信息光學(xué)第一章

1、常用函數(shù)：矩形函數(shù)：rect(x)，三角函數(shù)：(x)圓域函數(shù)：circ(r)階躍函數(shù)：step(x)符號(hào)函數(shù)：sgn(x)sinc(x): sinc(x)高斯函數(shù)：exp(ix2)脈沖函數(shù)：(x)梳妝函數(shù)：comb(x)定義及性質(zhì)：卷積運(yùn)算：定義：性質(zhì)：dxhfxhxfxg) () ( )()()(1-4 1-4 相關(guān)相關(guān) 信信息處理中的重要運(yùn)算息處理中的重要運(yùn)算一、互相關(guān)一、互相關(guān)考慮兩個(gè)復(fù)函數(shù)考慮兩個(gè)復(fù)函數(shù) f (x)與與g (x)，定義：，定義：作變量替換作變量替換 x+ = , 則則 ) () ()()()(*dgxfxgxfxrfg(2)(1) 和和 (2)兩個(gè)定義式是完全等價(jià)的。兩

2、個(gè)定義式是完全等價(jià)的。為函數(shù)為函數(shù)f(x)與與g(x)的互相關(guān)函數(shù)。的互相關(guān)函數(shù)。(1)dxgfxgxfxrfg)()()()()(*互相關(guān)是兩個(gè)函數(shù)間存在相似性的量度?；ハ嚓P(guān)是兩個(gè)函數(shù)間存在相似性的量度。1-4 1-4 相關(guān)相關(guān)一、互相關(guān)一、互相關(guān) 與卷與卷積的關(guān)系積的關(guān)系由由(2)式易見：式易見：(3)()()()()(*xfxgdgxfxrfg 1. 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) f *(-x)= f(x) ，相關(guān)才與卷積相同。一般情況下，相關(guān)才與卷積相同。一般情況下，相關(guān)運(yùn)算與卷積運(yùn)算的區(qū)別相關(guān)運(yùn)算與卷積運(yùn)算的區(qū)別:f(x)要取復(fù)共軛要取復(fù)共軛運(yùn)算時(shí)運(yùn)算時(shí)f(x) 不需折疊不需折疊rfg(x)=

3、rgf*(-x)(4)由由(3)式直接推論得式直接推論得:2. 互相關(guān)不滿足交換律互相關(guān)不滿足交換律rfg(x)=f(x) g(x) g(x) f(x) = rgf (x)相關(guān)計(jì)算要相關(guān)計(jì)算要嚴(yán)格注意兩個(gè)函數(shù)的順序嚴(yán)格注意兩個(gè)函數(shù)的順序，以及哪個(gè)函數(shù)取，以及哪個(gè)函數(shù)取復(fù)共軛復(fù)共軛。f(x)0 x1f()101h(x)0 x1h(-)0 x1f()101h(x0-)x0g(x)=f(x)*h(x)0 x1陰影部分的面積陰影部分的面積g(x0)x0h(x0-)01(x0-)*f(x)0 x1h(x)0 x1f(x)0 x1h(-x0)x0rfh(x)=f(x) h(x)0 x1陰影部分的面積陰影部

4、分的面積x0rfh(x0)卷積與相關(guān)的結(jié)果不同卷積與相關(guān)的結(jié)果不同互相關(guān)的物理含義互相關(guān)的物理含義,fgrx yf x yg x y1. 互相關(guān)是兩個(gè)信號(hào)之間存在互相關(guān)是兩個(gè)信號(hào)之間存在多少相似性的量度。多少相似性的量度。2. 兩個(gè)完全不同、毫無(wú)關(guān)系的兩個(gè)完全不同、毫無(wú)關(guān)系的信號(hào)，對(duì)所有位置，它們互信號(hào)，對(duì)所有位置，它們互相關(guān)值為零。相關(guān)值為零。3. 兩個(gè)信號(hào)在一些部位存在相兩個(gè)信號(hào)在一些部位存在相似性，在相應(yīng)位置上就存在似性，在相應(yīng)位置上就存在非零的互相關(guān)。非零的互相關(guān)。1-4 1-4 相關(guān)相關(guān)二、自相關(guān)二、自相關(guān)或：或： ) () ()()()(*dfxfxfxfxrff由由(4)式立即可

