北郵數(shù)學(xué)物理方法1-4

1、1.4.1 二階線性偏微分方程的分類與化簡二階線性偏微分方程的分類與化簡n二階線性偏微分方程的一般形式二階線性偏微分方程的一般形式以兩個自變量（以兩個自變量（x,y）的方程為例：）的方程為例：2( , )xxxyyyxyAuBuCuDuEuFuf x y其中，其中， 只是只是x,y的函數(shù)。的函數(shù)。, ,A B C D E F當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f=0時，方程是齊次的，否則是非齊次的。時，方程是齊次的，否則是非齊次的。（1.4.1）一一方程的分類方程的分類設(shè)判別式設(shè)判別式2BAC 按其符號，可將方程分為三種類型：按其符號，可將方程分為三種類型：1.雙曲型：雙曲型：20BAC如一維波動方程：如一維波動方程

2、：20ttxxua u2.拋物型：拋物型：如一維熱傳導(dǎo)方程：如一維熱傳導(dǎo)方程：20txxua u3.橢圓型：橢圓型：如二維拉普拉斯方程：如二維拉普拉斯方程：0 xxyyuu20BAC20BAC(A=1,B=0,C=-a2)(A=0,B=0,C=-a2)(A=1,B=0,C=1)二二方程的化簡方程的化簡*目標(biāo)：盡量消去二階偏微商的項。目標(biāo)：盡量消去二階偏微商的項。定理定理1： 設(shè)有可逆變換設(shè)有可逆變換( , )( , )x yx y其中其中 、 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且行列式有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且行列式則：則：（1）在變換式（）在變換式（1.4.2）之下，方程（）之下，方程（1.4.1）變?yōu)樽宰兞渴牵?/p>

3、變?yōu)樽宰兞渴?、 的方程，的方程，但方程類型不變；但方程類型不變；（2）對三種不同類型的方程，各存在一組特殊的變換，使新方程變?yōu)槿缦拢θN不同類型的方程，各存在一組特殊的變換，使新方程變?yōu)槿缦聵?biāo)準(zhǔn)型：標(biāo)準(zhǔn)型：雙曲型：雙曲型：（1.4.2）1( , , ,)uHu u u 或或2( , , ,)uuHu u u 橢圓型：橢圓型：( , , ,)uuHu u u 拋物線型：拋物線型：( , , ,)uKu u u 0 xyxyJ1.4.2 線性偏微分方程的迭加原理線性偏微分方程的迭加原理n疊加原理疊加原理q線性偏微分方程可看作是一個線性運算符作用在函數(shù)線性偏微分方程可看作是一個線性運算符作用在函

4、數(shù)上的結(jié)果，滿足疊加原理上的結(jié)果，滿足疊加原理 222222222 Latxyz( , , , )u x y z t ( , , , ) L uf x y z t 0 L u （1）（2）（3）非齊次：非齊次：齊次：齊次：例：波動方程例：波動方程可看作線性運算符：可看作線性運算符：作用在物理量作用在物理量 上的結(jié)果。上的結(jié)果。非齊次定解條件非齊次定解條件齊次邊界條件和齊次邊界條件和零初始條件零初始條件q性質(zhì)性質(zhì)1.若若 和和 分別是齊次方程（分別是齊次方程（3）的解：）的解：則它們的線性組合則它們的線性組合 依然是齊次方程（依然是齊次方程（3）的解，）的解， 即：即：2.若若 是非齊次方程（是

5、非齊次方程（2）的解：）的解： 是齊次方程（是齊次方程（3）的解）的解 則則 依然是非齊次方程（依然是非齊次方程（2）的解，即：）的解，即：3.若若 則有則有 120, 0L uL u1u2u1 122cuc u1 1220L cuc u 1L uf20L u1u2u12uu12L uuf 1122, L ufL uf1212L uuff若若 是方程是方程 的解，的解，iu (1,2,)iiLufi且級數(shù)且級數(shù) 收斂，并且能夠逐項微分兩次，收斂，并且能夠逐項微分兩次，1iiiucu則則 一定是方程一定是方程 的解。的解。u1iiiLuc f(1,2,)ic i 其中其中 為任意常數(shù)為任意常數(shù)特別地，如果特別地，如果 是二階齊次方程是二階齊次方程 的解，的解， (1,2.)iui 0Lu 則只要則只要 收斂，并且可以逐項微分兩次，收斂，并且可以逐項微分兩次， 一定也是這個方一定也是這個方程的解。程的解。1iiiucuu分離變量法的基礎(chǔ)分離變量法的基礎(chǔ)總結(jié)總結(jié)n定解問題：泛定方程加定解條件定解問題：泛定方程加定解條件n解的適定性：存在性、唯一性、穩(wěn)定性解的適定性：存在性、唯一性、穩(wěn)定性n三類數(shù)學(xué)物理方程的推導(dǎo)過程三類數(shù)學(xué)物理方程的推導(dǎo)過程q波動方程波動方程q熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程q拉普拉斯方程拉普拉斯方程總結(jié)總結(jié)n定解條件定解條件q初始條