自動(dòng)控制原理全套課件

1、自動(dòng)控制原理Automatic Control Theory第 1 章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的一般概念 1.1 引言 1.2 自動(dòng)控制系統(tǒng) 1.3 自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu) 1.4 控制系統(tǒng)的基本要求 1.5 自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類 第1章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的一般概念 1.6 自動(dòng)控制理論發(fā)展史 1.1 引言現(xiàn)如今，自動(dòng)控制在工業(yè)及農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、航天航空、國(guó)防科技等諸多領(lǐng)域發(fā)揮著極為重要的作用。學(xué)習(xí)自動(dòng)控制對(duì)于工科院校的學(xué)生而言，能夠增強(qiáng)技術(shù)基礎(chǔ)，培養(yǎng)辯證 思維能力和聯(lián)系實(shí)際能力，提高綜合分析問題的能力。本章主要介紹了自動(dòng)控制和自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本概念，使讀者對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)、基本原理、主要性能指標(biāo)

2、、類別以及控制理論的發(fā)展有個(gè)初步了解，為以后章節(jié)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。1.2 自動(dòng)控制系統(tǒng)“控制”是一個(gè)較為常見的詞匯，可以將其理解為，一個(gè)對(duì)象為了某個(gè)特定的目的，在另一個(gè)對(duì)象上施加的作用，這些特定目的可能是將電壓、電流、水位、溫度、位移、轉(zhuǎn)速等物理量盡可能維持在某一范圍，進(jìn)而使得生產(chǎn)過程、生產(chǎn)設(shè)備或是生產(chǎn)工具能夠以正常的工作條件運(yùn)行，而這些生產(chǎn)過程、生產(chǎn)設(shè)備便是施加作用的對(duì)象，這些作用可以是屬于物理、化學(xué)、生物學(xué)等方面的作用。1.2.1 人工控制與自動(dòng)控制首先要理解什么是控制，什么是系統(tǒng)，以及控制的相關(guān)概念，進(jìn)而才能正確理解自動(dòng)控制。在自動(dòng)控制理論中，控制的定義是：為了某個(gè)特定目的，在被控對(duì)象上施

3、加作用，使得被控量按照預(yù)期的目的變化。被控對(duì)象：直需要對(duì)其特定量進(jìn)行控制的設(shè)備或過程。被控量：該設(shè)備或過程的輸出。在整個(gè)控制過程中，對(duì)某一對(duì)象進(jìn)行單獨(dú)分析時(shí)，一般將外部對(duì)該對(duì)象的作用稱為輸入，該對(duì)象產(chǎn)生的量稱為輸出。 當(dāng)多個(gè)對(duì)象按照某一方式連接成一個(gè)有機(jī)整體的時(shí)候，這個(gè)整體叫作系統(tǒng)。1.2.1 人工控制與自動(dòng)控制圖1-1 人工控制的電熱水壺圖1-2 自動(dòng)控制的電熱水壺在控制被控對(duì)象抵消外界干擾的過程中，若控制本身與人工操作有關(guān)，便稱為人工控制，而若是沒有人類的直接操作， 即純粹依靠自動(dòng)裝置來完成控制過程中的調(diào)節(jié)，則稱該控 制為自動(dòng)控制。1.2.2 自動(dòng)控制系統(tǒng)的表示方法為了能夠清晰地看出實(shí)際系

4、統(tǒng)中內(nèi)部信息的相互作用及信息流向，控制系統(tǒng)可以用框圖來表示。圖中的方框表示系統(tǒng)中具有相應(yīng)職能的元部件，進(jìn)入方框的信號(hào)為輸入，離開方框的為輸出。各信號(hào)的箭頭方向表示信號(hào)的流向，圓圈里帶交叉線的符號(hào)表示比較點(diǎn)。箭頭指向比較點(diǎn)的那幾個(gè)信號(hào)進(jìn)行相加或者相減運(yùn)算，箭頭離開比較點(diǎn)的信號(hào)就是運(yùn)算的結(jié)果。用交叉線表示引出點(diǎn)，引出點(diǎn)表示信號(hào)的引出。圖1-3 框圖的基本組成單元1.2.2 自動(dòng)控制系統(tǒng)的表示方法框圖不同于抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式,其優(yōu)點(diǎn)是可以清晰地看出各元部件之間信號(hào)的傳遞關(guān)系，表示了系統(tǒng)各變量之間的因果關(guān)系以及對(duì)各變量進(jìn)行的運(yùn)算,便于定性和定量分析控制系統(tǒng)，但是不包含系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)的任何信息，因此是控制理

5、論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)便方法。1.3 自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)把從被控對(duì)象輸出端獲得信息，通過中間環(huán)節(jié)再送回控制器的輸入端的過程稱為反饋，所述的中間環(huán)節(jié)稱為反饋環(huán)節(jié)，對(duì)被控量的檢測(cè)值稱為反饋信號(hào)，給定輸入與反饋信號(hào)的差值稱為偏差。若反饋信號(hào)的符號(hào)為“ ”，則為正反饋，反之若為“”，則為負(fù)反饋。按照有無反饋分為兩大類：開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)。1.3.1 開環(huán)控制系統(tǒng)圖1-4 直流電機(jī)開環(huán)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)及其方框圖1.3.1 開環(huán)控制系統(tǒng)開環(huán)控制系統(tǒng)指的是控制裝置與被控對(duì)象之間只有順向作用而沒有反向聯(lián)系的控制系統(tǒng)，其特點(diǎn)是系統(tǒng)的輸出量不會(huì)對(duì)系統(tǒng)的控制作用產(chǎn)生影響，即系統(tǒng)不含有反饋控制環(huán)節(jié)。開環(huán)控制

6、系統(tǒng)的精度取決于物理部件的精度和校準(zhǔn)的精度。開環(huán)系統(tǒng)沒有抑制外部干擾 及內(nèi)部干擾的能力，所有控制精度較低。但是，由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，造價(jià)便宜，所以在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)穩(wěn)定、沒有干擾作用或者干擾較小的場(chǎng)合下，依然會(huì)大量使用。1.3.2 閉環(huán)控制系統(tǒng)圖1-5 直流電機(jī)閉環(huán)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)1.3 閉環(huán)控制系統(tǒng)圖1-6 直流電機(jī)閉環(huán)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)方框圖1.3 閉環(huán)控制系統(tǒng)控制器與被控對(duì)象之間不僅存在正向控制作用，而且還存在被控對(duì)象到控制器的反向聯(lián)系。把這種控制過程稱為閉環(huán)控制按閉環(huán)控制方式組成的系統(tǒng)稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)。 由于閉環(huán)控制系統(tǒng)是根據(jù)偏差進(jìn)行控制的，只要被控量偏離給定值，系統(tǒng)就會(huì)自動(dòng)糾偏，所以說閉環(huán)控制系統(tǒng)