5、得式立即可得:rff(x)= rff*(-x)復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是厄米函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是厄米函數(shù)( (實(shí)部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)實(shí)部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)) )實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù)的自相關(guān)為實(shí)偶函數(shù)的自相關(guān)為實(shí)偶函數(shù)dxffxfxfxrff)()()()()(*當(dāng)當(dāng) f (x)=g(x)時(shí)，互相關(guān)變?yōu)閺?fù)函數(shù)時(shí)，互相關(guān)變?yōu)閺?fù)函數(shù)f(x)的自相關(guān)，定義為的自相關(guān)，定義為1-4 1-4 相關(guān)相關(guān) 二、自相關(guān)二、自相關(guān))()()()()(*xfxfdxffxrff由由(3)式式:若若f(x)是實(shí)偶函數(shù)是實(shí)偶函數(shù), 則則:rff (x)= f(x) * f(x) , 其自相關(guān)就是自卷積其自相關(guān)就是自卷積對(duì)

6、于非零復(fù)函數(shù)對(duì)于非零復(fù)函數(shù)f(x)， rff (0)0 為實(shí)值為實(shí)值|rff (x)| 1)，導(dǎo)致頻域中坐，導(dǎo)致頻域中坐標(biāo)標(biāo)(fx,fy)的的擴(kuò)展擴(kuò)展及頻譜及頻譜幅度縮小幅度縮小，反之亦然。，反之亦然。g(x)x0 1 1/211/21g(ax) a=2x01 1/411/41fG(f)01-11f02-21/2)(1afGax空域壓縮空域壓縮F.T.F.T.頻域擴(kuò)展頻域擴(kuò)展bfafGabbyaxgyx,1),(1-51-5 二維傅里葉變換二維傅里葉變換3. 位移定理位移定理 g(x-a, y-b)= G(fx, fy) exp-j2 (fxa+fyb) 設(shè)設(shè) g(x,y) G( fx,fy)

7、, F.T.頻率位移：頻率位移：原函數(shù)在空間域的相移，導(dǎo)致頻譜的位移。原函數(shù)在空間域的相移，導(dǎo)致頻譜的位移。 g(x,y) expj2 (fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)空間位移空間位移：原函數(shù)在空域中的平移，相應(yīng)的頻譜函數(shù)振：原函數(shù)在空域中的平移，相應(yīng)的頻譜函數(shù)振幅分布不變，但位相隨頻率線性改變。幅分布不變，但位相隨頻率線性改變。推論推論: : 由由 1= d d (fx,fy) exp j2 (fax+fby)= d d (fx- fa, fy- fb)復(fù)指函數(shù)的復(fù)指函數(shù)的F.T.是移位的是移位的d d 函數(shù)函數(shù)1-51-5 二維傅里葉變換二維傅里葉變換4. 帕色渥帕

8、色渥(Parseval)定理定理若若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓，代表加在單位電阻上的電流或電壓，則左式代表信號(hào)的總能量（或總功率）。則左式代表信號(hào)的總能量（或總功率）。 |G( fx , fy)|2代表能量（功率）的譜密度（單位頻率代表能量（功率）的譜密度（單位頻率間隔的能量或功率）。間隔的能量或功率）。yxyxdfdfffGdxdyyxg22),(),( 設(shè)設(shè) g(x,y) G(fx,fy), F.T.Parseval定理說(shuō)明，信號(hào)的能量也可由定理說(shuō)明，信號(hào)的能量也可由|G( fx , fy)|2曲線下面曲線下面積給出，或者說(shuō)等于各頻率分量的能量之和積給出，或者說(shuō)等于各頻率分量的

9、能量之和能量守恒。能量守恒。1-51-5 二維傅里葉變換二維傅里葉變換5. 卷積定理卷積定理空域中兩個(gè)函數(shù)的卷積，其空域中兩個(gè)函數(shù)的卷積，其F.T.是各自是各自F.T.的乘積。的乘積。 g(x,y)* h(x,y)= G(fx,fy) . H(fx,fy) 設(shè)設(shè) g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T. g(x,y) . h(x,y)= G(fx,fy) * H(fx,fy)空域中兩個(gè)函數(shù)的乘積，其空域中兩個(gè)函數(shù)的乘積，其F.T.是各自是各自F.T.的卷積。的卷積。將時(shí)、空域的卷積運(yùn)算，化為頻域的乘積運(yùn)算，特別實(shí)用。將時(shí)、空域的卷積運(yùn)算，化為頻域的乘

