸,二Xc=即，火點坐標(biāo)為(1, 3d)，kc例2、已知點A(1,c)和點B(3,d)是直線y kix b和雙曲線y k2 x0的交點, G和點E3, d)都在雙曲線i = & <k2>0) ±： JC而AM二BK，5HU，'.HT = 2，BH4,'點坐標(biāo)為(3g）如國，把B ”，d）代入產(chǎn)但功二34,果反比例畫軟的解析式為片工，把 R（1，3d）、呂（3，d）代入了二 kix+b 得，.，解得 3kl -fr a機(jī)db = 4d,二官:線

23、AB的解析式為產(chǎn)-dxMd，3d設(shè)F f t，- dt +4 d），則II （t ?）； a,"' PN- " dt +4 d p NE= ，3d n -did* pyt 1 = =XE 至 3PX取最大值時，1=2»+ r,，*3d 1-2 d+4 d-=2 2-d=l，;反比例函數(shù)的解析式為9二.作業(yè)：1、（2010眉山市26, 12分）如圖，RtABO的兩直角邊 OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O2 c5為坐標(biāo)原點，A、B兩點的坐標(biāo)分別為3,0、0,4 ,拋物線y 2x2 bx c經(jīng)過B點，且頂點在直線x -32上.（1）求拋物線對應(yīng)的

24、函數(shù)關(guān)系式；（2）若 DCE是由ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點 C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點 M作MN平行于y軸交CD于點N.設(shè)點M 的橫坐標(biāo)為t, MN的長度為L求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求 l取最大值時，點 M的坐標(biāo).解：（1）由題意，可設(shè)所求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為25 2y - (x -) m (1 分)322 (31692 m3分)，所求函數(shù)關(guān)系式為:(2)在 RtA ABC, O盒3,25 2y -(x -)32OB=4,10 x 43(4分)AB OA2-OB2.四邊形ABCD1菱