7、具有很強(qiáng)的糾偏功能，對(duì)于干擾具有良好的適應(yīng)性。1.3.3 自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本組成圖1-7 典型的自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本組成1.4 控制系統(tǒng)的基本要求 控制系統(tǒng)能夠正常工作的最基本條件便是穩(wěn)定。 穩(wěn)定性通常指系統(tǒng)在受到干擾后能夠恢復(fù)到平衡狀態(tài)的能力。如果系統(tǒng)能夠恢復(fù)到平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)從受到干擾到恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)，其被控量呈衰減震蕩或非周期過程。圖1-8 控制系統(tǒng)的擾動(dòng)1.4 控制系統(tǒng)的基本要求穩(wěn)定系統(tǒng)受到干擾作用或給定輸入發(fā)生變化時(shí)，被控量都要發(fā)生變化而偏離期望值。由于控制系統(tǒng)中一般都存在儲(chǔ)能元件或慣性元件，被控量不能馬上跟隨輸入信號(hào)的變化并達(dá)到期望值，控制系統(tǒng)總要

8、經(jīng)歷一個(gè)反復(fù)調(diào)整的過程，才能到達(dá)一個(gè)新的平衡狀態(tài)，使被控量跟隨給定輸入的變化并達(dá)到期望值。這個(gè)調(diào)整過程稱為動(dòng)態(tài)過程（過渡過程），而把被控量達(dá)到的新的平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)。圖1-9 典型系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線1.4 控制系統(tǒng)的基本要求當(dāng)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)結(jié)束其動(dòng)態(tài)過程并進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)時(shí)，在理想狀態(tài)下，一般都想讓穩(wěn)態(tài)值達(dá)到預(yù)期值。但實(shí)際過程中， 被控量的穩(wěn)態(tài)值和預(yù)期值總是存在一定的誤差，這是由于其中存在輸入信號(hào)形式、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)以及間隙、摩擦等諸多非線性因素，因此在這些因素的影響下，該誤差是難以消除的， 在控制設(shè)計(jì)中應(yīng)使得該誤差盡可能小，使得系統(tǒng)能夠有更高的控制精度。故對(duì)于控制系統(tǒng)而言，該誤差也是一個(gè)重要的基本要求，一

9、般稱該誤差為穩(wěn)定誤差。 圖1-10 I型系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)曲線1.5 控制系統(tǒng)的分類連續(xù)控制系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中，各元件的輸入輸出信號(hào)都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)時(shí)，則稱此類系統(tǒng)為連續(xù)控制系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱連續(xù)系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或特性用微分方程來描述。一般應(yīng)用線性模擬調(diào)節(jié)器或校正裝置的控制系統(tǒng)都是連續(xù)系統(tǒng)。按信號(hào)傳遞形式可以將控制系統(tǒng)分為連續(xù)控制系統(tǒng)和離散控制系統(tǒng)。離散控制系統(tǒng)：系統(tǒng)某處或多處的信號(hào)是以脈沖序列、或數(shù)碼的形式傳遞時(shí)，則稱此類系統(tǒng)為離散控制系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或特性一般用差分方程來描述。 1.5 控制系統(tǒng)的分類線性控制系統(tǒng)：若組成系統(tǒng)的所有元件都是線性的，則稱此類系統(tǒng)為線性控制系統(tǒng)

10、。線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可用線性微分方程或線性差分方程來描述。如果線性微分方程或線性差分方程中的各項(xiàng)系數(shù)不隨時(shí)間變化，則稱這類系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)反之，則稱為線性時(shí)變系統(tǒng)。按是否滿足疊加原理可以將控制系統(tǒng)分為線性控制系統(tǒng)和非線性控制系統(tǒng)。非線性控制系統(tǒng)：系統(tǒng)包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié)時(shí)，則稱此類系統(tǒng)為非線控制系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不具備齊次性，也不滿足疊加原理，其運(yùn)動(dòng)方程要用非線性微分方程來描述。 1.5 控制系統(tǒng)的分類定值控制系統(tǒng)：值控制系統(tǒng)又稱為恒值控制系統(tǒng)、自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)。該系統(tǒng)的給定值是一個(gè)恒定的數(shù)值，并且要求系統(tǒng)在各種擾動(dòng)下，其輸出都要保持在恒定的、希望的數(shù)值上。按給定值形式可以

11、將控制系統(tǒng)分為定值控制系統(tǒng)、程序控制系統(tǒng)和隨動(dòng)控制系統(tǒng)。程序控制系統(tǒng)：程序控制系統(tǒng)的給定值是根據(jù)預(yù)先給定的時(shí)間函數(shù)進(jìn)行變化的，并且要求被控量按相應(yīng)的規(guī)律隨控制信號(hào)進(jìn)行變化。 隨動(dòng)控制系統(tǒng)：與程序控制系統(tǒng)不同，隨動(dòng)控制系統(tǒng)的給定值是未知的且隨時(shí)間任意變化的函數(shù)。這類系統(tǒng)的特點(diǎn)是給定值的變化完全取決于事先不能確定的時(shí)間函數(shù)，并且要求被控量以一定的精度和速度跟蹤輸入量。1.6 自動(dòng)控制理論發(fā)展簡(jiǎn)史從1788年到1868年的幾十年中，人們對(duì)自動(dòng)控制裝置的設(shè)計(jì)還處于“經(jīng)驗(yàn)主義”階段，沒有強(qiáng)大的理論基礎(chǔ)作為支撐，所以在這一時(shí)期設(shè)計(jì)的自動(dòng)控制系統(tǒng)經(jīng)常出現(xiàn)振蕩、性能指標(biāo)不達(dá)標(biāo)等現(xiàn)象，而又沒有相應(yīng)的理論知識(shí)來分

12、析解決這些問題。直到19世紀(jì)后半葉，科學(xué)家們開始了對(duì)控制系統(tǒng)理論的探索。第二階段：經(jīng)典控制理論1868年：麥克斯韋對(duì)瓦特的調(diào)速器建立了線性微分方程；1877年：勞斯提出了勞斯判據(jù)；1895年：霍爾維茨提出霍爾維茨判據(jù)；1932年：奈奎斯特提出了頻域穩(wěn)定性判據(jù)；1954年：我國(guó)著名科學(xué)家錢學(xué)森結(jié)合控制理論在工程中的實(shí)踐，出版了工程控制論。1.6 自動(dòng)控制理論發(fā)展簡(jiǎn)史現(xiàn)代控制理論是一種以狀態(tài)空間為基礎(chǔ)的控制方法，本質(zhì)上是一種時(shí)域分析法。它克服了經(jīng)典控制理論的局限性，將研究對(duì)象擴(kuò)展到非線性控制系統(tǒng)、多輸入多輸出系統(tǒng)，是人類在自動(dòng)控制理論上的又一次飛躍。這一時(shí)期的主要代表人物有貝爾曼、卡爾曼、龐特里亞

13、金、羅森布洛克等。1956年，美國(guó)數(shù)學(xué)家貝爾曼提出了最優(yōu)控制的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法；3年后，美國(guó)數(shù)學(xué)家卡爾曼又提出了著名的卡爾曼濾波器，以及系統(tǒng)的能控性和能觀性；1956年，前蘇聯(lián)科學(xué)家龐特里亞金提出了極大值原理。1960年初，以最優(yōu)控制和卡爾曼濾波為核心的現(xiàn)代控制理論應(yīng)運(yùn)而生。第三階段：現(xiàn)代控制理論1.6 自動(dòng)控制理論發(fā)展簡(jiǎn)史伴隨著社會(huì)需求的改變、各種科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，生產(chǎn)系統(tǒng)的規(guī)模越來越龐大，結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論已經(jīng)難以滿足時(shí)代的需求。在這樣的背景下，控制理論的發(fā)展進(jìn)入了第四階段：大系統(tǒng)理論與智能控制階段。其中，“大系統(tǒng)理論”是控制理論在廣度上的開拓，是用控制和信息的觀點(diǎn)，研究規(guī)