10、積運(yùn)算，特別實(shí)用。也可用于求復(fù)雜函數(shù)的也可用于求復(fù)雜函數(shù)的F.T.和復(fù)雜函數(shù)的卷積。和復(fù)雜函數(shù)的卷積。1-51-5 二維傅里葉變換二維傅里葉變換利用卷積定理的例子利用卷積定理的例子2.tri(x)= rect(x)*rect(x)= rect(x) rect(x) = sinc(f) sinc(f) = sinc2(f) rect(x)x01 1/211/21rect(x)x01 1/211/21*tri(x)x01 1111fsinc(f)01-11sinc(f)01-11 xsinc2(x)01-11F.T.F.T.F.T. tri(x) = sinc2(f )1-51-5 二維傅里葉變換

11、二維傅里葉變換6. 相關(guān)定理相關(guān)定理自相關(guān)與功率譜的關(guān)系自相關(guān)與功率譜的關(guān)系: :作為練習(xí)自己證明。提示作為練習(xí)自己證明。提示:利用卷積定理、相關(guān)定義利用卷積定理、相關(guān)定義和共軛函數(shù)的和共軛函數(shù)的F.T. 設(shè)設(shè) g(x,y) G(fx,fy), F.T.反過(guò)來(lái)有：反過(guò)來(lái)有：g(x,y) g(x,y)= |G(fx,fy)|2|g(x,y)|2= G(fx,fy) G(fx,fy) 1-5 1-5 二維傅里葉變換二維傅里葉變換7. F.T.積分定理積分定理在函數(shù)在函數(shù) g 的各連續(xù)點(diǎn)上，的各連續(xù)點(diǎn)上，留作習(xí)題自證。留作習(xí)題自證。11 g(x,y)= -1 g(x,y)= g(x,y) g(x,y

12、)= -1 -1 g(x,y)= g(-x,-y)1-51-5 二維傅里葉變換二維傅里葉變換8. 可分離變量函數(shù)的變換可分離變量函數(shù)的變換 通常通常g(x,y) 是可分離變量的函數(shù)是可分離變量的函數(shù)，即兩個(gè)獨(dú)立一，即兩個(gè)獨(dú)立一元函數(shù)的乘積元函數(shù)的乘積:g(x,y)= g1(x) g2(y)dyyfjygdxxfjxgyx) 2exp()() 2exp()(21= G1(fx) G2(fy) 按二維按二維F.T.的定義的定義:dydxyfxfjyxgffGyxyx)( 2exp),()(,其傅里葉變換也是可分離變量的函數(shù)其傅里葉變換也是可分離變量的函數(shù) 將二維函數(shù)的將二維函數(shù)的F.T. 化為二個(gè)

13、獨(dú)立坐標(biāo)上的一維函數(shù)的化為二個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)上的一維函數(shù)的F.T.的乘積。物理上的大多數(shù)函數(shù)可以這樣處理。的乘積。物理上的大多數(shù)函數(shù)可以這樣處理。注意注意: 不可與兩個(gè)函數(shù)乘積的不可與兩個(gè)函數(shù)乘積的F.T.相混淆相混淆!傅傅里葉變換的計(jì)算方法里葉變換的計(jì)算方法1. 用定義直接計(jì)算用定義直接計(jì)算: rect(x), circ(r) , .2. 用廣義傅里葉變換的定義計(jì)算并求極限用廣義傅里葉變換的定義計(jì)算并求極限: 1.3. 用傅里葉變換的性質(zhì)間接導(dǎo)出用傅里葉變換的性質(zhì)間接導(dǎo)出: F.T.的積分定理的積分定理 F.T.的卷積定理的卷積定理 1. 1=d d (fx , fy );d d (fx , fy)=11 與與d d 函數(shù)互為函數(shù)互為F.T. 常用傅里葉變換對(duì)常用傅里葉變換對(duì) 3. rect(x)=sinc(f );sinc(x)= rect(f )rect與與sinc 函數(shù)互為函數(shù)互為F.T. 4. Gaus(x) = Gaus(f ) 高斯函數(shù)的高斯函數(shù)的F.T.仍為高斯函數(shù)仍為高斯函數(shù)2.)comb()(comb1)comb()(combfxfxttt2梳狀