基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)-函數(shù)與方程

1、第 4 講函數(shù)與方程知識(shí)梳理一、函數(shù)的零點(diǎn)方程的實(shí)數(shù)根又叫做函數(shù)的零點(diǎn)。方程有實(shí)根函數(shù)的圖像與 x 軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)；如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，且有，則函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)。二、二分法1如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。2給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：（ 1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度；（ 2）求區(qū)間的中點(diǎn)；（ 3）計(jì)算：若，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）（ 4）判斷是否達(dá)到精度；即若，則得到零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟（

2、2）-（ 4）重、難點(diǎn)突破重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的概念，掌握用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值難點(diǎn)：用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值重難點(diǎn)： 1函數(shù)零點(diǎn)的理解函數(shù)的零點(diǎn)、 方程的根、 函數(shù)的圖像與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)是同一個(gè)問題的三種不同表達(dá)形式，方程根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，亦即函數(shù)的圖像與x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)變號(hào)零點(diǎn)與不變號(hào)零點(diǎn)若函數(shù)在零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)，則稱該零點(diǎn)為函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)若函數(shù)在零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值同號(hào)，則稱該零點(diǎn)為函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)的曲線，則是在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件。用二分法求曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)要注意兩個(gè)問題（ 1）曲線交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解，從而轉(zhuǎn)化為求方

3、程的根（ 2）求曲線和的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)際上就是求函數(shù)的零點(diǎn)，即求方程的根3關(guān)于用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟須注意的問題：（ 1）第一步中要使：區(qū)間長(zhǎng)度盡量小；的值比較容易計(jì)算且；（ 2）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)與求相應(yīng)方程根是等價(jià)的。對(duì)于求方程的根，可以構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根。熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn) 1 零點(diǎn)的求法及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)題型 1：求函數(shù)的零點(diǎn) . 例 1 求函數(shù)的零點(diǎn) . 解題思路 求函數(shù)的零點(diǎn)就是求方程的根解析 令 ，即函數(shù)的零點(diǎn)為-1， 1，2。 名師指引 函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是函數(shù)函數(shù)的圖像與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即零點(diǎn)是一個(gè)1 / 5實(shí)數(shù)。題型 2

4、：確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 例 2 求函數(shù) f(x)=lnx 2x 6 的零點(diǎn)個(gè)數(shù) . 解題思路 求函數(shù) f(x)=lnx 2x 6 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是求方程lnx 2x 6=0 的解的個(gè)數(shù) 解析 方法一：易證 f(x)= lnx 2x 6 在定義域上連續(xù)單調(diào)遞增，又有，所以函數(shù) f(x)= lnx 2x 6 只有一個(gè)零點(diǎn)。方法二：求函數(shù) f(x)=lnx 2x 6 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即是求方程 lnx 2x 6=0 的解的個(gè)數(shù)即求的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。畫圖可知只有一個(gè)。 名師指引 求函數(shù)的零點(diǎn)是高考的熱點(diǎn)，有兩種常用方法：（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖像聯(lián)系起來(lái)，并

5、利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)題型 3：由函數(shù)的零點(diǎn)特征確定參數(shù)的取值范圍 例 3 (2007 廣·東 )已知 a 是實(shí)數(shù) ,函數(shù) ,如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求a 的取值范圍。 解題思路 要求參數(shù)a 的取值范圍，就要從函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)尋找關(guān)于參數(shù)a 的不等式（組），但由于涉及到a 作為的系數(shù)，故要對(duì)a 進(jìn)行討論 解析 若 ,顯然在上沒有零點(diǎn), 所以.令,解得當(dāng)時(shí) ,恰有一個(gè)零點(diǎn)在上;當(dāng)，即時(shí)，在上也恰有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí), 則或解得或綜上所求實(shí)數(shù)的取值范圍是或. 名師指引 二次函數(shù)、 一元二次方程和一元二次不等式是一個(gè)有機(jī)的整體，也是高考熱點(diǎn)，要深刻理解它們相互之間的關(guān)系，能用函