14、模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、目標(biāo)多樣、功能綜合的工程和非工程大系統(tǒng)的自動(dòng)化和有效控制的理論。而智能控制是控制理論在深度上的延伸，依托于計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能、運(yùn)籌學(xué)等學(xué)科，主要用來解決傳統(tǒng)方法難以解決的復(fù)雜系統(tǒng)的控制問題，是控制理論發(fā)展的高級(jí)階段。第四階段：大系統(tǒng)理論與智能控制階段第 2 章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制原理Automatic Control Theory第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2.1 引言 2.2 系統(tǒng)微分方程的建立 2.3 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2.4 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖 2.5 閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2.6 MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示 2.1 引言建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

15、是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：在靜態(tài)條件下，描述變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型，例如代數(shù)方程、靜態(tài)關(guān)系表等。 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述各變量動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，例如微分方程、差分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性、狀態(tài)方程、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖等。 建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有機(jī)理分析建模法和實(shí)驗(yàn)建模法兩種。 建立合理的數(shù)學(xué)模型對(duì)系統(tǒng)的分析研究至關(guān)重要，實(shí)際的控制系統(tǒng)，都具有不同程度的非線性、時(shí)變特性。 一. 線性系統(tǒng)的微分方程 二.非線性微分方程的線性化 2.2 系統(tǒng)微分方程的建立一. 線性系統(tǒng)的微分方程 29 應(yīng)用機(jī)理分析建模法建立控制系統(tǒng)的微分方程模型的一般步驟如下:

16、 1）分析系統(tǒng)的工作原理，將系統(tǒng)劃分成若干個(gè)環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和各環(huán)節(jié)輸入、輸出變量。 2）從系統(tǒng)的輸入端入手，按照信號(hào)傳遞順序，根據(jù)各環(huán)節(jié)輸入、輸出變量間所遵循的物理定律，在不影響系統(tǒng)分析準(zhǔn)確性的條件下適當(dāng)簡(jiǎn)化，依次列寫各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程，一般是微分方程（組）。 3）從以上各環(huán)節(jié)方程的聯(lián)立方程組中，消去中間變量。 4）將輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)寫在等式左端，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)寫在等式右端，按降階排列，并將各項(xiàng)系數(shù)化為具有一定物理意義的形式，成為標(biāo)準(zhǔn)化的系統(tǒng)微分方程。一.線性系統(tǒng)的微分方程 30【例2-1】RC 無源網(wǎng)絡(luò)如圖2-1所示，其中R 為電阻，C 為電容，試建立以為輸入，為輸出的RC網(wǎng)絡(luò)微分方程。

17、解 設(shè)中間變量為回路電流，根據(jù)基爾霍夫定律可得如下方程組消去中間變量i(t)有：如果令RCT，則上式)又可表示為 一.線性系統(tǒng)的微分方程 31【例2-2】彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)如圖2-2所示，其中F(t)為外作用力，m為物體M的質(zhì)量，k為彈簧的彈性系數(shù)，f是阻尼器的阻尼系數(shù)，y(t)為物體的位移，試建立以外作用力F(t)為輸入，物體M的位移y(t)為輸出的微分方程關(guān)系式。解 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及牛頓第二定律有消去中間變量有 如果令則可將微分方程式標(biāo)準(zhǔn)化為 一.線性系統(tǒng)的微分方程 33【例2-3】機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)如圖2-3所示，試求輸入轉(zhuǎn)矩Mf(t)和輸出轉(zhuǎn)角q(t)、輸入轉(zhuǎn)矩Mf(t)和輸出轉(zhuǎn)速w(t)的微

18、分方程。 解 牛頓第二定律有 其中 是角加速度。一.線性系統(tǒng)的微分方程 34【例2-4】電樞控制它勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)如圖2-4所示，試求以電樞電壓為輸入，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為輸出的微分方程關(guān)系式。解 根據(jù)電動(dòng)機(jī)的工作原理，由輸入端入手，可依次列寫微分方程組。 消去中間變量有 由于工程實(shí)際應(yīng)用中電動(dòng)機(jī)的電樞電路電感La較小，通?？珊雎圆挥?jì)，所以上式可降階簡(jiǎn)化為一階微分方程 令 ， ， ，則直流電動(dòng)機(jī)的微分方程可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為二.非線性微分方程的線性化 36 嚴(yán)格地說，幾乎所有的實(shí)際物理系統(tǒng)都是非線性的。描述非線性系統(tǒng)的非線性微分方程沒有一種完整、成熟、統(tǒng)一的解法，不能應(yīng)用疊加原理。 對(duì)非線性進(jìn)行處理最簡(jiǎn)便的方

19、法就是直接忽略。當(dāng)物理元器件的非線性特性對(duì)系統(tǒng)影響很小，就可以忽略其非線性影響，將這些物理器件看成是線性元件。對(duì)非線性處理更好的方法是采用小偏差法（或者叫切線法）對(duì)其非線性數(shù)學(xué)模型進(jìn)行線性化。這種方法適合于具有連續(xù)變化的非線性特性，在一個(gè)很小的范圍里，將非線性特性用一段直線線性特性來表示。 二.非線性微分方程的線性化 37 對(duì)于如圖2-5所示的連續(xù)變化的非線性特性，設(shè)其非線性特性函數(shù)為y=f(x)，在其相應(yīng)的工作點(diǎn)A(x0,y0)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，即將y=f(x)展開為 在“小偏差”條件下，將泰勒級(jí)數(shù)展開式中的高次冪項(xiàng)略去，只保留一次冪項(xiàng) 即 記系數(shù)，即曲線在A點(diǎn)的斜率，則有 二.非線性微分

20、方程的線性化 38 具有連續(xù)變化特性、可以用“小偏差法”進(jìn)行線性化的非線性特性稱為非本質(zhì)非線性特性，例如圖2-5所示的特性。相反，如圖2-6所示的非線性特性或其組合則稱為本質(zhì)非線性特性。對(duì)于一些非線性特性嚴(yán)重，具有本質(zhì)非線性特性的物理元器件或系統(tǒng)，不能夠用小偏差法進(jìn)行線性化處理，需要采用非線性系統(tǒng)的研究方法。 二.非線性微分方程的線性化 39【例2-5】 圖2-7所示水箱，輸入量為流入量Q1(t)，輸出量為水箱水位h(t)，寫出水箱的動(dòng)態(tài)方程式，其中水箱截面積為A。解 分析水箱工作狀態(tài)可知 式中a為常數(shù)，取決于流出管路的阻力，將上兩式合并，有流出量Q1(t)是水位h(t)的非線性函數(shù) (2-2

