微積分學基本公式

1、記記,max21nxxx ，bxxxxxann 1210在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取作和作和iinixfS )(1 ， 一一. 定積分的定義定積分的定義1. 分割分割2. 作和作和3. 取極限取極限 badxxf)(iinixf )(lim10 在在 區(qū)區(qū) 間間, ba上上 的的 定定 積積 分分 ，記為記為二二. .定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) babadxxfkdxxkf)()(2. bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( badxxf)( bccadxxfdxxf)()(. 3.3.積分對區(qū)間的可加性積分對區(qū)間的可加性則則 )()()(abMdxxfabmba . .如

2、如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 5.5.定積分中值定理定積分中值定理積分中值公式積分中值公式y(tǒng)=f(x)aboxy )(f)(d)(abfxxfbaxadttfx )()( )( )()( bxaxfdttfdxdxxa三、原函數(shù)存在定理三、原函數(shù)存在定理變限積分求導變限積分求導: :bxttfxd)(dd?d)(dd)(xattfxxattfxd)(dd)(xf?d)(dd)()(xxttfx問：問： 變限積分求導變限積分求導: :)(xfbxttf

3、xd)(ddbxttfxd)(ddxbttfxd)(dd)(xf)()(xxf)(d)(ddxattfx)d)(dd)(uaxuttfxdxduttfuua)d)(dd)(d)(ddxattfx)()(xxf)()(d)(ddxxttfx)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx)(d)(ddxattfx)(d)(xattf)()()()(xxfxxf)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf例例1 xatdt)sin(=？ 2)(xadttf=？ 2)d)sin(2xextt=？ 2)d)sin(2xextt4sin2xx xatdt)sin(xsin 2)(xadttf

4、2x)(2xf 20202)d)sin(d)sin(xettttxxxee22sin 020tanlim xxt dtxxdttxx020cos lim例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cosxex 21cos02limxdtextx xxexx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達法則型不定式，應(yīng)用洛必達法則.定理定理3.33.3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(x

5、F是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xF是是)(xf的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，CxxF )()(,bax 證證四、牛頓四、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式).()()(aFbFdxxfba 令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ),()()(aFdttfxFxa 令令 bx牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式CxxF )()()()()(aFbFdxxfba 微積

6、分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分上的定積分可可用用它的它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba端端點點上上的的值值來來表示表示. 注意注意當當ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.例例4 4 求求 .) 1sincos2(20 dxxx例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 解解例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解

7、解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf102152dxxdx. 6 xyo12例例6 6 求求 .1122dxx 例例6 6 求求 .1122dxx 解解21)1(112122 xdxx202cos1dxx202cos1dxx解：原式20sindxx20)sin(sindxxdxx20coscosxx4cos2cos0coscos3.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導數(shù)積分上限函數(shù)的導數(shù))()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小結(jié)四、小結(jié)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學

8、與積分學之間的關(guān)系之間的關(guān)系, )()(, ,)(xfxFbaCxf且設(shè)則有則有xxfbad)(積分中值定理積分中值定理( )()baF)()(aFbF微分中值定理微分中值定理()afb牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . . 練練 習習 題題 5

9、5、 94)1(dxxx_ . . 6 6、 33121xdx_ . . 7 7、 xdttxx020coslim_ . . 二、二、 求導數(shù)：求導數(shù)：1 1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、 設(shè)設(shè) 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設(shè)、設(shè) 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 計算下列各定積分：計算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)0,0 (2)