6、數(shù)思想來(lái)研究方程和不等式，便是抓住了關(guān)鍵 . 二次函數(shù) f（ x）=ax2+bx+c 的圖像形狀、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向等是處理二次函數(shù)問題的重要依據(jù) . 新題導(dǎo)練 1（ 09 年浙江五校聯(lián)考）函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A ； B； C； D 解析 B ；依題意得（1）或（ 2）或（3）顯然（ 1）無(wú)解；解（ 2）得；解（ 3）得又當(dāng)時(shí)，它顯然有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，所以應(yīng)選B2（中山市 09 屆統(tǒng)測(cè)）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為_ 解析 2；在同一個(gè)坐標(biāo)系中作函數(shù)及的圖象，發(fā)現(xiàn)它們有兩個(gè)交點(diǎn)故方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為 2考點(diǎn) 2 用二分法求方程的近似解 例 4（斗門一中 09屆

7、模擬）利用計(jì)算器，列出自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值如下表：0.20.61.01.41.82.22.63.03.41.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.5562 / 50.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程的一個(gè)根位于下列區(qū)間的（） .A. （ 0.6， 1.0）；B. （ 1.4， 1.8）；C.（ 1.8， 2.2）；D.（ 2.6， 3.0） 解題思路 判斷函數(shù)在各個(gè)區(qū)間兩端點(diǎn)的符號(hào) 解析 由，故排除A ；由，故排除B ；由，故可確定方程的一個(gè)根位于下列區(qū)間（1.8， 2.2），所以選擇C 名師指引 用二分法求方程的

8、近似解的關(guān)鍵是先尋找使得函數(shù)在兩端點(diǎn)異號(hào)的某區(qū)間，然后依次取其中點(diǎn)， 判斷函數(shù)在中點(diǎn)的符號(hào)， 接著取兩端函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間作為新的區(qū)間， 依次進(jìn)行下去，就可以找到符合條件的近似解。 新題導(dǎo)練 3用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算， ，可得其中一個(gè)零點(diǎn)，第二次應(yīng)計(jì)算，這時(shí)可判斷 解析 ，；由二分法知，這時(shí)，故考點(diǎn) 3根的分布問題 例 4 已知函數(shù) f（x） =mx2+ （ m 3） x+1 的圖像與 x 軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 解題思路 由于二次函數(shù)的圖象可能與x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，應(yīng)分情況討論 解析 （1）若 m=0，則 f （ x） =3x+1 ，顯然滿足

9、要求.（ 2）若 m 0，有兩種情況：原點(diǎn)的兩側(cè)各有一個(gè)，則 m 0；都在原點(diǎn)右側(cè)，則解得 0 m 1，綜上可得 m（， 1 . 名師指引 二次方程根的分布是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)， 需要熟練掌握有關(guān)二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）的根的分布有關(guān)的結(jié)論：方程 f（ x）=0 的兩根中一根比 r 大，另一根比 r 小 a·f（ r） 0. 二次方程 f （x） =0 的兩根都大于 r 二次方程 f （x） =0 在區(qū)間（ p， q）內(nèi)有兩根二次方程f （x） =0 在區(qū)間（ p， q）內(nèi)只有一根f （ p） ·f（ q） 0，或 f （p） =0，另一根在（ p， q）內(nèi)或

10、 f（ q） =0，另一根在（p， q）內(nèi) .方程 f（ x）=0 的兩根中一根大于p，另一根小于q（ p q） 新題導(dǎo)練 3已知二次函數(shù)f(x)=4x2 2(p2)x 2p2 p+1,若在區(qū)間1，1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使 f(c)>0, 則實(shí)數(shù) p 的取值范圍是 _. 解析 ( 3，） 只需 f(1)= 2p2 3p+9>0 或 f( 1)= 2p2+p+1>0 即 3 p或 p 1. p( 3, ).4若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的兩根中 ,一根在 0 和 1 之間 ,另一根在 1 和 2 之間 ,求實(shí)數(shù) k 的取值范圍 . 解析 ；令，則依題意得，即，解

11、得5.(2007 韶·關(guān) )若關(guān)于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 . 解析 令 t=2x ，t>0 關(guān)于 x 的方程 4x+2x a+a+1=0 有實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程t2+at+a+1=0(t>0)有正實(shí)數(shù)根 ,令 f(t)= t2+at+a+1 ，且故方程t2+at+a+1=0(t>0) 有正實(shí)數(shù)根等價(jià)于（1）方程有一3 / 5個(gè)正根一個(gè)負(fù)根：由f(0)<0, 得 a<-1（ 2）方程有兩個(gè)相等的正數(shù)根：由（ 3）方程有兩個(gè)不相等的正數(shù)根或有一個(gè)零根一個(gè)正根時(shí)：由求（ 1）（ 2）（ 3）的并集，得實(shí)數(shù)a 的取值