21、3) (2-24) (2-22)二.非線性微分方程的線性化 40 式(2-23)的非線性關(guān)系可以采用小偏差法進(jìn)行線性化。設(shè)水箱的穩(wěn)定工作點(diǎn)為A(Q20，h0)，根據(jù)小偏差法有即 簡(jiǎn)化并標(biāo)準(zhǔn)化得到將式(2-22)也改寫為增量形式，并將式(2-26)代入，消去中間變量，就得到 (2-26)其中 ，是水箱在工作點(diǎn)處水流管路的阻力系數(shù)，稱為液阻 2.3 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)41一.傳遞函數(shù) 二.傳遞函數(shù)的性質(zhì) 三.傳遞函數(shù)的求法 四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一.傳遞函數(shù)42設(shè)線性定常系統(tǒng)可由如下n階微分方程模型描述式所示對(duì)上式等號(hào)兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，得到則線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 一.傳遞函數(shù)43 常用的控

22、制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表示形式主要有三種。 1.多項(xiàng)式表示形式2.零、極點(diǎn)表示形式 3. “時(shí)間常數(shù)”表示形式 二. 傳遞函數(shù)的性質(zhì) 44 （1）傳遞函數(shù)概念只能應(yīng)用于線性定常系統(tǒng)的分析和研究，系統(tǒng)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)微分方程是唯一對(duì)應(yīng)的。 （2）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式和大小無關(guān)，并且不反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。 （3）傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式，其分子的階次總是小于或等于分母的階次，即mn。 （4）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可以求得系統(tǒng)的微分方程。如果給定了輸入和初始條件，可以求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。 （5）傳遞函數(shù)與輸入量的形式、大小無關(guān)，但是與輸入量的作用點(diǎn)有關(guān)，應(yīng)分別求取每個(gè)輸入量與

23、系統(tǒng)輸出量的傳遞函數(shù)。若系統(tǒng)是多輸入、多輸出的，則需由傳遞函數(shù)矩陣描述。 （6）傳遞函數(shù)的拉普拉斯反變換是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。三.傳遞函數(shù)的求法 45 1）確定系統(tǒng)和各組成環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，根據(jù)遵循的工作原理，列寫各環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)微分方程（組）。 2）在零初始條件下對(duì)各微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到環(huán)節(jié)在s域的拉普拉斯變換方程組。 3）消去中間變量，得到關(guān)于系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的s域代數(shù)方程。 4）根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，由輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換相比，就得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 如果已經(jīng)建立了系統(tǒng)的微分方程，則可在零初始條件下對(duì)微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，按定義得到其傳遞函數(shù)。

24、 1傳遞函數(shù)的建立 傳遞函數(shù)是通過拉普拉斯變換由微分方程模型得到的，建立傳遞函數(shù)的一般步驟為三.傳遞函數(shù)的求法 46【例2-6】試求例2-1中RC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) Uy(s)/Ur(s)解 由例2-1中可知RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為 由傳遞函數(shù)的定義，就得到RC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為在零初始條件下，對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到三.傳遞函數(shù)的求法 47【例2-7】試求例2-2中彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)F(s)/Y(s)解 由例2-2中可知彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的微分方程為 由傳遞函數(shù)的定義，就得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為在零初始條件下，對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到三.傳遞函數(shù)的求法 4

25、8【例2-8】試求例2-4電樞控制它勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)。解 在例2-4中已求得電樞控制它勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)簡(jiǎn)化后的微分方程式為令ML(s)=0，則電樞電壓和輸出轉(zhuǎn)速之間的傳遞函數(shù)為在零初始條件下，對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到三.傳遞函數(shù)的求法 49令Ua(s)=0，則負(fù)載干擾轉(zhuǎn)矩和輸出轉(zhuǎn)速之間的傳遞函數(shù)為因 ，則電樞電壓和輸出轉(zhuǎn)角之間、負(fù)載干擾轉(zhuǎn)矩和輸出轉(zhuǎn)角之間的傳遞函數(shù)為 三.傳遞函數(shù)的求法 502. 由復(fù)阻抗求電路的傳遞函數(shù) 無源網(wǎng)絡(luò)和運(yùn)算放大器常用作控制系統(tǒng)的校正裝置，可以利用電路復(fù)阻抗概念，方便地求得它們的傳遞函數(shù)?！纠?-9】求圖2-10所示RC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函Uy(s)/Ur

26、(s) 。解 由電路相關(guān)知識(shí)有由復(fù)阻抗分析法有三.傳遞函數(shù)的求法 51聯(lián)立上兩式有無源網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓為 聯(lián)立上兩式，RC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為三.傳遞函數(shù)的求法 52【例2-10】 求圖2-11和圖2-12所示運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)。解 根據(jù)電子技術(shù)知識(shí)，可知A點(diǎn)是虛地點(diǎn)，由此可得圖2-11所示電路的傳遞函數(shù)為 圖2-11所示電路的傳遞函數(shù)為 四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)531. 比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)是控制系統(tǒng)中最基本、最常見的一類典型環(huán)節(jié)，其動(dòng)態(tài)方程為代數(shù)方程 K為常數(shù)，稱為放大系數(shù)或增益，則比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 從比例環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型可以看到，它的輸出是以K倍幅值對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行無延遲、無失真的復(fù)現(xiàn)。如果

27、輸入圖2-13a所示階躍信號(hào)，則比例環(huán)節(jié)的輸出如圖2-13b所示，可以看到，輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的波形相同，且沒有延遲。 四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)54【例2-11】試求圖2-14所示電位器的傳遞函數(shù)。解 圖2-14所示電位器是一個(gè)將角位移或線位移轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào)的裝置，在空載時(shí)，電位器的角位移與輸出電壓的關(guān)系為其中E是電源電壓 ， 是電位器最大工作角度，則 是電位器傳遞系數(shù)。 對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得到電位器的傳遞函數(shù)為四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)55【例2-12】 試求圖2-15所示誤差檢測(cè)器的傳遞函數(shù)。 解 誤差檢測(cè)器的輸出電壓為 其中K為電位器的傳遞系數(shù)， 是兩個(gè)電位器電刷滑臂角位移之差，稱為誤差

28、角，如果以誤差角為輸入信號(hào)，誤差檢測(cè)器的輸出電壓u(t)為輸出信號(hào)，則由上式可得誤差檢測(cè)器的傳遞函數(shù)為四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)56【例2-13】試求圖2-16所示直流測(cè)速發(fā)電機(jī)的傳遞函數(shù)。 解 直流測(cè)速發(fā)電機(jī)常常用作控制系統(tǒng)的反饋部件，它是將角速度轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)的裝置，測(cè)速發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速越大，則輸出的電壓就越大，由圖2-16有則測(cè)速發(fā)電機(jī)的傳遞函數(shù)為 四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)572. 積分環(huán)節(jié) 當(dāng)輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的積分成正比時(shí)，稱其為積分環(huán)節(jié)。設(shè)為輸入，為輸出，則積分環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程為式中T稱為積分時(shí)間常數(shù)，K=1/T稱為積分速度或積分系數(shù)。則積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為如果輸入圖2-17a所示階躍信號(hào)，則

29、積分環(huán)節(jié)的輸出如圖2-17b所示。積分特性可能存在于被控對(duì)象中，積分特性也常用作改善系統(tǒng)性能的輔助控制作用。應(yīng)注意的是，積分環(huán)節(jié)具有飽和的特點(diǎn)，以上線性變化的階躍響應(yīng)及其記憶特性都是飽和前的特性。四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)583. 微分環(huán)節(jié) 理想微分環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程為其中Td是微分環(huán)節(jié)的微分時(shí)間常數(shù)，則理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為如果輸入圖2-18a所示階躍信號(hào)，則理想微分環(huán)節(jié)的輸出如圖2-18b所示，理想微分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)是一個(gè)面積為的脈沖信號(hào) 。理想微分環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)特性在實(shí)際情況中是較難實(shí)現(xiàn)的，被控對(duì)象不可能具有微分特性，但常利用微分特性作為改善系統(tǒng)性能的又一輔助控制作用。 四.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)59實(shí)

30、際情況中多用具有近似微分特性的實(shí)際微分環(huán)節(jié)來代替理想微分環(huán)節(jié)，如圖2-19a所示RC無源網(wǎng)絡(luò)，其階躍響應(yīng)曲線如圖2-19b所示，由實(shí)際微分環(huán)節(jié)的電路圖可得到其傳遞函數(shù)為 其中TdRC，當(dāng)選較小的Td，即Td0，系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。（2）穩(wěn)態(tài)性能從圖4-2可以看到，系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該系統(tǒng)是I型系統(tǒng)，系統(tǒng)在給定輸入信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差由靜態(tài)速度誤差系數(shù)決定。（3）動(dòng)態(tài)性能圖4-1所示系統(tǒng)是一個(gè)典型的二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的性能由系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)決定。4.2 根軌跡法的基本概念 249一.根軌跡方程 二.系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)的關(guān)系三.相角條件和幅值條件 設(shè)控制系統(tǒng)如圖4-3所示

31、，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 一.根軌跡方程 式中前向通道傳遞函數(shù)G(s)和反饋通道傳遞函數(shù)H(s)分別可以表示為251則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 一.根軌跡方程閉環(huán)傳遞函數(shù)為 根軌跡的繪制的實(shí)質(zhì)就是在s平面標(biāo)注系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的過程，而系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)由下式所得 ，稱為根軌跡方程。一.根軌跡方程 1）系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)由系統(tǒng)前向通道的零點(diǎn)和反饋通道的極點(diǎn)組成，當(dāng)系統(tǒng)是單位反饋系統(tǒng)時(shí)，即時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)等于系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)。 2）系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)根軌跡增益有關(guān)。 3）系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益，當(dāng)系統(tǒng)是單位反饋系統(tǒng)時(shí)，即時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益

32、。二.系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)的關(guān)系 在利用根軌跡方程進(jìn)行根軌跡繪制之前，首先要了解系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)之間的關(guān)系。4）系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益與系統(tǒng)的開環(huán)增益之間只相差一個(gè)系數(shù)，如下式所示二.系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)的關(guān)系 由的根軌跡方程可得三.相角條件和幅值條件 即 可以得到繪制根軌跡的相角條件和幅值條件。 三.相角條件和幅值條件 相角條件 幅值條件 當(dāng)系統(tǒng)無開環(huán)零點(diǎn)時(shí)，幅值條件可表示為三.相角條件和幅值條件 解 因?yàn)?【例4-1】 已知反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用相角條件和幅值條件確定s1=-1+j, s2=-1-j 是系統(tǒng)的共軛閉環(huán)極點(diǎn)，并計(jì)算此時(shí)系統(tǒng)開環(huán)

33、增益K的值。如果s1，s2是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，就要滿足相角條件，即三.相角條件和幅值條件 從圖4-4可得 由幅值條件，有 滿足相角條件，所以s1，s2是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。從圖4-4可得4.3 根軌跡的繪制 259一.繪制根軌跡圖的基本法則 二. 繪制根軌跡圖舉例 一.繪制根軌跡圖的基本法則 1. 根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性 根軌跡是連續(xù)的，并且對(duì)稱于實(shí)軸。又因?yàn)橄到y(tǒng)特征方程的根或是實(shí)數(shù)，或是共軛復(fù)數(shù)，所以根軌跡一定是對(duì)稱于實(shí)軸的。2. 根軌跡的分支數(shù) 根軌跡在s平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)傳遞函數(shù)的階數(shù)n，也即是開環(huán)傳遞函數(shù)的階數(shù)。 一.繪制根軌跡圖的基本法則 3. 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 根軌跡起始于系統(tǒng)的開

34、環(huán)極點(diǎn)，終止于系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)（m條根軌跡終止于m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處 ）。當(dāng)K*=0時(shí)，由 得s=pi 。當(dāng)K*=時(shí)，由 得s=zi 或s= 。一.繪制根軌跡圖的基本法則 4. 實(shí)軸上的根軌跡 實(shí)軸上的某一區(qū)域，如果其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布如圖4-5所示，對(duì)于閉環(huán)極點(diǎn)s1，由相角條件有 所以閉環(huán)極點(diǎn)s1是根軌跡上的點(diǎn)。 一.繪制根軌跡圖的基本法則 5. 根軌跡的漸近線 如果系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m，當(dāng)根軌跡增益K*由0時(shí)，必有n-m條根軌跡沿著與實(shí)軸交角為a、交點(diǎn)為的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處。其中漸

35、進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn) 漸進(jìn)線與實(shí)軸交角 一.繪制根軌跡圖的基本法則 6. 根軌跡的起始角和終止角 根軌跡起始于開環(huán)復(fù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角稱為根軌跡的起始角qpi；根軌跡終止于開環(huán)復(fù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角稱為根軌跡的終止角jzj，這些角度可由以下公式求出一.繪制根軌跡圖的基本法則 7. 根軌跡的分離點(diǎn) 求根軌跡的分離點(diǎn)，就是求取閉環(huán)特征方程的重根，設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 則根軌跡的分離點(diǎn)就是上述方程的解工程上可以通過以下等式，使用試探法，找到使等式近似成立的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是系統(tǒng)的分離點(diǎn)。一.繪制根軌跡圖的基本法則 試求系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)?！纠?-2】 設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 解 由系

36、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以得系統(tǒng)的特征方程為則有求解得到根一.繪制根軌跡圖的基本法則 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 【例4-3】 設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 解 1）根軌跡的分支數(shù)： 3條 2）根軌跡的起始點(diǎn)：0，2，3 終止點(diǎn)： 1， 3）實(shí)軸上的根軌跡： 1,0，3,2一.繪制根軌跡圖的基本法則 4）根軌跡的漸進(jìn)線： 5）根軌跡的分離點(diǎn)：在-3,-2上取一試探點(diǎn)d=2.5，帶入上式，有一.繪制根軌跡圖的基本法則 5）根軌跡的分離點(diǎn)：在-3,-2上取一試探點(diǎn)d=2.5，帶入上式，有等式兩邊不等，在帶入d2.47，計(jì)算得等式兩邊近似相等，所以分離點(diǎn)d=2.47。 一.繪制根軌跡圖的基本法則 綜上，系統(tǒng)的根軌

37、跡如圖4-8所示。一.繪制根軌跡圖的基本法則 8. 會(huì)合角和分離角 根軌跡在進(jìn)入分離點(diǎn)時(shí)與實(shí)軸正方向的夾角稱為會(huì)合角，根軌跡在離開分離點(diǎn)時(shí)與實(shí)軸正方向的夾角稱為分離角?？梢酝ㄟ^下面的公式計(jì)算會(huì)合角和分離角一.繪制根軌跡圖的基本法則 9. 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) （1）利用勞斯判據(jù)求取 如果系統(tǒng)的特征方程可表示為如下形式由勞斯判據(jù)，在勞斯表第一列元素中有一項(xiàng)為零，其它項(xiàng)都大于零，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 （2）利用特征方程求取 將sjw帶入系統(tǒng)的特征方程，得 可以解出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)值w及對(duì)應(yīng)的臨界K值。一.繪制根軌跡圖的基本法則 試確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及此時(shí)臨界穩(wěn)定的K*值?！纠?-4】