12、范圍： 備選例題 （佛山市三水中學(xué) 09屆）下圖是函數(shù)和圖象的一部分 ,其中時(shí),兩函數(shù)值相等 .(1) 給出如下兩個(gè)命題 :當(dāng)時(shí) ,;當(dāng)時(shí) ,.判斷命題的真假并說(shuō)明理由.(2) 求證 : 解析 (1)命題是假命題,反例 :,則 ,但是,不成立 .命題是真命題,因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),函數(shù)在上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí) ,.(2) 構(gòu)造函數(shù) ,則 ,所一在區(qū)間有零點(diǎn) .有因?yàn)樵趨^(qū)間是增函數(shù) ,所以在區(qū)間有唯一個(gè)零點(diǎn) ,即 ,所以.搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：1.（深圳九校09 屆聯(lián)考）下圖是函數(shù)的圖像，它與軸有個(gè)不同的公共點(diǎn).給出下列四個(gè)區(qū)間，不能用二分法求出函數(shù)在區(qū)間（）上的零點(diǎn)A ；B C；D 解析 B ；由于

13、用二分法判斷函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)的必要條件是，而從圖可以看出，在區(qū)間的兩端的符號(hào)相同，故不能用二分法求出函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的零點(diǎn)2（華僑中學(xué)09 屆月考）設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，則所在的區(qū)間是（）A ； B； C； D 解析 B ；令，則，可見所在的區(qū)間是3方程 2x=2 x 的解的個(gè)數(shù)為 _. 解析 1 ；方程 2x=2 x 的解可看作函數(shù) y=2x 和 y=2 x 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo) ,分別作出這兩個(gè)函數(shù)圖象（如下圖） .由圖象得只有一個(gè)交點(diǎn)，因此該方程只有一個(gè)解.4（湛江市09 年高三統(tǒng)考）方程的解所在區(qū)間是（）A.（ 0，1）B.（ 1， 2）C.（ 2， 3）D. （ 3， 4） 解析

14、A ；令，則，所以方程的解所在區(qū)間是（0，1）5（金山中學(xué) 09 屆月考）用二分法求方程在區(qū)間上的近似解，取區(qū)間中點(diǎn)，那么下一個(gè)有解區(qū)間為 解析 ；令，則，故下一個(gè)有解區(qū)間為6（ 09 年韶關(guān)市第一次調(diào)研考）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)是方程的解，且，則的值（）A 恒為正值；B等于零； C. 恒為負(fù)值；D. 不大于零4 / 5 解析 A 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖象，發(fā)現(xiàn)，并且當(dāng)時(shí)，綜合提高訓(xùn)練：7（ 09 年深圳寶安中學(xué)）定義域和值域均為-a,a (常數(shù) a>0)的函數(shù) y=f(x) 和 y=g(x) 的圖像如圖所示，給出下列四個(gè)命題中：(1) 方程 fg(x)=0 有且僅有三個(gè)解；(3) 方程

15、 ff(x)=0 有且僅有九個(gè)解；那么，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（)A 1;B. 2;C. 3;D. 4ya( )y f xaOa x(2) 方程 gf(x)=0 有且僅有三個(gè)解；(4)方程 gg(x)=0 有且僅有一個(gè)解。yay g(x)aOaxaa 解析 B ；由圖可知， ，由左圖及fg(x)=0得，由右知方程fg(x)=0 有且僅有三個(gè)解，即(1) 正確；由右圖及gf(x)=0得，由左圖知方程 gf(x)=0 有且僅有一個(gè)解， 故 (2)錯(cuò)誤；由左圖及 ff(x)=0 得，又由左圖得到方程 ff(x)=0最多有三個(gè)解， 故 (3)錯(cuò)誤；由右圖及 gg(x)=0 得，由右圖知方程 gg(x)=0 有且僅有一個(gè)解，即(4) 正確，所以應(yīng)選擇 B8（ 2008 ·惠州調(diào)研）若函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個(gè)近似根（精確到0.1）為（） .A 1.2; B 1.3;C 1.4 ; D 1.59已知關(guān)于x 的二次方程x2+2mx+