38、設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 解 方法1 利用勞斯判據(jù)求取 系統(tǒng)的特征方程為：令勞斯表第一列元素(6-K*)/3=0，得到臨界穩(wěn)定的K*=6 ，再由勞斯表中項(xiàng)構(gòu)造輔助方程得到根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為一.繪制根軌跡圖的基本法則 方法2 利用特征方程求取 將sjw帶入系統(tǒng)的特征方程，有第一組解是根軌跡的起始點(diǎn)，第二組就是根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及臨界穩(wěn)定K*值。一.繪制根軌跡圖的基本法則 10. 根之和與根之積 （1） 當(dāng)n-m2時(shí)，無論K*取何值，系統(tǒng)n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)之和總等于系統(tǒng)n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)之和，即 （2）閉環(huán)特征根之和的負(fù)值，等于閉環(huán)特征方程的第二項(xiàng)系數(shù)a1，即 （3）閉環(huán)特征根之積乘以(-1)n，等于閉環(huán)

39、特征方程的常數(shù)項(xiàng)，即二. 繪制根軌跡圖舉例 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 【例4-5】設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 解 1）根軌跡的分支數(shù)： 4條 2）根軌跡的起始點(diǎn)：0，4，1j，1j 終止點(diǎn)： ， ， 3）實(shí)軸上的根軌跡： 4,0二. 繪制根軌跡圖舉例 4）根軌跡的漸進(jìn)線： 5）根軌跡的起始角和終止角 ：二. 繪制根軌跡圖舉例 6）根軌跡的分離點(diǎn)： 由于系統(tǒng)的分離點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)在實(shí)軸根軌跡區(qū)域 4,0，所以有將sjw帶入系統(tǒng)的特征方程，令實(shí)部和虛部為零，得解得分離點(diǎn)d=3.1 7）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程為 二. 繪制根軌跡圖舉例 綜上，系統(tǒng)的根軌跡如圖4-9所示。4.4 廣義根軌跡的繪制 一.參數(shù)根

40、軌跡圖的繪制二.零度根軌跡圖的繪制 一.參數(shù)根軌跡圖的繪制 在負(fù)反饋系統(tǒng)中，以開環(huán)放大倍數(shù)K以外的參數(shù)為參變量繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。 則可由上式得 則控制系統(tǒng)根軌跡的繪制問題就回到了常規(guī)根軌跡的繪制上，利用常規(guī)根軌跡圖繪制法則，就可以完成參數(shù)根軌跡圖的繪制。 設(shè)以參數(shù)Ta（非根軌跡增益K*）為參變量的負(fù)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可寫為一.參數(shù)根軌跡圖的繪制 【例4-6】設(shè)對(duì)二階系統(tǒng)的三種控制方法：比例控制、比例-微分控制和測(cè)速反饋控制如圖4-10所示，試分析參數(shù)Ta變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，并比較這三種控制方法下二階系統(tǒng)的性能。 一.參數(shù)根軌跡圖的繪制 解 三個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 三個(gè)系統(tǒng)

41、的特征方程式為 系統(tǒng)I 系統(tǒng)II和系統(tǒng)III一.參數(shù)根軌跡圖的繪制 利用常規(guī)根軌跡圖的繪制方法就可以獲得三個(gè)系統(tǒng)的根軌跡如圖4-11所示，由于系統(tǒng)II和系統(tǒng)III具有相同的特征方程，所以根軌跡圖一樣。 圖 4-11 二階系統(tǒng)根軌跡圖比較一.參數(shù)根軌跡圖的繪制 三個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為為了更好的比較三個(gè)系統(tǒng)的性能，設(shè)三個(gè)系統(tǒng)的阻尼比為0.5，此時(shí)系統(tǒng)II和系統(tǒng)III的Ta0.8，則三個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為一.參數(shù)根軌跡圖的繪制 三個(gè)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為下式，其應(yīng)曲線如下圖4所示。一.參數(shù)根軌跡圖的繪制 【例4-7】 設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-13所示，試?yán)L制該系統(tǒng)關(guān)于K和參數(shù)a同時(shí)改變時(shí)的根軌跡圖

42、。解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)特征方程為整理得一.參數(shù)根軌跡圖的繪制 二.零度根軌跡圖的繪制 有的時(shí)候，會(huì)碰到系統(tǒng)具有開環(huán)右零點(diǎn)、右極點(diǎn)，或者系統(tǒng)內(nèi)環(huán)是正反饋回路的情況，在這些情況下，就要繪制正反饋回路根軌跡，也稱作為零度根軌跡。 如果系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)都在s平面的左半平面，這種系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)；相反，如果系統(tǒng)有開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)位于右半s平面上，則這樣的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。 二.零度根軌跡圖的繪制 圖4-15所示系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為可以得到正反饋回路的根軌跡方程為 相角條件幅值條件二.零度根軌跡圖的繪制 【例4-8】 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-16所示，試?yán)L制控制系統(tǒng)內(nèi)環(huán)

43、回路的根軌跡圖，并確定使內(nèi)環(huán)回路穩(wěn)定的K值范圍。解 內(nèi)環(huán)回路的開環(huán)傳遞函數(shù)為二.零度根軌跡圖的繪制 【例4-8】 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-16所示，試?yán)L制控制系統(tǒng)內(nèi)環(huán)回路的根軌跡圖，并確定使內(nèi)環(huán)回路穩(wěn)定的K值范圍。解 內(nèi)環(huán)回路的開環(huán)傳遞函數(shù)為解 1）根軌跡的分支數(shù)： 3條 2）根軌跡的起始點(diǎn)：3，1j，1j 終止點(diǎn)： ， 3）實(shí)軸上的根軌跡： 3, 二.零度根軌跡圖的繪制 4）根軌跡的漸進(jìn)線： 5）根軌跡的起始角和終止角 ：二.零度根軌跡圖的繪制 6）根軌跡的分離點(diǎn)： 由于系統(tǒng)的分離點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)在實(shí)軸根軌跡區(qū)域 3, ，所以有解得分離點(diǎn)d1=1.33，d2=2 二.零度根軌跡圖的繪制 由幅值條件有

44、所以當(dāng)0K6時(shí)，內(nèi)環(huán)回路是穩(wěn)定的。7）內(nèi)環(huán)回路穩(wěn)定的K值范圍確定 4.5 利用根軌跡圖分析控制系統(tǒng)性能 一.閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)、零點(diǎn)的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系二.由根軌跡圖確定條件穩(wěn)定系統(tǒng)的參數(shù)取值范圍 一.閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)、零點(diǎn)的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系 根軌跡繪制的最終目的就是通過根軌跡圖分析控制系統(tǒng)在特定參數(shù)下的閉環(huán)極點(diǎn)，然后利用高階系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子的分析方法來分析控制系統(tǒng)性能。 在系統(tǒng)時(shí)域分析中，可以知道系統(tǒng)的性能表現(xiàn)主要取決于系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，控制系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)在復(fù)平面中的位置，直接決定了系統(tǒng)的性能。 首先，系統(tǒng)的穩(wěn)定性。從根軌跡中可以清晰直觀的看到系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面中的分布情況，從而方便

45、于分析特定參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 其次，系統(tǒng)的控制精度。在給定輸入信號(hào)下，可以在根軌跡中坐標(biāo)原點(diǎn)位置清楚的看到系統(tǒng)的型別，當(dāng)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)確定以后，就可以知道此時(shí)根軌跡增益K*的大小，從而得到系統(tǒng)開環(huán)增益K。 298一.閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)、零點(diǎn)的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系 最后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。控制系統(tǒng)的極點(diǎn)決定了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式，閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)共同決定了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)平穩(wěn)性和響應(yīng)速度。 （1）運(yùn)動(dòng)形式：由閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)決定。 （2）動(dòng)態(tài)平穩(wěn)性：由閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置決定。 （3）響應(yīng)速度：由控制系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn)的位置以及閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸的距離決定的。一.閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)、零點(diǎn)的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系【例4-10】單

46、位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定系統(tǒng)的最小阻尼比zmin，并用根軌跡圖分析系統(tǒng)性能。 1）根軌跡的分支數(shù)： 2條 2）根軌跡的起始點(diǎn)：0，2 終止點(diǎn)： 4 ， 3）實(shí)軸上的根軌跡：2,0， ,4 4）分離點(diǎn)：d11.2，d26.8 根軌跡繪制 具有1個(gè)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，只要有限零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)極點(diǎn)之間，當(dāng) K* 從0時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分。綜上，系統(tǒng)的根軌跡如圖4-19所示。一.閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)、零點(diǎn)的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系 系統(tǒng)最小阻尼比確定 一.閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)、零點(diǎn)的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系因?yàn)樗?系統(tǒng)性能分析穩(wěn)定性：從根

47、軌跡圖中可以看到，隨著K*的變化，根軌跡始終在s平面的左半平面，所以無論K*是何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。一.閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)、零點(diǎn)的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系控制精度：系統(tǒng)是I型系統(tǒng)，在單位斜坡信號(hào)下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 動(dòng)態(tài)特性：一.閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)、零點(diǎn)的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系 運(yùn)動(dòng)形式 當(dāng) 或者 時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)，其單位階躍響應(yīng)是單調(diào)非周期的。當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)，其單位階躍響應(yīng)是振蕩衰減的。當(dāng) 或者 時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)，其單位階躍響應(yīng)是單調(diào)非周期的。動(dòng)態(tài)特性：一.閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)、零點(diǎn)的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系 運(yùn)動(dòng)形式 當(dāng) 或者 時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)，其

48、單位階躍響應(yīng)是單調(diào)非周期的。當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)，其單位階躍響應(yīng)是振蕩衰減的。當(dāng) 或者 時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)，其單位階躍響應(yīng)是單調(diào)非周期的。 動(dòng)態(tài)平穩(wěn)性，系統(tǒng)的最小阻尼比zmin0.714，所以系統(tǒng)具有較好的平穩(wěn)性。 響應(yīng)速度，在 時(shí)，隨著K*的變化，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)逐漸遠(yuǎn)離虛軸，系統(tǒng)的響應(yīng)速度逐漸加快。二.由根軌跡圖確定條件穩(wěn)定系統(tǒng)的參數(shù)取值范圍 【例4-11】單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試用根軌跡圖確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍，并分析當(dāng)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)s1-10時(shí)系統(tǒng)的性能。 1）根軌跡的分支數(shù)： 3條 2）根軌跡的起始點(diǎn)：0，4，9 終止點(diǎn)： ， 3）實(shí)軸上

49、的根軌跡：4,0， ,9 4）分離點(diǎn)：d11.2，d26.8 根軌跡繪制二.由根軌跡圖確定條件穩(wěn)定系統(tǒng)的參數(shù)取值范圍 4）根軌跡的漸進(jìn)線： 5）根軌跡的分離點(diǎn)解得分離點(diǎn)d1=1.73，d2=6.94（舍去） 有由二.由根軌跡圖確定條件穩(wěn)定系統(tǒng)的參數(shù)取值范圍 將sjw帶入系統(tǒng)的特征方程，令實(shí)部和虛部為零，得 6）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程為 二.由根軌跡圖確定條件穩(wěn)定系統(tǒng)的參數(shù)取值范圍 所以當(dāng)0K13時(shí)，控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 使系統(tǒng)穩(wěn)定開環(huán)增益K值范圍 使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界根軌跡增益為K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界開環(huán)增益為二.由根軌跡圖確定條件穩(wěn)定系統(tǒng)的參數(shù)取值范圍 因?yàn)?，所以系統(tǒng)有

50、實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)s1-10時(shí)，另外兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。 系統(tǒng)性能分析 （1） 閉環(huán)極點(diǎn)性質(zhì)的確定當(dāng)s110時(shí)，二.由根軌跡圖確定條件穩(wěn)定系統(tǒng)的參數(shù)取值范圍 所以系統(tǒng)的3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為：s1-10，s2-1.5j1.94，s3-1.5j1.94，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 設(shè)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)為s2,3ajb，由于系統(tǒng)n-m2，則由根之和原理、根之積原理有（2） 閉環(huán)極點(diǎn)大小的確定二.由根軌跡圖確定條件穩(wěn)定系統(tǒng)的參數(shù)取值范圍 動(dòng)態(tài)特性：此控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)與實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)的距離有5倍以上，由高階系統(tǒng)分析方法可以知道，三階系統(tǒng)可以近似的看成如下式所示的二階系統(tǒng)。 穩(wěn)定性：從根軌跡圖中可以看到，當(dāng)根軌跡

51、增益取值范圍是0K*468時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）系統(tǒng)性能分析 控制精度：系統(tǒng)是I型系統(tǒng)，所以在單位斜坡信號(hào)下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為二.由根軌跡圖確定條件穩(wěn)定系統(tǒng)的參數(shù)取值范圍 （3）系統(tǒng)性能分析 峰值時(shí)間：超調(diào)量：調(diào)節(jié)時(shí)間：三. 增加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響1. 增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響三. 增加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響2. 增加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響4.6 用MATLAB進(jìn)行控制系統(tǒng)的根軌跡分析 一.用MATLAB繪制根軌跡圖 二.用MATLAB對(duì)系統(tǒng)根軌跡進(jìn)行分析舉例 一.用MATLAB繪制根軌跡圖 在MATLAB中，專門提供的繪制根軌跡有關(guān)的函數(shù)命令有（1）pzmap命令功能：繪制控

52、制系統(tǒng)的零、極點(diǎn)圖。格式：pzmap(num,den)，圖中用”x”號(hào)表示極點(diǎn)，用”o”號(hào)表示零點(diǎn)（2）rlocus命令功能：繪制根軌跡格式：rlocus(num,den) 傳遞函數(shù)分子分母為多項(xiàng)式形式。 rlocus(z,p,k) 傳遞函數(shù)分子分母為零極點(diǎn)形式， 根軌跡增益一般設(shè)為1。rlocus(G,k)或rlocus(G) G為已經(jīng)構(gòu)建成功的開環(huán)傳遞函數(shù) pole=rlocus(G,k) 得到在給定k值下對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn) ，并存入數(shù)組pole。一.用MATLAB繪制根軌跡圖 （3）sgrid命令功能：在系統(tǒng)根軌跡圖和零極點(diǎn)圖中繪制出z和wn柵格。格式：sgrid 當(dāng)z,wn缺省時(shí)阻尼系數(shù)線

53、以步長(zhǎng)0.1從z=0到z=1 繪出。sgrid(new) 先清除圖形屏幕，然后繪制出柵格線，并設(shè) 置成hold on，使后續(xù)繪圖命令能繪制在柵格 上。sgrid(,) 繪制以輸入的z,wn值的柵格線。sgrid(,new) （4）rlocfind命令功能：找出給定的一組閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的根軌跡增益。格式：K,pole=rlocfind(num,den)傳遞函數(shù)分子分母為多式形式。K,pole=rlocfind(z,p,k) 傳遞函數(shù)分子分母為零極點(diǎn)形式 ，根軌跡增益一般設(shè)為1。 一.用MATLAB繪制根軌跡圖 （3）sgrid命令功能：在系統(tǒng)根軌跡圖和零極點(diǎn)圖中繪制出z和wn柵格。格式：sgri

54、d 當(dāng)z,wn缺省時(shí)阻尼系數(shù)線以步長(zhǎng)0.1從z=0到z=1 繪出。sgrid(new) 先清除圖形屏幕，然后繪制出柵格線，并設(shè) 置成hold on，使后續(xù)繪圖命令能繪制在柵格 上。sgrid(,) 繪制以輸入的z,wn值的柵格線。sgrid(,new) （4）rlocfind命令功能：找出給定的一組閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的根軌跡增益。格式：K,pole=rlocfind(num,den)傳遞函數(shù)分子分母為多式形式。K,pole=rlocfind(z,p,k) 傳遞函數(shù)分子分母為零極點(diǎn)形式 ，根軌跡增益一般設(shè)為1。 二.用MATLAB對(duì)系統(tǒng)根軌跡進(jìn)行分析舉例 解 在MATLAB命令窗口鍵入以下命令： n

55、um=1 5; 輸入傳遞函數(shù)分子系數(shù)向量。 a=1 3 0; 輸入傳遞函數(shù)分母系數(shù)向量。 den=conv(a,1 8); G=tf(num,den); 構(gòu)建開環(huán)傳遞函數(shù)G。 rlocus(G) 繪制根軌跡。【例4-12】 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試用MATLAB繪制其根軌跡圖。 二.用MATLAB對(duì)系統(tǒng)根軌跡進(jìn)行分析舉例 則繪制的根軌跡圖如圖4-22所示 二.用MATLAB對(duì)系統(tǒng)根軌跡進(jìn)行分析舉例 解 在MATLAB命令窗口鍵入以下命令： num=1; den=1 8 15 0; G=tf(num,den); figure(color,w); rlocus(G)【例4-13】 單位負(fù)

56、反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試用MATLAB繪制其根軌跡圖，并求出當(dāng)K*30時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)值。二.用MATLAB對(duì)系統(tǒng)根軌跡進(jìn)行分析舉例 則繪制的根軌跡圖如圖4-23所示。 然后鍵入命令 pole= rlocus(G,30)在命令窗口中就會(huì)顯示對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn) Pole = -6.3869 -0.8066 + 2.0116i -0.8066 - 2.0116i二.用MATLAB對(duì)系統(tǒng)根軌跡進(jìn)行分析舉例 解 在MATLAB命令窗口鍵入以下命令：【例4-14】 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試用MATLAB繪制其根軌跡圖，在圖中標(biāo)注所有阻尼比z=0.2，0.5，0.707和自然振蕩頻率wn=3，6

57、，10的所有閉環(huán)極點(diǎn)，并求取當(dāng)z=0.707時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和根軌跡增益K值。num=1;a=conv(1 1,1 2);b=conv(1 4,1 8);den=conv(a,b);G=tf(num,den);figure(color,w);rlocus(G)hold onsgrid(0.2 0.707 0.5,3 6 10)二.用MATLAB對(duì)系統(tǒng)根軌跡進(jìn)行分析舉例 則繪制的根軌跡圖如圖4-24所示。 然后在鍵入命令 k,pole=rlocfind(G)在命令窗口中會(huì)出現(xiàn)提示Select a point in the graphics window 二.用MATLAB對(duì)系統(tǒng)根軌跡進(jìn)行分析舉例

58、 325用交叉線在圖4-24中找到阻尼比z=0.707的點(diǎn)，用鼠標(biāo)選定，如圖4-25所示，在命令窗口中就會(huì)出現(xiàn)選定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)和根軌跡增益值，如下selected_point = -1.1967 + 1.1646ik = 35.0113pole = -7.7610 -4.9780 -1.1305 + 1.1335i -1.1305 - 1.1335i 本章小結(jié) 控制系統(tǒng)的性能與其閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)在s平面的分布位置有密切的關(guān)系。對(duì)于高階系統(tǒng)，其閉環(huán)極點(diǎn)在s平面的位置是十分難以確認(rèn)的。根軌跡法提供了一種避免直接求取閉環(huán)極點(diǎn)，而通過開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)作圖的方法求取系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法。 由根軌跡方程

59、得到的幅值條件和相角條件可以推出一系列繪制根軌跡的法則，利用這些法則就能夠比較簡(jiǎn)單、快速的繪制出系統(tǒng)根軌跡的大致形狀。 根軌跡的繪制除了以開環(huán)增益為參數(shù)繪制以外，還能夠以系統(tǒng)其它參數(shù)為變量繪制參數(shù)根軌跡。當(dāng)系統(tǒng)中出現(xiàn)局部正反饋，或者出現(xiàn)非最小相位環(huán)節(jié)時(shí)，系統(tǒng)根軌跡的繪制需要按照零度根軌跡的繪制法則繪制。 由于根軌跡反映了系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的信息，所以在根軌跡上，可以通過系統(tǒng)零、極點(diǎn)位置，應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行“穩(wěn)、準(zhǔn)、快”的分析。習(xí)題 4-24-34-54-64-84-104-12Thank you本章結(jié)束第 5 章 控制系統(tǒng)的頻域分析法自動(dòng)控制原理Automatic Control Th

60、eory機(jī)械工業(yè)出版社第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析法 5.1 引言 5.2 幅相頻率特性 5.3 對(duì)數(shù)頻率特性 5.4 頻域穩(wěn)定判據(jù) 5.5 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 5.6 控制系統(tǒng)的頻域分析頻域分析法是一種圖解方法，它是根據(jù)系統(tǒng)的頻域數(shù)學(xué)模型（即頻率特性）對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行研究。頻域分析法的特點(diǎn)是不必直接求解系統(tǒng)微分方程，主要是用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性去判斷、分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，并能較方便地分析系統(tǒng)中的參量對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，從而進(jìn)一步指出改善系統(tǒng)性能的途徑。 頻率特性有明確的物理意義，除了一些超低頻控制系統(tǒng)，許多元部件和穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性都可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定。 5.1 引言5.1.1 頻率特性的基本概